Написать уравнение прямой проходящей через точку параллельно плоскости: Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой

Содержание

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной заданной плоскости онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и параллельной данной плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения уравнения плоскости, введите координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Очистить все ячейки?

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной заданной плоскости − теория, примеры и решения

Пусть задана точка M₀(x₀, y₀, z₀) и уравнение плоскости

Ax+By+Cz+D=0

(1)

Наша задача найти уравнение плоскости, проходящей через точку M₀ и параллельной плоскости (1)(Рис. 1).

Все параллельные плоскости имеют коллинеарные нормальные векторы. Поэтому для построения параллельной к (1) плоскости, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) нужно взять в качестве нормального вектора искомой плоскости, нормальный вектор n=(A, B, C) плоскости (1). Далее нужно найти такое значение D, при котором точка M₀(x₀, y₀, z₀) удовлетворяла уравнению плоскости (1):

Решим (2) относительно

D=−(Ax₀+By₀+Cz₀)

(3)

Подставляя значение D из (3) в (1), получим:

Ax+By+Cz−(Ax₀+By₀+Cz₀)=0

(4)

Уравнение (4) можно представить также в следующем виде:

A(x−x₀)+B(y−y₀)+C(z−z₀)=0

(5)

Уравнение (5) является уравнением плоскости, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и параллельной плоскости (1).

Пример 1.

Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(1, −6, 2) и параллельной плоскости :

Решение.

Запишем коэффициенты нормального вектора плоскости (6):

Подставляя координаты точки M₀ и координаты нормального вектора в (3), получим:

Подставляя значения A, B, C, D в уравнение плоскости (1), получим:

Уравнение плоскости можно представить в более упрощенном виде, умножив на 4:

Ответ.

Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(1, −6, 2) и параллельной плоскости (6) имеет следующий вид:

15. Уравнение прямой проходящей через точку параллельно вектору. Уравнения прямой проходящей через 2 точки.

Вектор II данной прямой наз. Направляющим вектором этой прямой

ур-е прямой проходящей ч/з точку

ур-е прямой проходящей ч/з 2 точки

17. Уравнение прямой, проходящей через точку в заданном направлении.

Дана точка М₀ (x₀, y₀

) и имеющие угловой коэффициент К. Составить ур-е прямой, проходящей через эту точку в заданном направлении (направление задаётся угловым коэффициентом).

Воспользуемся ур-ем «5»,

Т.к. точка М₀ лежит на прямой, то её координаты удовлетворяют ур-ю этой прямой.

М₀(х₀, у₀) у₀= kх₀+ b =>b = у₀— kх₀

Подставим «b» в ур-е «5» у=kx+b

y=kx+y₀-kx₀

y-y₀=kx-kx₀

y-y₀=k(x-x₀)

«6» — ур-е прямой, проходящей через точку в заданном направлении.

Чтобы найти угловой коэффициент прямой, заданной общим ур-ем, нужно в общем ур-ии выразить у.

пример: 2х-3у+5=0

-3у= -2х-5

у= х +

16.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Углом наклона прямой наз-ся угол который образует прямая с положительным направлением оси ОХ.

L – острый L – тупой

Угловым коэффициентом прямой называется tg угла наклона k = tgα

1. α – острый, k>0

2. α — тупой, k<0

3. α=0, k=0

4. α=90⁰, k – не сущ.

Составим ур-е прямой, угловой коэффициент = к и которая отсекает на оси ОУ отрезок = b.

1)Выберем текущую точку М(х;у). 2)Из точки М опустим перпендикуляр на ось ОХ, из точки В проведем прямую параллельную оси ОХ.

∆МВА: tgα = AM/AB

tgα = k

AM = y – b

AB = x

k =

3) Из последующего равенства выразим У : y – b = k*x

«5»: y = kx+b – уравнение прямой с угловым коэффициентом.

18.Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Углом между 2 прямыми L₁ и L₂ наз. Угол на который нужно повернуть против часовой стрелки по кратчайшему пути прямую l₁ до её совпадения с прямой l₂.

Формула для вычисления tgϕ между прямой

L₁ II L₂=>ϕ =0, tgϕ=0, ; K₂-K₁=0

L₁IIL₂K₁=K₂ условие параллельности двух прямых

L₁ перпендикулярно L₂ =>ϕ=90^o

Tgϕ –не существует, –не существует, 1+K₁K₂

L₁перпен-но L₂ =>K₁K₂=-1 – Условия перпендикулярности 2-х прямых

— косинус угла между прямыми

L₁IIL₂₁₂

A₁A₂+B₁B₂=0

19.

Линии 2-го порядка.

К линиям 2-го порядка относятся: окружность, элипс, гиперболла, параболла. 1) Ур-ниеокружности имеет вид: каноническое ур-ние — х²+у²=R²с (0,0) –центр окружности.Например: (x-а)²+(у-в)²=R² с (а:в) – цент окружности; 2) элипс – это линия уравнение которой имеет вид (по модулю), а,в –полуоси элипса. Т.к.х и у содержится в уравнении во 2-й степени, то линия симетрична относительно координатных осей. Найдем точки пересечения элипса с осями координат С ох:у=0; х

2=а²; х=+-а. (-а; 0) и (а; 0) – точки пересечения (вершины элипса) С ох. С оу:х=0; у²=в²; у=+-в. (0,-в) и (0,в) — точки пересечения (вершины элипса) С оу. Элипс имеет 2 фокуса – это точки координат (-с;0) и (с;0), где с =3)Гипербола – это линия уравнение которой имеет вид а,в-полуоси гиперболы.

Гипербола также симетрична относительно координатных осей. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. С ох:у=0;х²=а²; х=+-а. (-а,-) и (а;0) – точки пересечения гиперболы с ох. С оу:х=0; у²=-в². Точки пересечения с О оу гипербола не имеет. Решений нет. Фокусы гиперболы-это точки (-с;0) и (с;0) с = . 4)Парабола-это линия уравнение которой имеет вид у²=2рх; у²=-2рх; х²=2рх.

20. Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно вектору. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости в отрезках. Пусть дана точка М (х₀; y₀; z₀) ; ( A ,B, C ) тогда уравнение плоскости проходящей через точку M₀ перпендикулярно норм. вектор плоскости имеет вид :

A (x-x₀) + B (y-y₀ ) + C ( z-z₀)=0 .

Общее уравнение плоскости

A_X-A_X0+B_Y-B_Y0+C_Z-C_Z0=0

A_X+B_Y+C_Z+ ( -A_X0 – B_Y0-C_Z0)=0

A_X+ B A_x+B_Y+C_Z+D=0

Уравнение плоскости в отрезках имеет вид

a , b , c -Отрезок который отсекает плоскость на оси

4.6.2: Уравнения параллельных прямых

Последнее обновление
Сохранить как PDF

Идентификатор страницы: 4323

Предположим, что координатная плоскость перенесена на карту города, и главная улица имеет уравнение y=2x+5. Если Брод-стрит проходит параллельно Мейн-стрит и проходит через точку (3, 14), каким будет уравнение Брод-стрит? Откуда вы знаете?

Уравнения параллельных прямых

Напомним, что параллельных прямых имеют одинаковый наклон.

Каждый из приведенных ниже графиков имеет одинаковый наклон, равный 2. Согласно определению, все эти линии параллельны.

Рисунок 4.6.2.1

Определим, параллельны ли точки y=1/3x−4 и −3x+9y=18:

Наклон первой линии равен 1/3.

Любая линия, параллельная этой, также должна иметь наклон 13.

Найдите наклон второго уравнения: A=−3 и B=9.

наклон=−A/B=3/9→1/3

Эти две линии имеют одинаковый наклон, поэтому они параллельны.

Написание уравнений параллельных прямых

Иногда вас просят написать уравнение прямой, параллельной заданной прямой, проходящей через заданную точку. В следующем примере вы увидите, как это сделать.

Найдем уравнение следующих прямых:

Прямая, параллельная прямой y=6x−9, проходящей через (–1, 4).

Параллельные линии имеют одинаковый наклон, поэтому наклон будет равен 6. У вас есть точка и наклон, поэтому вы можете использовать форму точка-наклон.

y−y ₁ =m(x−x ₁ )

y−4=6(x+1)

Вы можете переписать это в форме пересечения наклона:

y=6x+6+ 4

y=6x+10

Прямая, параллельная прямой y−5=2(x+3), проходящей через (1, 1).

Во-первых, мы замечаем, что это уравнение имеет форму точка-наклон, поэтому давайте запишем это уравнение в форме точка-наклон.

y−y1=m(x−x1) Начиная с формы точка-наклон.

y-1=2(x-1) Замена наклона и точки.

y-1=2x-2 Распределение справа.

y−1+1=2x−2+1 Преобразование в форму пересечения наклона. Примеры 2х+5. Если Брод-стрит проходит параллельно Мейн-стрит и проходит через точку (3, 14), каким будет уравнение Брод-стрит?

Решение

Поскольку Брод-стрит параллельна Мейн-стрит, линия, изображающая две улицы, имеет одинаковый уклон. Наклон уравнения для Мейн-стрит равен 2, поэтому наклон уравнения для Брод-стрит также равен 2. Теперь мы можем использовать наклон и точку (3, 14), чтобы найти уравнение для Брод-стрит.

y−y ₁ =m(x−x ₁ ) Начиная с формы точка-наклон.

y−14=2(x−3) Замена наклона и точки.

y-14=2x-6 Распределение справа.

y−14+14=2x−6+14 Преобразование в форму пересечения наклона.

y=2x+8

Пример 4.6.2.2

Найдите уравнение прямой, параллельной прямой 4x−y=24, проходящей через (3, 2).

Решение

Так как это в стандартной форме, мы должны сначала найти наклон. Напомним, что для Ax+By=C наклон равен m=−AB. Поскольку A=4 и B=-1:

m=-A/B=-4/-1=4

Теперь, когда у нас есть наклон, мы можем его подставить:

y−y ₁ =m(x−x ₁ ) Начиная с формы точка-наклон.

y−2=4(x−3) Замена наклона и точки.

y-2=4x-12 Распределение справа.

y−2+2=4x−12+2 Преобразование в форму пересечения наклона.

y=4x−10

Обзор

Определение параллельных линий.

В 2-6 определите наклон линии, параллельной каждой заданной линии.

у=-5х+7
2х+8у=9
х=8
г=-4,75
у-2=(1/5)(х+3)

В 7-10 найти параллельную ей прямую через данную точку.

у=-(3/5)х+2;(0,-2)
5x−2y=7;(2,−10)
х=у;(2,3)
х=-5;(-2,-3)

Смешанный обзор

Нарисуйте уравнение 2x−y=10.
На модельной лодке штабель имеет высоту 8 дюймов. Фактический стек имеет высоту 6 футов. Насколько высока мачта на модели, если фактическая высота мачты составляет 40 футов?
Сумма денег, взимаемая за рубричное объявление, прямо пропорциональна длине объявления. Если реклама из 50 слов стоит 11,50 долларов, какова стоимость рекламы из 70 слов?
Упростить √(112).
Упростить √(12 ² -7 ² ).
Является ли √(3)−√(2) рациональным, иррациональным или ни тем, ни другим? Поясните свой ответ.
Найдите s: 15s=6(s+32).

Обзор (ответы)

Чтобы просмотреть ответы на обзор, откройте этот PDF-файл и найдите раздел 5.7.

Дополнительные ресурсы

Plix: Play, Learn, Interact, Explore: Уравнения параллельных линий: Изучение уравнений

Видео:

Активность: Уравнения параллельных линий. Вопросы

33. Изучение Уравнения параллельных линий. Дискуссионные вопросы

33. Изучение Уравнения параллель. Учебное пособие по уравнению прямой

Практика: Уравнения параллельных прямых

Применение в реальных условиях: Параллельные и перпендикулярные прямые

Эта страница под названием 4. 6.2: Equations of Parallel Lines распространяется под лицензией CC BY-NC и была создана, изменена и/или курирована Фондом CK-12 через исходный контент, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами Платформа LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

Наверх

Была ли эта статья полезной?

Тип изделия
Раздел или Страница
Автор
СК12
Лицензия
CC BY-NC
Программа OER или Publisher
СК-12
Показать оглавление
нет
Теги
1. источник@https://www. ck12.org/c/алгебра
2. источник@https://www.ck12.org/c/алгебра/

Линии и плоскости, часть 1

Линии и плоскости в трех измерениях

Часть 1: линии в трехмерном пространстве

Линии на плоскости знакомы большинству людей со школьным образованием по геометрии. Линии в пространстве берут эти самые объекты и позволяют размещать их в любом месте. в трехмерном пространстве. Как и в случае с линиями на плоскости, две точки определяют линия в пространстве. Мы начнем с этой идеи и закончим симметричный уравнение прямой .

Векторные уравнения

Две точки в пространстве, P ₀ = ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) и P = ( x , y , z ), образуют отрезок P ₀ P, параллельный некоторому вектору против . Тогда мы можем записать P ₀ P = t v для некоторого действительного числа t . Этот вектор v указывает в направлении линии, которую мы хотим, и это также может быть выражено как разность двух векторы r ₀ и r , определяемые точками P ₀ и П соответственно.

Это дает нам уравнение

r ₀ — r = t v

В качестве альтернативы мы можем написать это как r = r ₀ + t v , что выражает точки на нашей линии в терминах данной точки r ₀ и заданный вектор v . Это векторное уравнение линии L параллельна вектору v и проходит через точку р ₀ .

Запишите координаты такая точка r с использованием заданной точки r ₀ = ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) и заданный вектор v = ( а , б, с ). Полученные координаты представляют собой параметрических уравнений линии.
Запишите векторное уравнение и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки (-1,2,1) и (5,1,0).

Симметричные уравнения

Еще одна полезная интерпретация параметрические уравнения являются результатом напоминания о том, что если каждая координата вектор v отличен от нуля, то мы можем решить для t в каждом из параметрических уравнения. Отсюда получаем набор равенств

, который определяет линию в пространстве.

Запишите уравнения симметрии для строки, которую вы нашли на шаге 2.

Параллельные, пересекающиеся и наклонные Строки

Мы уже видели, как векторы в пространстве могут быть параллельны. Строки L ₁ и L ₂ в космосе будут также быть параллельными именно тогда, когда векторы v ₁ и v ₂ которые определяют, что линии параллельны.

Аналогично две прямые пересекутся если они не параллельны, и мы можем решить уравнения, полученные путем установки каждого координата равна для значения t , что делает обе линии проходными та же самая точка.

Линии, которые не параллельны ни пересекающиеся в пространстве называются косыми . Наклонные линии идентифицируются путем устранения первых двух возможностей.

Определить, являются ли линии L ₁ , параллельно v ₁ = (0,1,1) и проходя через (1,2,3) и L ₂ , параллельно v ₂ = (1,1,0) и проходящие через (1,-1,1), параллельны, пересекаются или скрещиваются.
No related posts.