Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: 4.8. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

4.8. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

у» + ру’ + ду=/ (х). (1)

Оно отличается от соответствующего линейного однородного уравнения

у» + ру’ + ду = 0. (2)

наличием в правой части некоторой функции / (х).

200

Для нахождения общего решения уравнения (1) сначала нужно найти общее решение у уравнения (2), а затем найти какое-либо частное решение у* уравнения (1). Их сумма есть общее решение данного неоднородного уравнения (1):

— * у = у + у.

Приведем правило отыскания частного решения у* уравнения (1) в следующих двух случаях: правая часть f (x) имеет вид

f (x) = ekxP„(x). (3)

где Pn(x) — многочлен степени n; правая часть f (x) имеет вид

f (x) = a cos 1x + b sin 1x. (4)

Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.

I. Пусть правая часть уравнения (1) имеет вид

f (x) = (xX

причем число k не является корнем характеристического уравнения

r2 + p + q = 0, (5)

соответствующего однородному уравнению (2). Тогда частное решение уравнения (1) следует искать в форме

у* = e„(x), (6)

где Qn(x) — некоторый многочлен той же степени n с неопределенными коэффициентами.

Если же число к является корнем характеристического уравнения (5), то частное решение уравнения (1) следует искать в форме

у* = xmekx Q (x), (7)

где m — кратность корня к (т. е. m = 1, если к — однократный корень, и m = 2, если к — двукратный корень).

II. Пусть теперь правая часть уравнения (1) имеет вид:

причем числа ±1i не являются корнями характеристического уравнения (5). Тогда частное решение уравнения (1) следует искать в форме

где А и В — неопределенные коэффициенты.

Если же комплексные числа ±1i являются корнями характеристического уравнения (5), то частное решение уравнения (1) следует искать в форме

Пример 4. 21. Найти общее решение уравнения Решение:

1. Найдем общее решение у соответствующего однородного уравнения

Решая отвечающее ему характеристическое уравнение получаем корни r1 = -3, r2 = -1. Следовательно,

2. Перейдем к отысканию частного решения у* данного уравнения. Здесь правая часть f (x) = (8×2 + 84x)ex имеет вид (3): n = 2, P2(x) = 8×2 + 84x, k = 1, причем k = 1 не является корнем характеристического уравнения. Следовательно, частное решение у* нужно искать в форме

где A, B и C — некоторые коэффициенты, подлежащие определению. Для их отыскания воспользуемся тем, что у* должно быть решением данного уравнения. Найдем у*’ и у*»:

теперь подставим выражения для у*, у*’ и у*» в данное уравнение:

Сокращая обе части полученного равенства на ex и группируя члены при одинаковых степенях x, в результате получим

Это равенство выполняется тождественно только в том случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях равенства равны между собой.

Итак, имеем следующую систему уравнений для отыскания коэффициентов A, В и С:

Решая эту систему, найдем A = 1, В = 9, С = -7. Таким образом, получаем искомое частное решение

Теперь можно записать общее решение данного уравнения

Пример 4.22. Найти общее решение уравнения

Решение. 1. Найдем у.

Характеристическое уравнениеимеем корни

r = r = -3. Следовательно,

203

2. Найдем теперь у*. Здесь правая часть имеет вид (3): n = 0, P0 = 14, к = -3. Так как к = -3 является двукратным корнем характеристического уравнения, то частное решение у* следует искать в форме

у* = Ax2e-3x,

где A — коэффициент, подлежащий определению. Вычислим производные у*’ и у*»:

у* = (-3Ax2 + 2 Ax )e-3x, у*’ = (9Ax2 -12Ax + 2A)e-3x.

Подставляя выражения для у*, у*’ и у*» в данное уравнение, сокращая обе его части на e-3x и приводя подобные члены, в итоге получим 2A = 14, откуда A = 7. Следовательно, искомое частное решение имеет вид:

у* = 7x2e-3x.

Итак, общее решение данного уравнения

у = у + у* = (C1 + C2 x )e-3x + 7×2 e-3x.

Пример 4.23. Найти общее решение уравнения у» — 4у’ + 5у = 2 cos x + 6 sin x.

Решение. 1. Найдем у. Характеристическое уравнение r2 — 4r + 5 = 0

имеем корни Г1 2 = 2 ± i. Следовательно,

у = e2x(C1cosx + C2 sinx).

2. Будем теперь искать у*. Здесь правая часть f (x) имеет вид (4): а = 2, b = 6, l = ± i. Числа ± i не являются корнями характеристического уравнения, поэтому частное решение у* следует искать в форме

где A и В — неопределенные коэффициенты. Найдем производные у*’ и у*»:

подставляя теперь выражения для у*, у*’ и у*» в данное уравнение и группируя члены при cos x и sin x, в результате получим

Следовательно, для нахождения A и В имеем систему

откуда. Таким образом,

Итак, общее решение данного уравнения имеет вид:

Пример 4.24. Найти общее решение уравнения

Решение. 1. Найдем сначала у. Характеристическое уравнение г2 + 4 = 0, имеет корни Г1 2 = ± 2г. Следовательно,

2. Переходим к нахождению у*. Здесь правая часть f (x) имеет вид (4): а = 12, b = 0, I = ± 2г. Так как числа ± 2г являются корнями характеристического уравнения, то частное решение следует искать в форме

ПодставивВ данное уравнение и приведя подобные

члены, получим

откуда

т. е.Поэтому

Итак, общее решение

Пример 4.25. Найти частное решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям у (0) = 0, у’ (0) = 1.

2

Решение. 1. Характеристическое уравнение r + 2т — 8 = 0 имеет корни T1 = -4, т2 = 2. Следовательно,

где А и В — неопределенные коэффициенты. Имеем

2. Правая часть данного уравнения имеет вид (3): n = 1, Так как к = 2 является однократным корнем характеристического уравнения, то частное решение у* ищем в форме

Подставляя у*, у*’ и у*» в данное уравнение, сокращая обе его одя подобные члены, оконч

части на е2х и приводя подобные члены, окончательно получим

12Ах + (2А + 6В) = 12х + 20.

Решая систему

Г12 А = 12,

{ 2 А + 6В = 20,

находим А = 1, В = 3. Отсюда

у* = (х2 + 3х)е2х.

Итак, найдено общее решение данного уравнения

у = у + у* = С1е-4х + С2 е2 х + (х2 + 3х)е2х.

3. Для нахождения искомого частного решения воспользуемся заданными начальными условиями. Найдем производную общего решения

у’ = -4С1е-4х + 2С2е2х + (2х2 + 8х + 3)е2х;

подставив в выражения для общего решения и его производной значения х = 0, у = 0, у’ = 1, получим систему уравнений для нахождения С1 и С2:

0 = С1 + С2,

1 = -4С1 + 2С2 + 3.

Отсюда С1 = 3, С2 = — 1. Таким образом, искомое частное решение имеет вид;

у = I е-4х -1 е2х + (х2 + 3х)е2х.

< Предыдущая		Следующая >

Краткий курс высшей математики

Краткий курс высшей математики

Шнейдер В. Е. и др. Краткий курс высшей математики. Учеб. пособие для втузов. М., «Высш. школа», 1972. 640 с. Данное учебное пособие предназначено для студентов вечерних факультетов втузов и заводов-втузов. Оно в основном охватывает весь материал, предусмотренный обязательной программой. Достаточное количество решенных примеров и задач способствует лучшему усвоению теоретического материала. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ ГЛАВА I. МЕТОД КООРДИНАТ. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ § 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. КООРДИНАТЫ ТОЧКИ НА ПРЯМОЙ 2. Геометрическое изображение действительных чисел. Координаты точки на прямой 3. Абсолютная величина действительного числа 4. Расстояние между двумя точками на прямой § 2. КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 2. Расстояние между двумя точками на плоскости 3. Деление отрезка в данном отношении 4. Координаты точки в пространстве 5. Расстояние между двумя точками в пространстве § 3. УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ОСЯМИ. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ 2. Полярные координаты 3. Зависимость между декартовыми и полярными координатами § 4. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ 2. Понятие функции 3. График функции 4. Способы задания функций 5. Основные элементарные функции и их графики 6. Сложные функции. Элементарные функции 7. Целые и дробно-рациональные функции 8. Функции четные и нечетные. Периодические функции § 5. УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ 2. Нахождение уравнения линии по ее геометрическим свойствам § 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ 2. Поворот осей координат ГЛАВА II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ § 1. ПРЯМАЯ 2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом 3. Уравнение прямой, параллельной оси ординат 4. Общее уравнение прямой и его частные случаи 5. Точка пересечения прямых. Построение прямой по ее уравнению 6. Вычисление угла между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых 7. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении 8. Пучок прямых 9. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки 10. Расстояние от точки до прямой § 2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 2. Окружность 3. Эллипс 4. Гипербола 5. Парабола 6. Окружность, эллипс, гипербола и парабола как конические сечения 7. Упрощение уравнения кривой второго порядка. График квадратного трехчлена 8. Уравнение равносторонней гиперболы, асимптоты которой приняты за оси координат 9. График дробно-линейной функции 10. Преобразование уравнения кривой второго порядка, не содержащего члена с произведением координат ГЛАВА III. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ § 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 2. Определитель третьего порядка 3. Понятие об определителях высших порядков § 2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ 2. Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными 3. Система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными 4. Однородная система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными § 3. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 2. Линейные операции над векторами 4. Проекция вектора на ось и составляются вектора по оси 5. Разложение вектора на составляющие по осям координат 6. Направляющие косинусы вектора 7. Условие коллинеарности двух векторов 8. Скалярное произведение 9. Выражение скалярного произведения через проекции перемножаемых векторов 10. Косинус угла между двумя векторами 11. Векторное произведение 12. Выражение векторного произведения через проекции перемножаемых векторов 13. Смешанное произведение трех векторов 14. Геометрический смысл смешанного произведения 15. Условие компланарности трех векторов § 4. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 2. Равенство матриц. Действия над матрицами 3. Обратная матрица 4. Матричная запись и матричное решение системы уравнений первой степени § 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 2. Преобразование координат 3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду 4. Упрощение общего уравнения кривой второго порядка ГЛАВА IV. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ § 1. ПЛОСКОСТЬ 2. Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку 3. Общее уравнение плоскости и его частные случаи 4. Построение плоскости по ее уравнению 5. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей 6. Точка пересечения трех плоскостей § 2. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 2. Общие уравнения прямой 3. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой 4. Канонические уравнения прямой 5. Уравнения прямой, проходящей через две точки 6. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых § 3. Прямая и плоскость в пространстве 2. Точка пересечения прямой с плоскостью 3. Расстояние от точки до плоскости 4. Пучок плоскостей § 4. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 2. Цилиндрические поверхности 3. Конические поверхности 4. Поверхность вращения 6. Гиперболоиды 7. Параболоиды ГЛАВА V. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ § 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 2. Предел функции при х -> -оо 3. Предел функции при х->х0 4. Бесконечно малые функции. Ограниченные функции 5. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми функциями 6. Основные теоремы о пределах 7. Предел функции при x -> 0 8. Последовательность. Число e 9. Натуральные логарифмы 10. Сравнение бесконечно малых функций § 2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 2. Операции над непрерывными функциями. Непрерывность элементарных функций 3. Свойства функций, непрерывных на сегменте 4. Понятие об обратной функции 5. Обратные тригонометрические функции 6. Показательная и логарифмическая функции 7. Понятие о гиперболических функциях ГЛАВА VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 1. Приращение аргумента и приращение функции 2. Определение непрерывности функции с помощью понятии приращения аргумента и приращения функции 3. Задачи, приводящие к понятию производной 4. Определение производной и ее механический смысл 5. Дифференцируемость функции 6. Геометрический смысл производной 7. Производные некоторых основных элементарных функций 8. Основные правила дифференцирования 9. Производная обратной функции 10. Производные обратных тригонометрических функций 11. Производная сложной функции § 12. Производные гиперболических функций 13. Производная степенной функции с любым показателем 14. Сводная таблица формул дифференцирования 15. Неявные функции и их дифференцирование 16. Уравнения касательной а нормали к кривой 17. Графическое дифференцирование § 2. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 1. Нахождение производных высших порядков 2. Механический смысл второй производной § 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ 2. Производная как отношение дифференциалов 3. Дифференциал суммы, произведения и частного функций 4. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала 5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям 6. Дифференциалы высших порядков § 4. ФУНКЦИИ, ЗАДАННЫЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ, И ИХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 2. Дифференцирование функций, заданных параметрически § 5. ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА 2. Векторная функция скалярного аргумента и ее производная 3. Уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к пространственной кривой 4. Механический смысл первой и второй производных векторной функции скалярного аргумента § 6. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ 2. Теорема Ролля 3. Теорема Лагранжа 4. Правило Лопиталя § 7. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЮ ГРАФИКОВ 2. Максимум и минимум функции 3. Достаточный признак существования экстремума, основанный на знаке второй производной 4. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции 5. Применение теории максимума и минимума к решению задач 6. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба 7. Асимптоты графика функции 8. Общая схема исследования функции и построение ее графика § 8. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 2. Уточнение найденных значений корней методом хорд и касательных § 9. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА ГЛАВА VII. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА 2. Геометрический смысл неопределенного интеграла 3. Таблица основных интегралов 4. Основные свойства неопределенного интеграла § 2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 2. Интегрирование методом замены переменной 3. Интегрирование по частям § 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 2. Рациональные дроби. Выделение правильной рациональной дроби 3. Интегрирование простейших рациональных дробей 4. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби 5. Метод неопределенных коэффициентов 6. Интегрирование рациональных дробей § 4. Интегрирование тригонометрических функций 2. Рациональные функции двух переменных 3. Интегралы вида § 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 2. Интеграл вида 3. Интегралы видов 4. Интегралы вида § 6. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДАХ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. ИНТЕГРАЛЫ, НЕ БЕРУЩИЕСЯ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ 2. Понятие об интегралах, не берущихся в элементарных функциях ГЛАВА VIII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ОПРЕДЕЛЕННОМУ ИНТЕГРАЛУ 2. Задача о работе переменной силы § 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 2. Свойства определенного интеграла 3. Производная интеграла по переменной верхней границе 4. Формула Ньютона—Лейбница 5. Замена переменной в определенном интеграле 6. Интегрирование по частям в определенном интеграле § 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 2. Вычисление площади в полярных координатах 3. Вычисление объема тела по известным поперечным сечениям 4. Объем тела вращения 5. Длина дуги кривой 6. Дифференциал дуги 7. Площадь поверхности вращения 8. Общие замечания о решении задач методом интегральных сумм § 4. КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ 2. Вычисление кривизны 3. Радиус кривизны. Круг кривизны. Центр кривизны 4. Эволюта и эвольвента § 5. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2. Интегралы от разрывных функций 3. Признаки сходимости несобственных интегралов § 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 2. Метод трапеций 3. Метод параболических трапеций (метод Симпсона) ГЛАВА IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 2. График функции двух переменных 3. Функции трех и большего числа переменных § 2. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции. Точки разрыва 2. Непрерывность функции нескольких переменных 3. Понятие области 4. Точки разрыва 5. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области § 3. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 2. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных 3. Частные производные высших порядков § 4. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 2. Полный дифференциал функции 3. Приложение полного дифференциала к приближенным вычислениям § 5. Дифференцирование сложных и неявных функций 2. Инвариантность формы полного дифференциала 3. Дифференцирование неявных функций § 6. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ 2. Производная по направлению 3. Градиент 4. Касательная плоскость а нормаль к поверхности 5. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных § 7. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 2. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных ГЛАВА X. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ 2. Двойной интеграл. Теорема существования 3. Свойства двойного интеграла 4. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах 5. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах 6. Приложения двойного интеграла § 2. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ 2. Тройной интеграл и его свойства 3. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах 4. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах 5. Приложения тройного интеграла § 3. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ 2. Задача о работе. Криволинейный интеграл 3. Вычисление криволинейного интеграла 4. Формула Остроградского — Грина 5. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования 6. Отыскание первообразной по полному дифференциалу 7. Криволинейный интеграл по длине дуги ГЛАВА XI. РЯДЫ § 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 2. Геометрическая прогрессия 3. Простейшие свойства числовых рядов 4. Необходимый признак сходимости ряда 5. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов 6. Знакопеременные ряды 7. Остаток ряда и его оценка § 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 2. Правильно сходящиеся функциональные ряды и их свойства § 3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 2. Свойства степенных рядов 3. Ряды по степеням разности х-а 4. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора 5. Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена § 4. ПРИЛОЖЕНИЕ РЯДОВ К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ 2. Приближенное вычисление интегралов § 5. ПОНЯТИЕ О ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ 2. Числовые ряды с комплексными членами 3. Степенные ряды в комплексной области § 6. РЯДЫ ФУРЬЕ 2. Ряд Фурье 3. Сходимость ряда Фурье 4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций 5. Разложение в ряд Фурье функций с периодом 2l ГЛАВА XII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 2. Дифференциальные уравнения первого порядка 3. Уравнения с разделяющимися переменными 4. Однородные уравнения 5. Линейные уравнения 6. Уравнение в полных дифференциалах 7. Особые решения 8. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера § 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 2. Простейшие уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка 3. Понятие о дифференциальных уравнениях высших порядков § 3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка 3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка 4. Метод вариации произвольных постоянных § 4. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 3. Приложение линейных дифференциальных уравнений второго порядка к изучению механических и электрических колебаний § 5. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 2. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами § 6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ § 7. ПОНЯТИЕ О СИСТЕМАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 2. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА НЬЮТОНА ПРИЛОЖЕНИЕ 2. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

2.

2: Линейные ОДУ второго порядка с постоянным коэффициентом

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

350

• Йиржи Лебл
• Университет штата Оклахома

Решение уравнений с постоянными коэффициентами

Предположим, у нас есть задача

\[ y» — 6y’ + 8y = 0, y(0) = -2, y'(0) = 6 \nonumber \]

Это линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Постоянные коэффициенты означают, что функции перед \(y»\), \(y’\) и \(y\) являются константами и не зависят от \(x\).

Чтобы угадать решение, подумайте о функции, которая, как вы знаете, остается практически неизменной, когда мы ее дифференцируем, чтобы мы могли взять функцию и ее производные, сложить вместе несколько кратных и получить ноль. {4x} \nonumber \] 92 + 1 = 0 \) не имеет действительных корней, но имеет два комплексных корня. Здесь мы рассмотрим некоторые свойства комплексных чисел.

Комплексные числа могут показаться странной концепцией, особенно из-за терминологии. В комплексных числах нет ничего воображаемого или действительно сложного. Комплексное число — это просто пара действительных чисел \((a,b)\). Мы можем думать о комплексном числе как о точке на плоскости. Мы складываем комплексные числа простым способом: \( (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) \). Определяем умножение на 9{3x} \sin (2x) \nonumber \]

Сноски

[1] Обоснованное предположение с некоторыми параметрами для решения является таким центральным методом в дифференциальных уравнениях, что люди иногда используют причудливое название для такого предположения : ansatz , по-немецки «начальное размещение инструмента на заготовке». Да, у немцев есть слово для этого.

---

Эта страница под названием 2. 2: Линейные ОДУ второго порядка с постоянным коэффициентом распространяется под лицензией CC BY-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Йиржи Леблом посредством исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами LibreTexts. Платформа; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   Йиржи Лебль

   Лицензия

   CC BY-SA

   Версия лицензии

   4,0

   Показать страницу TOC

   нет

2. Теги

   1. Формула Эйлера
   2. источник@https://www. jirka.org/diffyqs

Дифференциальные уравнения — Неоднородные дифференциальные уравнения

Онлайн-заметки Пола
Главная / Дифференциальные уравнения / DE второго порядка / Неоднородные дифференциальные уравнения

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Уведомление для мобильных устройств

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 3.8: Неоднородные дифференциальные уравнения

Пришло время подумать о том, как решать неоднородные дифференциальные уравнения. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

. \[\begin{equation}y» + p\left( t \right)y’ + q\left( t \right)y = g\left( t \right)\label{eq:eq1}\end{ уравнение}\]

где \(g(t)\) — ненулевая функция. Обратите внимание, что мы не использовали здесь постоянные коэффициенты, потому что все, что мы собираемся сделать в этом разделе, не требует этого. Кроме того, мы используем коэффициент 1 для второй производной просто для того, чтобы часть работы было немного легче записать. Не обязательно быть 1.

Прежде чем говорить о том, как решить одну из них, нам нужно разобраться с некоторыми основами, что и является целью этого раздела.

Сначала позвоним по номеру

\[\begin{equation}y» + p\left( t \right)y’ + q\left( t \right)y = 0\label{eq:eq2}\end{equation}\]

ассоциированное однородное дифференциальное уравнение с \(\eqref{eq:eq1}\).

Теперь давайте рассмотрим следующую теорему.

Теорема

Предположим, что \(Y_{1}(t)\) и \(Y_{2}(t)\) являются двумя решениями \(\eqref{eq:eq1}\) и что \(y_ {1}(t)\) и \(y_{2}(t)\) являются фундаментальным набором решений ассоциированного однородного дифференциального уравнения \(\eqref{eq:eq2}\), тогда

\[{Y_1}\влево( t \вправо) — {Y_2}\влево( t \вправо)\]

является решением \(\eqref{eq:eq2}\) и может быть записано как

\[{Y_1}\left( t \right) — {Y_2}\left( t \right) = {c_1}{y_1}\left( t \right) + {c_2}{y_2}\left( t \right )\]

Обратите внимание на используемые здесь обозначения. Заглавными буквами обозначались решения \(\eqref{eq:eq1}\), а строчными буквами обозначались решения \(\eqref{eq:eq2}\). Это довольно распространенное соглашение при работе с неоднородными дифференциальными уравнениями. 9\prime + q\left( t \right){Y_2} & = g\left( t \right)\end{align*}\]

Итак, мы смогли доказать, что разность двух решений является решением \(\eqref{eq:eq2}\).

Доказательство того, что

\[{Y_1}\left( t \right) — {Y_2}\left( t \right) = {c_1}{y_1}\left( t \right) + {c_2}{y_2}\left( t \right )\]

еще проще. Поскольку \(y_{1}(t)\) и \(y_{2}(t)\) являются фундаментальным набором решений \(\eqref{eq:eq2}\), мы знаем, что они образуют общее решение поэтому любое решение \(\eqref{eq:eq2}\) можно записать в виде

\[y\left( t \right) = {c_1}{y_1}\left( t \right) + {c_2}{y_2}\left( t \right)\]

Итак, \(Y_{1}(t) — Y_{2}(t)\) является решением \(\eqref{eq:eq2}\), как мы показали выше, поэтому его можно записывается как

\[{Y_1}\left( t \right) — {Y_2}\left( t \right) = {c_1}{y_1}\left( t \right) + {c_2}{y_2}\left( t \right )\]

Итак, что нам дает эта теорема? Мы можем использовать эту теорему, чтобы записать форму общего решения \(\eqref{eq:eq1}\). Предположим, что \(y(t)\) является общим решением \(\eqref{eq:eq1}\) и что \(Y_{P}(t)\) является любым решением \(\eqref{eq :eq1}\), которые мы можем получить. Тогда, используя вторую часть нашей теоремы, мы знаем, что

\[y\left( t \right) — {Y_P}\left( t \right) = {c_1}{y_1}\left( t \right) + {c_2}{y_2}\left( t \right)\ ]

где \(y_{1}(t)\) и \(y_{2}(t)\) являются фундаментальным набором решений для \(\eqref{eq:eq2}\). Решение для \(y(t)\) дает,

\[y\left( t \right) = {c_1}{y_1}\left( t \right) + {c_2}{y_2}\left( t \right) + {Y_P}\left( t \right)\ ]

Мы позвоним

\[{y_c}\left( t \right) = {c_1}{y_1}\left( t \right) + {c_2}{y_2}\left( t \right)\]

дополнительное решение и \(Y_{P}(t)\) частное решение. Тогда общее решение дифференциального уравнения можно записать в виде.

\[y\left( t \right) = {y_c}\left( t \right) + {Y_P}\left( t \right)\]

Итак, чтобы решить неоднородное дифференциальное уравнение, нам нужно решить однородное дифференциальное уравнение, \(\eqref{eq:eq2}\), что для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами довольно легко сделать, и нам понадобится решение \(\eqref{eq:eq1}\).