Онлайн калькулятор сумма геометрической прогрессии: Онлайн калькулятор: Геометрическая прогрессия

Решение задач на геометрическую прогрессию

УчебаМатематика

Этотонлайн калькулятор помогает решить некоторые типы задач на геометрическую прогрессию

Этот калькулятор может решать два типа задач на геометрическую прогрессию:

1. Найти n-ный член геометрической прогрессии если известен m-ный член и знаменатель прогрессии. Пример задачи: Знаменатель прогрессии равна -1 и 1-ый член прогрессии равен 10. Найти 8-ой член прогрессии.

2. Найти n-ный член геометрической прогрессии если известны i-тый и j-тый члены. Пример задачи: 3-ий член геометрической прогрессии равен 1/2 и 5-ый член равен 8. Найти 8-ой член.

Формулы расчета приведены под калькулятором.

Решение задач на геометрическую прогрессию

Тип задачи

Найти член прогрессии по другому члену и знаменателю прогрессии

Найти член прогрессии по двум другим членам

Индекс известного члена

Значение известного члена

Индекс первого известного члена

Значение первого известного члена

Индекс второго известного члена

Значение второго известного члена

Знаменатель прогрессии

Индекс неизвестного члена

Первый член прогрессии

 

Знаменатель прогрессии

 

Формула n-го члена прогрессии

 

Значение неизвестного члена

 

Геометрическая прогрессия

Напомним, что геометрической прогрессией называется последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену умноженному на ненулевое, постоянное для этой последовательности число, называемое знаменателем прогрессии.

Таким образом, формула для n-ного члена прогрессии выглядит как

где r — знаменатель прогрессии.

Первый тип задач можно решить, вычислив сначала первый член прогресии

и применив затем общую формулу для n-ного члена

Для второго типа задач сначала надо найти знаменатель прогрессии. Для этого выведем формулу из деления одного известного члена на другой

После чего задача сводится к первому типу.

Для удобства калькулятор в любом случае рассчитывает и выводит первый член прогрессии, знаменатель прогрессии и общую формулу для n-ного члена.

Ссылка скопирована в буфер обмена

Похожие калькуляторы

• • Геометрическая прогрессия. Знаменатель и первый член
• • Геометрическая прогрессия
• • Решение задач на арифметическую прогрессию
• • Арифметическая прогрессия
• • Сложные проценты с ежемесячным внесением платежа
• • Раздел: Математика ( 269 калькуляторов )

 #математика #прогрессия геометрическая прогрессия знаменатель прогрессии Математика прогрессия формула прогрессии

 PLANETCALC, Решение задач на геометрическую прогрессию

Timur2020-11-03 14:19:38

Геометрическая прогрессия калькулятор

Вычислить:

Член геометрической прогрессии с номером nСумма первых n членов геометрической прогрессииСумма членов геометрической прогрессии от n-ого до m-огоПроизведение первых n членов геометрической прогрессииПроизведение членов геометрической прогрессии от n-ого до m-огоЗнаменатель геометрической прогрессииПостроить геометрическую прогрессию

Известный член геометрической прогрессии

b_m =

Номер m известного члена прогрессии

m =

Номер n члена геометрической прогрессии (который необходимо найти)

n =

Знаменатель геометрической прогрессии

q =

Отобразить члены геометрической прогрессии без нумерациис нумерациейв строкув столбик

с по
(диапазон не может быть больше 10)

Идет расчет …

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность, в которой числа отличны от нуля, каждый член в которой начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число q.

Число q – называется знаменателем прогрессии.

Приведем примеры, построим геометрическую прогрессию со знаменателем q = 2, первый член которой b₁ будет равен 3, тогда прогрессия будет построена следующим образом:
3, 3·2, (3·2)·2, (3·2·2)·2, (3·2·2·2)·2… либо
3, 3·2, 6·2, 12·2, 24·2… либо
3, 3·2, 3·2², 3·2³, 3·2⁴… и так далее, прогрессия имеет вид:
3, 6, 12, 24, 48…

Приведем еще один пример, построим геометрическую прогрессию с шагом d = −2, первый член которой b₁ равен 5, тогда прогрессия будет построена следующим образом:
5, 5·(-2), (5·(-2))·(-2), (5·(-2)·(-2))·(-2), (5·(-2)·(-2)·(-2))·(-2)… либо

5, 5·(-2), -10·(-2), 20·(-2), -40·(-2)… либо
5, 5·(-2), 5·(-2)², 5·(-2)³, 5·(-2)⁴… и так далее, прогрессия имеет вид:
5, -10, 20, -40, 80…

---

Геометрическая прогрессия бывает четырех типов:

1. Возрастающая геометрическая прогрессия, если b1 > 0 и q > 1.
Например: 3, 6, 12, 24, 48, 96…

2. Убывающая геометрическая прогрессия, если 0 .
Например: 1, 0.5, 0.25, 0.125, 0.0625, 0.03125, 0.015625, 0.0078125, 0.00390625, 0.001953125…

3. Знакочередующаяся геометрическая прогрессия, если q .
Например: 1, -2, 4, -8, 16, -32, 64, -128, 256, -512…

4. Стационарная геометрическая прогрессия, если q = 1.
Например:

5, 5, 5, 5, 5, 5…

---

Любой член b_n геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле:

b_m − известный член геометрической прогрессии
m − номер m известного члена прогрессии
n − номер n члена геометрической прогрессии (который необходимо найти)
q − знаменатель геометрической прогрессии

Возьмём для примера, заданную выше прогрессию 3, 6, 12, 24, 48… и найдем ее 4-й член. В данной прогрессии q = 2. В качестве b_m − мы можем использовать любой известный член прогрессии, возьмем b₂ = 6, тогда
b_n = q^n−m · b_m
b₄ = (2)

4 − 2 · (6) = 24

---

Знаменатель геометрической прогрессии

b_n − известный член геометрической прогрессии член с номером n
b_n+1 − следующий известный член геометрической прогрессии член с номером n+1

Приведем пример. Дана прогрессия (b_n): 1 , -7 , 49 , -343 , 2401… найти ее знаменатель. В качестве b_n, возьмём 3-й член в качестве b_n+1 четвертый.
b_n = 49
b_n+1 = -343 тогда:

q =

b_n+1

b_n

=

-343

49

=

-7

---

Сумма членов геометрической прогрессии

Сумма первых n членов геометрической прогрессииb₁ − первый член геометрической прогрессии
b_n − член геометрической прогрессии (последний член суммы)
n − номер n члена геометрической прогрессии (количество суммируемых членов)
q − знаменатель геометрической прогрессии

Приведем пример. Дана прогрессия (b_n): -2 , -8 , -32 , -128, -512… Знаменатель q = 4. Найти сумму первых четырех членов.

S_n =

b_n · q − b₁

q − 1

=

(-128 · 4) − (-2)

4 − 1

=

-170

Сумма членов геометрической прогрессии от n-ого до m-огоb_n − член геометрической прогрессии член с номером n
b_m − член геометрической прогрессии член с номером m
n − номер n члена геометрической прогрессии
m − номер m члена геометрической прогрессии
q − знаменатель геометрической прогрессии

Приведем пример. Дана прогрессия (b

n): -2 , -8 , -32 , -128, -512… Знаменатель q = 4. Найдем сумму с 2-го по 4-й член.

S_n,m =

b_m · q − b_n

q − 1

=

(-128 · 4) − (-8)

4 − 1

=

-168

---

Произведение членов геометрической прогрессии

Произведение первых n членов геометрической прогрессииb₁ − первый член геометрической прогрессии
b_n − член геометрической прогрессии (последний член произведения)
n − номер n члена геометрической прогрессии (количество членов произведения)

Приведем пример. Дана прогрессия (b_n): -2 , -8 , -32 , -128, -512… Найти произведение первых четырех членов.

P_n = (b₁ · b_n)^n/2 =

(-2 · (-128))

4/2 =

65536

Произведение членов геометрической прогрессии от n-ого до m-огоb₁ − первый член геометрической прогрессии
b_n-1 − член геометрической прогрессии с номером n-1
b_m − член геометрической прогрессии член с номером m (последний член произведения)
n − номер n члена геометрической прогрессии
m − номер m члена геометрической прогрессии Произведение членов геометрической прогрессии от n-ого до m-огоq − знаменатель геометрической прогрессии
b₁ − первый член геометрической прогрессии
n − номер n члена геометрической прогрессии
m − номер m члена геометрической прогрессии {th}$ частичная сумма геометрической прогрессии. {th}$ член — $g_n$. Это означает, что любая геометрическая прогрессия $(g_n )_{n\in N}$ имеет следующий вид 94,\ldots$$

, где ненулевая константа $r$ является знаменателем. Первый член $g_1$ называется начальным. Обратите внимание, что обыкновенное отношение $r$ не может быть равно нулю. С другой стороны, прогрессия $(g_n )_{n\in N}$ является геометрической прогрессией со знаменателем $r$, если отношения между последовательными членами равны, т.е.

$$\frac{g_2}{g_1 }=\frac{g_3}{g_2}=\ldots=\frac{g_n}{g_{n-1}} =r$$

• Если $r>1$, то геометрическая прогрессия является возрастающей и он держит
  $$g_1\lt g_2\lt \ldots\lt g_{n-1}\lt g_n$$
• Если $0\lt r\lt 1$, то геометрическая прогрессия является убывающей и выполняется
  $$ g_1>g_2>\ldots>g_{n-1}>g_n$$
• Если $r=1$, то геометрическая прогрессия является постоянной прогрессией и выполняется
  
  $$g_1=g_2=\ldots=g_{n -1}=g_n$$ Постоянная прогрессия — это только прогрессия, которая является одновременно и геометрической, и геометрической.

Члены между двумя непоследовательными членами геометрической прогрессии $(g_n )_{n\in N}$ называются средними геометрическими этими членами. Например, среднее геометрическое между $g_1$ и $g_5$ равно $g_2$, $g_3$ и $g_5$. Если заданы два непоследовательных члена геометрической прогрессии $(g_n )_{n\in N}$ и число средних геометрических между ними, то геометрическая прогрессия полностью определена. 9{th}$ частичная сумма геометрической прогрессии, в которой членов геометрической прогрессии $5$, первый член равен $2$, а знаменатель равен $4$. Для любых других комбинаций количества членов, первого члена и общего отношения просто укажите другие числа в качестве входных данных и нажмите кнопку «СОЗДАТЬ РАБОТУ». Учащиеся начальной школы могут использовать этот калькулятор геометрической прогрессии для создания работы, проверки результатов или эффективного решения домашних заданий.

Реальные задачи с использованием геометрической прогрессии 9{th}$ член этой прогрессии равен $g_n=1.

03g_{n-1}$, а начальный член равен $g_1=100$.
Геометрическая прогрессия может представлять рост или распад.

• Если обыкновенное отношение $r$ больше $1$, $r>1$, то геометрическая прогрессия может моделировать рост. Например, рост населения.
• Если знаменатель $r$ положителен и меньше $1$, $0\lt r\lt 1$, то геометрическая прогрессия может моделировать распад. Например, предположим, что новый автомобиль теряет одну пятую своей стоимости. каждый год. Сколько стоит этот автомобиль через 3 года, если сейчас он стоит $\$30,0000$. 9x,\;x>0,$ получаем следующие графики:

  Практические задачи на геометрическую прогрессию

  Практическая задача 1:
  У нас есть $\$12$ и мы идем в банк, чтобы положить деньги. Банк предлагает нам следующий вариант: в первый месяц мы получаем $\$18$, во второй месяц мы получаем $\$27$ и т.д. Сколько денег мы получим через $10$ месяцев?

  Практическая задача 2:
  Дана последовательность рекуррентным соотношением $g_{n+1}=6g_n$ и $g_1=3$. Найдите сумму первых $10$ членов геометрической прогрессии. 9{th}$ член геометрической прогрессии и сумма $n$ чисел геометрической прогрессии, пример вычисления (работа с шагами), реальные задачи и практические задачи будут очень полезны для учащихся начальных классов (K-12 образование) в изучении рядов и последовательностей и в решении проблем в банковском деле, биологии и других областях реальной жизни.

  • Калькулятор отношений и пропорций
  • Калькулятор логарифмов
  • Калькулятор антилогарифма
  • Калькулятор простых или составных чисел
  • Калькулятор простой факторизации
  • Калькулятор арифметической прогрессии
  • Конвертер миллиардов — миллионов — крор — лакхов
  • Преобразователь двоичных чисел в десятичные, шестнадцатеричные и восьмеричные
  • Hex & Octal Converter
  • Hex to Decimal, Binary & Восьмеричный преобразователь
  • Восьмеричный преобразователь в десятичный, двоичный и шестнадцатеричный
  • Калькулятор средневзвешенных значений

  Калькулятор геометрической последовательности

  Наш калькулятор геометрической последовательности поможет вам найти геометрическую последовательность, первый член, обыкновенное отношение и количество членов.

  Этот калькулятор геометрического ряда обеспечивает пошаговые расчеты и графики для лучшего понимания геометрического ряда.

  Что такое геометрическая последовательность?

  В математике геометрическая последовательность также называется геометрической прогрессией. Он определяется как список чисел, в котором каждый элемент последовательности умножается на ненулевую константу, называемую общим коэффициентом «r».

  Другими словами, геометрическая последовательность или прогрессия — это элемент, в котором другой элемент изменяет каждый член на обычное соотношение. Когда мы умножаем константу (не ноль) на предыдущий элемент, появляется следующий элемент в последовательности. Это выражается следующим образом: 9n-1)/(r-1)] если r ≠ 1 $$

  Где a — первый элемент, n — количество членов, r — знаменатель.

  Кроме того, если обыкновенное отношение равно 1, то сумма геометрической прогрессии определяется как:

  S_n = na, если r=1

  Пример:

  последовательность, где первый член (a_1) = 2, общий коэффициент (r) = 2 и сумма первых n-членов = 4.

  No related posts.