Умножение деление: Порядок действий в Математике

Содержание

Письменное умножение и деление

Большие числа удобно перемножать и делить письменно в столбик. Письменное умножение — это поразрядное умножение. Каждый разряд второго множителя умножается на первый множитель как одноразрядное число. В произведении поэтапного (разрядного) умножения первый разряд попадает в столбец того разряда второго множителя, на который умножают.

Правило. При умножении в столбик два множителя располагаются один под другим так, чтобы разряды чисел совпадали (находились в одном столбце). Слева ставится знак «х».

Если один из множителей или оба множителя оканчиваются нулями, то числа записываются так, чтобы значащие цифры наименьшего из разрядов находились в одном столбце. Нули переносятся в произведение и в поле записи поэтапных произведений не заносятся.

Поэтапные (разрядные) произведения складываются по разрядам и под чертой записывается результат. Слева от слагаемых произведений ставится знак «+».

Письменное умножение в столбик равноценно письменному умножению по разрядам в строку.

При письменном умножении в строку применяются сочетательный и распределительный законы умножения (сумму заменяем слагаемыми и первый множитель умножаем на каждое из слагаемых).

Пример.
1 014 * 258 = 261 612
1 014 * 258 = 1 014 * (200 + 50 + 8) = 1 014 * 200 + 1 014 * 50 + 1014 * 8 = 202 800 + 50 700 + 8 112 = 261 612

Чтобы перемножить в столбик числа, оканчивающиеся нулями, нужно их подписать друг под другом так, чтобы первая справа значащая цифра первого множителя стояла под первой справа значащей цифрой второго множителя

Например: 1 014 * 258 = 261 612

1014 — первый множитель
Х
258 — второй множитель
——— поэтапные произведения:
8112 — слагаемое (первое произведение)
+ 5070 — слагаемое (второе произведение)
2028 — слагаемое (третье произведение)

———
261612 — сумма (результат умножения)

Примеры записи умножении чисел, оканчивающихся нулями.

450
Х
270
———
315 (45 * 7 = 315)
+
90 (45 * 2 = 90)
———
121500

Внимание! Нули в конце множителей в поэтапном умножении не принимают участия, а сразу все нули множителей переносятся в результат вычислений.

Правильная запись:

Неправильная запись

Письменное деление многозначных натуральных чисел осуществляется и в строку, и в столбик по этапам.

Правило. При письменном делении двух натуральных чисел слева записывается делимое, а справа от него через вертикальную черту — делитель.

Под делимым в столбец записываются поэтапные произведения каждого разряда частного на делитель. После каждого поэтапного произведения проводим горизонтальную черту, под которой записывается разность делимого и произведения, которая должна быть всегда меньше делителя, если разряд частного вычислен верно.

Дополнив разность следующим разрядом делимого, принимаем это число за следующее поэтапное делимое.

Деление по этапам производим до первого разряда заданного условием делимого. Если последняя разность 0 или число, меньшее делителя, то деление натуральных чисел окончено.

Частное по разрядам (от большего к меньшему) записывается под горизонтальной чертой под делителем. В частном должно быть столько же разрядов, сколько этапов деления.

Рассмотрим пример: 12 546 : 82
Производим деление первого этапа. Множитель (1) записываем как высший разряд частного. Вычисляем разность делимого и произведения первого этапа деления (125 — 82 = 43) и дописываем к ней справа один разряд из делимого, который стоит после наименьшего разряда числа, взятого для первого этапа деления. Полученное число (434) служит делимым второго этапа

деления.

Делимое второго этапа делим на делитель (434 : 82), определяем следующий разряд в частном (5) и остаток после второго этапа деления (24). Дописываем к остатку следующий разряд делимого и выполняем третий этап деления (246 : 82). Определяем третье число в частном (3) и остаток (0).

Деление окончено после третьего этапа, следовательно, в частном — трех разрядное число (153).

Проще такое деление производить в столбик также в три этана (деление углом — это тоже поэтапное деление):

Делимое кратно 82, так как разделилось без остатка.

Правило. Если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то их частное не изменится.

Например:

12 : 4 = 3

умножим делимое и делитель на 5, получим:
60 : 20 = 3

Например:
625 : 125 = 5
разделим делимое и делитель на 25, получим:
125 : 5 = 5

Запись опубликована в рубрике Математика с метками деление, умножение. Добавьте в закладки постоянную ссылку.

Как делить со скобками, что вперед: деление или умножение, как решить 36:3(8–6) дробь 6, правильный ответ на пример — 17 января 2023

Все новости

Россияне жалуются на рост цен на продукты. Когда он остановится и что подорожало больше всего

«Не дали открыть рот!» Как суды массово лишают россиян земли в Сочи. За месяц — 250 исков!

Красавица Анапа, гордый Сочи, брутальный Новороссийск и другие. Как нейросеть видит человеческие облики кубанских городов

Минобороны заявило, что ролики с жалобами российских военных — подделка Украины: новости СВО за 18 февраля

Названы города, жители которых активно скупают квартиры в Сочи

Дорос наконец: 7 фраз, которые говорят только зрелые люди, — проверьте себя

Дело о «продаже» младенцев в Китай. Как сложилась судьба детей, которых забрали у фирмы «Дидилия»?

Как я узнала, что папа изменял маме. И как это изменило меня. Три откровенные истории

Как правильно подсвечивать рассаду и почему ее нельзя ставить к окну

В Сочи готовят к производству новую минеральную воду «Сочинская»

«Когда Путин приезжал, дворников выпроваживали». Репортаж из элитного поселка в Подмосковье, где живет Расторгуев

Что можно есть в Великий пост: главные правила и календарь

26-летний водитель «Нивы» погиб, улетев с трассы в ограждение в Сочи

«Хочу наказать за обиду»: 64-летний ухажер решил отсудить у бывшей подруги 800 тысяч, которые на нее потратил

Сочи после метелей накроют сильные ливни: объявлено штормовое предупреждение

В Сочи по техническим причинам меняется расписание пригородных поездов

В Сочи водяной аркой встретили первый рейс новой авиакомпании Panorama Airways

«В режиме гоблина». Почему молодые не желают строить большую карьеру. Мнение эксперта

Самшит восстанавливается: под изъеденными ветками обнаружили самосев в Сочи

В Сочи сняли на видео женщину, кидавшую одежду с балкона

Отцам — ранняя пенсия, матерям — отмена налогов: как в России хотят стимулировать рождаемость и сработает ли это

«Я умирала, чего так хотела все 9 месяцев ада»: как переживают беременность после изнасилований и аборты — восемь историй

VK Fest впервые пройдет в пяти городах России

В Госдуму внесли закон о «детях специальной военной операции»

Новую трассу на Красную Поляну сегодня ночью перекроют

Кровать и туалет: отельеры Сочи рассказали, на что обращают внимание гости в первую очередь

Потеряла мужа и сына, но не сломалась: как живет самая красивая и стильная бабушка в мире — вы не поверите, сколько ей лет

«Какой-то разрыв шаблонов»: семья бросила город-миллионник и уехала жить в горное село

«Мама, он из-под земли появился». История бесстрашной десятиклассницы Маши, которая отбилась от грабителя

Горнолыжные курорты Сочи закрывают трассы из-за непогоды

Сочинские оперативники задержали подозреваемого по тяжкой статье, который 12 лет был в бегах

Из Сочи в Ташкент стартовали полеты новой авиакомпании

Абхазия помогает Турции и Сирии после землетрясения

«Россети» отчитались о восстановлении электроснабжения горного села в Сочи

Гениальные гены, кайфовый бизнес и страх уголовного преследования: история взлета и падения рэпера Моргенштерна*

На юг России пустят дополнительные поезда в февральские праздники

«Самый лучший главнокомандующий» по версии Кадырова: кто возглавил Центральный военный округ

Пьяный водитель устроил погром во дворе, уходя от погони в Сочи

«Мы едем веселиться, а рядом — люди в горе». Как изменился отдых россиян в Турции после землетрясения

Все новости

Сможете решить правильно?

Иллюстрация: Юрий Орлов / NGS.RU

Минимум неделю в интернете миллионы людей ломают копья из-за простенького, на первый взгляд, примера. NGS.RU решил задачку вместе с кандидатом физико-математических наук, доцентом и преподавателем Новосибирского государственного университета Ильей Марьясовым.

Вот этот пример: 36 : 3 (8 − 6) дробь 6.

Некоторые люди готовы спорить часами, как решить этот пример

Фото: Александра Бруня / NGS.RU

— Подвоха здесь особо никакого нет. У нас в математике есть соглашение о том, как у нас должны выполняться арифметические операции. Умножение и деление имеют более высокий приоритет, чем сложение и вычитание. Когда нужно изменить порядок вычисления, чтобы сложение и вычитание выполнялись раньше, то используются скобки. И еще один момент — когда появляются дроби, а дробная черта — это деление, то в этом случае оно выполняется в последнюю очередь, — объяснил Илья Марьясов

Разбираемся с числителем. По очереди идут деление, умножение, вычитание — при этом последняя операция идет в скобках. Начинаем решать слева направо.

— Поскольку деление и умножение равноправны. Сначала 36 делим на 3 и получаем 12. Потом мы должны выполнить умножение, но поскольку вычитание стоит в скобках, то сначала делаем его. Из 8 вычитаем 6 и получаем 2. Теперь делаем умножение. Мы 12 умножаем на 2 и получаем 24. Теперь делим числитель на знаменатель. То есть 24 делим на 6 и получаем 4, — объяснил специалист.

Правильный ответ — 4.

— Как изучают математику в школе. В начальном звене вводят операции — сложение, вычитание, умножение и деление. Примерно до 6-го класса дети не знают, что существуют рациональные числа, которые записываются в виде дробной черты. Когда они вводятся, то выясняется, что операцию деления можно записать не в виде двух точек. И до самого вуза очень часто все выражения записываются, как дробное число и отдельная операция деления через две точки редко используется. Так умножение у людей фиксируется как приоритетная операция, — объяснил Илья Марьясов.

В итоге это приводит к ошибке в вычислениях.

— У людей возникает соблазн 3 умножить на 8 минус 6 (то есть на 2) и получается у них 6. Потом 36 делят на 6, получая 6. И в итоге 6 делят на 6 и выходит 1. Это неверный ответ в данном случае, — отметил математик.

Ранее в Высшей школе экономики подсчитали, что средний проходной балл ЕГЭ для поступления в вузы снизился впервые за 10 лет. Предлагаем вам ответить на несколько вопросов (разных лет) из того самого итогового среза знаний.

По теме

20 января 2023, 16:00
Один и тот же пример в разных странах решают по-разному. Как это получается?
18 декабря 2022, 15:30
«Любите ли вы сплетничать?» Журналист попытался обмануть детектор лжи, и вот что обнаружил полиграф
19 сентября 2022, 10:00
Это точно русский? Проверьте, сможете ли вы написать правильно все эти слова
18 декабря 2022, 14:00
Русский не родной? 10 простейших слов, которые все пишут с ошибками

Александра Бруня

Корреспондент

МатематикаРазборРешениеПример

ЛАЙК0
СМЕХ0
УДИВЛЕНИЕ0
ГНЕВ0
ПЕЧАЛЬ0

Увидели опечатку? Выделите фрагмент и нажмите Ctrl+Enter

КОММЕНТАРИИ0

Что я смогу, если авторизуюсь?

Новости СМИ2

Игры на умножение и деление для детей KS1

Выберите категорию:

Подсчет Порядок и последовательность Разрядное значение, нечетное и четное время сложения и вычитания Таблицы времени Умножение и деление Денежные фигуры Меры Обработка данных Решение проблем

Математические игры могут стать интересным способом изучения таблицы умножения и деления. Эта подборка математических игр была выбрана для того, чтобы научить детей, которые только начинают понимать принципы умножения и деления чисел. Они обеспечивают повторение, необходимое детям для закрепления их знаний о фактах умножения и деления.

Нажмите кнопку
Прекрасно подходит для оттачивания ваших математических навыков в уме с помощью таблиц умножения. Есть два варианта: «Нажми на ответ» или «Найди вопрос» на время! Подходит для планшетов.
Поезд ментальной математики
Mental Maths Train — это математическая игра, в которой основное внимание уделяется базовому словарному запасу сложения, вычитания, умножения и деления. Игра с множественным выбором, которая может дать детям уверенность в четырех арифметических операциях.
Кокосовые хлопья
Coconut Multiples может укрепить знания детей о таблицах умножения, помогая им распознавать кратные из каждой таблицы. Выберите кратные из таблицы умножения до 10 или 12.

Число Фактов Семей
Сможете ли вы найти все семейства числовых фактов? Как раз то, что нужно для изучения связи между сложением/вычитанием и умножением/делением.
Ужины собачьего подразделения
Разделите кости между милыми щенками. Этот восхитительный сайт представляет собой полезное введение в деление.
Диаграмма Венна
Ресурс с обучающим демонстрационным режимом и областью, где дети могут практиковать свои навыки сортировки кратных на диаграмме Венна.
Веселая мумия
Funky Mummy — это игра с фактами. Практикуйте быстрое запоминание фактов сложения, вычитания и умножения.
Дисплей массива
Действительно полезный обучающий инструмент для моделирования умножения и связи между умножением и делением.
Математика Рыбалка
Практикуйте свои навыки умножения. Игра охватывает не только таблицу умножения, но и удвоение, возведение в квадрат и куб чисел.
Умножение метеоров
Стреляйте в метеоры, в которых есть ответы на вопросы на умножение. Это действительно проверит ваши знания всех таблиц умножения! Есть три уровня сложности.
Отдел сноса
Игра, которая поможет вам научиться делению. Танки с проблемами дивизии движутся к вашему бластеру. Стреляйте по правильной проблеме, чтобы спасти свой бластер от разрушения. Хорошо для оттачивания умственных математических навыков.
Честные акции
Простая игра, которая знакомит с идеей деления небольших сумм поровну. Вы должны разделить лакомства между собаками, чтобы у них было поровну.
Десять кадров
Очень универсальный обучающий инструмент, который имеет 5, 10, 20 и 100 рамок или сеток для создания собственных рамок. Его можно использовать для сложения, вычитания, а также для создания массивов умножения.
Математика Чоппити Чоп
Эта игра охватывает ряд математических вопросов, таких как сложение, вычитание, умножение, деление, удвоение и многое другое. Ответьте на вопросы, затем нарежьте овощи, но избегайте стального стержня и пилы.

1.3: Умножение и деление целых чисел

Последнее обновление
Сохранить как PDF

Идентификатор страницы: 22461

Дэвид Арнольд
Колледж Редвудс

Мы начинаем этот раздел с обсуждения умножения целых чисел. Первым делом нужно ввести различные символы, используемые для обозначения умножения двух целых чисел.

Математические символы, обозначающие умножение

Символ		Пример
×	раз символ	3 × 4
·	точка	3 · 4
( )	скобки	(3)(4) или 3(4) из (3)4

Произведения и факторы

В выражении \(3 · 4\) целые числа 3 и 4 называются факторами , а \(3 · 4\) называются продукт .

Ключ к пониманию умножения содержится в следующем утверждении.

Умножение эквивалентно многократному сложению.

Предположим, например, что мы хотим вычислить произведение \(3 ·4\). Поскольку умножение эквивалентно многократному сложению, \(3 · 4\) эквивалентно сложению трех четверок. То есть

\[ 3 \cdot 4=\underbrace{4+4+4}_{\text {три четверки}} \nonumber\]

Таким образом, \(3 · 4 = 12\). Произведение \(3 · 4\) можно представить как сумму трех четверок на числовой прямой, как показано на рис. 1.6.

Рис. 1.6. Обратите внимание, что 3 · 4 = 4 + 4 + 4. То есть 3 · 4 = 12.

Как и при сложении, порядок множителей не имеет значения.

\[ 4 \cdot 3=\underbrace{3+3+3+3}_{\text {четыре тройки}} \nonumber\]

Таким образом, \(4 · 3 = 12\). Рассмотрим визуализацию \(4 · 3\) на рис. 1.7.

Рис. 1.7. Обратите внимание, что 4 · 3 = 3 + 3 + 3 + 3. То есть 4 · 3 = 12,

. Свидетельства на рис. 1.6 и рис. 1.7 показывают нам, что умножение коммутативно. То есть

\[3 · 4=4 · 3 \не число\]

Коммутативное свойство умножения

Если a и b — любые целые числа, то

\[a · b = b · a. \номер\]

Мультипликативное тождество

На рис. 1.8(а) обратите внимание, что пять единиц равняются 5; то есть \(5 · 1 = 5\). С другой стороны, на рис. 1.8(b) мы видим, что одна пятерка равна пяти; то есть 1 · 5 = 5.

Рисунок 1.8: Обратите внимание, что 5 · 1 = 5 и 1 · 5 = 5.

Поскольку умножение целого числа на 1 равно этому числу, целое число 1 называется мультипликативным тождеством.

Свойство мультипликативной идентичности

Если \(a\) — любое целое число, то

a · 1 = a и 1 · a = a.

Умножение на ноль

Поскольку \(3 · 4 = 4 + 4 + 4\), мы можем сказать, что произведение \(3 · 4\) представляет «3 набора из 4», как показано на рис. 1.9, где три группы по четыре ящика окружены овалом.

Рис. 1.9: Три набора из четырех: 3 · 4 = 12.

Следовательно, \(0 · 4\) будет означать нулевой набор из четырех. Конечно, нулевой набор из четырех — это ноль.

Умножение на ноль.

Если a представляет любое целое число, то

\(a · 0 = 0\) и \(0 · a = 0\).

Ассоциативное свойство умножения

Как и сложение, умножение целых чисел ассоциативно. Действительно,

\[\begin{align*} 2 · (3 · 4) &= 2 · 12 \\[4pt] &= 24 \end{align*}\]

\[\begin{ align*} (2 · 3) · 4 &=6 · 4 \\[4pt] &= 24. \end{align*}\]

Ассоциативное свойство умножения.

Если a , b и c — любые целые числа, то

\[a · (b · c)=(a · b) · c. \nonumber\]

Умножение больших целых чисел

Подобно сложению и вычитанию больших целых чисел, нам также потребуется умножать большие целые числа. Опять же, мы надеемся, что алгоритм вам знаком из предыдущей курсовой работы.

Пример 1

Упрощение: \(35 · 127\).

Решение

Выровняйте числа по вертикали. Порядок умножения не имеет значения, но мы положим большее из двух чисел поверх меньшего числа. Первый шаг — умножить 5 на 127. Опять же, действуем справа налево. Итак, 5 умножить на 7 — это 35. Мы пишем 5, затем переносим 3 в столбец десятков. Затем 5 умножить на 2 равно 10. Добавьте цифру переноса 3, чтобы получить 13. Запишите 3 и перенесите 1 в столбец сотен. Наконец, 5 умножить на 1 равно 5. Добавьте цифру переноса, чтобы получить 6.

Следующим шагом является умножение 3 на 127. Однако, поскольку 3 стоит в разряде десятков, его значение равно 30, поэтому мы на самом деле умножаем 30 на 126. Это то же самое, что умножить 127 на 3 и поставить 0 в конце результат.

После прибавления 0, 3 умножить на 7 будет 21. Мы пишем 1 и переносим 2 над 2 в столбце десятков. Затем 3 умножить на 2 равно 6. Добавьте цифру переноса 2, чтобы получить 8. Наконец, 3 умножить на 1 равно 1.

Осталось только сложить результаты.

Таким образом, 35 · 127 = 4, 445.

Альтернативный формат

Не помешает опустить конечный ноль на втором этапе умножения, где мы умножаем 3 на 127. Результат будет выглядеть вот так:

В этом формате понимается ноль, поэтому физически его присутствие необязательно. Идея состоит в том, что при каждом умножении на новую цифру мы отступаем от произведения на один пробел справа.

Упражнение

Упрощение: 56 · 335

Ответ: 18 760

Деление целых чисел

Теперь перейдем к теме деления целых чисел. Сначала мы введем различные символы, используемые для обозначения деления целых чисел.

Математические символы, обозначающие деление

Символ		Пример
÷	символ деления	12 ÷ 4
—	дробь бар	\(\ гидроразрыва{12}{4}\)
\(\longdiv{-}\)	разделительная планка	\(4 \longdiv{12}\)

Обратите внимание, что каждое из следующих слов говорит об одном и том же; то есть «12 разделить на 4 равно 3».

\(12 \div 4=3 \quad \text { or } \quad \frac{12}{4}=3 \quad \text { or } \quad 4 \sqrt{12}\)

Частные, Дивиденды и делители

В выражении

\(\frac{3}{4) 12}\)

целое число 12 называется делимым , целое число 4 называется делителем , и целое число 3 называется частным . Обратите внимание, что это обозначение полосы деления эквивалентно

\(12 \div 4=3 \quad \text { и } \quad \frac{12}{4}=3.\)

Выражение a / b означает « a разделить на b », но эту конструкцию также называют дробью .

Определение: дробь

Выражение

\( \frac{a}{b}\)

называется дробью . Число \(a\) сверху называется числителем дроби; число \(b\) внизу называется знаменателем дроби.

Ключ к пониманию деления целых чисел содержится в следующем утверждении.

Деление эквивалентно многократному вычитанию.

Предположим, например, что мы хотим разделить целое число 12 на целое число 4. Это эквивалентно заданию вопроса «сколько четверок мы можем вычесть из 12?» Это можно изобразить на числовой линейной диаграмме, такой как на рис. 1.10.

Рисунок 1.10: Деление – это повторное вычитание.

На рис. 1.10 обратите внимание, что если мы вычтем три четверки из двенадцати, результат будет равен нулю. В символах

\( 12-\underbrace{4-4-4}_{\text {три четверки}}=0.\)

Аналогично, мы также можем спросить: «Сколько групп по четыре в числе 12» и упорядочить нашу работу, как показано на рис. 1.11, где мы видим, что в массиве из двенадцати объектов мы можем обвести три группы по четыре; т. е. 12 ÷ 4 = 3.

Рис. 1.11: В двенадцати есть три группы по четыре человека.

На рисунках 1.10 и 1.11 обратите внимание, что деление (повторное вычитание) не оставляет остатка. Это не всегда так.

Пример 2.

Разделить 7 на 3.

Решение

На рис. 1.12 видно, что из семи можно вычесть две тройки, оставив в остатке единицу.

Рисунок 1.12: Деление с остатком.

В качестве альтернативы, в массиве из семи объектов мы можем обвести две группы по три, оставив один остаток.

Рисунок 1.13: Деление семи на три дает остаток от единицы.

Как на Рисунке 1.12, так и на Рисунке 1.13 показано, что есть две группы по три в семи, и одна остается. Мы говорим: «Семь разделить на три будет два, а в остатке один.

Упражнение

Для деления 12 на 5 используйте метод числовой прямой и метод массива прямоугольников. Например,

12 ÷ 4 = 3,

, но 4 ÷ 12 даже не является целым числом. Таким образом, если a и b являются целыми числами, то a ÷ b не , а не должны быть такими же, как b ÷ a .

Деление не является ассоциативным

При делении трех чисел на ответ обычно влияет порядок их группировки. Например,

(48 ÷ 8) ÷ 2=6 ÷ 2

= 3,

, но

48 ÷ (8 ÷ 2) = 48 ÷ 4

= 12.

0 Таким образом, если , b и c являются целыми числами, ( a ÷ b ) ÷ c не обязательно должно совпадать с a ÷ ( b c 0205).

Деление на ноль не определено

Предположим, нас попросили разделить шесть на ноль; то есть нас просят вычислить 6 ÷ 0. На рис. 1.14 у нас есть массив из шести объектов.

Рисунок 1.14: Сколько групп нулей вы видите?
Теперь, чтобы разделить шесть на ноль, мы должны ответить на вопрос «Сколько групп нулей мы можем обвести на рис. 1.14?» Некоторая мысль даст ответ: это бессмысленная просьба! Совершенно бессмысленно спрашивать, сколько групп нулей можно обвести в массиве из шести объектов на рис. 1.14.
Деление на ноль
Деление на ноль равно undefined . Каждое из выражений
\(6 \div 0 \quad \text { и } \quad \frac{6}{0} \quad \text { и } \quad 0 ) \overline{6}\)
не определено.
С другой стороны, имеет смысл спросить: «Сколько ноль разделить на шесть?» Если мы создадим массив из нулевых объектов, а затем спросим, сколько групп из шести мы можем обвести, ответ будет «ноль групп из шести». То есть ноль разделить на шесть равно нулю.
\( 0 \div 6=0 \quad \text { и } \quad \frac{0}{6}=0 \quad \text { and } \quad 6 \frac{0}{0}\)
Деление больших целых чисел
Теперь мы кратко рассмотрим деление больших целых чисел с использованием алгоритма, который обычно называют делением в длину . Это не должно быть всесторонним обсуждением, но беглым. Мы рассчитываем на то, что наши читатели уже встречались с этим алгоритмом в предыдущих курсах и знакомы с процессом.
Пример 3
Упрощение: 575/23.
Решение
Начнем с оценки того, сколько раз 23 делится на 57, угадывая 1. Ставим 1 в частное над 7, умножаем 1 на 23, помещаем ответ под 57, затем вычитаем.
\(\begin{array}{c}{23 ) \frac{1}{575}} \\ {\frac{23}{34}}\end{array}\)
Поскольку остаток больше чем делитель, наша оценка слишком мала. Пробуем снова с оценкой 2.
\(\begin{array}{r}{2} \\ {2 3 \longdiv { 5 7 5 }} \\ {\frac{46}{11}}\end{array}\)
Это алгоритм. Разделите, умножьте, затем вычтите. Вы можете продолжить только тогда, когда остаток меньше делителя.
Чтобы продолжить, опустите 5, оцените, что 115 разделить на 23 равно 5, затем умножьте делитель на 5 и вычтите.
\(\begin{array}{c}{25} \\ {2 3 \longdiv { 5 7 5 }} \\ {\ frac {46} {115}} \\ {\ frac {115} {0 }}\end{array}\)
Поскольку остаток равен нулю, 575/23 = 25,
Упражнение
Разделить 980/35
Ответить
28
Приложение — подсчет прямоугольных массивов
Рассмотрим прямоугольный массив звездочек на рис. 1.15. Чтобы подсчитать количество звезд в массиве, мы могли бы использовать грубую силу, считая каждую звезду в массиве по одной, всего 20 звезд. Однако, поскольку у нас есть четыре ряда по пять звезд в каждом, умножать намного быстрее: 4 · 5 = 20 звезд.
Рисунок 1.15: Четыре строки и пять столбцов. Рисунок 1.16: Меры площади в квадратных единицах.
Область применения — область
На рис. 1.16(a) изображен один квадратный дюйм (1 в ² ), квадрат с одним дюймом на каждой стороне. На рисунке 1.16(b) изображен один квадратный фут (1 фут ² ), квадрат с одним футом на каждой стороне. Оба эти квадрата являются мерами площади. Теперь рассмотрим прямоугольник, показанный на рис. 1.17. Длина этого прямоугольника составляет четыре дюйма (4 дюйма), а ширина — три дюйма (3 дюйма).
Рис. 1.17: Прямоугольник длиной 4 дюйма и шириной 3 дюйма.
Чтобы найти площадь фигуры, мы можем подсчитать отдельные единицы площади, составляющие площадь прямоугольника, всего двенадцать квадратных дюймов (12 в ²). Однако, как и при подсчете звезд в массиве на рис. 1.15, гораздо быстрее заметить, что у нас есть три ряда по четыре квадратных дюйма. Следовательно, гораздо быстрее умножить количество квадратов в каждой строке на количество квадратов в каждом столбце: 4 · 3 = 12 квадратных дюймов.
Аргумент, представленный выше, приводит к следующему правилу нахождения площади прямоугольника.
Площадь прямоугольника
Пусть L и W представляют длину и ширину прямоугольника соответственно.
Чтобы найти площадь прямоугольника, вычислите произведение длины и ширины. То есть, если А представляет собой площадь прямоугольника, то площадь прямоугольника определяется по формуле
А = ДВ .
Пример 4
Прямоугольник имеет ширину 5 футов и длину 12 футов. Найдите площадь прямоугольника.
Solution
Подставьте L = 12 футов и W = 5 футов в формулу площади.
A = LW
= (12 футов)(5 футов)
= 60 футов ²
Следовательно, площадь прямоугольника равна 60 квадратных футов.
Упражнение
Прямоугольник имеет ширину 17 дюймов и длину 33 дюйма. Найдите площадь прямоугольника.
Ответить
561 кв. дюйм
Упражнения
В упражнениях 1-4 используйте числовые диаграммы, как показано на рис. 1.6, для изображения умножения.
1. 2 · 4.
2. 3 · 4.
3. 4 · 2.
4. 4 · 3.
В упражнениях 5-16 укажите свойство умножения, изображаемое данным личность.
5. 9 · 8=8 · 9
6. 5 · 8=8 · 5
7. 8 · (5 · 6) = (8 · 5) · 6
8. 4 · (6 · 5) = (4 · 6) · 5
9. 6 · 2=2 · 6
10. 8 · 7=7 · 8
11. 3 · (5 · 9) = (3 · 5) · 9
12. 8 · (6 · 4) = (8 · 6) · 4
13 21 · 1 = 21
14, 39 · 1 = 39
15, 13 · 1 = 13
16, 44 · 1 = 44
В упражнениях 17-28 умножьте данные числа.
17. 78 · 3
18. 58 · 7
19. 907 · 6
20. 434 · 80
21. 128 · 30
22. 454 · 90
23. 799 · 60
24. 907 · 20
25. 14 · 70
26. 94 ·
7
27. 34 · 90
.
28. 87 · 20
В упражнениях 29-40 умножьте данные числа.
29. 237 · 54
30. 893 · 94
31. 691 · 12
32. 823 · 77
33. 955 · 89
34. 714 · 41
35. 266.
36. 366 · 31
37. 365 · 73
38. 291 · 47
39. 955 · 57
40. 199 · 33
41. Подсчитайте количество объектов в массиве.
42. Подсчитайте количество объектов в массиве.
43. Подсчитайте количество объектов в массиве.
44. Подсчитайте количество объектов в массиве.
В упражнениях 45-48 найдите площадь прямоугольника, имеющего заданные длину и ширину.
45. Д = 50 дюймов, Ш = 25 дюймов
46. Д = 48 дюймов, Ш = 24 дюйма
47. Д = 47 дюймов, Ш = 13 дюймов
48. Д = 19 дюймов, Ш = 10 дюймов
В упражнениях 49-52 найдите периметр прямоугольника заданной длины и ширины.
49. Д = 25 дюймов, Ш = 16 дюймов
50. Д = 34 дюйма, Ш = 18 дюймов
51. Д = 30 дюймов, Ш = 28 дюймов
52. Д = 41 дюйм, Ш = 25 в
53. Набор бусин стоит 50 центов за дюжину. Какова стоимость (в долларах) 19 десятков наборов бисера?
54. Набор бус стоит 60 центов за дюжину. Какова стоимость (в долларах) 7 десятков наборов бисера?
55. Если бы репетитор по математике работал 47 часов и получал бы 15 долларов в час, сколько бы она заработала?
56. Если бы репетитор по математике работал 46 часов и получал бы 11 долларов в час, сколько бы он заработал?
57. В одной дюжине 12 яиц, а в брутто 12 дюжин. Сколько яиц в партии 24 брутто?
58. В одной дюжине 12 яиц, а в одной брутто 12 дюжин. Сколько яиц в партии 11 брутто?
59. Если каждый кирпич весит 4 килограмма, каков вес (в килограммах) 5000 кирпичей?
60. Если каждый кирпич весит 4 фунта, каков вес (в фунтах) 2000 кирпичей?
Какое из следующих четырех выражений в упражнениях 61-68 отличается от остальных трех?
61. \(\frac{30}{5}\), 30 ÷ 5, \(5 \longdiv { 3 0 }\), 5 ÷ 30
62. \(\frac{12}{2} \), 12 ÷ 2, \(2 \longiv{12}\), 2 ÷ 12
63. \(\frac{8}{2}\), 8 ÷ 2, \(2 \longdiv{8} \), \(8 \longdiv{2}\)
64. \(\frac{8}{4}\), 8 ÷ 4, \(4 \longdiv { 8 }\), \(8 \longdiv { 4 }\)
65. \(2 \ longdiv { 14 }\), \(14 \longdiv { 2 }\), \(\frac{14}{2}\) , 14 ÷ 2
66. \(9 \longdiv { 54 }\), \ (54 \longdiv { 9 }\), \(\frac{54}{9}\) , 54 ÷ 9
67. \(3 \longdiv { 24 }\), 3 ÷ 24, \(\frac{ 24}{3}\), 24 ÷ 3
68. \(3 \longdiv { 15 }\), 3 ÷ 15, \(\frac{15}{3}\), 15 ÷ 3
В Упражнения 69-82, упростите данное выражение. Если ответа не существует или он не определен, напишите «undefined».
69. 0 ÷ 11
70. 0 ÷ 5
71. 17 ÷ 0
72. 24 ÷ 0
73. 10 · 0
74. 20 · 0
75. \ (\ frac {7}{0}\)
76. \(\frac{23}{0}\)
77. \(16 \longdiv { 0 }\)
78. \(25 \longdiv { 0 } \)
79. \(\frac{0}{24}\)
80. \(\frac{0}{22}\)
81. \(0 \longdiv { 0 }\)
82. 0 ÷ 0
В упражнениях 83-94 разделите данные числа.
83. \(\frac{2816}{44}\)
84. \(\frac{1998}{37}\)
85. \(\frac{2241}{83}\)
86. \(\frac{2716}{97}\)
87. \(\frac{3212}{73}\)
88. \(\frac{1326}{17}\)
89. \(\frac{8722}{98}\)
90. \(\frac{1547}{91}\)
91. \(\frac{1440}{96}\)
92. \(\frac{2079}{27}\)
93. \( \frac{8075}{85}\)
94. \(\frac{1587}{23}\)
В упражнениях 95-106 разделите данные числа.
95. \(\frac{17756}{92}\)
96. \(\frac{46904}{82}\)
97. \(\frac{11951}{19}\)
98. \(\frac{22304}{41} \)
99. \(\frac{18048}{32}\)
100. \(\frac{59986}{89}\)
101. \(\frac{29047}{31}\)
102. \(\frac{33264}{86}\)
103. \(\frac{22578}{53}\)
104. \(\frac{18952}{46}\)
105. \(\frac{12894}{14}\)
106. \(\frac{18830}{35}\)
107. Бетонный тротуар уложен квадратными блоками со стороной 6 футов. . Сколько блоков будет на пути длиной 132 фута?
108. Бетонный тротуар уложен квадратными блоками со стороной 5 футов. Сколько блоков будет на пути длиной 180 футов?
109. На одной лодке до острова может доехать 5 человек. Сколько рейсов должна совершить лодка, чтобы переправить на остров 38 человек? (Подсказка: округлите ответ.)
110. На одной лодке до острова могут добраться 4 человека. Сколько рейсов должна совершить лодка, чтобы переправить на остров 46 человек? (Подсказка: округлите ответ.)
111. Если уличные фонари расположены на расстоянии не более 145 футов друг от друга, сколько уличных фонарей потребуется для улицы длиной 4 мили, если предположить, что фонари есть на каждом конце улицы? (Примечание: 1 миля = 5280 футов.)
112. Если уличные фонари расположены на расстоянии не более 70 футов друг от друга, сколько уличных фонарей потребуется для улицы длиной 3 мили, при условии, что фонари есть на каждом конце улицы? улица? (Примечание: 1 миля = 5280 футов.)
113. Бетонный тротуар уложен квадратными блоками со стороной 4 фута. Сколько блоков будет в пути, равном 29?2 фута в длину?
114. Бетонный тротуар уложен квадратными блоками со стороной 5 футов. Сколько блоков будет на пути длиной 445 футов?
115. В одной лодке до острова могут разместиться 3 человека. Сколько рейсов должна совершить лодка, чтобы переправить на остров 32 человека? (Подсказка: округлите ответ.)
116. На одной лодке до острова могут доплыть 4 человека. Сколько рейсов должна совершить лодка, чтобы переправить на остров 37 человек? (Подсказка: округлите ответ.)
117. Если уличные фонари расположены на расстоянии не более 105 футов друг от друга, сколько уличных фонарей потребуется для улицы длиной 2 мили, при условии, что фонари есть на каждом конце улицы? (Примечание: 1 миля = 5280 футов.)
118. Если уличные фонари расположены на расстоянии не более 105 футов друг от друга, сколько уличных фонарей потребуется для улицы длиной 3 мили, при условии, что фонари есть на каждом конце улицы? улица? (Примечание: 1 миля = 5280 футов. )
119. Написание статей . Эли пишет в среднем по 4 статьи в день, пять дней в неделю, чтобы поддерживать продажи продукта. Сколько статей Эли пишет за одну неделю?
120. Пулемет . Зенитный пулемет калибра 0,50 может производить 800 выстрелов в минуту. Сколько выстрелов можно было сделать за три минуты? Associated Press Times-Standard 15.04.09
121. Круги . Бассейн в CalCourts имеет длину 25 ярдов. Если один круг вверх и обратно, сколько ярдов проплыл Венделл, сделав 27 кругов?
122. Мощность холодильника . Обычный холодильник будет работать около 12 часов каждый день, потребляя 150 Вт энергии каждый час. Сколько ватт энергии потребляет холодильник в течение дня?
123. Конское сено . Взрослая лошадь должна съедать не менее 12 фунтов сена каждый день и может съедать гораздо больше в зависимости от своего веса. Сколько минимум фунтов съест лошадь за год?
124. Колледж стоит . После повышения сборов на 662 доллара жители Калифорнии, желающие поступить в Калифорнийский университет в качестве бакалавра, должны будут заплатить 8700 долларов за предстоящий 2009 учебный год.- 2010. Если стоимость останется прежней в течение следующих нескольких лет, сколько должен платить студент за четырехлетнюю программу обучения в школе UC?
125. Расходы нерезидента . Студенты-нерезиденты, желающие поступить в колледж Калифорнийского университета, должны заплатить около 22 000 долларов за предстоящий учебный год. Если предположить, что затраты останутся прежними, сколько может стоить четырехлетняя степень?
126. Студенческий налог . Мэр Провиденса, штат Род-Айленд, хочет обложить налогом 25 000 студентов Университета Брауна по 150 долларов каждый, чтобы внести свой вклад в налоговые поступления, заявив, что студенты должны платить за ресурсы, которые они используют, как и жители города. Сколько долларов заработает мэр?
127. Новый айсберг . Новый айсберг, отколовшийся от ледника после столкновения с другим айсбергом, имеет длину около 48 миль и ширину 28 миль. Какова примерная площадь нового айсберга? Associated PressTimes-Standard 27.02.10 2 Огромные айсберги оторвались от побережья Антарктиды.
128. Панели солнечных батарей . Одна из солнечных панелей на Международной космической станции имеет длину 34 метра и ширину 11 метров. Если их восемь, какова общая площадь сбора солнечной энергии?
129. Тротуар . Бетонный тротуар должен иметь длину 80 футов и ширину 4 фута. Сколько будет стоить укладка тротуара по цене 8 долларов за квадратный фут?
130. тюки сена . Средний тюк сена весит около 60 фунтов. Если лошадь съедает 12 фунтов сена в день, то сколько дней один тюк прокормит лошадь?
131. Солнечные пятна . Солнечные пятна, где магнитное поле Солнца намного выше, обычно встречаются парами. Если общее количество солнечных пятен равно 72, сколько существует пар солнечных пятен?
Ответы
1. \(2 \cdot 4=\underbrace{4+4}_{2 \text { times }}=8\)
3. \(4 \cdot 2=\underbrace{2+ 2+2+2}_{4 \text { times }}=8\)
5. Переместительное свойство умножения
7. Ассоциативность умножения
9. Переместительное свойство умножения
11. Ассоциативность умножения умножение
13. Мультипликативное свойство тождества
15. Мультипликативное свойство тождества
17. 234
19. 5442
21. 3840
23. 47940
25. 980
27. 3060
29. 12798
31. 8292
33. 84995
35. 16266
33. 84995
9000 35. 162669 2
33. 84995
35. 162669 2
33. 84995
35. 16266
33. 84995
35. 16266
33. 84995
35. 16266
33. 84995
35. 16266
33.
39. 54435
41. 64
43. 56
45. 1250 в ²
47.
No related posts.