Онлайн нахождение суммы ряда: Найти сумму ряда online

Содержание

Ряд. Сумма ряда. | Primer.by

Определение:

Пусть задача бесконечная последовательность чисел:

Выражение называется числовым рядом. При этом числа называются членами ряда.

Определение:

Рассмотрим конечные суммы:

……

Если существует конечный предел

Если не существует, то говорят, что ряд расходится и суммы не имеет.

Теорема 1.

Если сходится ряд, получившийся из данного ряда отбрасыванием нескольких его членов, то сходится и сам данный ряд.

Обратная теорема:

Если сходится данный ряд, то сходится и ряд, получившийся из данного отбрасыванием нескольких его членов.

На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов.

Теорема 2.

Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд

, где c=const, также сходится и его сумма равна cS.

Теорема 3.

Если ряды и сходятся и их суммы, соответственно, равны и , то ряды

и также сходятся и их суммы, соответственно, равны и .

При исследовании рядов одним из основных вопросов является вопрос о том, сходится ли данный ряд или расходится. Есть необходимый и достаточные признаки сходимости рядов.

Примеры:

Пример 1.

Пользуясь определением, доказать сходимость ряда и найти его сумму.

Решение.

Вычислим значение n-ой частичной суммы данного ряда. Для этого представим общий член в виде суммы элементарных дробей: .

Неизвестные определяются из тождества:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях n, получаем систему:

Отсюда находим: . Значит:

Теперь частичную сумму представим в виде:

Так как существует предел: , то по определению ряд сходится и его сумма равна .

Пример 2:

Пользуясь определением, доказать сходимость ряда и найти его сумму.

Решение:

Вычислим значение n-ой частичной суммы

данного ряда. Для этого представим общий член ряда в виде суммы элементарных дробей.

Неизвестные при и определяем из тождества:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях

n, получаем систему:

Следовательно,

Теперь частичную сумму ряда представим в виде:

Так как существует предел

то по определению ряд сходится и его сумма равна

Ответ: ряд сходится и его сумма равна

Нахождение суммы ряда

Многие задачи вычислительной математики сводятся к вычислению суммы рядов вида . Определение суммы предполагает последовательное вычисление члена ряда и прибавление его к частичной суммеS до тех пор, пока не будет выполнено условие выхода из цикла. Общий вид схемы алгоритма решения такой задачи приведен на рисунке 2.4.

Условие окончания цикла зависит от поставленной задачи, как правило, оно связано с достижением требуемой точности.

Примеры постановок задач.

Найти сумму первых n членов ряда . В этом случае условие выхода из цикла: i > n.
Вычислять сумму ряда до тех пор, пока очередной член ряда r_i не будет меньше заданного . Здесь условием выхода из цикла будет: | r_i| < .
Вычислить сумму ряда с точностью , если известно точное значение суммы, равное A. Здесь условие выхода из цикла: | S — A | < .

Рисунок 2.4 – Обобщенная схема алгоритма вычисление суммы ряда

Очередной член ряда вычисляют одним из следующих способов:

1) ,;

2) ,;

В этом случае каждый последующий член отличается от предыдущего на один и тот же сомножитель, поэтому вычисления с использованием предыдущего значения будут наиболее эффективны, например:

1) ,;

2) ,;

если член ряда удобно представить в виде произведения, один из сомножителей вычисляется по рекуррентному соотношению (т. е. по предыдущему члену), второй – непосредственно, например:

, .

Приближенное вычисление определенных интегралов

Пусть требуется вычислить определенный интеграл , гдеf(x) – некоторая непрерывная функция, заданная на промежутке [a, b]. Как известно, значение определенного интеграла равно площади криволинейной трапеции, ограниченной подынтегральной функцией. Простейшими методами приближенного вычисления определенных интегралов являются метод прямоугольников и метод трапеций.

Метод прямоугольников

Разобьем отрезок [a,b] точками a

=x₀< x₁< x₂ <… < x_n_-1 <x_n₌b, причем |x_i, x_i₊₁|=(b—a)/n.

Заменим площадь каждой криволинейной трапеции с основанием [x_i, x_i₊₁] площадью прямоугольника со сторонами (b—a)/n и f(x_i) (см. рисунок 2.5).

Рисунок 2.5 – Метод прямоугольников

Тогда площадь каждого такого прямоугольника вычисляется по формуле: S_i=f

(x_i)(b — a)/n. Сумма всех площадей полученных прямоугольников приближенно равна значению определенного интеграла:

Очевидно, что чем больше количество отрезков разбиения, тем выше точность вычислений.

Пример схемы алгоритма вычисления определенного интеграла методом прямоугольников приведен на рисунке 2.6.

В этом алгоритме через N обозначено количество точек разбиения, d – длина отрезков разбиения. Тело цикла алгоритма содержит внутренний цикл с заданным числом повторений. Число повторений внутреннего цикла представляет собой количество прямоугольников, на которые мы разбили криволинейную трапецию. После отработки внутреннего цикла проверяется условие достижения требуемой точности вычисления. Если точность недостаточна, то количество отрезков разбиения увеличивается (например, удваивается) и вычисления площади повторяются вновь.

Рисунок 2.6 – Схема алгоритма вычисления интеграла методом прямоугольников

Условие точности зависит от поставленной задачи. Будем пользоваться двумя способами оценки погрешности:

1. Если задано точное значение интеграла, равное I, то условием выхода из цикла будет условие | S — I | < .

2. Если не задано точное значение интеграла, то будем сравнивать сумму, полученную при последнем разбиении n, с суммой, полученной при предыдущем значении параметра n.

Найти сумму ряда онлайн

Примеры нахождения суммы ряда

Что может вычислить сумма ряда?

Вы указываете выражение под знаком сигма, первый член, последний член или бесконечность, если вам нужно найти предел суммы.

Узнайте больше о Сумма ряда .

Приведенные выше примеры также содержат:

модуль или абсолютное значение: absolute(x) или |x|
квадратные корни sqrt(x),
кубических корней cbrt(x)
тригонометрические функции:
sinus sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
экспоненциальные функции и показатели exp(x)
обратные тригонометрические функции:
арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс acot(x)
натуральные логарифмы ln(x),
десятичные логарифмы log(x)
гиперболические функции:
гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
обратные гиперболические функции:
гиперболический арксинус asinh(x), гиперболический арккосинус acosh(x), гиперболический арктангенс ath(x), гиперболический арккотангенс acoth(x)

другие тригонометрические и гиперболические функции:
секанс сек(х), косеканс csc(x), арксеканс asec(x), арккосеканс acsc(x), гиперболический секанс sech(x), гиперболический косеканс csch(x), гиперболический арксикансек asech(x), гиперболический арккосеканс acsch(x)
функции округления:
округлить до пола(x), округлить до потолка(x)
знак числа:
знак(х)
для теории вероятностей:
функция ошибок erf(x) (интеграл вероятности), Функция Лапласа laplace(x)
Факториал х :
х! или факториал(х)
Гамма-функция gamma(x)

— возведение в степень

х + 7

— дополнение

х — 6

— вычитание

Реальные числа

вставка как 7,5 , № 7,5

Константы

Пи: — число Пи
и: — основание натурального логарифма
и: — комплексный номер
оо: — символ бесконечности

Чтобы увидеть подробное решение,
поделитесь со всеми своими друзьями-студентами:

Онлайн Расчет суммы элементов последовательности

Сумма, расчет онлайн

Сводка :

Калькулятор рядов позволяет в режиме онлайн вычислить сумму членов последовательности, индекс которой находится между нижней и верхней границей.

сумма онлайн

Описание :

Калькулятор умеет вычислять онлайн сумму членов последовательности между двумя индексами этой последовательности.

Вычисление суммы членов последовательности чисел.

Калькулятор позволяет вычислить сумму чисел , просто используйте векторную запись.

Например, чтобы получить сумму следующего списка чисел: 6;12;24;48, необходимо ввести: сумма(`[6;12;24;48]`). Затем результат вычисляется в его точной форме. 92=30`).

Вычисление суммы элементов арифметической последовательности

Сумма членов арифметической последовательности `u_n` между индексами p и n определяется следующей формулой : `u_p+u_(p+1)+…+u_n=(n-p+1)*(u_p+u_n)/2`

Используя эту формулу, калькулятор может определить сумму членов арифметической последовательности между двумя индексами этой последовательности.

Таким образом, чтобы получить сумма членов арифметической прогрессии , определяемой формулой `u_n=3+5*n` между 1 и 4, вы должны ввести: сумма(`n;1;4;3+5*n`), после расчета возвращается результат.

Калькулятор умеет находить общую формулу, позволяющую вычислить сумму целых чисел: `1+…+ p= p*(p+1)/2`, просто введите: сумма(`n;1;p;n`).
Калькулятор может использовать эту формулу, например, для вычисления суммы целых чисел от 1 до 100: `S=1+2+3+…+100`. 92`

Расчет онлайн с суммой (вычисление суммы элементов последовательности)

См. также

Список связанных калькуляторов:

Вычислить элементы продукта последовательности: продукт. Функция произведения вычисляет в режиме онлайн произведение членов последовательности, индекс которой находится между младшим и верхняя граница.
No related posts.