Предел натурального логарифма примеры: Пределы с логарифмами, примеры решений

Содержание

примеры пределов с натуральными логарифмами

Пределы/ Предел функции


	→	↑ Функция f(x) ^?

Примеры

Для конечных точек:

———Слева (x0-)Справа (x0+)

График:

от до

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):

absolute(x): Абсолютное значение x
(модуль x или |x|)
arccos(x): Функция — арккосинус от x
arccosh(x): Арккосинус гиперболический от x
arcsin(x): Арксинус от x
arcsinh(x): Арксинус гиперболический от x
arctg(x): Функция — арктангенс от x
arctgh(x): Арктангенс гиперболический от x
exp(x): Функция — экспонента от x (что и e^x)
log(x) or ln(x): Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10))
sin(x): Функция — Синус от x
cos(x): Функция — Косинус от x
sinh(x): Функция — Синус гиперболический от x
cosh(x): Функция — Косинус гиперболический от x
sqrt(x): Функция — квадратный корень из x
sqr(x) или x^2: Функция — Квадрат x
ctg(x): Функция — Котангенс от x
arcctg(x): Функция — Арккотангенс от x
arcctgh(x): Функция — Гиперболический арккотангенс от x
tg(x): Функция — Тангенс от x
tgh(x): Функция — Тангенс гиперболический от x
cbrt(x): Функция — кубический корень из x
gamma(x): Гамма-функция
LambertW(x): Функция Ламберта
x! или factorial(x): Факториал от x
DiracDelta(x): Дельта-функция Дирака
Heaviside(x): Функция Хевисайда

Интегральные функции:

Si(x): Интегральный синус от x
Ci(x): Интегральный косинус от x
Shi(x): Интегральный гиперболический синус от x
Chi(x): Интегральный гиперболический косинус от x

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа: вводить в виде 7. 3; — возведение в степень
x + 7: — сложение
x — 6: — вычитание
15/7: — дробь

Другие функции:

asec(x): Функция — арксеканс от x
acsc(x): Функция — арккосеканс от x
sec(x): Функция — секанс от
x
csc(x): Функция — косеканс от x
floor(x): Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
ceiling(x): Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
sign(x): Функция — Знак x
erf(x): Функция ошибок (или интеграл вероятности)
laplace(x): Функция Лапласа
asech(x): Функция — гиперболический арксеканс от x
csch(x): Функция — гиперболический косеканс от x
sech(x): Функция — гиперболический секанс от x
acsch(x): Функция — гиперболический арккосеканс от x

Постоянные:

pi

Число «Пи», которое примерно равно ~3.

{\ln (х)} $$ 9{\ln 2}=2$$

$\endgroup$

1.9: Предел показательных функций и логарифмических функций

Последнее обновление
Сохранить как PDF

Идентификатор страницы: 10284

Эта страница является черновиком и находится в активной разработке.

Предел экспоненциальных функций

Определение

Величина растет линейно с течением времени, если она увеличивается на фиксированную величину с каждым временным интервалом. Величина уменьшается линейно

с течением времени, если она уменьшается на фиксированную величину с каждым временным интервалом.

Пример $\PageIndex{1}$:

Если вы начнете с 1000 долларов и каждый месяц будете откладывать 200 долларов в банку, чтобы откладывать на отпуск, то каждый месяц отпускные сбережения будут расти на 200 долларов, и через x месяцев у вас будет : Сумма = 1000 + 200x

Определение

Величина растет экспоненциально с течением времени, если она увеличивается на фиксированный процент с каждым временным интервалом. Величина убывает экспоненциально с течением времени, если она уменьшается на фиксированный процент с каждым временным интервалом.

Пример $\PageIndex{2}$:

Если вы начинаете с долга в 1000 долларов США и с вас взимается годовая процентная ставка в размере 24 процентов (обычная процентная ставка по кредитной карте), то сколько вы будете должны через X месяцев ? 9x\), \(b>

0\), $b≠1$, имеет следующие характеристики:

взаимно-однозначная функция
горизонтальная асимптота: $y=0$
домен: $(–\infty, \infty)$
диапазон: $(0,\infty)$
x- перехват: нет
y- перехват: $(0,1)$
увеличивается, если $b>1$
уменьшается, если $b<1$

Правило: Законы экспонент

Для любых констант $a>0$,$b>0$, и для всех x и y, 93)\)

Число e

Особый тип экспоненциальной функции часто используется в реальных приложениях. Чтобы описать это, рассмотрим следующий пример экспоненциального роста, который возникает из-за начисления процентов

на сберегательном счете. Предположим, человек вкладывает $P$ долларов на сберегательный счет с годовой процентной ставкой $r$, начисляемой ежегодно. Сумма денег через 1 год составляет

$A(1)=P+rP=P(1+r)$.

Сумма денег через $2$ лет равна 9m\) приближается к некоторому числу как $m→∞$. Мы называем этот номер $e$. С точностью до шести знаков после запятой

$e≈2,718282$.

Буква $e$ была впервые использована для обозначения этого числа швейцарским математиком Леонардом Эйлером в 1720-х годах. Хотя Эйлер не открыл это число, он показал много важных связей между $e$ и логарифмическими функциями. Мы до сих пор используем обозначение $e$ в честь работы Эйлера, потому что оно появляется во многих областях математики и потому что мы можем использовать его во многих практических приложениях. 9x\) имеет касательную с наклоном $1$ в точке $x=0$.

Пример $\PageIndex{3}$: начисление сложных процентов

Предположим, $$500$ инвестируется на счет с годовой процентной ставкой $r=5,5%$, непрерывно начисляемой.

Пусть $t$ обозначает количество лет после первоначальных инвестиций, а A(t) обозначает сумму денег на счете в момент времени $t$. Найдите формулу для $A(t)$.
Найдите сумму денег на счете через $10$ лет и через $20$ лет. 9Икс\). Используя этот факт и графики экспоненциальных функций, мы построили графики функций $log_b$ для нескольких значений b>1 (рисунок).
Рисунок $\PageIndex{5}$: Графики $y=log_b(x)$ показаны для $b=2,e,10$.
Прежде чем решать некоторые уравнения с экспоненциальными и логарифмическими функциями, давайте рассмотрим основные свойства логарифмов.
Свойства логарифмов
Если $a,b,c>0,b≠1$ и $r$ — любое действительное число, то
1. $log_b(ac)=log_b(a) +log_b(c)$ (свойство продукта) 93)−4\ln (x)=1\).
  
  Подсказка
  Сначала используйте свойство степени, затем используйте свойство произведения логарифмов.
  Ответить
  $х=\dfrac{1}{e}$
  При вычислении логарифмической функции с помощью калькулятора вы, возможно, заметили, что единственными параметрами являются $log_10$ или log, называемый десятичным логарифмом , или \ln , который является натуральным логарифмом. Однако экспоненциальные функции и логарифмические функции могут быть выражены через любое желаемое основание $b$. Если вам нужно использовать калькулятор для вычисления выражения с другим основанием, вы можете сначала применить формулы изменения основания. Используя эту замену базы, мы обычно записываем данную экспоненциальную или логарифмическую функцию в терминах натуральных экспоненциальных и натуральных логарифмических функций. 9ж\). Поскольку экспоненциальные функции взаимно однозначны, мы можем заключить, что $u⋅v=w$.
  
  $\square$
  Пример $\PageIndex{6}$: изменение базы
  Используйте вычислительную утилиту для вычисления $log_37$ с помощью представленной ранее формулы изменения базы.
  Решение
  Используйте второе уравнение с $a=3$ и $e=3$: $log_37=\dfrac{\ln 7}{\ln 3}≈1,77124$.
  Упражнение $\PageIndex{6}$
  Используйте формулу изменения базы и вычислительную утилиту для оценки $log_46$.
  Подсказка
  Используйте замену основания, чтобы переписать это выражение в терминах выражений, включающих функцию натурального логарифма.
  Ответить
  $1.29248$
  Пример $\PageIndex{7}$: Шкала землетрясений Рихтера
  Рисунок $\PageIndex{6}$: (кредит: модификация работы Робба Ханнавакера, NPS)
  В 1935 году Чарльз Рихтер разработал шкала (теперь известная как шкала Рихтера) для измерения магнитуды землетрясение . Шкала представляет собой логарифмическую шкалу с основанием 10, и ее можно описать следующим образом: рассмотрим одно землетрясение с магнитудой $R_1$ по шкале Рихтера и второе землетрясение с магнитудой $R_2$ по шкале Рихтера. Предположим, $R_1>R_2$, что означает, что землетрясение с магнитудой $R_1$ сильнее, но насколько оно сильнее, чем другое землетрясение? Одним из способов измерения интенсивности землетрясения является использование сейсмографа для измерения амплитуды волн землетрясения. Если $A_1$ — амплитуда, измеренная для первого землетрясения, а $A_2$ — амплитуда, измеренная для второго землетрясения, то амплитуды и магнитуды двух землетрясений удовлетворяют следующему уравнению:0005
  $R_1−R_2=log_{10}(\dfrac{A1}{A2})$.
  Рассмотрим землетрясение силой 8 баллов по шкале Рихтера и землетрясение силой 7 баллов по шкале Рихтера. Затем
  $8−7=log_{10}(\dfrac{A1}{A2})$.
  Следовательно,
  $log_{10}(\dfrac{A1}{A2})=1$,
  , что означает $A_1/A_2=10$ или $A_1=10A_2$. Поскольку $A_1$ в 10 раз больше $A_2$, мы говорим, что первое землетрясение в 10 раз сильнее второго. С другой стороны, если одно землетрясение оценивается в 8 баллов по шкале Рихтера, а другое — в 6 баллов, то относительная интенсивность двух землетрясений удовлетворяет уравнению
  $log_{10}(\dfrac{A1}{A2})=8−6=2$.
  No related posts.