Онлайн урок: Признаки делимости на 10, на 5 и на 2 по предмету Математика 6 класс
В этом уроке мы познакомимся с признаками делимости, узнаем, как определить делится ли число на 2, на 5 или на 10
Мы изучим правило, которое позволит без деления, по внешнему виду числа узнать, будет ли оно делиться на другое число без остатка.
Некоторые из признаков делимости были известны с древних времен, например, признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10
Некоторые из них использовали в Египте еще 4000 лет назад.
Итальянский математик Леонардо Фибоначчи (1170-1228) в своих работах подробно описал признаки делимости на 2, 3 и 5.
Натурально число, в записи которого последняя цифра 0, делится на 10 без остатка.
Для этого нужно всего лишь отбросить этот 0.
Например, 150 делится на 10 без остатка, так как 150 : 10 = 15
Если же возьмем 154 и поделим на 10, то получим неполное частное 15 и в остатке 4
То есть, если на конце числа стоит не 0, а любая другая цифра, тогда это число на 10 без остатка не делится.
Если натуральное число на конце содержит 0, то оно точно делится на 10
Если же на конце натурального числа любая другая цифра, но на 10 оно без остатка не делится!
Остаток в этом случае равен последней цифре числа.
Пример 1
Вася принес несколько упаковок печенья, по 10 штук в каждой упаковке.
Может ли быть так, что он принес всего 123 штуки печенья? 105 штук печенья? 70 штук печенья?
Решение:
123 : 10 = 12 (остаток 3)- значит, столько штук не может быть, так как по условию в упаковке содержится 10 штук печенья и количество упаковок — целое число.
105 : 10 = 10 (остаток 5)- значит, столько штук не может быть, так как по условию в упаковке содержится 10 штук печенья и количество упаковок — целое число.
70 : 10 = 7— значит, столько штук Вася мог принести в пачках, так как по условию количество упаковок — целое число.
Пример 2
Можно ли, используя только цифры 1, 3, 5 записать число, делящееся на 10?
Решение:
Нет, так как неважно, какое число мы составим, всё равно на конце не будет 0, так как среди указанных цифр нет 0.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Закрыть
Признак делимости на 10 работает и при делении на 100, 1000, 10000 и так далее.
Просто нужно убирать нужное количество нолей.
Разберемся получше.
Число 8100 делится на 100, потому что на конце два ноля.
72000 делится на 1000, достаточно убрать с конца три ноля.
Пройти тест
Закрыть тест
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Вход Регистрация
Число 10 это сумма двух пятёрок, или можно записать так: \(\mathbf{10=2\cdot5}\)
Получается, что 10 делится нацело на пять.
Какое бы мы не взяли число, его всегда можно разложить на сумму десятков и единиц, например:
347 = 340 + 7
1735 = 1730 + 5
Любые десятки всегда делятся на 5, ведь они оканчиваются на ноль.
Значит, делимость всего числа на 5 будет зависеть от единиц: если единицы делятся на 5, то и всё число целиком будет делиться на 5.
Это работает, если в разряде единиц стоит 5 или 0
Например, 1895 делится нацело на 5, ведь в разряде единиц стоит пятёрка.
Если в записи натурального числа в разряде единиц стоит 0 или 5, такое число делится на 5 без остатка.
Если же в разряде единиц стоит любая другая цифра, то при делении на 5 обязательно получится остаток.
Пример 1
Купили пять одинаковых коробок ручек.
Может ли быть в них всего:
Решение:
47 : 5 = 9 (остаток 2)- значит, столько ручек не может быть
15 : 5 = 3— значит, по 3 ручки в каждой из 5 коробок
32 : 5 = 6 (остаток 2)- значит, столько ручек не может быть
Пример 2
Можно ли, используя только цифры 3, 8, 5, записать число, делящееся на 5?
Решение:
Не всегда.
Можно, если в разряд единиц поставить 5, например, 385 или 835
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Закрыть
На признаке делимости на 5 построен признак делимости на 25.
Мы знаем, что \(\mathbf{25=5\cdot5}\)
Число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или 5; а на 25, если оканчивается на 00, на 25, на 50 или на 75.
Например:
100 : 25 = 4 (исходное число 100 оканчивалось двумя нолями)
225 : 25 = 9 (две последние цифры числа 225 были 25)
Пройти тест
Закрыть тест
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Вход Регистрация
Число 10 можно разложить на пять двоек.
\(\mathbf{10=5\cdot2}\)
Это означает, что десять всегда делится нацело на 2.
Если натуральное число делится нацело на
Если же появляется остаток 1, тогда такое число называют нечётным.
Из однозначных чисел числа 0, 2, 4, 6 и 8 чётны, а числа 1, 3, 5, 7 и 9 нечётны.
Поэтому и цифры 0, 2, 4, 6, 8 называют чётными, а цифры 1, 3, 5, 7, 9— нечётными.
Полный десяток всегда является чётным числом, т.к. делится на 2 без остатка.
Если в разряде единиц стоит чётная цифра, значит, число будет чётным.
И наоборот, если в разряде единиц стоит нечётная цифра, то и само число будет нечётным.
Довольно легко запомнить!
Когда в записи натурального числа на конце стоит чётная цифра, то такое число чётное (делится нацело на 2), а если в записи числа на конце стоит нечётная цифра, то это число нечётное.
Например, числа:
2, 88, 174, 2374 четные
3, 37, 541, 2391 нечетные
Пример 1
Можно ли, используя только цифры 2, 3, 4, 5, 7, записать число, делящееся на 2?
Решение:
Не всегда. Можно, если в разряд единиц поставить 2 или 4, например: 32574 или 73542
Можно придумать и другие числа, меняя местами предложенные цифры, но всегда в разряде единиц должны стоять четные.
Пример 2
Найдите среди чисел 154, 161, 174, 178, 191, 315, 320, 346, 425, 475 числа, кратные 2
Решение:
По признаку делимости на 2, нам надо выбрать только четные числа.
Значит, выбираем 154, 174, 178, 320, 346
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Закрыть
Во многих странах есть традиции с четным или нечетным количеством.
Например, в США, Европе и некоторых восточных странах принято, что чётное количество подаренных цветов приносит счастье.
В России же, наоборот, живым людям дарят нечётное количество цветов.
В университетах со сложным расписанием занятий применяются чётные и нечётные недели. Внутри этих недель отличается расписание учебных занятий, а также время их начала и окончания.
Пройти тест
Закрыть тест
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Вход Регистрация
Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Блез Паскаль (1623-1662)
Ему принадлежит так называемый признак Паска́ля — метод, позволяющий получить признаки делимости на любое число, это своего рода «универсальный признак делимости».
Например, был получен интересный факт, с помощью которого научились определять, делится ли число на 11 (то есть получили признак делимости на 11).
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11.
Например, число 182919 делится на 11, так как 1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = -22 делится на 11
То есть мы последовательно перебираем цифры числа, чередуя знаки плюс и минус, затем считаем итог и смотрим, делится ли он на
Если да, то и исходное число делится на 11.
С помощью признака Паскаля был получен и признак делимости на 7.
Не будем вдаваться в тонкости, распишем кратко, как он работает:
для любого числа
$$\mathbf{…a_8a_7a_6a_5a_4a_3a_2a_1}$$
его остаток от деления на 7 равен
$$\mathbf{a_1+3\cdot{a_2}+2\cdot{a_3}+6\cdot{a_4}+4\cdot{a_5}+5\cdot{a_6}+a_7+3\cdot{a_8}+…}$$
Многоточие в конце означает, что дальше будет повторение множителей, а \(\textbf{a}_\textbf{1}\), \(\textbf{a}_\textbf{2}\)и другие это любые цифры от 0 до до 9
Кажется сложным, но давайте попробуем.
Проверим, делится ли число 48916 на 7
Используем наше правило и берем цифры с конца, умножая где нужно на число из формулы выше
\(\mathbf{6+3\cdot1+2\cdot9+6\cdot8+4\cdot4=6+3+18+48+16=91}\)
91 делится на 7 (можете проверить сами, разделив уголком)
Значит 48916 делится на 7
Пройти тест
Вопросы»Базовый уровень по математике с решениями. Задание 19. ЕГЭ |Поступи в ВУЗ
liliana :
В задании 19 базового уровня предложены задачи на тему «Делимость натуральных чисел». Чтобы решить такую задачу, надо хорошо знать признаки делимости натуральных чисел.
Признаки делимости.
Признаки делимости на 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 5, 25, 10, 100, 1000.
1. Признак делимости на 2. Число делится на 2, если его последняя цифра — ноль или делится на 2. Числа, делящиеся на два, называются чётными, не делящиеся на два – нечётными.
2. Признак делимости на 4. Число делится на 4, если две его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 4.
3. Признак делимости на 8. Число делится на 8, если три его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 8.
4. Признаки делимости на 3 и 9. Число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3. Число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9.
5. Признак делимости на 6. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.
6. Признак делимости на 5. Число делится на 5, если его последняя цифра — ноль или 5.
7. Признак делимости на 25. Число делится на 25, если две его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 25.
8. Признак делимости на 10. Число делится на 10, если его последняя цифра — ноль.
9. Признак делимости на 100. Число делится на 100, если две его последние цифры – нули.
10. Признак делимости на 1000. Число делится на 1000, если три его последние цифры -нули.
11. Признак делимости на 11. На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11. (Например, 12364 делится на 11, т.к. 1+3+4=2+6.)
Задание 19 (1). Приведите пример трёхзначного числа, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9.
Решение.
Разложим число 20 на слагаемые различными способами:
1) 20 = 9 + 9 + 2
2) 20 = 9 + 8 + 3
3) 20 = 9 + 7 + 4
4) 20 = 9 + 6 + 5
5) 20 = 8 + 8 + 4
6) 20 = 8 + 7 + 5.
Находим сумму квадратов в каждом разложении и проверяем, делится ли она на 3 и не делится на 9?
Замечаем, что, если в разложении 2 числа делятся на 3, то сумма квадратов на 3 не делится.
92+92+22 не делится на 3
При разложении способами (1)−(4) суммы квадратов чисел не делятся на 3.
При разложении способом (5) сумма квадратов делится на 3 и на 9.
Разложение шестым способом удовлетворяет условиям задачи. Таким образом, условию задачи удовлетворяет любое число, записанное цифрами 5, 7 и 8, например, числа 578 или 587 или 785 и т.д.
Будет использоваться {{\text{th}}}}$ термин AP и сумма первых $n$ терминов AP.Натуральные числа, которые делятся на 2, это 2, 4, 6, 8, ……, 98, 100.
Ясно, что приведенный выше ряд представляет собой арифметическую прогрессию с общей разностью 2.
Натуральные числа, которые делятся на 5 равно 5, 10, 15, 20, ……, 95, 100.
Ясно, что приведенный выше ряд является арифметической прогрессией с общей разностью 5.
Для арифметической прогрессии, состоящей из первого члена как $a$, общая разность как $d$ и общее количество терминов как $n$ 9{{\text{th}}}}$ термин AP определяется выражением ${a_n} = a + \left( {n — 1} \right)d{\text{ }} \to {\text{( 1)}}$
Сумма первых $n$ членов АП определяется выражением ${{\text{S}}_n} = \dfrac{n}{2}\left[ {a + {a_n}} \ справа] {\ текст { }} \ к {\ текст {(2)}} $.
Теперь для арифметической прогрессии 2, 4, 6, 8, ……, 98, 100
$a = 2$, $d = 2$ и ${a_n} = 100$
Используя уравнение (1), мы можем напишите
$ \Стрелка вправо 100 = 2 + 2\влево( {n — 1} \вправо) \Стрелка вправо 100 = 2 + 2\влево( {n — 1} \вправо) \Стрелка вправо 100 = 2 + 2n — 2 \Стрелка вправо 2n = 100 \стрелка вправо n = 50$
Итак, общее количество натуральных чисел от 1 до 100, которые делятся на 2, равно 50.
Теперь, используя уравнение (2), мы имеем
${{\text{S}}_n} = \dfrac{{50} }{2}\left[ {2 + 100} \right] = \dfrac{{50 \times 102}}{2} = 2550$
Итак, сумма всех натуральных чисел от 1 до 100, которые делятся на 2 равно 2550.
Теперь для арифметической прогрессии 5, 10, 15, 20, ……, 95, 100
$a = 5$, $d = 5$ и ${a_n} = 100$
Используя уравнение (1 ), мы можем написать
$ \Rightarrow 100 = 2 + 2\left( {n — 1} \right) \ Rightarrow 100 = 5 + 5\left( {n — 1} \right) \ Rightarrow 100 = 5 + 5n — 5 \Стрелка вправо 5n = 100 \Стрелка вправо n = 20$
Итак, общее количество натуральных чисел от 1 до 100, которые делятся на 5, равно 20.
Теперь, используя уравнение (2), мы имеем
${{\text{S}}_n} = \dfrac{{20} }{2}\left[ {5 + 100} \right] = \dfrac{{20 \times 105}}{2} = 1050$
Итак, сумма всех натуральных чисел от 1 до 100, которые делятся на 5 равно 1050.
Кроме того, натуральные числа от 1 до 100, которые делятся и на 2, и на 5, равны 10, 20, 30, ……, 100
Вышеприведенный ряд также образует арифметическую прогрессию с общей разностью 10.
Здесь $a = 10$, $d = 10$ и ${a_n} = 100$
Используя уравнение (1), мы можем записать
$ \Rightarrow 100 = 10 + 10\left( {n — 1} \ справа) \Rightarrow 90 = 10n — 10 \Rightarrow 10n = 100 \Rightarrow n = 10$
Итак, общее количество натуральных чисел от 1 до 100, которые делятся и на 2, и на 5, равно 10.
Теперь используем уравнение (2 ), имеем
${{\text{S}}_n} = \dfrac{{10}}{2}\left[ {10 + 100} \right] = \dfrac{{10 \times 110}}{ 2} = 550$
Итак, сумма всех натуральных чисел от 1 до 100, которые делятся и на 2, и на 5, равна 550.
Так как сумма всех натуральных чисел от 1 до 100, которые делятся на 2 или 5, равна сумме всех натуральных чисел от 1 до 100, которые делятся на 2 и те, которые делятся на 5, минус число натуральных чисел от 1 до 100, которые делятся и на 2, и на 5.
т. е. ${\ text {Требуемая сумма}} = \left ({2550 + 1050} \right) — 550 = 3050 $.
Следовательно, сумма всех натуральных чисел от 1 до 100, которые делятся на 2 или 5, равна 3050.
Примечание. В этой конкретной задаче сумма чисел от 1 до 100, которые делятся на 2 и на 5, будет включать числа, которые делятся на 2 и 5 дважды. Итак, чтобы получить точный результат, мы должны один раз вычесть сумму всех чисел от 1 до 100, которые делятся и на 2, и на 5.
Сумма трех последовательных натуральных чисел, каждое из которых делится на 5, равна 225. Наибольшее среди них есть?
Темы
| А) 85 |
| Б) 75 |
| В) 70 |
| D) 80 |
Правильный ответ:
Описание правильного ответа:
Пусть нет \( x,x+5,x+10 \)
Итак,\( x+x+5 +x+1=225 \)
\( 3x+15=210 \)
\( x=70 \)
9{63}) \) делится на А). 3 |
| Б). 11 |
| С). 13 |
| Д). 17 |
| А). 2 |
| Б). 5 |
| С). 7 |
| Д). 3 |
| А). 62 |
| Б). 63 |
| С). 64 |
| Д). 65 |
А). |