Решение линейных неравенств онлайн
Решение неравенств
Линейными неравенствами с одной переменной х называются неравенства, в которых неизвестное находится исключительно в первой степени, вида:
ах + b
ах + b > 0;
ах + b >= 0;
ах + b
где а, b — любые действительные числа, х — переменная, число а не равно 0. В отличии от уравнения, где используется знак равенства « = », в неравенстве используют знаки сравнения: меньше , больше или равно >=, меньше или равно Правила преобразования неравенств:
— любой член неравенства можно переносить из левой части в правую и наоборот, поменяв знак на противоположный;
— если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, получим равносильное ему неравенство, знак неравенства сохраняется;
— знак меняется на противоположный, если обе части неравенства умножить или разделить на отрицательное число.
Рассмотрим решение линейного неравенства ах + b — переносим число b в другую часть неравенства, меняя при этом знак на противоположный, получим равносильное неравенство: ах — делим обе части неравенства на число а, отличное от 0.
Если а = 0, возможны 2 варианта:
1. при b > 0 х может быть любое число;
2. при b
Решать линейные неравенства можно с использованием метода интервалов (при а не равном 0) и графическим способом.
Линейными неравенствами с 2-мя переменными являются неравенства вида:
ax + by + c > 0;
ax + by + c
ax + by + c >= 0;
ax + by + c
В отличие от неравенства с одной переменной (х) в данном неравенстве содержится еще одна переменная (у).
Решение неравенства подразумевает нахождение всех значений переменной, при подстановке которых неравенство будет верным числовым неравенством. При решении используют равносильные преобразования, чтобы заменить данное неравенство более простым. В результате преобразования в левой части неравенства должно остаться только неизвестное с коэффициентом «1».
Три правила решения линейных неравенств
При перемещении слагаемых из одной части в другую отрицательные величины становятся положительными, и наоборот. Знак самого неравенства при этом сохраняется x – y > z => x – z > y => x > z + y.
При умножении или делении обоих частей на одинаковое положительное число неравенство останется правильным и его знак не изменится x yx x/y .
Если множитель (делитель) является отрицательным, знак неравенства необходимо заменить на противоположный x -yx > -yz => -x/y > -z/y.
X: | |
Y: | |
Z: |
Предыдущая Решение интегралов
Следующая Решение СЛАУ методом LU-разложения
Решение линейных неравенств — презентация онлайн
Похожие презентации:
Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)
Применение производной в науке и в жизни
Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»
Знакомство детей с математическими знаками и монетами
Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10
Методы обработки экспериментальных данных
Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ
Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии
Дифференциальные уравнения
Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи
1. Решение линейных неравенств
2. Числовые промежутки
//////////////////а
b
//////////////////
а
b
///////////////////
а
b
///////////////////
а
b
•интервал
a<x<b
•отрезок
a≤x≤b
[a;b]
•полуинтервал
a≤x<b
[a;b)
•полуинтервал
a<x≤b
(a;b]
(a;b)
////////////////////////////
•открытый луч
////////////////////////////
• луч
x≥a
[a;∞)
•открытый луч
x<b
(-∞;b)
• луч
x≤b
(-∞;b]
x>a
(a;∞)
а
а
/////////////////////////////
b
//////////////////////////////
b
• Линейным неравенством с одной
переменной х называется неравенство
вида ах + b › 0, где а≠0.
• Решение неравенства – значение
переменной х, которое обращает
неравенство в верное числовое
неравенство.
4. Являются ли числа 3, -5 решением неравенства 4х + 5 < 0
Являются ли числа 3, -5 решениемнеравенства 4х + 5 < 0
При х = 3, 4∙3 + 5 = 17, 17>0
Значит х=3 не является решением
данного неравенства
При х=-5, 4∙(-5) + 5 = -15, -15<0
Значит х=-5 является решением данного
неравенства
5. Правила решения линейных неравенств:
Любойчлен
неравенства
можно
перенести из одной части неравенства в
другую с противоположным знаком, не
меняя при этом знак неравенства
2х + 8 ≥ 4х + 7
2х – 4х ≥ 7 – 8
6. Правила решения линейных неравенств
Обечасти
неравенства
можно
умножить или разделить на одно и то
же положительное число, не меняя при
этом знак неравенства.
5х – 15 < 0 | : 5
х–3<0
7. Правила решения линейных неравенств
Обе части неравенства можно умножитьили разделить на одно и то же
отрицательное число, изменив при этом знак
неравенства на противоположный.
-6х > 12 | : (-6)
х < -2
8. Решить неравенство
3х – 5 ≤ 7х – 153х – 7х ≤ -15 + 5
-4х ≤ — 10
х ≥ 2,5
перенесем слагаемое 7х в левую
часть, а слагаемое -5 – в правую
часть, изменив знак у слагаемых
на противоположный
приведем подобные слагаемые
разделим обе части неравенства на -4
////////////////////////////
2,5
Ответ: х ≥ 2,5 или [ 2,5; +∞)
9. Решить неравенство
5х + 3(2х – 1) > 13х – 15х + 6х – 3 > 13х – 1
5х + 6х – 13х > – 1 + 3
– 2х > 2 | : (-2)
х<–1
////////////////////////////
-1
(-∞; -1)
Ответ: (-∞; -1)
1) 3х ≤ 21
2) -5х < 35
3) 3х+6 ≤ 3
4) 2-6х > 14
5) 3-9х ≤ 1-х
6) 5(х+4) < 2(4х-5)
11. Найди ошибки и объясни их:
1)5 x 3,
x 0,6.
0,6
4)
30 x 40,
40
x
,
30
1
x 1 .
3
1
;1
3
2)
12 x 48,
48
x
,
12
x 4.
4;
3)
x 7,5,
7,5
x
,
1
x 7,5.
7,5;
English Русский Правила
Калькулятор составного неравенства — Пошаговое руководство
Этот калькулятор неравенства легко решает линейные и квадратные неравенства. Решение неравенств теперь стало слишком простым, когда все шаги представлены подробно.
Пошаговое вычисление неравенства позволяет учащимся легко понять всю концепцию неравенства.
Графическое представление неравенства, будь то линейное или квадратичное, также обрабатывается калькулятором графических неравенств. Соответствующий график неравенства позволяет учащимся найти предел неравенства.
Неравенство в математике:
Неравенство — это утверждение порядка больше, больше или равно, меньше или меньше или равно между соответствующими числами или алгебраическими выражениями.
Например:
2 + 4 < 7, 3y – 7 > 8
Операторы, используемые в неравенстве:
Следующие операторы используются для решения неравенств, когда вы применяете операции неравенства в калькуляторе составного неравенства . Вы должны понимать эти операторы.
- > Больше
- >= больше равно
- < Меньше
- <= Меньше и равно
Значения неравенства могут быть представлены четырьмя из следующих операторов. Легко понять, что такое «>» «Больше» и «<» «Меньше». Но когда у нас есть >= Больше, чем равно или <= Меньше, чем и равно, тогда это становится трудно понять. Это означает, что есть некоторые значения, при которых получаются равные значения, а в других точках мы получаем меньше или больше значений.
Существуют определенные правила, которым следует калькулятор сложных неравенств при решении неравенств. Эти правила применяются к неравенствам, будь то линейные или квадратные неравенства.
Правило № 01:
При умножении отрицательного действительного числа с каждой стороны неравенства оно меняет направление уравнений неравенства.
Это можно понять на следующем примере:
а>б и с<0. Тогда a*c< b*c
Правило № 02:
При умножении положительного действительного числа с каждой стороны неравенства направление уравнения неравенства не меняется.
Это можно понять на примере:
a>b и c>0. Тогда а*с>б*с.
Правило № 03:
При делении отрицательного действительного числа с каждой стороны неравенства изменяется направление уравнения неравенства.
Это можно понять на примере:
a>b и c<0. Тогда a/c< b/c.
Правило № 04:
При делении положительного действительного числа на каждую часть неравенства не менять направление уравнения неравенства.
Это можно понять на примере
a>b и c>0. Тогда а/с> б/с.
Правило № 05:
Добавление одного и того же действительного числа (положительного или отрицательного) к каждой стороне неравенства не влияет на направление неравенства.
Решатель неравенства не действует:
, если a>b и c R , тогда a+c>b+c.
Правило № 05:
Вычитание одного и того же действительного числа (положительного или отрицательного) с каждой стороны неравенства никак не влияет на направление неравенства.
Решатель неравенства не действует:
если a>b и c R , тогда a-c>b-c.
Правило #06:
Если возвести в квадрат каждую положительную часть неравенства, то это не повлияет на направление неравенства
Неравенство представляется в виде:
Правило № 07:
Возведение в квадрат каждой из отрицательных сторон неравенства меняет направление неравенства: 2 Правило # 08:
При инвертировании каждой ненулевой части неравенства меняется направление неравенства:
a1/b
Вы можете спросить, как вы решаете неравенства? Итак, пусть будет ясно, что вы должны стараться следовать вышенаписанным правилам при решении неравенств. Эффективный решатель неравенств разрешает все неравенства, применяя правила неравенств.
Как решить линейное неравенство?При решении линейного неравенства типа «a.x>b» эффективным способом решения такого неравенства является калькулятор линейных неравенств. Например, когда вы вводите неравенство типа 5x>7, линейный калькулятор показывает результат вида x>7/5 и представляет. Калькулятор составного неравенства графа отображает графическое представление простых калькуляторов.
Как решить квадратное неравенство:При решении квадратного неравенства вида ax2+bx c>0 процесс прост, если у вас есть действительные корни. Калькулятор квадратных неравенств быстро реагирует, и все шаги неравенства представлены шаг за шагом.
Когда мы подставляем x2+6x+9>0 в калькулятор составных неравенств, мы находим корни x>-3 и x<3. Оба корня вещественны по своей природе, и при решении и построении графика неравенств квадратного уравнения x2+6x+9>0. Прямая линия представлена в виде графиков, лежащих между значениями -3 >x<-3.
Решение рационального неравенства:
Решение неравенств с дробями типа (x+1)/(3−x)>2 может быть простым и эффективным при вводе значений в калькулятор рационального неравенства. Граф калькулятора составного неравенства представляет собой следующий график рациональной дроби и решает следующее неравенство (x+1)/(3−x)>2 в мгновение ока. Ответ вышеупомянутых рациональных дробей 5/3 Решение неравенств с помощью калькулятора сложных неравенств очень просто, и мы подготовили для вас руководство по работе с ним: Ввод: Вывод: Бесплатный калькулятор делает следующие вычисления: Из источника Википедии: Свойства на числовой прямой, Цепная запись, Неравенства между средними Из источника bbc. co.uk/bitesze: неравенства, теоремы Из источника tutorme.com: Цель обучения, Введение, Математическое неравенство Этот калькулятор угловых точек поможет вам решить задачу линейного программирования и найти угловых точек допустимой области . Он также найдет угловую точку, где максимум или минимальное значение целевой функции . Если какой-либо из этих терминов вызывает недоумение, не волнуйтесь. Мы здесь, чтобы сделать вашу жизнь проще😉. В этой статье мы обсудим линейное программирование , вычисление и нахождение допустимых областей, поиск угловых точек алгебраически и графически , а также максимизацию или минимизацию целевой функции . Так что, пожалуйста, возьмите чашку кофе ☕️ и давайте вместе разберемся с математикой угловых точек! Модель оптимизации с ограничениями — это математическая модель, которая находит наилучшее решение (или оптимальное решение ), которое удовлетворяет заданному набору ограничений. Модель оптимизации с ограничениями состоит из трех основных частей: Переменные решения — это переменные в проблеме или системе, которые мы должны оптимизировать. Их представляют алгебраические символы, например, xxx,yyy или x1x_1x1, x2x_2x2 и т. д. Целевая функция — это оценивающий критерий , который мы должны максимизировать или минимизировать. Это функция переменных решения и, возможно, мера прибыли, времени обработки и т. д., которую мы должны максимизировать или минимизировать. Ограничения — это система равенств или неравенств, представляющая любые ограничения, связанные с технологией, физикой, экономикой и т. д. Например, ограничение может ограничивать количество денег, затрачиваемых в каждом процессе, количество веса, разрешенного в каждом мешке, и т. д. Оптимальное решение задачи должно удовлетворять всем ограничениям. Линейная программа представляет собой модель оптимизации с ограничениями, которая отвечает следующим требованиям: Математически мы можем записать задачу линейного программирования (LPP) как: Развернуть/свернуть P=pxx+pyy\scriptsize \text{Развернуть/свернуть} P = p_x x + p_y y
Развернуть/свернуть P=pxx+pyy ≤subject to a1x+b1y=c1≥≤a2x+b2y=c2≥⋮≤anx+bny=cn≥\scriptsize\begin{align*}
&\leq\\
\text{при условии}\kern{4em} a_1 x + b_1 y &= c_1\\
& \geq\\\\
&\leq\\
a_2 x + b_2 y &= c_2\\
& \geq\\
\vdots\kern{1.5em}&\\
&\leq\\
a_n x + b_n y &= c_n\\
& \geq\\
\end{align*}при условии a1x+b1ya2x+b2y⋮anx+bny≤=c1≥≤=c2≥≤=cn≥ , где: Обычно переменных решения должны быть неотрицательными , т. е. x≥0x\geq0x≥0, y≥0y\geq0y≥0. Это также ограничения на модель, и мы можем выразить их, выбрав соответствующие значения для коэффициентов ana_nan и bnb_nbn в ограничениях. Множество точек, удовлетворяющих ограничениям LPP, называется допустимый набор . Если мы нанесем все ограничения на график, область, пересекающая все эти неравенства, будет содержать допустимое множество. Мы называем эту область допустимой областью . угловых точек (или крайних точек) допустимой области являются точками пересечения двух (или более) ограничений. Возможная область может быть ограниченной или неограниченной, но должна иметь по крайней мере одну угловую точку. Хотя каждая точка в допустимом множестве является технически решением для LPP, оптимальное решение — это такое решение, которое должно максимизировать или минимизировать целевую функцию . В линейном программировании хотя бы одна угловая точка является оптимальным решением . Попробуем понять, как найти угловые точки алгебраически на примере. Рассмотрим следующий LPP: Максимизируйте P=30x+40y\scriptsize \text{Максимизируйте}\kern{4.4em} P = 30 x + 40 yМаксимизируйте P=30x+40y при условии 2x+3y≤18x+y≤9x+2y≤16x ≥0y≥0\scriptsize\begin{выравнивание*}
\text{при условии}\kern{5em} 2 x + 3 y &\leq 18\\
х + у &\leq 9\\
х+2у &\leq 16\\
х& \geq 0\\
у& \geq 0
\end{align*}subject to 2x+3yx+yx+2yxy≤18≤9≤16≥0≥0 Мы можем найти угловые точки алгебраически, выполнив следующие шаги: 2x+3y=18x+y=9x+2y=16x=0y=0\kern{4.8em}\scriptsize\begin{align*}
2 х + 3 у &= 18\\
х + у &=9\\
х+2у &=16\\
х& = 0\\
у& = 0
\end{align*}2x+3yx+yx+2yxy=18=9=16=0=0
Ссылки: Калькулятор угловых точек| Линейное программирование
Задача линейного программирования (LPP)
Возможные области и угловые точки
Как найти угловые точки алгебраически
x=9\kern{6em}\scriptsize x = 9x=9
Следовательно, точка (9,0)(9,0)(9,0) является решением для уравнения 2x+3y=182x+3y=182x+3y=18 и x+y=9x+y=9x+y=9. Точно так же найдите решения для любого другого набора уравнений, чтобы получить их точки пересечения. Кроме того, вы можете использовать наш калькулятор системы уравнений или калькулятор метода подстановки, чтобы найти решения быстрее и проще!
Уравнения | Точка пересечения |
---|---|
2x+3y=1 82x+3y=182x+3y=18,x+y=9x+y=9x+y=9 | (9,0)(9,0)(9,0) |
2x+3y=182x+3y=182x+3y=18,x+2y=16x+2y=16x+2y=16 | (-12,14)(-12,14)(-12,14) |
2x+3y=182x+3y=182x+3y=18,x=0x=0x=0 90 003 | (0,6)(0,6)(0,6) |
2x+3y=182x+3y=182x+3y=18,y=0y=0y=0 | (9,0)(9,0)(9,0) |
x+y=9x+y=9x+y=9, x+2y=16x+2y=16x+2y=16 | (2,7)(2,7)(2,7) |
х+у=9х+у=9х+у=9, х=0х=0х=0 | (0,9)(0,9)(0,9) |
х +y=9x+y=9x+y=9, y=0y=0y=0 | (9,0)(9,0)(9,0) |
x+2y=16x +2у=16х+2у=16, х=0х=0х=0 | (0,8)(0,8)(0,8) |
x+2y=16x+2y=16x+2y=16, y=0y=0y=0 | 904 58|
x=0x=0x=0, y=0y=0y=0 | (0,0)(0,0) (0,0) |
- Применить Неравенство Ограничения к этому набору из пересекающихся точек и извлекит точки, которые удовлетворяют все . Эти точки наши угловых точек ! Любая точка, которая не удовлетворяет всем неравенствам ограничений, лежит за пределами допустимой области .
Например, точка (9,0)(9,0)(9,0) удовлетворяет всем ограничениям:
2(9)+3(0)=18≤18(9)+(0) =9≤9(9)+2(0)=9≤16(9)=9≥0(0)=0≥0\scriptsize\begin{align*} 2 (9) + 3 (0) &= 18 \leq 18\\ (9) + (0) &=9 \leq 9\\ (9)+2(0) &=9 \leq16\\ (9)& = 9 \geq 0\\ (0)& = 0 \geq 0 \end{выравнивание*}2(9)+3(0)(9)+(0)(9)+2(0)(9))(0)=18≤18=9≤9=9≤16=9≥0=0≥0
Следовательно, (9,0)(9,0)(9,0) является угловой точкой . С другой стороны, точка (−12,14)(-12,14)(−12,14) не удовлетворяет ограничению x≥0x\geq0x≥0 и, следовательно, лежит вне возможных регион .
Проверьте свое понимание, применяя ограничения для оставшихся точек, чтобы получить оставшиеся угловые точки. Вы можете проверить свой ответ по таблице угловых точек в конце следующего раздела.
Как найти угловые точки неравенства графически
Давайте продолжим использовать ту же задачу LPP, которую мы представили в предыдущем разделе. Чтобы графически найти угловые точки допустимой области, выполните следующие действия:
- Преобразуйте неравенств в ограничениях в равенств . Мы получим следующие линейных уравнений :
2x+3y=18x+y=9x+2y=16x=0y=0\kern{4.8em}\scriptsize\begin{align*} 2 х + 3 у &= 18\\ х + у &=9\\ х+2у &=16\\ х& = 0\\ у& = 0 \end{align*}2x+3yx+yx+2yxy=18=9=16=0=0
- Постройте эти линий на графике . Одним из простых способов является нахождение x- и y-пересечений . Чтобы получить точку пересечения x для линии 2x+3y=182x+3y=182x+3y=18, подставьте y=0y=0y=0; мы получаем х=9х=9х=9. Следовательно, (9,0)(9,0)(9,0) является точкой пересечения по оси x. Точно так же подставьте x=0x=0x=0, чтобы получить y-пересечение (0,6)(0,6)(0,6). Вы можете использовать наш калькулятор точки пересечения y, чтобы найти точки пересечения из уравнения прямой.
- Оттенок область графа, которая удовлетворяет всем ограничениям . Это возможная область LPP. Это пересечение всех неравенств ограничений.
- Извлечь угловых точек из вершин из граница допустимой области . Полученные таким образом угловые точки:
Угловые точки |
---|
(9,0)(9,0)(9,0) | (0,6)(0,6)(0, 6) |
(0,0)(0,0)(0,0) |
Как найти оптимальное решение, используя угловые точки?
Оптимальное решение задачи линейного программирования будет иметь хотя бы одну из угловых точек. Чтобы найти оптимальное решение по угловым точкам, выполните следующие действия:
- Оцените целевую функцию в каждой угловой точке .
- Если цель состоит в том, чтобы максимизировать целевую функцию , найти угол , который дает наибольшее значение целевой функции .
- Если цель состоит в том, чтобы минимизировать целевую функцию , найти угловую точку , которая дает наименьшее значение целевой функции .
Помните, что можно найти несколько угловых точек, обеспечивающих оптимальное решение.
Оценим целевую функцию в нашем примере, чтобы найти оптимальное решение:
Угловая точка | P=30x+40yP = 30x+40yP=30x+40y | |
---|---|---|
(9,0)(9,0)(9,0) 9 0461 | 270270270 | Максимум |
(0,6)(0,6)(0,6) | 240240240 | |
(0,0)(0,0)(0,0) | 000 |
Поскольку наша цель состояла в том, чтобы максимизировать P=30x+40yP = 30x+40yP=30x+40y, оптимальное решение равно 270270270 и находится в угловой точке (9,0)(9,0)(9,0).
Как использовать этот калькулятор угловых точек (онлайн-решатель LP)
Этот калькулятор угловых точек представляет собой простой инструмент для решения данного LPP путем нахождения угловых точек неравенств (или ограничений) и вычисления целевой функции . Он может обрабатывать две переменные решения и до пять ограничений :
- Введите коэффициенты pxp_xpx и pyp_ypy из целевая функция .
- Выберите , должен ли этот калькулятор линейного программирования минимизировать или максимизировать целевую функцию.
- Выберите количество ограничений в линейной программе.
- Введите коэффициенты aaa, bbb и ccc каждого ограничения .
- Этот калькулятор угловых точек сгенерирует таблицу всех угловых точек , за которой следуют оптимальное решение путем вычисления целевой функции и ограничений.
💡 Совет: изо всех сил пытаетесь добавить неотрицательных (или неположительных ) ограничений на переменные решения? Вы можете сделать это, введя 000 и 111 в качестве переменной коэффициентов ! Например, чтобы применить ограничение x≥0x \geq 0x≥0, введите a1a_1a1 как 111, b1b_1b1 как 000 и c1c_1c1 как 000. Убедитесь, что вы выбрали правильный знак неравенства!
Если результаты не отображаются, значит, калькулятор не нашел угловых точек на основе введенных вами данных, и это неразрешимая задача . Попробуйте ослабить ограничения, чтобы создать достижимую область.
Часто задаваемые вопросы
Какая точка допустимой области максимизирует целевую функцию?
максимальное (или минимальное) значение целевой функции должно встречаться в любой из угловых точек допустимой области . Чтобы определить эту точку, выполните следующие действия:
- Оцените целевую функцию в каждой угловой точке допустимой области.
- Определите максимальное среди этих расчетных значений. Точка угла , в которой находится это значение, является точкой, в которой максимизирует целевую функцию .
В некоторых случаях можно найти более одной угловой точки, которая максимизирует целевую функцию.
Может ли область осуществимости состоять из двух отдельных частей?
№ . Область допустимости в задаче линейного программирования представляет собой пересечение различных областей, каждая из которых удовлетворяет конкретному ограничению (неравенству). Следовательно, его область допустимости всегда одна область пространства, которая удовлетворяет всем ограничениям , ограниченным или неограниченным.