Способы решения уравнений и неравенств с параметрами
Разделы: Математика
Задачи с параметрами являются самыми сложными из всех заданий школьного курса математики. Для их решения требуется умение мыслить логически: необходимо в каждый момент проведения решения достаточно отчётливо представлять себе, что уже сделано, что ещё надо сделать, что означают уже полученные результаты. В заданиях ЕГЭ по математике проверяется умение выпускника мыслить сжато, логично и аргументировано.
Имеется несколько способов решения параметрических уравнений и неравенств׃ алгебраический, аналитический, функционально-графический. А в некоторых задачах применяются методы математического анализа.
Суть каждого способа рассмотрена на примерах. (Приложение)
1. Алгебраический способ решения иррациональных уравнений с параметрами
Задача 1. При каких уравнение имеет единственное решение?
Решение: 1 способ. Обеспечим неотрицательность обеих частей, возведем в квадрат обе части уравнения:
Найдем дискриминант квадратного уравнения:
1) По условию уравнение должно иметь один корень, значит,
но надо проверить, удовлетворяет ли это значение ОДЗ уравнения:
.
2) Если , то только один корень уравнения должен удовлетворять условию .
а)
б) Ø
Ответ:
2 способ. Решим это задание аналитическим способом.
Проведем графический анализ менее трудоемкий, чем построение графика — полупараболы с вершиной х=-3; – множество параллельных прямых, с угловым коэффициентом 2.
Рассмотрим схему расположения графиков при различных значениях а, причем с ростом a прямая у=2х – a перемещается вправо.
Когда прямая является касательной к полупараболе и, начиная с положения, когда прямая проходит через вершину параболы (- 3; 0),мы имеем одну точку пересечения, т. е одно решение исходного уравнения. Напишем уравнение касательной в точке
Угловой коэффициент равен 2, т. е. =2 , — абсцисса точки касания
Тогда уравнение касательной , a =
При х=-3, у=0 графики пересекаются в двух точках. При этом .
А при имеем одну точку пересечения.
Ответ:
2. Аналитический способ решения тригонометрического уравнения с параметром
Задача 2. При каких значениях параметра a уравнение
имеет на промежутке не меньше 3 корней?
Решение:
1 способ. Заменим , причем |t| ≤ 1
при любом a.
Рассмотрим 2 случая:
1) , тогда уравнения будут иметь не больше 2 корней, но по условию должно быть не меньше 3 корней. Следовательно, этот случай не надо рассматривать.
2) ,
Рассмотрим расположение корней уравнения на тригонометрической окружности.
Видим, что при уравнение имеет два решения. Чтобы оно имело не меньше трех решений и .
Ответ:
2 способ. Пусть , , тогда . Рассмотрим график .
В промежутке при t= — 1 уравнение имеет один корень
При — два корня, при — один корень.
Поэтому чтобы исходное уравнение имело не меньше 3 корней необходимо выполнение условия:
| Первая система имеет 4 решения. | |
| Вторая система имеет 3 решения. |
Расположим корни квадратного трехчлена по этим двум условиям:
1)
2)
Объединяя 1) и 2) получаем
3. Два способа решения одного тригонометрического неравенства с параметром
Задача 3. При каких а неравенство верно для всех х?
Решение: 1 способ. Преобразуем неравенство и приведем его к виду
Пусть. Получим неравенство
Это значит, что парабола при 0≤t≤1 находится ниже оси ох
Рассмотрим 3 случая:
1)
Получаем условия для
2)
Но если .
Ø
3)
Полученное неравенство верно при любых 0≤t≤1; объединяем 3 случая и получаем ответ: .
,
Минимум f(x) достигается при ; т.к — минимум числителя, — максимум знаменателя. Значит,
Максимум f(x) достигается при ; т.е .
Схема:
Заметим, что минимум числителя и максимум знаменателя достигается при одном и том же х.
для всех х при
Ответ: .
4. Графически и аналитический способы решения неравенства с параметром, содержащего знак модуля
Задача 5. При каких a неравенство выполняется для всех ?
Решение: . Рассмотрим две функции
Построим эскизы графиков функций:
Найдем уравнение касательной в точке функции y= |x2-4x+3|
Тогда . Так как
Подставим значение точки х0 в производную рассматриваемой функции и получаем, что — —a=-2-4, a=4+2.
Следовательно, при a =4+2 y=1-ax – касательная к y=|x2-4x+3|. Значит, чтобы неравенство выполнялось, нужно, чтобы
II способ.
1 случай.
Это значит, что
2 случай.
А это значит, что
Чтобы неравенство выполнялось при всех x:
Ответ: .
Решение уравнений и неравенств с параметрами алгебраическим, аналитическим и графическим способами заключается в том, что при одном способе решение может быть громоздким, а при другом — более простым и наглядным. А это говорит о том, что нужно перед началом решения задания оценить его и выбрать тот путь, который проще.
Литература
- Сборник задач по математике для подготовки к вступительным экзаменам УГНТУ, Уфа-2003 г.
- Факультативный курс по математике, 10 класс. Шарыгин.И.Ф. Москва «Просвещение» 1989 г.
- Уравнение с параметрами на факультативных занятиях. С.Я.Постникова. «Математика в школе», №8, 2002 г.
- Математика абитуриенту. В.В.Ткачук, Москва, 2002 г.
22.07.2009
urok.1sept.ru
Квадратные уравнения и неравенства с параметром
Разделы: Математика
Серия «Учимся решать задачи с параметром»
IV. Квадратные уравнения и неравенства с параметром
IV.1. Основные понятия
Определение. Функцию вида (1), где , , – данные функции от параметра а, рассматриваемые на пересечении их областей определения, назовём квадратичной функцией с параметром а.
В частности, некоторые из коэффициентов или свободный член могут быть числами.
Примеры.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6.
.
7. .
8. .
9. .
10. .
Определение. Под областью определения квадратичной функции (1) с параметром а
Установим области определения функций 1-10.
1. 2.
3. 4. 5.
6. 7. 8. 9. 10.
Если параметр принимает одно из числовых значений из , то функция (1) примет вид одной из функций с числовыми коэффициентами:
;
;
;
;
;
;
,
где k, b, c – действительные числа.
Обратим внимание на то, что при некоторых значениях параметра из квадратичная функция с параметром принимает вид либо квадратичной функции без параметра, либо – линейной.
Так как квадратичная функция с параметром чаще всего «порождает» семейство квадратичных или линейных функций с числовыми коэффициентами, то говоря о графиках квадратичной функции с параметром, мы будем подразумевать множество графиков этого семейства.
Определение. Квадратным уравнением с параметром а называется уравнение вида (1) где , , – данные функции от параметра а, рассматриваемые на пересечении их областей определения.
В частности, некоторые из коэффициентов или свободный член могут быть числами.
Примеры.
, (1)
,
(2)
, (3)
, (4)
. (5)
Используя определение квадратичной функции с параметром, можно дать такое определение квадратного уравнения с параметром.
Определение. Квадратным
уравнением с параметром
Если , то
уравнение (1) является квадратным в традиционном
смысле, т.е. второй степени.
Если же , то
уравнение (1) становится линейным.
При всех допустимых значениях параметра а, при которых и , по известным формулам получаем выражения корней уравнения (1) через параметр.
Те значения а, при которых , следует рассматривать
отдельно в качестве особых случаев.
Так, например, уравнение (5) при примет вид , откуда .
IV.2. Квадратные уравнения с параметром
№1. Решите уравнение .
Решение
ООУ:
– уравнение-следствие. Получим: , .
В системе координат (аОх) завершаем решение. (Рис. 1)
Ответ: 1. Если , то .
2. Если , то .
3. Если , , то , .
№2. Найдите значение параметра а, при котором уравнение имеет единственный корень. Если таких значений несколько, в ответе запишите их сумму.
Решение
ООУ:
Данное уравнение сводится к равносильной системе:
Приведём её к виду: и решим графически в системе координат (хОа). (Рис. 2).
Уравнение имеет единственный корень при , и .
0 + 1 + 4 =5.
Ответ: 5.
№3. Найдите все значения х такие, что при любом значении параметра а, не принадлежащем промежутку (0; 2], выражение не равно выражению . (ЕГЭ-2007).
Решение
Переформулируем задачу: «Найдите все значения х
такие, что при любом значении параметра уравнение не имеет корней».
Выразим а через х:
; .
1) Пусть . Тогда . Поэтому уравнение
имеет корни. Значит, не удовлетворяет условию.
2) Пусть . Тогда . Воспользуемся
системой координат (хОа). (Рис. 3).
Условию удовлетворяют .
Ответ: .
№4. Сколько корней в зависимости от параметра а имеет уравнение ?
Решение
ООУ:
Раскроем модуль:
В системе координат (хОу) построим график функции
и несколько прямых пучка параллельных прямых, задаваемых уравнением . (Рис. 4).
Ответ: 1. Если , то корней нет.
2. Если , то один корень.
3. Если , то два корня.
IV.3. Квадратные неравенства с параметром
№5. Решите неравенство .
Решение
1 способ.
Учтём, что . Тогда - решение данного неравенства при любом b. (Рис. 5).
Если , то переходим к неравенству , множество решений которого изобразим в системе координат (bOx). (Рис. 6).
Совместим рис. 5 и 6.
А теперь по рис. 7, рассекая его вертикальными прямыми, легко получить ответ.
Ответ: 1. Если ,
то .
2. Если , то .
3. Если , то
2 способ.
Решим неравенство графическим методом в системе координат (хОb):
. (Рис. 8).
Рассмотрим два случая.
1) . Тогда
неравенство примет вид , откуда .
2) , тогда .
График функции и часть плоскости, содержащая точки, координаты которых удовлетворяют неравенству , изображены на рисунке 8.
Ответ:
1. Если , то .
2. Если , то . 3. Если , то .
3 способ.
Привёдем теперь графическое решение в системе координат (хОу). Для этого раскроем модуль:
Рассмотрим функцию .
, — корни квадратного трёхчлена .
Сравним и .
1) , откуда .
Получаем совокупность . (Рис. 9)
2) , откуда . (Рис. 10).
Тогда т.е. .
3) , откуда . (Рис. 11).
Тогда т.е. .
Ответ: 1. Если , то .
2. Если , то .
3. Если , то .
№6. Найдите все значения параметра а, для которых наименьшее значение функции больше 2.
Решение
Достаточно найти все значения параметра а, для каждого из которых для любого верно неравенство . Перепишем неравенство в виде .
Решим его графически в системе координат (хОу).
Для этого рассмотрим функции (1), (2).
(1)
(Рис. 12).
Неравенство будет выполняться для всех , если график функции будет выше графика функции .
Рассмотрим 2 случая: 1) прямая является касательной к графику функции ; 2) прямая является касательной к графику функции .
1. , , , , - уравнение касательной. Откуда , . Тогда .
2. График функции проходит через точку с координатами (1; 1): , откуда .
Условию задачи удовлетворяют все .
Ответ: .
№7. Решите совокупность неравенств
Решение
Установим сначала область определения совокупности:
Будем решать совокупность графически в системе координат (хОа). (Рис. 13).
Перепишем совокупность в виде
Введем функцию . (0; 0), (6; 0) — точки пересечения с осями координат; (3; 9) — вершина параболы.
Найдём корни квадратного трёхчлена : ; .
На рис. 13 множество решений совокупности выделено цветом (темным или светлым).
Ответ:
1. Если , то
решений нет.
2. Если , то .
3. Если , то .
4. Если , то .
5. Если , то .
6. Если , то .
7. Если , то .
Рис. 13
В данной статье мы рассмотрели лишь некоторые примеры, иллюстрирующие применение графического метода к решению квадратных уравнений и неравенств с параметром. Более подробно с теорией и методикой решения линейных и квадратных уравнений, неравенств, их систем и совокупностей с параметром вы можете ознакомиться в учебном пособии: авторы Беляева Э.С., Титоренко С.А., Потапов А.С. «Графический метод решения линейных и квадратных уравнений и неравенств с параметром». (Воронеж: Изд-во «Наука-ЮНИПРЕСС», 2010. — 300 с.).
8.04.2011
urok.1sept.ru
Решение иррациональных уравнений и неравенств с параметрами
Разделы: Математика
Цель: Познакомить обучающихся с решением иррациональных уравнений и неравенств с параметром. Способствовать развитию навыка решения задач.
Содержание занятий.
Задачи с параметром даются в текстах ЕГЭ.
Фактически задача с одним параметром содержит не одну неизвестную , а две — и параметр Множество решений такого уравнения — это множество пар чисел , подстановка которых в уравнение обращает его в верное равенство. Аналогично, множество решений неравенства с неизвестной и параметром
— множество пар чисел (, обращающих его в верное числовое неравенство. На I этапе решения классифицируются типы уравнений и неравенств для каждого значения параметра, а на II этапе – решаются не одно, а несколько уравнений (неравенств) каждого типа. Выделенные два этапа не обязательно идут в строгой последовательности I, II. В процессе решения они могут «переплетаться».
Пример №1 Решить уравнение
Решение. Перепишем уравнение в виде:
(1)
и рассмотрим его как квадратное относительно . Находим дискриминант уравнения D=. Уравнение (1) имеет решение только в случае, если .
Заметим, что уравнение (2) имеет решение тогда и только тогда, когда , т. е. при . Решив уравнения (2) и (3), получим при
Таким образом, приходим к следующему ответу:
при уравнение имеет два корня: х1 и х2 ; при уравнение имеет один корень: х2; при решений нет.
Пример №2 Решить уравнение
Решение. Функция определена и возрастает на промежутке . Наименьшее значение она принимает в точке ; . Следовательно, при уравнение имеет единственное решение, при решений нет.
Итак, пусть . Переписав уравнение в виде
, (1)
возведём обе его части в квадрат:
. (2)
Уравнение (2) является следствием (1). Перепишем его в виде:
(3)
Уравнение (3) является квадратным относительно . Решив его, получаем совокупность двух уравнений:
При уравнение (4) решений не имеет, а уравнение (5) имеет один корень
.
Так как при любом исходное уравнение имеет один корень, и притом только один, то найденный корень и является корнем исходного уравнения.
Ответ: При , при решений нет.
Пример №3. Решить уравнение
Решение. Уравнение равносильно системе
При система решений не имеет, при получим
Заметив, что при приходим к ответу: при при 3 решений нет.
Графическое решение
Пример №4
Решить уравнение
Решение. , на множестве Д уравнение равносильно исходному.
Уравнение равносильно системе
Изобразим на плоскости (х;а) график функции — это парабола с минимумом в точке , пересекающая ось в точке
Укажем также области плоскости (х;а), в которых выполняются неравенства системы
- — полуплоскость ниже прямой , не включая эту прямую;
- вертикальная полоса между прямыми и включающая правую границу;
- полуплоскость выше прямой включая эту прямую.
Таким образом, исходное уравнение имеет решение при указанных условиях, иллюстрирующееся частью параболы, заключённой внутри трапеции АВСД, т. е. при .
При всех остальных действительных значениях решения нет.
Ответ: при
Решений нет при
Пример №5.
Для любого значения решите неравенство
.
Решение. Во-первых, заметим, что левая часть неравенства представляет собой квадратный трёхчлен относительно с корнями
так что левая часть раскладывается на множители
. (1)
Во-вторых, при имеем особый случай: , решением которого является .
В- третьих, заметим, что значение разности во второй скобке положительно при . Так что при неравенство (1) можно переписать в виде
.
При в (1) значение суммы в первой скобке положительно, то есть (1) можно переписать в виде неравенства
.
Наконец, заметим, что входит в последний случай.
Осталось скомпоновать
Ответ: если , то ;
Если то .
Пример №6 Для каждого значения решите неравенство
Решение. При неравенство не выполняется и оно равносильно системе неравенств
Рассмотрим второе При нет решений, а для имеем Первое из этих неравенств заведомо выполнено (и ). Получаем систему
Двойное неравенство этой системы непротиворечиво лишь при условии при условии приводит к условию .
Итак, остаётся решить последнее неравенство системы (1) при . Основная идея – решаем неравенство относительно , объявляя на время параметром.
- Если , то есть — уже решение.
- Если же , то есть , то
. (1/)
Дискриминант квадратного трёхчлена
,
а его корни и . Заметим, что очевидно при х > 0. Значит, решения неравенства (1/) суть
.
Здесь первое неравенство следует из неравенства . Остаётся для любого (
При решение последнего неравенства составляют промежутки
С учётом очевидно, остаётся лишь второй промежуток.
Наконец, убедимся, что при
<.
Установим двойное неравенство
При каждое из них сводиться к неравенству (легко проверить!). Остаётся лишь записать
Ответ: если , то решений нет ;
если , то .
Задачи для самостоятельной работы
27.07.2010
urok.1sept.ru
«Вложенные условия» на примере решения неравенств с параметром
Разделы: Математика, Информатика
Программа по информатике вариативна в различных классах и школах. Поэтому рекомендуется проводить урок в 9-10 классах с хорошим уровнем знаний по математике после прохождения темы вложенные условия с применением языка программирования.
По математике учащиеся должны знать алгоритм решения линейных неравенств, иметь представление о задачах с параметром. Эти темы могут быть пройдены на элективных курсах или в классах с углублённым изучением математики.
По информатике учащиеся должны уметь писать программы на языке программирования и знать вложенные условия.
Урок проводился в 10-м классе. Информатика в этом классе изучалась с 9 класса и учащиеся проходили язык программирования Pascal. Урок проводился после изучения темы вложенные условия.
Цели:
- Обучающие: формирование умений обобщать материал, устанавливать логические связи между этапами решения задач, показать, что предметы не изолированы друг от друга,
- Развивающие: развитие у учащихся умения анализировать задачу перед выбором способа её решения, навыков синтеза, обобщения, продолжить формирование логического мышления при переходе от частного к общему,
- Воспитательные: активизация интереса к приобретению новых знаний, умений и навыков.
Урок позволяет:
- Повторить основные теоретические понятия при решения неравенств с параметром
- Закрепить основные способы решения задач с вложенными условиями
- Показать взаимосвязь математики и информатики
Ход урока
1. Организационный момент
2. Объявление темы, целей и задач урока, мотивация ученика
Задачи:
1) Образовательная:
– интеграция двух предметов: математики и
информатики.
– применение изученного на уроках математики на
практике при составлении программ на
информатике.
2) Воспитательная:
– повысить интерес к математике и информатике, показав взаимосвязь изучаемых тем в рамках разных образовательных областей.
3) Развивающая:
– развитие культуры оформления задач по
информатике с использованием элементов алгебры.
– развитие логического мышления.
Учитель информатики говорит о цели урока: написать алгоритм и программу для решения неравенств. Для реализации этой цели нам необходимо вспомнить все возможные варианты решения неравенств.
Рефлексия: Выбери из предложенных рисунков тот, который соответствует твоему настроению на начало урока и отметь его.
| Мне хорошо, я готов к уроку! | Мне безразлично. | Я тревожусь, все ли у меня получится? |
3. Решение неравенств с параметром
Учитель математики начинает объяснение, рассматривая различные варианты неравенств.
Линейные неравенства имеют вид: .
Если а>0, то (не меняется знак неравенства)
Если а<0, то (знак неравенства меняется на противоположный)
Если а=0, то необходимо рассматривать не только знак неравенства, но и значение параметра b.
Например.
1)
2)
3)
4)
В случаях 1)-4) знак неравенства может быть и нестрогим.
5)
6)
7)
8) .
№ 1. Решить неравенство:
1) Если m-5>0, т.е. m>5, то
2) Если m-5<0, т.е. m<5, то
3) Если m-5=0, т.е. m=5, то
Ответ:
1) при m>5;
2) х- любое при m=5;
3) при m<5.
Учитель информатики
Предлагается нарисовать блок-схему к примеру aх+b>0.
Вызывается ученик и с помощью учителя рассматривает все возможные варианты решения задачи и рисует блок-схему,.
В данной задаче могут быть следующие варианты:
- а=0
- b>0 и тогда программа должна вывести “x – любое число”
- b<0 и тогда программа должна вывести “нет решений”
- а<>0
- а>0 и тогда программа должна вывести “x>”,-b/a
- a<0 и тогда программа должна вывести “x<”,-b/a
Учитель математики предлагает разобрать следующий пример.
№ 2. Решить неравенство вида .
Применим метод интервалов. Корень числителя: . Корень знаменателя .
Рассмотрим различные значения параметров а и b.
5) Если то неравенство примет вид , х=0 – четный корень и неравенство решений не имеет.
6) Если то неравенство примет вид , х=0 – четный корень и решениями неравенства будут .
7) Если b=0 , то неравенство не имеет смысла.
Учитель информатики
Предлагается нарисовать блок-схему к примеру , ограничение b<>0
Вызывается ученик и с помощью учителя рассматривает все возможные варианты решения задачи и рисует блок-схему,
В данной задаче могут быть следующие варианты:
- а=0
- b>0 и тогда программа должна вывести “нет решений”
- b<0 и тогда программа должна вывести “x >0 или x<0”
- а<>0
a. а>0 и тогда рассматриваем b
- b>0 и тогда программа должна вывести –a, “<x<0”
- b<0 и тогда программа должна вывести “x>0 или x<”,-a
b. a<0 и тогда рассматриваем b
- b>0 и тогда программа должна вывести “0<x<”,-a
- b<0 и тогда программа должна вывести “x>0 или x<”,-a
4. Домашнее задание
Написать программы и контрольные группы для разобранных примеров.
Рефлексия. Выбери из предложенных рисунков тот, который соответствует твоему настроению на конец урока и отметь его.
| Мне понравилось, я доволен собой! | Мне всё равно. | Мне грустно, я не всё усвоил. |
5. Итог урока
Повторены основные этапы решения задач с параметром на примере линейных неравенств.
Для решения математических задач можно применять вложенные условия. На следующем уроке мы проверим и наберём программу, которая при любых значениях Х, выдаст результат решения неравенств.
Умение применять знания математики и, в частности, решение неравенств необходимо при подготовке к ЕГЭ, т.к. задачи такого типа могут входить в часть С экзамена по информатике.
Использованная литература
Крылов С.С., Лешинер И.Р., Якушкин П.А. Информатика, Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся, Интеллект-центр, 2007.
5.01.2010
urok.1sept.ru
9-й класс. Урок по теме «Решение уравнений и неравенств с параметром»
Разделы: Математика
Цель: Выработка навыка решения уравнений и неравенств с параметром различными способами. Развитее творческих способностей, математической культуры.
.
Приложение. Рисунки к уроку
Ход урока
I. Устно:
а) Сравнить: –а и 3а
- если а=0, то –а=3а
- если а<0, то –а>3а
- если а>0, то –а<3а
б) Решить уравнение: ах=1
- если а=0, то 0х=1 нет решений
- если а≠0, то х=1/а
в) Решить неравенство: ах<1
- если а=0, то 0<1 верно х- любое
- если а>0, то х<1; х<1/а
- если а<0, то х>1/а
г) Решить неравенство: ах>1
- если а=0, то 0>1 нет решений
- а>0, то х>1/a
- а<0, то x<1/a
II. Сегодня на уроке решение уравнений и неравенств, содержащих модуль и параметр.
На карточках за доской учащиеся решают
1 ученик
1) Решить неравенство: |x+3|> -a²
- если а=0, то |x+3|>0 при всех х≠-3
- если а≠0, то x- любое
2 ученик
2) Решить уравнение |x²-1|+|a(x-1)|=0
Это возможно только при
Рассмотрим второе уравнение а(х-1)=0
а) если а≠0, то х=1, что уд. первому ур-нию
б) если а=0, то х- любое, но из первого х=±1
Ответ:
- при а≠0, х=1
- при а=0, х=±1.
3 ученик. Решить уравнение для каждого а
4 ученик. При каждом действительном значении а вычислить сумму различных действительных корней уравнения
5 ученик. При каких значениях параметра а уравнение |x²-2x-3|=a имеет ровно 3 корня. (Графический способ)
Построим график функции у=х²-2х-3
1) х²-2х-3=0
х1=-1 х2=3
(-1;0) (3;0)
Точки пересечения с осью ох
2) хв= =1
ув=1-2-3=-4
(1;-4)- вершина
3)
Рисунок №1
- при а<0 решений нет
- при а=0 2 решения х1=-1 х2=3
- при 0<a<4 4 решения
- при а=4 3 решения х1=1 х2,3=1±2√2
- при а>4 2 решения
III Работа с классом.
1. Решить уравнение для каждого m
mx+1=x+m
mx-x=m-1
(m-1)[=m-1
1) если m=1, то 0х=0 х- любое
2) если m≠1, то х=1
2. Для каждого а решить уравнение.
=2
3. Решить неравенство
2ах+5>а+10х
2(а-5)х>а-5
а) при а=5 нет решений 0х>0
б) при а-5>0
а>5
х> x>
в) при а<5 x<
4. Решить для каждого а
ах²-5х+1=0
1) а=0 -5х+1=0
х=
2) а≠0 Д=25-4а
а) Д=0, 25-4а=0
4а=25
а=
х=; x=5:
x=
б) Д<0, 25-4а<0
-4a<-25
a> нет решений
в) Д>0, а< и а≠0
х=
5. Найти значение параметра а при каждом из которых уравнения
(а-2)х²-2ах+2а-3=0 положительны.
1 способ.
а≠2 а)
рисунок №2 рисунок №3
Рисунок №10
При х1>0, x2>0
6. Для каждого m решить уравненине
m²x-m²+6=4x+m
(m²-4)x=m²+m²-6
1) m=±2
m=2, 0x=12 нет решений
m=-2, 0x=8 нет решений
2) m≠±2,
при m=2, х- любое
7. При каком m корни уравнения x²-2x+m=0 удовлетворяет условию
7х²-2х1=47
8. При каких значениях в корне уравнения х²-2(b+2)x+b²+12=0
рисунок №11
Рисунок №12
IV. Подведение итогов урока.
V. Домашнее задание:
1. Найти все значения а, при котором сумма квадратов корней уравнения х²-ах+а+7=0 равнялось 10
2. Задание №5 …
3. №3 оформить в тетрадь
4. а) 3+кх≤3х+к
б) ах-6≤2а-3х
12.06.2009
Поделиться страницей:urok.1sept.ru
Урок «Решение неравенств с модулем, содержащих параметр»
Разделы: Математика
Тема: Решение неравенств с модулем, содержащих параметр.
Цели урока:
Обучающая — познакомить с методом решения неравенств с модулем, содержащих параметр.
Развивающая — развитие познавательной активности, логического мышления.
Воспитательная — воспитание организованности, внимания, математической наблюдательности.
ТСО: Проектор, компьютер. Дискета со приложениями №1,№2. Переносная доска.
Наглядность: таблица с формулами
Ход урока:
I. Актуализация знаний и проверка домашнего задания.
Вступительное слово учителя.
Задачи с параметром встречаются на ЕГЭ в группе «С» под номерами 3 и 5.
Так как среди вас есть те, кто претендует на высокий балл, то тема важна для изучения. Начнем с повторения ключевых задач по теме «Решение неравенств с модулем».
Назовите идею решения неравенств, записанных на доске и решите их:
| Ответы. | Ученик. |
Фёдоров С. Свиршевская М. Васильева А. Михеев А. |
На переносной доске работает Клинов А.
Решить неравенство:
Приходилось ли вам встречать и другие способы решения неравенств?
Ответ: графический. Приложение 1.
Рассмотрим, в чем заключается графический способ решения.
Решить неравенство :
Соловцов: – строим графики функций
Отмечаем точку пересечения графиков А.
Знак > понимаем так, что 1 график выше графика 2 и пишем ответ:
X < 2
Приложение 1.
Повторим алгоритм решения линейных неравенств с параметром:
Клинов А. объясняет решение на переносной доске.
x(a+1)<a
если
если
если
II. Изучение новой темы:
Учитель: рассмотрим методы решения типовых примеров.
В числовых неравенствах заменив число на букву, получим неравенство с параметром.
Рассмотрим методы решения этих неравенств. Они аналогичны рассмотренным способам решения неравенств с модулем.
Т.к. знак модуля определён, т.е.
Решение зависит от выражения а+1
Учитель: решим следующее неравенство:
Ответ:
Если ;
Учитель: Решим 3 пример.
Какими способами можно решить неравенство, если бы вместо буквы а стояло число?
Ответ: возведение обеих частей неравенства в квадрат, методом «промежутков».
Те же способы применяются и для неравенства с параметром.
Методом «промежутков» пойдет решать Семенова Д.
Методом возведения в квадрат- Федоров С.
,
,
Проверили решения данного примера.
Каким еще способом можно решить данное неравенство?
Ответ: графический.
Показывается приложение 2.
1.Строим графики функций
Найдем те значения переменной Х, когда первый график лежит выше второго.
Приложение 2.
Возможны варианты, когда а < 5 и а > 5
Рассмотрев различные способы решения, сделаем вывод- какой метод наиболее рациональный? Какими методами можно решить неравенства с параметром?
Вывод:
Методы решения неравенств с модулем, содержащие параметр, аналогичны тем, что применяются при решении числовых неравенств с модулем: по определению модуля, возведение обеих частей в квадрат, метод интервалов, графический. Необходимо выбирать наиболее рациональный.
Домашнее задание:
Подобрать и решить 3 уравнения с модулем, 3 неравенства с модулем и 3 неравенства с модулем, содержащие параметр. Можно придумать самим.
16.02.2009
Поделиться страницей:urok.1sept.ru
Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)
Курсовая работа
Исполнитель: Бугров С К.
Москва, 2003
Введение
Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.
Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами.
В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении а ВУЗ.
§ 1. Основные определения
Рассмотрим уравнение
¦(a, b, c, …, k, x)=j(a, b, c, …, k, x), (1)
где a, b, c, …, k, x -переменные величины.
Любая система значений переменных
а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0,
при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, k, x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е. аÎА, bÎB, …, xÎX. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …, k и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.
Переменные a, b, c, …, k, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.
Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, k, l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z.
Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.
Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:
а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;
б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.
§ 2. Алгоритм решения.
Находим область определения уравнения.
Выражаем a как функцию от х.
В системе координат хОа строим график функции а=¦(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.
Находим точки пересечения прямой а=с, где сÎ(-¥;+¥) с графиком функции а=¦(х).Если прямая а=с пересекает график а=¦(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=¦(х) относительно х.
Записываем ответ.
I. Решить уравнение
(1)Решение.
Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а :
илиГрафик функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой у=а.
Если а Î (-¥;-1]È(1;+¥)È
, то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения относительно х.Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение
.Если а Î
, то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений и , получаем и .Если а Î
, то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.Ответ:
Если а Î (-¥;-1]È(1;+¥)È
, то ;Если а Î
, то , ;Если а Î
, то решений нет.II. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
имеет три различных корня.Решение.
Переписав уравнение в виде
и рассмотрев пару функций , можно заметить, что искомые значения параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика функции , при которых он имеет точно три точки пересечения с графиком функции .В системе координат хОу построим график функции
). Для этого можно представить её в виде и, рассмотрев четыре возникающих случая, запишем эту функцию в видеПоскольку график функции
– это прямая, имеющая угол наклона к оси Ох, равный , и пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем, что три указанные точки пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая касается графика функции . Поэтому находим производнуюОтвет:
.III. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений
имеет решения.
Решение.
Из первого уравнения системы получим
при Следовательно, это уравнение задаёт семейство “полупарабол” — правые ветви параболы “скользят” вершинами по оси абсцисс.Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим её на множители
Множеством точек плоскости
, удовлетворяющих второму уравнению, являются две прямые иВыясним, при каких значениях параметра а кривая из семейства “полупарабол” имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых.
Если вершины полупарабол находятся правее точки А, но левее точки В (точка В соответствует вершине той “полупараболы”, которая касается
прямой
mirznanii.com