ЕНТ-2014, вариант 0015
По вашим просьбам!
4. Найти наибольшее целое решение неравенства:
Умножим обе части неравенства на 15 — наименьший общий знаменатель данных дробей. Получаем равносильное неравенство:
3·(x-2)-5·(2x+3)>15. Раскрываем скобки: 3x-6-10x-15>15 и упрощаем:
3x-10x>15+6+15. Получаем -7x>36. Делим обе части неравенство на отрицательный коэффициент при х, поэтому знак неравенства меняем на противоположный:
x<-36/7. Выделим целую часть и покажем решения неравенства на числовой прямой.
Наибольшее целое число из заштрихованного промежутка — это число -6.
5. Определите верное решение неравенства: log2(x-4)≤3.
Представим число 3 в виде логарифма с основанием 2.
log2(x-4)≤ log223 ; отсюда log2(x-4)≤log28. Так как логарифмическая функция по основанию 2 является возрастающей на множестве всех положительных чисел, то последнее неравенство будет выполняться при условии, что х-4≤8, но в то же время: х-4>0.
Из первого условия следует: х≤12, а из второго, что х>4. Общим будет значение х∈(4; 12].
7. Укажите функцию, график которой изображен на рисунке.
На рисунке мы видим параболу, которую можно задать уравнением вида: y=a(x-m)2+n, где (m; n) — координаты вершины параболы. На рисунке вершина параболы — точка (2; 1). Следовательно, m=2; n=1. А что по поводу значения коэффициента а? Смотрим на ответы: везде коэффициент перед скобкой равен единице. Ну и прекрасно — меньше забот! Получили формулу: y=(x-2)2+1.
11. Длина прямоугольного участка 120 м, а ширина составляет 75% длины. Вспахано 35% этого участка, тогда не вспахано:
По условию ширина составляет 75% от 120 метров — длины участка. Это 3/4 от длины, т.е. 120:4·3=90 метров. Площадь прямоугольного участка равна произведению длины участка на его ширину, значит, составляет 120 м·90 м= 10800 м2. Вспахано 35%, следовательно не вспахано 100%-35%=65%.
Нам осталось найти 65% от 10800. Обращаем проценты в десятичную дробь: 65%=0,65 и умножаем эту дробь на 10800.
0,65·10800=7020. Отвечаем на вопрос задачи: не вспахано 7020 м2.
12. Решите уравнение:
К правой части равенства применим основное логарифмическое тождество:
Мы получили равные степени по основанию 2, следовательно, и показатели этих степеней будут равны. Получается квадратное уравнение: x2+x=2 или x2+x-2=0. По теореме Виета подбираем корни: x1=-2; x2=1.
14. Решите уравнение: sin2x-cos2x=cos(x/2).
По формуле косинуса двойного угла: cos2α=cos2α-sin2α, тогда данное равенство преобразуется к виду:
-cos2х=cos(x/2) ⇒ -cos2х-cos(x/2)=0 ⇒ cos2х+cos(x/2)=0. Сумму косинусов преобразуем в произведение, используя формулу:
17. Найдите сумму ординат точек экстремума функции f(x)=x3/(x2-3).
Вы, конечно, знаете, что экстремумы — это минимумы и максимумы функции, возможные только в критических точках. Классическое решение этого задания: 1) найти производную данной функции; 2) найти критические точки и отметить их на числовой прямой; 3) определить знаки производной на промежутках, определенных критическими точками; 4) выяснить, какие из критических точек являются точками минимума и какие точками максимума; 5) найти значения самой функции в этих точках минимума и максимума — это и будут ординаты точек экстремума; 6) сложить эти значения ординат. Но в этом конкретном задании все гораздо проще! Функция нам дана нечетная, т.е. для всех возможных значений х выполняется равенство: f(-x)=f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Что это значит, и чем это нам поможет? Рассуждаем: если эта функция имеет максимум в точке с абсциссой а, то в симметричной ей точке с абсциссой (-а) она будет иметь минимум. Опять же значения функции в этих точках а и -а также будут являться противоположными числами.
А чему равна сумма противоположных чисел? Правильно: нулю. Вывод: если вам нужно найти сумму ординат точек экстремума нечетной функции, то ответ: 0.
21. Найдите сумму корней уравнения: x-2-16x-1-80=0.
Сделаем замену: x-1=y. Получим уравнение: y2-16y-80=0. Находим корни: y1=-4 и y2=20.
Тогда x-1=-4 или x-1=20.
22. Решить систему неравенств:
В одной системе координат построим графики функций y=sinx, y=cosx и y= 1/6. Определим промежуток значений х, при которых график синуса лежит выше, а график косинуса ниже прямой y= 1/6.
24. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если А(5; 4), В(0; 3), С(4; 7), D(9; 8).
Площадь параллелограмма найдем по формуле: S=absinA, где a=АD и b=AB — стороны параллелограмма, А — угол между этими сторонами. Используем векторы: найдем координаты и модули векторов, выражающих стороны АD и AB параллелограмма, косинус угла между этими векторами.
Затем найдем синус этого угла, и в формулу площади параллелограмма подставим все нужные значения.
25. Электронные часы показывают время в часах и минутах (от 00:00 до 23:59). Сколько раз за сутки можно увидеть на табло 4 цифры 2, 0, 1, 9 (в любом порядке). Так как нет, например 91 минуты или 29 часов, то комбинаторика нам не поможет. Просто будем перечислять все возможные в реальности показания времени.
1) 01:29; 2) 02:19; 3) 09:12; 4) 09:21; 5) 10:29; 6) 12:09; 7) 19:02; 8) 19:20; 9) 20:19; 10) 21:09. Других значений из этих 4-х цифр быть не может.
Друзья, повторяйте формулы. Желаю успехов!
Запись имеет метки: задача на прямоугольник с процентами, нахождение наибольшего значения неравенства, площадь параллелограмма по координатам его вершин, решение показательного уравнения, решить систему тригонометрических неравенств, решить тригонометрическое уравнение, сумма корней уравнения, сумма ординат точек экстремума, указать уравнение функции по графику, электронные часы показывают время
Навигация
Запрос математики — Неравенство дробей
Процессы математических запросов: Определение структуры, создание примеров; обобщить и доказать.
Концептуальная область исследования: Вычитание дробей; неравенства.
Учащиеся проверяют истинность неравенства, используя числовую прямую или переводя их в эквивалентные дроби с общими знаменателями. Если подсказка — это первый раз, когда учащиеся столкнулись с нахождением разности двух дробей, они, скорее всего, выберут нормативная карта Попросите учителя объяснить . По мере того как класс исследует другие примеры, в которых числители и знаменатели в левой части различаются на два, учащиеся овладевают процедурой вычитания одной дроби из другой.
Тот факт, что дробь в правой части неравенства не находится посередине между двумя другими, несмотря на то, что и числитель, и знаменатель находятся точно посередине, может стать основой для интересного обсуждения концепции дроби.
Запрос может пойти разными путями, включая:
Изучение того, что происходит, когда разница между двумя числителями и знаменателями в левой части неравенства больше 2;
Поиск неравенства, которое переворачивает символ, сохраняя при этом условие, что правая дробь должна быть в «середине» двух других;
Объяснение того, когда свойства подсказки «работают», а когда нет;
Сделать обобщение из подсказки, например,
Общий случай упрощает неравенство 0 < N 3 + N 2 — 6 N — 4, что может быть, может быть, может показано на графике с n на оси x.
Хотя n = -1 и n = -2 удовлетворяют переставленному неравенству, исходное неравенство не определено для этих значений n .
Салешни Кук , Преподаватель PYP из Стамбула (Турция), разместил фотографию в твиттере . Она сообщает, что ее класс 6 использовал основы вопроса , прежде чем придумать примеры и не примеры. Класс проверил правильность неравенства в подсказке, а также в других случаях. Один студент закончил исследование, выразив соотношение между дробями алгебраически.
Средний член неравенства составляется путем сложения числителей и знаменателей двух других дробей. Учащиеся замечают, как построено неравенство, и проверяют его истинность, возможно, используя эквивалентные дроби. Затем они могут предположить, что соотношение сохраняется для любой пары дробей. По мере того, как они находят больше примеров, они укрепляются в своих убеждениях и могут начать думать об общем случае, выраженном алгебраически.
Общий случай всегда верен (см. доказательство здесь ).
Prompt sheet
PowerPoint
Solving Inequalities with Fractions and Parentheses
- Expression
- Equation
- Inequality
- Contact us
- Simplify
- Factor
- Expand
- GCF
- LCM
- Решить
- График
- Система
- Решить
- График
- Система
- Математический решатель на вашем сайте
Изучив этот урок, вы сможете:
- Решение неравенств с дробями и скобками.
Ниже приведены шаги решения неравенств. Помните, что мы
применяя те же правила, что и для уравнений. Если неравенство
содержит дроби, дроби можно удалить с помощью
умножение каждого члена неравенства на общее
знаменатель.
Кроме того, если неравенство содержит скобки,
скобки могут быть удалены с помощью распределительного свойства.
Если мы умножаем или делим неравенство на минус, мы перевернуть знак неравенства.
Шаги решения неравенств те же, что и для решение уравнений:
1. Удалить скобки и очистить дроби (при необходимости)
2. Соберите одинаковые члены с каждой стороны символа неравенства
3. Соедините переменные на одной стороне
4. Изолировать переменную
5. Чек
Пример 1
| У нас есть дробь. Чтобы очистить его, умножьте общим знаменателем, который равен 13 | |
| Умножить каждую сторону на общую знаменатель | |
| х > -78 |
Проверить, подставив в исходное неравенство
Пример 2
У нас есть дробь. Чтобы очистить его, умножьте
общим знаменателем, который равен -4 | |
| Умножить каждую сторону на общую знаменатель (помните, чтобы перевернуть символ неравенства так как мы умножаем на минус) | |
| -40 <у | Обратите внимание, что это можно прочитать как «y is больше -40» |
Проверить, подставив в исходное неравенство
Пример 3
| У нас есть дробь. Чтобы очистить его, умножьте общим знаменателем, который равен 36 | |
| Умножить каждую сторону на общую знаменатель | |
Уменьшите 36 и 9 с левой стороны, чтобы получить 4
и уменьшите 12 и 36 с правой стороны, чтобы получить 3. |