Систему линейных уравнений решить по формулам крамера: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Содержание

Презентация «Решение систем линейных уравнений методом Крамера»

ТЕМА УРОКА:

«РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МЕТОДОМ КРАМЕРА»

Преподаватель ГБПОУ РО «БГИТ» Шматко Г.В.

«Без знаний математики нельзя понять ни основ современной техники, ни того, как ученые изучают природные и социальные явления» (А.Н. Колмогоров)

ЦЕЛИ УРОКА:

1) вспомнить основные методы решения систем уравнений; 2) познакомиться с решением систем, состоящих из двух линейных уравнений с двумя неизвестными«методом Крамера»; 3) научиться применять данный метод при решении конкретных практических задач.

1. Какое уравнение называется линейным?

Уравнение называется линейными, если оно содержит переменные (неизвестные) только в первой степени и не содержит произведений неизвестных.

Обычно линейное уравнение определяется, как уравнение вида:

ax + b = 0,

где а и b – любые числа.

2. Что называется системой линейных уравнений?

Система уравнений составленная из двух или более линейных уравнений

3. Что является решением системы уравнений?

1)Решением системы из двух уравнений является пара чисел (x, y), которые при подстановке в уравнения системы, обращают каждое уравнение системы в верное равенство.

2)Решением системы из трех уравнений является тройка чисел (x, y, z), которые при подстановке в уравнения системы, обращают каждое уравнение системы в верное равенство.

4. Какие способы решения систем из двух линейных уравнений вам известны?

Метод алгебраического сложения

Метод подстановки

СВЕДЕНИЯ ИЗ ИСТОРИИ

Габриель Крамер (1704-1752)- швейцарский математик.

Он установил правила решения систем n линейных уравнений с n неизвестными (правило Крамера) и заложил основы теории определителей.

Задача: Фирма состоит из двух отделений, суммарная величина прибыли которых в минувшем году составила 12 млн усл. ед. На этот год запланировано увеличение прибыли первого отделения в 1,7 раза, второго – 1,4 раза. В результате суммарная прибыль должна вырасти в 1,5 раза. Какова величина прибыли каждого из отделений в минувшем году?

Для решения этой задачи необходимо ее условие представить в следующем виде:

Где x и y — это прибыли первого и второго отделений в минувшем году.

« МЕТОД КРАМЕРА» ИЛИ «МЕТОД ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ»

Рассмотрим систему из двух линейных уравнений в общем виде:

В основе «метода Крамера» стоят следующие формулы:

где  — это число – определитель системы

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНКРЕТНОЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

1. Найдем определитель системы:

2. Найдем определители:

3. Найдем решения системы с помощью формул Крамера:

4. Запишем ответ: (2;3)

« МЕТОД КРАМЕРА» ИЛИ «МЕТОД ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ»

Рассмотрим систему из двух линейных уравнений в общем виде:

В основе «метода Крамера» стоят следующие формулы

 — это число – определитель системы

РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ:

1. Найдем определитель системы:

2. Найдем определители:

3. Найдем решения системы с помощью формул Крамера:

4. Запишем ответ: (4; 8)

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

Решите задачу: Швейная фабрика в течении двух дней производила плащи и куртки. Известны объемы выпуска продукции за два дня и денежные затраты на производство за эти два дня. Найдите себестоимость продукции каждого вида.

День

Объем выпуска продукции (шт.)

Куртки

Плащи

Затраты

(тыс.усл.ед.)

116

128

СПАСИБО!

ВЫ МОЛОДЦЫ!

Правило Крамера | Формула правила Крамера

Содержание

Если вы хотите решить систему линейных уравнений со многими переменными, то методы исключения и замены отнимают много времени. Правило Крамера — это более короткий способ простого и быстрого решения таких уравнений. Правило Крамера использует определители и их свойства для решения системы линейных уравнений.

Давайте разберемся, что такое правило Крамера и его формула на примерах.

Что такое правило Крамера?

Правило Крамера — один из важных методов, применяемых для решения системы уравнений. Это правило названо в честь Габриэля Крамера, опубликовавшего правило для произвольного числа неизвестных в 1750 году. Это наиболее часто используемая формула для получения решения данной системы уравнений, образованной с помощью матриц.

В этом методе значения переменных в системе уравнений вычисляются с помощью определителей матриц. Таким образом, правило Крамера также известно как детерминантный метод. Это правило имеет некоторые ограничения в отношении решений. Это правило применимо только тогда, когда система имеет единственное решение.

Если имеется система уравнений от $n$ переменных $x_1$, $x_2$, $x_3$, …, $x_n$, записанная в матричной форме $\text{AX} = \text{B}$, где

$\text{A}$ = матрица коэффициентов, представляющая собой квадратную матрицу
$\text{X}$ = матрица-столбец с переменными
$\text{B}$ = матрица-столбец с константами (находящимися в правой части уравнений)

Формула правила Крамера

Правило Крамера для решения системы линейных уравнений использует формулу, включающую определители матриц, полученных из набора заданных линейных уравнений. Эта формула известна как формула правила Крамера. 9Столбец {th}$ заменяется матрицей столбцов $\text{B}$

Разделите каждый из этих определителей $\text{D}_{x1}$, $\text{D}_{x2}$, $\text{D}_{x3}$, …, $\text{D} _{nn}$ на $\text{D}$, чтобы найти значение соответствующих переменных. То есть $x_{1} = \frac{\text{D}_{x1}}{\text{D}}$, $x_{2} = \frac{\text{D}_{x2}}{ \text{D}}$, $x_{3} = \frac{\text{D}_{x3}}{\text{D}}$…., $x_{n} = \frac{\text{ D}_{xn}}{\text{D}}$.

Примечание:

Система уравнений имеет единственное решение только при $\text{D} \ne 0$
Система уравнений не имеет решения при $\text{D} = 0$

Правило Крамера 2 x 2

Правило Крамера $2 \times 2$ используется для решения пары линейных уравнений с двумя переменными.

Следующие шаги используются для решения пары линейных уравнений с двумя переменными $x$ и $y$ с использованием правила Крамера.

Шаг 1: Запишите пару линейных уравнений в матричной форме $\text{AX} = \text{B}$.

Шаг 2: Найдите $\text{D}$, который является определителем матрицы $\text{A}$. Также найдите определители $\text{D}_x$ и $\text{D}_y$, где

$\text{D}_x = det (\text{A})$, где первый столбец заменен на $\text{B}$
$\text{D}_y = det (\text{A})$, где второй столбец заменен на $\text{B}$

Шаг 3: Найдите значения переменных $x$ и $y$, разделив каждое из $\text{D}_x$ и $\text{D}_y$ на $\text{D}$ соответственно. .

Примеры правила Крамера 2 x 2

Пример 1: Решите пару линейных уравнений: $3x – y = 7$ и $2x + 5y = -1$.

Данная пара уравнений равна

$3x – y = 7$ ——————————— (1)

$2x + 5y = -1$ ——————————— (2)

Переписав уравнения в виде матриц, получим

$\begin{bmatrix} 3 & -1\\ 2 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7\\ -1 \end{bmatrix }$, который имеет вид $\text{AX} = \text{B}$, где

$\text{A} = \begin{bmatrix} 3 & -1\\ 2 & 5 \end{bmatrix}$
$\text{X} = \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}$
$\text{B} = \begin{bmatrix} 7\\ -1 \end{bmatrix}$

Следовательно,

$\text{D} = \begin{vmatrix} 3 & -1\\ 2 & 5 \end{vmatrix}$
$\text{D}_x = \begin{vmatrix} 7 & -1\\ -1 & 5 \end{vmatrix}$ (Замена $x$ на $\text{B}$)
$\text{D}_y = \begin{vmatrix} 3 & 7\\ 2 & -1 \end{vmatrix}$ (Замена $y$ на $\text{B}$)

Теперь, решив определители $\text{D}$, $\text{D}_x$ и $\text{D}_y$, получим

$\text{D} = \begin{vmatrix} 3 & -1\\ 2 & 5 \end{vmatrix} = 3 \times 5 – (-1) \times 2 = 15 + 2 = 17$

$\text{D}_x = \begin{vmatrix} 7 & -1\\ -1 & 5 \end{vmatrix} = 7 \times 5 – (-1) \times (-1) = 35 – 1 = 34$

$\text{D}_y = \begin{vmatrix} 3 & 7\\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 3 \times (-1) – 7 \times 2 = -3 – 14 = -17$

Следовательно, $x = \frac{\text{D}_x}{\text{D}} = \frac{34}{17} = 2$, а $y = \frac{\text{D}_y} {\text{D}} = \frac{-17}{17} = -1$.

Пример 2: Решите пару линейных уравнений: $2x – y = 1$ и $x + 2y = 13$.

Данная пара уравнений равна

$2x – y = 1$ ——————————- (1)

$x + 2y = 13$ ——————————— (2)

Переписав уравнения в виде матриц, получим

$\begin{bmatrix} 2 & -1\\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ 13 \end{bmatrix} $, который имеет вид $\text{AX} = \text{B}$, где

$\text{A} = \begin{bmatrix} 2 & -1\\ 1 & 2 \end{bmatrix}$
$\text{X} = \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}$
$\text{B} = \begin{bmatrix} 1\\ 13 \end{bmatrix}$

Следовательно,

$\text{D} = \begin{vmatrix} 2 & -1\\ 1 & 2 \end{vmatrix}$
$\text{D}_x = \begin{vmatrix} 1 & -1\\ 13 & 2 \end{vmatrix}$ (Замена $x$ на $\text{B}$)
$\text{D}_y = \begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & 13 \end{vmatrix}$ (Замена $y$ на $\text{B}$)

Теперь, решив определители $\text{D}$, $\text{D}_x$ и $\text{D}_y$, получим

$\text{D} = \begin{vmatrix} 2 & -1\\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \times 2 – (-1) \times 1 = 4 + 1 = 5$

$\text{D}_x = \begin{vmatrix} 1 & -1\\ 13 & 2 \end{vmatrix} = 1 \times 2 – (-1) \times 13 = 2 + 13 = 15$

$\text{D}_y = \begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & 13 \end{vmatrix} = 3 \times 13 – 1 \times 1 = 26 – 1 = 25$

Следовательно, $x = \frac{\text{D}_x}{\text{D}} = \frac{15}{5} = 3$, а $y = \frac{\text{D}_y} {\text{D}} = \frac{25}{5} = 5$.

Пример 3: Решите пару линейных уравнений: $3x – 2y = 7$ и $-6x + 4y = 9$.

Данная пара уравнений равна

$3x – 2y = 7$ ——————————— (1)

$-6x + 4y = 9$ ——————————— (2)

Переписав уравнения в виде матриц, получим

$\begin{bmatrix} 3 & -2\\ -6 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7\\ 9 \end{bmatrix }$, который имеет вид $\text{AX} = \text{B}$, где

$\text{A} = \begin{bmatrix} 3 & -2\\ -6 & 4 \end{bmatrix}$
$\text{X} = \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}$
$\text{B} = \begin{bmatrix} 7\\ 9 \end{bmatrix}$

Следовательно,

$\text{D} = \begin{vmatrix} 3 & -2\\ -6 & 4 \end{vmatrix}$
$\text{D}_x = \begin{vmatrix} 7 & -2\\ 9 & 4 \end{vmatrix}$ (Замена $x$ на $\text{B}$)
$\text{D}_y = \begin{vmatrix} 3 и 7\\ -6 и 9\end{vmatrix}$ (Замена $y$ на $\text{B}$)

Теперь, решив определители $\text{D}$, $\text{D}_x$ и $\text{D}_y$, получим

$\text{D} = \begin{vmatrix} 3 & -2\\ -6 & 4 \end{vmatrix} = 3 \times 4 – (-2) \times )-6) = 12 – 12 = 0 $

$\text{D}_x = \begin{vmatrix} 7 & -2\\ 9 & 4 \end{vmatrix} = 7 \times 4 – (-2) \times 9 = 28 + 18 = 46$

$\text{D}_y = \begin{vmatrix} 3 & 7\\ -6 & 9 \end{vmatrix} = 3 \times 9 – 7 \times (-6) = 27 + 42 = 69$

Следовательно, $x = \frac{\text{D}_x}{\text{D}} = \frac{46}{0} = \text{Undefined}$ и $y = \frac{\text{ D}_y}{\text{D}} = \frac{69}{0} = \text{Undefined}$.

Таким образом, пара уравнений $3x – 2y = 7$ и $-6x + 4y = 9$ не имеет решения.

Примечание: При $\text{D} = 0$ система линейных уравнений не имеет решений, т.е. система уравнений несовместна.

Правило Крамера 3 x 3

Правило Крамера $3 \times 3$ используется для решения системы линейных уравнений с тремя переменными.

Мы просто расширим тот же процесс правила Крамера для пары линейных уравнений и на систему уравнений $3 \times 3$.

Ниже приведены шаги по решению этой системы уравнений 3×3 с тремя переменными $x$, $y$ и $z$ с применением правила Крамера.

Шаг 1: Запишите систему уравнений в матричной форме $\text{AX} = \text{B}$

Шаг 2: Найдите $\text{D}$, который является определителем матрицы $\text{A}$, т. е. $\text{D} = det (\text{A})$. Также найдите определители $\text{D}_x$, $\text{D}_y$ и $\text{D}_z$, где

$\text{D}_x = det (\text{A})$, где первый столбец заменен на $\text{B}$
$\text{D}_y = det (\text{A})$, где второй столбец заменен на $\text{B}$
$\text{D}_z = det (\text{A})$, где третий столбец заменен на $\text{B}$

Шаг 3: Найдите значения переменных $x$, $y$ и $z$, разделив каждое из $\text{D}_x$, $\text{D}_y$ и $\ text{D}_z$ на $\text{D}$ соответственно.

Примеры правила Крамера 3 x 3

Пример 1: Решите систему линейных уравнений: $2x + 5y + 2z = -38$, $3x – 2y + 4z = 17$ и $6x – y + 7z = 12$

Данная система уравнений равна

$2x + 5y + 2z = -38$ ———————————— (1)

$3x – 2y + 4z = 17$ ———————————— (2)

$6x – y + 7z = 12$ ———————————— (3)

Переписав уравнения в виде матриц, получим

$\begin{bmatrix} 2 & 5 & 2\\ 3 & -2 & 4 \\ 6 & -1 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \\ z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -38 \\ 17 \\ 12 \end{bmatrix}$, который имеет вид $\text{AX} = \text{B}$, где

$\text{A} = \begin{bmatrix} 2 & 5 & 2\\ 3 & -2 & 4 \\ 6 & -1 & 7 \end{bmatrix}$
$\text{X} = \begin{bmatrix} x\\ y \\ z\end{bmatrix}$
$\text{B} = \begin{bmatrix} -38\\ 17 \\ 12 \end{bmatrix}$

Следовательно,

$\text{D} = \begin{vmatrix} 2 & 5 & 2\\ 3 & -2 & 4 \\ 6 & -1 & 7 \end{vmatrix} $
$\text{D}_x = \begin{vmatrix} -38 & 5 & 2\\ 17 & -2 & 4 \\ 12 & -1 & 7\end{vmatrix}$ (Замена $x$ на $\ текст{B}$)
$\text{D}_y = \begin{vmatrix} 2 & -38 & 2\\ 3 & 17 & 4 \\ 6 & 12 & 7 \end{vmatrix}$ (Замена $y$ на $\text{ Б}$)
$\text{D}_z = \begin{vmatrix} 2 & 5 & -38\\ 3 & -2 & 17 \\ 6 & -1 & 12 \end{vmatrix}$ (Замена $z$ на $\ текст{B}$)

Теперь, решив определители $\text{D}$, $\text{D}_x$, $\text{D}_y$, $\text{D}_z$, получим

$\text{D} = \begin{vmatrix} 2 & 5 & 2\\ 3 & -2 & 4 \\ 6 & -1 & 7 \end{vmatrix}$

$ = 2\begin{vmatrix} -2 и 4\\ -1 и 7 \end{vmatrix} – 5\begin{vmatrix} 3 и 4\\ 6 и 7 \end{vmatrix} + 2\begin{vmatrix } 3 & -2\\ 6 & -1 \end{vmatrix}$

$ = 2 х (-2 х 7 – 4 х (-1)) – (-5) х (3 х 7 – 4 х 6) + 2 х (3 х (-1) ) – (-2)\умножить на 6)$

$ = 2 \раз (-14 + 4) + 5 \раз (21 – 24) + 2 \раз (-3 + 12)$

$ = 2 \times (-10) + 5 \times (-3) + 2 \times 9 = -20 – 15 + 18 = -17 $

$\text{D}_x = \begin{vmatrix} -38 & 5 & 2\\ 17 & -2 & 4 \\ 12 & -1 & 7 \end{vmatrix}$

$ = -38\begin{vmatrix} -2 и 4\\ -1 и 7 \end{vmatrix} – 5\begin{vmatrix} 17 и 4\\ 12 и 7 \end{vmatrix} + 2\begin{ vmatrix} 17 & -2\\ 12 & -1 \end{vmatrix}$

$ = -38 х (-2 х 7 – 4 х (-1)) – 5 х (17 х 7 – 4 х 12) + 2 х (17 х (-1) – (-2)\умножить на 12)$

$ = -38 \раз (-14 + 4) – 5 \раз (119– 48) + 2 х (-17 + 24)

$ = -38 \times (-10) – 5 \times 71 + 2 \times 7 = 380 – 355 + 14 = 39$

$\text{D}_y = \begin{vmatrix} 2 & -38 & 2\\ 3 & 17 & 4 \\ 6 & 12 & 7 \end{vmatrix}$

$= 2\begin{vmatrix} 17 и 4\\ 12 и 7 \end{vmatrix} – (-38)\begin{vmatrix} 3 и 4\\ 6 и 7 \end{vmatrix} + 2\begin{ vmatrix} 3 и 17\\ 6 и 12 \end{vmatrix}$

$ = 2 х (17 х 7 – 4 х 12) – (-38) х (3 х 7 – 4 х 6) + 2 х (3 х 12 – 17 х 6) $

$ = 2 \раз (119 – 48) + 38 \раз (21 – 24) + 2 \раз (36 – 102)

$= 2 \times 71 + 38 \times (-3) + 2 \times (-66) = -104$

$\text{D}_z = \begin{vmatrix} 2 & 5 & -38\\ 3 & -2 & 17 \\ 6 & -1 & 12 \end{vmatrix}$

$ = 2\begin{vmatrix} -2 и 17\\ -1 и 12 \end{vmatrix} – 5\begin{vmatrix} 3 и 17\\ 6 и 12 \end{vmatrix} – 38\begin{vmatrix } 3 & -2\\ 6 & -1 \end{vmatrix}$

$ = 2 х (-2 х 12 – 17 х (-1)) – (-5) х (3 х 12 – 17 х 6) – 38 х (3 х (-1) ) – (-2)\умножить на 6)$

$ = 2 \раз (-24 + 17) + 5 \раз (36 – 102) – 38 \раз (-3 + 12)$

$ = 2 \times (-7) + 5 \times (-66) – 38 \times 9 = -14 – 330 – 342 = -686$

Следовательно, $x = \frac{\text{D}_x}{\text{D}} = \frac{39}{-17}= -\frac{39}{17}$, $y = \frac {\text{D}_y}{\text{D}} = \frac{-104}{-17} = \frac{104}{17}$ и $z = \frac{\text{D}_z }{\text{D}} = \frac{-686}{-17} = \frac{686}{17}$.

Условия правила Крамера

Существуют определенные условия применения правила Крамера для решения данной системы уравнений. Некоторые из них включают следующее:

Правило Крамера не выполняется для системы уравнений, в которой $\text{D} = 0$, поскольку для нахождения значений неизвестных $\text{D}$ должно стоять в знаменателе, а значит, эти значения остаются неопределенными.
Кроме того, когда $\text{D} = 0$, будут две возможности, для которых
- Система может не иметь решения.
- Система может иметь бесконечное количество решений.
Отсюда мы можем сказать, что по крайней мере один из определителей числителя равен $0$ (что означает бесконечно много решений) или ни один из определителей числителя не равен $0$ (что означает отсутствие решения)
Если $\text{D} \ne 0$, говорят, что система $\text{AX} = \text{B}$ имеет единственное решение.
Таким образом, правило Крамера помогает нам определить, имеет ли данная система «нет решений» или «бесконечное число решений», используя определители, которые мы вычисляем для применения правила.

Ключевые выводы

При наличии $n$ переменных и $n$ уравнений необходимо вычислить $(n + 1)$ определителей.
Это правило может дать решения только тогда, когда $\text{D} \ne 0$.
Если $\text{D} = 0$, то система либо имеет бесконечное число решений, либо не имеет решений.
Мы не можем найти решения, используя это правило, когда система имеет бесконечное число решений.

Практические задачи

Решите следующую систему уравнений, используя правило Крамера.

3x + 2y = 8$, 6x – 4y = 9$
$x + 3y = 6$, $2x – 3y = 12$
141x + 93y = 189$, 93x + 141y = 45$
$x – y + z = 2$, $2x – y – z = -6$, $2x + 2y + z = -3$
$3x + y + z = 2$, $x + 2y + z = -3$, $3x + y + 2z = 4$
$x – 3y + z = -5$, $-3x – y – z = 1$, $2x – 2y + 3z = 1$

Часто задаваемые вопросы

Всегда ли работает правило Крамера?

Нет, правило Крамера работает не всегда. Он применим только тогда, когда данная система уравнений имеет единственное решение.

Что еще называют правилом Крамера?

Правило Крамера также известно как метод определителя.

Как работает правило Крамера?

Правило Крамера используется для нахождения решения системы уравнений с единственным решением. Он также используется, чтобы определить, имеет ли система единственное решение, не имеет решения или имеет бесконечное число решений.

Что такое определение правила Крамера?

Правило Крамера утверждает решение системы уравнений, записанной в матричной форме $\text{AX} = \text{B}$ (где $\text{A}$ — матрица коэффициентов, $\text{X }$ — матрица-столбец переменных, а $\text{B}$ — матрица-столбец коэффициентов) получается делением $det (\text{A})$ на тот же определитель, где соответствующие столбцы заменены на матрица $\text{B}$.

Что такое правило Крамера 2×2?

Сначала запишите данную систему уравнений $2 \times 2$ в виде $\text{AX} = \text{B}$, где $\text{X}$ — матрица-столбец переменных $x$ и $ у $. Затем найдите определители $\text{D}$, $\text{D}_x$ и $\text{D}_y$, где $\text{D} = det(\text{A})$ и $ \text{D}_x$ и $\text{D}_y$ аналогичны $det(\text{A})$, где первый и второй столбцы соответственно заменены матрицей $\text{B}$. Затем мы используем следующее, чтобы найти переменные $x$ и $y$.
a) $x = \frac{\text{D}_x}{\text{D}}$
b) $y = \frac{\text{D}_y}{\text{D}}$

Что такое $\text{D}_x$ в правиле Крамера?

Чтобы решить систему уравнений с помощью правила Крамера, сначала запишем ее в виде $\text{AX} = \text{B}$. Тогда $\text{D}_x$ является определителем матрицы коэффициентов по правилу Крамера, где первый столбец заменен матрицей-столбцом $\text{B}$.

Каковы преимущества правила Крамера?

Правило Крамера используется для решения системы уравнений, в которой количество переменных равно количеству уравнений. Кроме того, используя это правило, мы можем сразу найти значение любой переменной, не находя другие переменные.

Что такое правило Крамера 3×3?

Сначала запишите данную систему $3 \times 3$ уравнений в виде $\text{AX} = \text{B}$, где $\text{X}$ — матрица-столбец переменных $x$, $ у$ и $z$. Затем найдите определители $\text{D}$, $\text{D}_x$, $\text{D}_y$ и $\text{D}_z$, где $\text{D} = det( \text{A})$ и $\text{D}_x$, $\text{D}_y$ и $\text{D}_z$ совпадают с $det(\text{A})$, где первый, второй и третий столбцы соответственно заменены матрицей $\text{B}$. Затем используйте следующую команду, чтобы найти переменные $x$, $y$ и $z$.
a) $x = \frac{\text{D}_x}{\text{D}}$
b) $y = \frac{\text{D}_y}{\text{D}}$
c ) $z = \frac{\text{D}_z}{\text{D}}$

Заключение

Правило Крамера — один из важных методов, применяемых для решения системы уравнений. В этом методе значения переменных в системе уравнений вычисляются с помощью определителей матриц. Но это правило имеет некоторые ограничения в отношении решений. Это правило применимо только тогда, когда система имеет единственное решение.

Система линейных уравнений | Реальная статистика с использованием Excel.

0463, где A представляет собой матрицу N × K [ A _IJ ], x —
. n × 1 вектор-столбец [ c _j ].
Свойство 1 : Если A является квадратной матрицей (т. е. количество уравнений равно количеству неизвестных), уравнение AX = C имеет единственное решение тогда и только тогда, когда A обратимо (т. е. det A ≠ 0), и в этом случае единственное решение дается выражением X = A ^-1 C.
Свойство 2 ( 904 Правило Крамера): Если квадратная матрица A обратима, то единственное решение AX = C определяется формулой
, где A _j равно A с заменой 2-го столбца j 904 на 6 элементов из j 904. С .
Пример 1 : Решите следующую линейную систему, используя правило Крамера:
На рисунке 2 мы вычисляем det A и det A _j для каждого j .
Рисунок 1. Вычисление определителя с помощью правила Крамера = 0,
По свойству 1 мы можем получить тот же результат, вычислив A ^-1 C , который можно выполнить в Excel по формуле =ММНОЖ(МИНВЕРС( A ), C ). Для примера 1 это дает
Определение 2 : Когда C из определения 1 не является нулевой матрицей, то линейные уравнения называются гетерогенными . Когда C = Ο , линейные уравнения называются однородными . В этом случае Ο является решением AX = Ο , называемым тривиальное решение .
Свойство 3 : Если A обратимо, то X = Ο является единственным решением AX = Ο .
Доказательство: это следует из свойства 1.
Наблюдение : Когда A необратимо (т. е. det A = 0), любой скаляр, кратный нетривиальному решению однородного уравнения 904 AX = 3 Ο также является решением. Чтобы найти такое решение, мы можем использовать метод исключения Гаусса, метод, аналогичный тому, который мы использовали для вычисления определителя квадратной матрицы на основе свойства 5 определителей и линейных уравнений. Этот подход работает для любых A (независимо от того, квадратные они или нет, обратимые или нет).
Определение 3 : если A — это матрица N × K , а B — N × M MATRIX, а затем AUGHMIX AWARIX AWARIX AWARIX IS AWARIX a AWARIXEDEDEDED AWARIX — a a x . B — это n × ( k + m ) матрица, первые k столбцов которой идентичны столбцам в A , а остальные m столбцов идентичны столбцам в Б .
Свойство 4 : Если A’ и C’ получены из A и C на основе любого из следующих преобразований, то уравнения AX = A’X и C′ имеют такие же решения.
Замена любых двух рядов
Умножение любой строки на константу
Добавление любой строки, умноженной на константу, к другой строке
Наблюдение : Обычно мы применяем вышеуказанные преобразования к расширенной матрице A | С .
Определение 4 : Метод исключения Гаусса представляет собой способ решения линейных уравнений и основан на преобразованиях, описанных в свойстве 9. Предположим, что A и C такие, как описано в определении 1.
– установить i = 1 и j = 1
Теперь применим следующую серию преобразований к расширенной матрице (шаги 1– P , где P — меньше N и K ):
Шаг I — Часть 1: Найдите R ≥ I , такая абсолютная ценность ≥ I , такая абсолютная ценность ≥ I , такая абсолютная ценность ≥ I , такая Absolute Aslious a a a a stra ols ≥ a ols ≥ a str. самый большой. Если a _rj ≈ 0 (т. е. | a _rj | < ϵ, где ϵ — некоторое предопределенное малое значение), то если j = n завершить процедуру; в противном случае замените j на j + 1 и повторите шаг i. Если не a _rj ≈ 0 и r > k , затем поменять местами строки r и i (правило 1).
Шаг i – часть 2: разделите все записи в строке i на a _ij (правило 2).
Шаг i – часть 3: Для каждой строки r ниже строки i добавить – a _rj умножить на строку i до строки r). Это гарантирует, что a _rc = 0 для всех r > i и c ≤ j .
Наблюдение : Для неоднородных уравнений (т. е. C ≠ Ο ) есть три возможности: существует бесконечное число решений, нет решений или существует единственное решение. Для однородных уравнений (т. е. C = Ο ) возможны две возможности: существует бесконечное число решений или существует единственное решение, а именно тривиальное решение, где х = Ο .
Пример 2 : Решите следующую линейную систему с помощью исключения Гаусса:
На рис. 2 показаны этапы процесса исключения Гаусса для примера 2.
A преобразуется в единичную матрицу, мы знаем, что преобразование C является единственным решением системы линейных уравнений, а именно х = 0, у = 2 и z = -1. Обратите внимание, что мы получаем тот же результат, вычисляя X = A ^-1 C .
Пример 3 : Решите следующую однородную линейную систему с помощью исключения Гаусса:
С помощью исключения Гаусса из рисунка 3 мы видим, что единственным решением является тривиальное решение:
Рисунок 3 – Решение однородного линейного уравнения
Пример 4 : Решите следующую однородную линейную систему методом исключения Гаусса:
На этот раз метод исключения Гаусса дает строку со всеми нулями (см. рис. 4), а число ненулевых строк = 2 < 3 неизвестных. Таким образом, существует бесконечное множество решений.
Figure 4 – Finding solutions to homogeneous linear equations
The solutions can take the form x = -2.5 t , y = .5 t , z = t for any стоимость т .
Наблюдение : Как видно из вышеприведенных примеров, однородное уравнение AX = O , где A — матрица размером m × n , имеет единственное решение, когда после него имеется n ненулевых строк. выполнение исключения Гаусса. В противном случае уравнение имеет бесконечное число решений.
Реальные статистические функции Excel : Для выполнения процедуры исключения Гаусса предусмотрены следующие функции массива.
ЭЛИМ (R1, prec ): функция массива, которая выводит результаты исключения Гаусса для расширенной матрицы, найденной в массиве R1. Форма выхода такая же, как форма R1.
LINEQU (R1, prec ): функция массива, которая возвращает вектор-столбец n × 1 с уникальным решением уравнений, определяемых расширенной матрицей m × ( n +1) , найденной в массив R1; возвращает вектор, состоящий из #N/A! если решения нет и вектор, состоящий из #ЧИСЛО! если существует бесконечное число решений.
По умолчанию каждая из этих функций предполагает, что запись с абсолютным значением меньше 0,0001 эквивалентна нулю. Это необходимо, поскольку малые значения не обрабатываются как нуль в алгоритме исключения Гаусса, описанном выше. Вы можете изменить это значение по умолчанию на другое, вставив второй параметр в любую из этих функций: например. ELIM(R1, прец ) или LINEQU(R1, прец ). Таким образом, ELIM(R1) = ELIM(R1, 0,0001).
Инструмент анализа данных реальной статистики : Инструмент анализа данных «Решение набора линейных уравнений» , содержащийся в пакете ресурсов Real Statistics, обеспечивает функциональные возможности, эквивалентные LINEQU и ELIM. Чтобы использовать этот инструмент, введите Ctrl-m и выберите в меню Решить набор линейных уравнений . Когда появится диалоговое окно, заполните диапазон ввода (с тем же диапазоном, что и R1 выше). Выбор Показать решение только эквивалентен LINEQU(R1), а отсутствие выбора этого параметра эквивалентно ELIM(R1).
Наблюдение : Исключение Гаусса также можно использовать для обращения квадрата n × n матрицы A путем применения описанной выше процедуры к A | я _п . Если процедура завершится до того, как будет выполнено n шагов, то A необратима. Если процедура завершается после n шагов (в этом случае A′ = I _n ), то C′ = A ^-1 .
Пример 5: Использование исключения Гаусса для инвертирования матрицы
Результат показан на рисунке 5.
единичная матрица указывает, что A является обратимым.
No related posts.