Онлайн решение системы методом обратной матрицы: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Матричный метод. Метод обратной матрицы.

Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы

Задача №5. Найти решение системы методом обратной матрицы:

Решение.

Здесь , так что матрица А невырожденная и искомое решение имеет вид.

.

Отсюда

Задача №6. Решить систему уравнений матричным методом:

Решение.

Находим:

т.е. – решение данной системы.

_{Задачи для самостоятельного решения:}

Решить системы уравнений методом Крамера и методом обратной матрицы.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

Занятие 4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Для усвоения практического материала нужно ответить на следующие теоретические вопросы:

1. Понятие системы линейных алгебраических уравнений.

2. Понятие решения системы линейных алгебраических уравнений.

3. Определение совместной и несовместной системы.

4. Достаточное условие совместной системы.

5. Определение однородной и неоднородной системы.

6. Определение ранга матрицы.

7. Алгоритм решения неоднородной системы линейных уравнений методом Гаусса.

8. Алгоритм решения однородной системы линейных уравнений.

Типовые задачи

Задача №1. Решить систему методом Гаусса:

Решение.

В результате элементарных преобразований над расширенной матрицей системы

исходная система свелась к ступенчатой:

Поэтому общее решение системы:

Если положить, например, , то найдем одно из частных решений этой системы ;.

Задача №2. Решить систему методом Гаусса:

Решение.

Произведем элементарные преобразования над строками расширенной матрицы системы:

.

Полученная матрица соответствует системе

Осуществляя обратный ход, находим

Задача №3. Решить систему методом Гаусса:

Решение:

.

Наличие противоречивой строки говорит о несовместности системы линейных уравнений.

Задача №4. Решить однородную систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение.

Ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы и равен числу неизвестных. Система имеет единственное решение, т.е. нулевое (тривиальное):

Задача №5. Решить однородную систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение.

Ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы и меньше числа неизвестных (3<4). Система имеет бесконечно много решений. Получим систему:

Если положитьтои получиличастное решение исходной системы.

Задачи для самостоятельного решения:

_{I. Решить системы линейных уравнений:}

_1.

2.

3.

4.

5.

6.

II. Найти решение системы линейных уравнений в зависимости от параметра:

1.

2.

_3.

Занятие 5. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов..

Для усвоения практического материала нужно ответить на следующие теоретические вопросы:

1. Дать определение скалярного произведения векторов.

2. Перечислить свойства скалярного произведения векторов.

3. Скалярное произведение векторов в координатной форме.

4. Приложения скалярного произведения для нахождении.

5. Какое произведение векторов называется векторным?

6. Перечислить свойства векторного произведения.

7. Какие приложения имеет векторное произведение в геометрии и механике?

8. Записать условие коллинеарности (параллельности) векторов.

9. Какое произведение векторов называется смешанным?

10. Перечислить свойства смешанного произведения. Его геометрический смысл.

11. Как выражается смешанное произведение через координаты?

НОУ ИНТУИТ | Лекция | Задачи линейной алгебры

< Лекция 12 || Лекция 5: 123456789

Аннотация: Познакомимся с инструментами Octave, предназначенными для работы с векторами и матрицами, а также с возможностями, которые предоставляет пакет при непосредственном решении задач линейной алгебры.

5.1 Ввод и формирование векторов и матриц

Векторы и матрицы в Octave задаются путём ввода их элементов. Элементы вектора-строки отделяют пробелами или запятыми, а всю конструкцию заключают в квадратные скобки:

	
>>> a =[2 -3 5 6 -1 0 7 -9]
a = 2 -3 5 6 -1 0 7 -9
>>> b =[ -1,0,1]
b = -1 0 1

Вектор-столбец можно задать, если элементы отделять друг от друга точкой с запятой:

	
>>> c=[-pi; -pi / 2; 0; pi / 2; pi ]
c =
-3.14159
-1.57080
0.00000
1.57080
3.14159

Обратиться к элементу вектора можно указав имя вектора, а в круглых скобках — номер элемента, под которым он хранится в этом векторе:

	
>>> a( 1 )
ans = 2
>>> b( 3 )
ans = 1
>>> c( 5 )
ans = 3.1416

Ввод элементов матрицы также осуществляется в квадратных скобках, при этом элементы строки отделяются друг от друга пробелом или запятой, а строки разделяются между собой точкой с запятой:

	
>>> Matr=[0 1 2 3; 4 5 6 7 ]
Matr =
0 1 2 3
4 5 6 7

intuit.ru/2010/edi»>Обратиться к элементу матрицы можно указав после имени матрицы, в круглых скобках, через запятую, номер строки и номер столбца, на пересечении которых элемент расположен:

	
>>> Matr ( 2, 3 )
ans = 6
>>> Matr ( 1, 1 )
ans = 0
>>> Matr ( 1, 1 )=pi; Matr ( 2, 4 )= _pi;
>>> Matr
Matr =
3.1416 1.0000 2.0000 3.0000
4.0000 5.0000 6.0000 -3.1416

Матрицы и векторы можно формировать, составляя их из ранее заданных матриц и векторов:

	
>>> a=[-3 0 2 ]; b=[3 2 -1]; c =[5 -2 0 ];
>>> M=[a b c ] % Горизонтальная конкатенация векторов–строк
M = -3 0 2 3 2 -1 5 -2 0 % результат — вектор–строка
>>> N=[a; b; c ] % Вертикальная конкатенация векторов–строк,
% результат — матрица
N =
	-3  0  2
	 3  2 -1
	 5 -2  0
>>> Matrica =[N N N] % Горизонтальная конкатенация матриц
Matrica =
	-3  0  2 -3  0  2 -3  0  2
	 3  2 -1  3  2 -1  3  2 -1
	 5 -2  0  5 -2  0  5 -2  0
>>> Tablica =[M;M;M] % Вертикальная конкатенация матриц
Tablica =
	-3 0 2 3 2 -1 5 -2 0
	-3 0 2 3 2 -1 5 -2 0
	-3 0 2 3 2 -1 5 -2 0

intuit.ru/2010/edi»>Важную роль при работе с матрицами играет знак двоеточия «:». Примеры с подробными комментариями приведены в листинге 5.1.

	
>>> Tabl =[ -1.2 3.4 0.8; 0.9 -0.1 1.1; 7.6 -4.5 5.6; 9.0 1.3 -8.5]
Tabl =
	-1.20000 3.40000 0.80000
	0.90000 -0.10000 1.10000
	7.60000 -4.50000 5.60000
	9.00000 1.30000 -8.50000
>>> Tabl( :, 3 ) % Выделить из матрицы 3-й столбец
ans =
	0.80000
	1.10000
	5.60000
	-8.50000
>>> Tabl( 1, : ) % Выделить из матрицы 1-ю строку
ans = -1.20000 3.40000 0.80000
>>> Matr=Tabl( 2 : 3, 1 : 2 ) % Выделить из матрицы подматрицу
Matr =
0.90000 -0.10000
7.60000 -4.50000
% Вставить подматрицу в правый нижний угол исходной матрицы
>>> Tabl( 3 : 4, 2 : 3 )=Matr
Tabl =
	-1.20000 3.40000  0.80000
	0.90000  -0.10000 1.10000
	7.60000  0.90000  -0.10000
	9.00000  7.60000  -4.50000
>>> Tabl( :, 2 ) = [ ] % Удалить из матрицы 2-й столбец
Tabl =
	-1.20000 0.80000
	0.90000  1.10000
	7.60000  -0.10000
	9.00000  -4.  50000
>>> Tabl( 2, : ) = [ ] % Удалить из матрицы 2-ю строку
Tabl =
	-1.20000 0.80000
	7.60000 -0.10000
	9.00000 -4.50000
>>> Matr % Представить матрицу в виде вектора–столбца
Matr =
	0.90000 -0.10000
	7.60000 -4.50000
>>> Vector=Matr ( : )
Vector =
	0.90000
	7.60000
	-0.10000
	-4.50000
>>> V=Vector( 1 : 3 ) % Выделить из вектора элементы со 1-го по 3-й
V =
	0.90000
	7.60000
	-0.10000
>>> V( 2 ) = [ ] % Удалить из массива 2-й элемент
V =
	0.90000
	-0.10000

Листинг 5.1. Пример использования знака двоеточия «:»

Дальше >>

< Лекция 12 || Лекция 5: 123456789

Как решить систему уравнений с помощью обратной матрицы: {5x-2y+16 и {x+3y=10

Обратная матрица

Чани Б.

спросил 05.01.14

Я пытался найти обратную матрицу, но при всех моих умножениях она оказалась не обратной матрицей, а случайным набором дробей в моей матрице.

Подписаться І 4

Подробнее

Отчет

3 ответа от опытных наставников

Лучший Новейшие Самый старый

Автор: Лучшие новыеСамые старые

Стив С. ответил 06.01.14

Репетитор

5 (3)

Обучение предварительному исчислению, тригонометрическому исчислению и дифференциальному исчислению

См. таких репетиторов

Смотрите таких репетиторов 9(-1) = [[3 2],[-1,5]]/(5*3 — -2*1),

X = [[3 2],[-1,5]] [[16 ],[10]] / 17,

X = [[3*16+2*10],[-1*16+5*10]]/17,

X = [[68],[34] ]/17,

X = [[4],[2]], или

x = 4, y = 2.

Голосовать за 0 голос против

Подробнее

Отчет

Парвиз Ф. ответил 06.01.14

Репетитор

4,8 (4)

Профессор математики в муниципальных колледжах

См. таких репетиторов

Смотрите таких репетиторов

5 X -2y = 16

 X  + 3Y = 10

 

 

3 л 5    — 2 л 16    л 17    0 л 68     л 1   0 л 4      л 1    0 л 4     л 1   0 л 4

2 л 1      3 л 10    л 1     3 л 10     л 1 3 л10     л 0   3 л 6     л 0   1 л 2    

 

 

 

 

Голосовать за 0 голос против

Подробнее

Отчет

Брэд М. ответил 05.01.14

Репетитор

4. 9 (737)

Capsim-BSG-GloBus, Финансы, Системы ME, Контроль с обратной связью, EE, Econ

Об этом репетиторе ›

Об этом репетиторе ›

Эй, Чани — обратное значение равно «транспонированному ‘прикрепленному’, деленному на ‘определитель'» (юк!)

 

3 -1

2  5 … является «присоединенным» … теперь «транспонируем», делая строки столбцами и делим на det 17 …

 

3/17  2/17 9000 3

-1/17 5/17 is A inv … A inv * A = проверка подлинности «I» … решение A inv * B …

 

x= 68 старше 17 или 4 … y= 34 старше 17 или 2 ==> (4,2) работает … С уважением 🙂

Голосовать за 0 голос против

Подробнее

Отчет

Все еще ищете помощи? Получите правильный ответ, быстро.

Задайте вопрос бесплатно

Получите бесплатный ответ на быстрый вопрос.
Ответы на большинство вопросов в течение 4 часов.

ИЛИ

Найдите онлайн-репетитора сейчас

Выберите эксперта и встретьтесь онлайн. Никаких пакетов или подписок, платите только за то время, которое вам нужно.

Как решать системы с использованием обратных матриц — Криста Кинг Математика

Мы знаем, как решать системы уравнений, но сейчас мы рассмотрим, как это сделать, используя обратную матрицу

Мы уже знаем, как решать системы линейных уравнений с помощью подстановки, исключения и построения графиков. На этот раз мы хотим поговорить о том, как решать системы с использованием обратных матриц. Чтобы пройти через это, давайте воспользуемся простой системой.

???3x-4y=6???

???-2x+y=-9???

Привет! Я Криста.

Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.

И для наглядности давайте сравним это с общей системой

???ax+by=f???

???cx+dy=g???

Мы всегда можем представить подобную линейную систему как матрицу коэффициентов, умноженную на вектор-столбец ???(x,y)???, равный вектору-столбцу констант ???(f,g) ???.

Или, если мы назовем матрицу коэффициентов ???M???, переименуем вектор-столбец ???(x,y)??? как ???\vec{a}???, и переименуйте вектор-столбец ???(f,g)??? как ???\vec{b}???, то можно сказать, что это уравнение эквивалентно 9{-1}\vec{b}??? даст нам немедленный набор решений для ???(x,y)???.

Прямо сейчас это не обязательно кажется очень полезным, но по мере того, как вы будете использовать матрицы более продвинутыми способами, станет чрезвычайно полезной возможность изменять значения, составляющие ???\vec{b}??? , и немедленно получите набор решений для ???(x,y)??? это происходит от ???\vec{a}???.

Как использовать обратные матрицы для решения систем уравнений

Пройти курс

Хотите узнать больше о линейной алгебре? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂

Использование обратной матрицы для решения системы

Пример

Использование обратной матрицы для решения системы.

???3x-4y=6???

???-2x+y=-9???

Начните с преобразования системы в матричное уравнение.

???M\vec{a}=\vec{b}???

Найдите обратную матрицу коэффициентов. 9{-1}\vec{b}???

???\vec{a}=\begin{bmatrix}-\frac15(6)-\frac45(-9)\\ -\frac25(6)-\frac35(-9)\end{bmatrix}?? ?

???\vec{a}=\begin{bmatrix}-\frac65+\frac{36}{5}\\ -\frac{12}{5}+\frac{27}{5}\end{ бматрица}???

???\vec{a}=\begin{bmatrix}\frac{30}{5}\\ \frac{15}{5}\end{bmatrix}???

???\vec{a}=\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6\\ 3\end{bmatrix}???

Используя этот процесс с обратной матрицей, мы заключаем, что решение системы ???\vec{a}=(x,y)=(6,3)???. 9(-1) на вектор-столбец (f,g)!

Представление системы графически

Мы также можем выразить ту же систему из примера,

???3x-4y=6???

???-2x+y=-9???

как это матричное уравнение:

???\begin{bmatrix}3\\ -2\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}-4\\ 1\end{bmatrix}y=\begin{bmatrix} 6\\ -9\end{bmatrix}???

Графически это уравнение можно представить как вектор ???\vec{s}=(3,-2)??? за ???х??? и вектор ???\vec{t}=(-4,1)??? для ???y???, и результирующий вектор ???\vec{u}=(6,-9)???. Если мы поместим эти векторы в одну координатную плоскость, то получим

Мы уже знаем из примера, что ???x=6??? и ???y=3???. Что это решение говорит нам графически, так это то, что нам нужно поставить ???6??? из ???х??? векторы ???\vec{s}=(3,-2)??? и ???3??? из ???y??? векторы ???\vec{t}=(-4,1)??? вместе, и мы окажемся в том же месте, что и результирующий вектор ???\vec{u}=(6,-9)???.