Хитрости записи корней уравнений
Иногда приходится слышать или даже читать, что “никакое уравнение пятой степени и выше нельзя решить по формуле”. Это неверное утверждение, которое происходит из трактовки важной для истории математики задачи о “разрешимости в радикалах” (здесь речь про алгебраические уравнения с рациональными коэффициентами). Даже популярные тексты по данному вопросу обычно довольно сложны, начинаются с упоминания не только теории Галуа, но и разных технических терминов, таких как “разрешимые группы”, “автоморфизмы полей” и так далее.
Вообще, уравнение пятой степени x5 – 15x4 + 85x3 – 225x2 + 274x – 120 == 0, например, имеет рациональные корни: 1, 2, 3, 4, 5 (проверьте), а корень уравнения x5 – 5 == 0 нетрудно записать “в радикалах” (51/5). Когда здесь говорят о “неразрешимости в радикалах”, то речь идёт о том, что существуют уравнения (степени n >= 5), для которых нельзя записать формулу, выражающую все корни через коэффициенты “в радикалах” (и, вообще говоря, таких уравнений очень много – примеры, которые приведены выше, это как раз редкие исключения).
Интересно, что центральным моментом тут является как раз возможность записать – именно от неё можно начинать разбор ситуации. С одной стороны, можно представить себе некоторый калькулятор, который выполняет с комплексными числами четыре привычных действия (+, -, *, ÷) и позволяет извлекать корни (√ – это и есть “радикалы”). Комплексные числа тут необходимы потому, что без них достичь универсальности не выйдет даже для кубических уравнений с рациональными корнями – ведь комплексные числа и были обнаружены в ходе построения универсальных формул решения кубических уравнений (формула Кардано). С другой стороны, конечно, никакой реальный калькулятор не может считать даже в действительных числах, что уж там говорить про комплексные, где с радикалами возникают дополнительные проблемы.
Поэтому про формулу “в радикалах” лучше всего думать в том ключе, что она позволяет корни записать точно. Например, написать √2 или ∛5. Потому что точно выписать значение √2 в десятичной, например, системе нельзя, а вот обозначить число, квадрат которого равен двум, символом √2 – можно, и это будет точное обозначение. Например, если число ∛5 возвести в третью степень, то получится рациональное число 5, то есть, значение как бы запрыгивает в рациональные числа. Это важное для теории наблюдение: коэффициенты уравнения тоже рациональные, а выражение их в радикалах подразумевает, что существует способ запрыгнуть в рациональные через возведение в степень. Этому соответствует обратная операция – извлечение корня n-й степени. Собственно, вся классическая теория строится вокруг этого факта, но соответствующие симметрии оказываются весьма сложными для понимания: заметьте, что корни должны переставляться, сохраняя истинность некоторых соотношений между ними. Так, если уравнение квадратное, а корни a и b, то такие соотношения это (a + b) и a*b (формулы Виета). Неразрешимость в радикалах означает, что “радикальных формул”, позволяющих точно записать корни, не существует совсем. Для уравнений степени меньше пяти – такие формулы есть, и они даже универсальные, то есть, подходят для произвольного уравнения. А вот для степени пять и выше – нельзя выписать не только универсальную формулу, но даже и “специальную” для каждого (произвольного) уравнения.
Техническая оговорка, которую можно пропустить, тут состоит в том, что препятствие на уровне пятой степени возникает из-за особенной симметрии, соответствующей перестановкам пяти корней уравнения: нельзя спуститься от пятой степени к четвёртой, сохраняя “коммутативность” перестановок в общем виде; а вот от четвёртой – спуститься уже можно.
Из всего этого, конечно, не следует, что формулу невозможно предложить для конкретного уравнения. Более того, если расширить доступные операции, добавить в их перечень особые функции, то корни уже удастся записать точно, ну или с “точностью до новых обозначений”, если хотите. Это, впрочем, отдельная история.
Существование неразрешимых в радикалах уравнений пятой степени доказали Руффини и Абель, а в максимальной общности эту задачу решил Галуа (1832, но опубликованы его работы были позже). Галуа смог понять почему такие уравнения неразрешимы, впервые увидев структуры, на которых позже построили существенную часть современной алгебры. Сейчас тот аппарат, который касается именно уравнений, называют классической теорией Галуа. А в современной математике теория Галуа превратилась в большой самостоятельный инструмент, для которого, как и для всей современной алгебры, поиск решений уравнений уже не является фундаментальным аспектом.
()
Полиномиальные Уравнения — Mathcracker.Com
Инструкции: Используйте калькулятор для решения полиномиального уравнения, которое вы предоставите, показывая все шаги. Пожалуйста, введите полиномиальное уравнение, которое вы хотите решить, в форму ниже.
О полиномиальных уравнениях
Используйте этот калькулятор, чтобы помочь вам решить полиномиальные уравнения, показывая все этапы процесса. 3 — 2x = 1 + x, которое может быть получено из попытки найти пересечение графиков кубической и линейной функций. Подойдет любое полиномиальное уравнение с целыми или дробными коэффициентами или любое допустимое числовое выражение.
После того как полиномиальное уравнение введено в поле формы, нужно нажать кнопку «Вычислить», которая покажет все этапы процесса и решения.
Сразу оговорюсь, не все полиномиальные уравнения можно решить с помощью базовых инструментов. Не существует систематической формулы для решения полиномиальных уравнений степени 5 и выше. Кроме того, мы имеем дело с дополнительной трудностью, связанной с тем, что решения полиномиального уравнения могут быть комплексными числами.
Что такое полиномиальное уравнение
Полиномиальное уравнение, проще говоря, это уравнение, в котором обе стороны содержат многочлены. 2-2\) — нет.
Каковы этапы сложения дробей?
- Шаг 1: Определите уравнение, с которым вы хотите работать, четко указав члены в левой и правой части, и убедитесь, что они являются многочленами
- Шаг 2: Упростите каждую сторону настолько, насколько это возможно. Переведите все члены одной из сторон в другую (если обе стороны имеют члены)
- Шаг 3:
- Шаг 4: Попробуем с возможными рациональными корнями, полиномиальным делением для сокращения и квадратичной формулой, как показано на рисунке калькулятор полиномиального нуля найти решения, если это возможно
Вы обнаружите, что решение полиномиальных уравнений, как и нахождение корней многочлена, далеко не во всех случаях является тривиальным.
Являются ли квадратные уравнения также полиномиальными уравнениями?
Да, действительно! Квадратное уравнение — это уравнение с многочленом степени 2 в левой части и 0 (который тоже является многочленом) в правой части, поэтому оно подходит под определение.
Действительно,
квадратные уравнения
это самое лучшее, что мы можем решить с помощью простых инструментов. Хотя существуют формулы для кубических и квартовых уравнений, нет общей формулы для степени 5 и выше.
Кроме того, не только экспонента полинома может сделать уравнение трудноразрешимым, но и громоздкие коэффициенты полинома, безусловно, могут усложнить задачу.
Как графики многочленов связаны с полиномиальными уравнениями?
Есть разные способы увидеть это, но один из них — заметить, что, пытаясь найти пересечение различных многочленов, мы действительно решаем многочленное уравнение. Таким образом, существуют тесно связанные проблемы.
Пример: решение полиномиальных уравнений
Вычислите следующее полиномиальное уравнение: \(x^2 = x^3\)
Отвечать: Мы должны решить \(x^2 = x^3\), поэтому переходим \(x^3\) на другую сторону, получаем
\[ x^2 — x^3 = 0\]
и факторизация приводит к:
\[ x^2(1 — x) = 0\]
Таким образом, существует два решения: \(x_1 = 0\) (которое имеет кратность 2), и \(x_2 = 1\). 2-4\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{5}{6}\right)}}{2\cdot \frac{1}{3}} = \displaystyle \frac{-\frac{5}{4} \pm \sqrt{\frac{65}{144}}}{\frac{2}{3}}\]
итак, мы выяснили, что:
\[ x_1 = -\frac{\frac{5}{4}}{\frac{2}{3}}-\frac{1}{\frac{2}{3}}\sqrt{\frac{65}{144}}=-\frac{\frac{5}{4}}{\frac{2}{3}}-\frac{1}{\frac{2}{3}}\cdot\frac{1}{12}\sqrt{65}=-\frac{5}{4}\cdot \frac{3}{2}-\frac{\frac{1\cdot 3}{2}\cdot 1}{12}\sqrt{65}=-\frac{15}{8}+1\cdot \left(-\frac{1}{8}\right)\sqrt{65}=-\frac{15}{8}-\frac{1}{8}\sqrt{65} \] \[x_2 = -\frac{\frac{5}{4}}{\frac{2}{3}}+\frac{1}{\frac{2}{3}}\sqrt{\frac{65}{144}}=-\frac{\frac{5}{4}}{\frac{2}{3}}+\frac{1}{\frac{2}{3}}\cdot\frac{1}{12}\sqrt{65}=-\frac{15}{8}+1\cdot \frac{1}{8}\sqrt{65}=-\frac{15}{8}+\frac{1}{8}\sqrt{65}\]
В этом случае квадратное уравнение \( \displaystyle \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6} = 0 \), имеет два действительных корня, тогда:
\[\displaystyle \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6} = \frac{1}{3} \left(x+\frac{1}{8}\sqrt{65}+\frac{15}{8}\right)\left(x-\frac{1}{8}\sqrt{65}+\frac{15}{8}\right)\]
поэтому исходный многочлен факторизуется как \(\displaystyle p(x) = \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6} = \frac{1}{3} \left(x+\frac{1}{8}\sqrt{65}+\frac{15}{8}\right)\left(x-\frac{1}{8}\sqrt{65}+\frac{15}{8}\right) \), что завершает факторизацию.
Вывод : Решением полиномиального уравнения, найденным с помощью процесса факторизации, являются \(-\frac{1}{8}\sqrt{65}-\frac{15}{8}\) и \(\frac{1}{8}\sqrt{65}-\frac{15}{8}\).
Больше калькуляторов полиномов
Уравнения полиномов настолько естественно появляются в алгебре, что являются одной из самых важных тем в алгебре. Когда вы ищете точку пересечения двух
притчи
вам необходимо
решить полиномиальное уравнение
это лишь одна ситуация из многих.
Решение полиномиального уравнения не является простым, особенно для высших значений степени полинома . Действительно, существует определенная вероятность того, что вы не сможете найти все решения данного уравнения вручную (или любое решение, если на то пошло).
Лучшая ручная альтернатива заключается в группировке всех членов полинома на одной стороне, чтобы свести его к
Нахождение нулей многочлена
. Затем, мы используем квадратичную формулу, когда это возможно, и пытаемся уменьшить порядок полинома на
Полиномиальное деление
и
теорема факторов
.
Решатель уравнений из фольги Cubic
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Линейное преобразование дробей
|
Наших пользователей: Эта версия справки по алгебре потрясающая! Улучшенный интерфейс, лучшие подсказки и удобство работы. Мой сын всегда уговаривал меня нанять репетитора для выполнения домашних заданий по алгебре. Затем мой друг рассказал мне об этом программном обеспечении «Алгебратор». Сначала я немного колебался, так как у меня были опасения по поводу отсутствия человеческого взаимодействия, которое обычно бывает у репетитора. Но я попросил сына попробовать. И я был очень удивлен, обнаружив, что ему понравилось это программное обеспечение. Я не могу сказать почему, так как я не по математике и забыл школьную алгебру. Но я вижу, что моему сыну сейчас комфортно с этой темой. Шаг за шагом Алгебратор сделал алгебру такой же простой, как запоминание таблицы умножения! Просто невозможно, чтобы я так хорошо училась и чувствовала себя такой уверенной в себе, если бы не эта программа! Это изменило мою жизнь! Я рекомендую Algebrator студентам, которым нужна помощь с дробями, уравнениями и алгеброй. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||