Онлайн решение уравнений матричным способом онлайн: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Матричный метод. Метод обратной матрицы.

Содержание

Матричный метод решения уравнений онлайн калькулятор

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Довольно часто матричный метод используют для решения систем линейных уравнений, поскольку любую такую систему можно представить в матричном виде, после чего, определив ее обратную матрицу, легко решить.

Решения таких систем основано на определенном свойстве обратной матрицы: произведение обратной матрицы (А-1) и исходной матрицы равно единичной матрице.

Так же читайте нашу статью «Решить уравнения методом простой итерации онлайн»

Допустим, нам дана следующая система:

\[ \left\{\begin{matrix} 2x_1-x_2+3x_3=1\\ -2x_2+2x_3=2\\ 3x_1+x_2+x_3=0 \end{matrix}\right.

{-1}=\frac{1}{4}\cdot \begin{pmatrix} -4&4&4\\ 6&-7&-4\\ 6&-5&-4 \end{pmatrix} \]

3 шаг

Определяем матрицу неизвестных:

\[ x=\frac{1}{4}\cdot \begin{pmatrix} -4&4&4\\ 6&-7&-4\\ 6&-5&-4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ -2\\ -1 \end{pmatrix} \]

Ответ:

\[x_1=1;x_2=-2;x_3=-1\]

Поскольку математика точная наука, нужно быть уверенным в правильности решения. Для этого сделаем стандартную проверку:

\[\left\{\begin{matrix} 2\cdot1-(-2)+3\cdot (-1)=1\\ -2\cdot(-2)+2\cdot (-1)=2\\ 3\cdot 1+(-2)+(-1)=0 \end{matrix}\right.\]

Проверка подтвердила правильность решения.

Где можно решить уравнение матричным методом онлайн с решением?

Решить уравнение матричным способом онлайн вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды.

Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений через обратную матрицу

Калькулятор основан на решении неоднородной системы линейных алгебраических уравнений при помощи матричного метода ( другими словами данный метод еще называют решением через обратную матрицу).

Кто еще не знаком с решениями неоднородной системы алгебраических уравнений, то вы можете ознакомится с теорией на данной страничке:

The field is not filled.

‘%1’ is not a valid e-mail address.

Please fill in this field.

The field must contain at least% 1 characters.

The value must not be longer than% 1 characters.

Field value does not coincide with the field ‘%1’

An invalid character. Valid characters:’%1′.

Expected number.

It is expected a positive number.

Expected integer.

It is expected a positive integer.

The value should be in the range of [%1 .. %2]

The ‘% 1’ is already present in the set of valid characters.

The field must be less than 1%.

The first character must be a letter of the Latin alphabet.

Su

Mo

Tu

We

Th

Fr

Sa

January

February

March

April

May

June

July

August

September

October

November

December

century

B. C.

%1 century

An error occurred while importing data on line% 1. Value: ‘%2’. Error: %3

Unable to determine the field separator. To separate fields, you can use the following characters: Tab, semicolon (;) or comma (,).

%3.%2.%1%4

%3.%2.%1%4 %6:%7

s.sh.

u.sh.

v.d.

z.d.

yes

no

Wrong file format. Only the following formats: %1

Please leave your phone number and / or email.

Формулы Крамера. Матричный способ решения систем линейных уравнений | Математика

Пусть задана система линейных уравнений, содержащая одинаковое число уравнений и неизвестных

(1.19)

Введем три матрицы

Матрица , составленная из коэффициентов системы, является квадратной матрицей порядка . Матрицы и являются столбцовыми и составлены соответственно из неизвестных и свободных членов системы.

Получить решение

Так как число столбцов матрицы равно числу строк матрицы , то существует произведение , являющееся столбцовой матрицей тех же размеров, что и матрица . Тогда систему уравнений (1.19) можно записать в форме одного матричного уравнения.

(1.20)

Для определения матрицы из (1.20) допустим, что матрица имеет обратную матрицу определяемую формулой (17). Тогда, умножая обе части (1.20) слева на , получим

(1.21)

По определению обратной матрицы ,где единичная матрица порядка . Отсюда

Следовательно, уравнение (1.21) запишется в виде

(1.22)

Матричное равенство (1.22) определяет решение заданной системы уравнений в матричной форме. Для определения конкретных значений неизвестных перепишем (1.22) в виде

, (1.23)

где определитель, соответствующий матрице ;

алгебраические дополнения элементов этой матрицы.

Перемножив матрицы в правой части (23), найдем

Отсюда, согласно условию равенства двух матриц, получим

(1.24)

Формулы (1.24) и определяют матричный способ решения системы

Для запоминания этих формул и последующего их применения на практике введем группу определителей:

,

Заметим, что определитель получен из заменой его первого столбца на столбец свободных членов, определитель получен из заменой его второго столбца на столбец свободных членов и т.д.. Разложим каждый из определителей по столбцу из свободных членов Тогда

(1. 25)

Из сравнения полученных результатов (1.25) с числителями равенств (1.24) следует, что решение системы (1.19) можно записать в виде

(1.26)

Формулы (1.26) называются формулами Крамера.

Примеры решения по формулам Крамера

ПРИМЕР 1.1.13

Решить по формулам Крамера систему уравнений

Решение. Система содержит одинаковое число уравнений и неизвестных. Вычислим определитель этой системы.

Так как ,то решение можно найти по формулам Крамера:

Тогда

Ответ: {1;2}.

ПРИМЕР 1.1.14

Решить матричным способом систему уравнений

Система содержит одинаковое число уравнений и неизвестных. Вычислим определитель этой системы:

Так как , то система может быть решена матричным способом.

Составим матрицы

Так как определитель системы , то матрица имеет обратную матрицу , где

Вычислим алгебраические дополнения всех элементов

Тогда

Так как решением является , то

Или Ответ: {1,1,1}

Матричный способ решения систем линейных алгебраических уравнений

Запрос solve, который был использован ранее, чтобы получить решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАР) в Wolfram|Alpha, на самом деле является универсальным запросом для решения уравнений и их систем в Wolfram|Alpha. Собственно для решения системы линейных алгебраических уравнений он применяется лишь тогда, когда эта система задана в естественном виде: после запроса solve все уравнения системы перечисляются через запятую. Этот способ хорош тем, что позволяет решать не только определенные, но также и неопределенные системы — в общем виде.

Для решения определенных систем линейных алгебраических уравнений применяется также матричный способ.

В Wolfram|Alpha для решения систем линейных алгебраических уравнений матричным способом служит специальный запрос LinearSolve, после которого указываем матрицу коэффициентов системы и вектор (матрицу-столбец) свободных членов.

Чтобы понять особенности синтаксиса запроса LinearSolve, изучите следующие примеры.

Для начала рассмотрим решение однородных систем линейных алгебраических уравнений. После запроса LinearSolve вводим матрицу коэффициентов системы и нулевой вектор свободных членов. Получаем:

LinearSolve[{{a, b}, {c, d}}, {0, 0}]

Здесь Wolfram|Alpha дает тривиальное решение {0, 0}.

Точно также легко Wolfram|Alpha выводит тривиальное решение и для однородных систем линейных алгебраических уравнений более высокой размерности.

LinearSolve[{{1, 1, 1, -1}, {2, 1, 1, -2}, {1, 1, 2, 1}, {1, 1, 2, 4}}, {0, 0, 0, 0}]

Теперь взглянем на решение неоднородных систем линейных алгебраических уравнений.

После запроса LinearSolve вводим матрицу коэффициентов системы и ненулевой вектор свободных членов. В ответ получаем вектор неизвестных. Вот два примера.

LinearSolve[{{a, b}, {c, d}}, {1, 2}]

LinearSolve[{{1, 1, 1, -1}, {2, 1, 1, -2}, {1, 1, 2, 1}, {1, 1, 2, 4}}, {1, 1, 1, 2}]

Решение систем дифференциальных уравнений матричным способом

Матричная запись системы обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ) с постоянными коэффициентами

Линейную однородную СОДУ с постоянными коэффициентами $\left\{\begin{array}{c} {\frac{dy_{1} }{dx} =a_{11} \cdot y_{1} +a_{12} \cdot y_{2} +\ldots +a_{1n} \cdot y_{n} } \\ {\frac{dy_{2} }{dx} =a_{21} \cdot y_{1} +a_{22} \cdot y_{2} +\ldots +a_{2n} \cdot y_{n} } \\ {\ldots } \\ {\frac{dy_{n} }{dx} =a_{n1} \cdot y_{1} +a_{n2} \cdot y_{2} +\ldots +a_{nn} \cdot y_{n} } \end{array}\right. $,

где $y_{1} \left(x\right),\; y_{2} \left(x\right),\; \ldots ,\; y_{n} \left(x\right)$ — искомые функции независимой переменной $x$, коэффициенты $a_{jk} ,\; 1\le j,k\le n$ — заданные действительные числа представим в матричной записи:

  1. матрица искомых функций $Y=\left(\begin{array}{c} {y_{1} \left(x\right)} \\ {y_{2} \left(x\right)} \\ {\ldots } \\ {y_{n} \left(x\right)} \end{array}\right)$;
  2. матрица производных решений $\frac{dY}{dx} =\left(\begin{array}{c} {\frac{dy_{1} }{dx} } \\ {\frac{dy_{2} }{dx} } \\ {\ldots } \\ {\frac{dy_{n} }{dx} } \end{array}\right)$;
  3. матрица коэффициентов СОДУ $A=\left(\begin{array}{cccc} {a_{11} } & {a_{12} } & {\ldots } & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {\ldots } & {a_{2n} } \\ {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & {\ldots } & {a_{nn} } \end{array}\right)$.

Теперь на основе правила умножения матриц данную СОДУ можно записать в виде матричного уравнения $\frac{dY}{dx} =A\cdot Y$. {k\cdot x} \cdot \left(\begin{array}{c} {\alpha _{1} } \\ {\alpha _{2} } \\ {\ldots } \\ {\alpha _{n} } \end{array}\right)$.

Отсюда получаем:

Теперь матричному уравнению данной СОДУ можно придать вид:

Полученное уравнение можно представить так:

Последнее равенство показывает, что вектор $\alpha $ с помощью матрицы $A$ преобразуется в параллельный ему вектор $k\cdot \alpha $. Это значит, что вектор $\alpha $ является собственным вектором матрицы $A$, соответствующий собственному значению $k$.

Число $k$ можно определить из уравнения$\left|\begin{array}{cccc} {a_{11} -k} & {a_{12} } & {\ldots } & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} -k} & {\ldots } & {a_{2n} } \\ {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & {\ldots } & {a_{nn} -k} \end{array}\right|=0$.

Это уравнение называется характеристическим.

Пусть все корни $k_{1} ,k_{2} ,\ldots ,k_{n} $ характеристического уравнения различны. {9\cdot x} } \end{array}\right. $.

Как решить систему уравнений матричным способом

Дождь.
Осень пальцем проводит по окнам,
Каплями пишет на стеклах стихи.
(Самый модный ныне русский поэт Артём Султанов. Москва — Казань)

Как решить любую систему линейных уравнений матричным способом

— смотрите прикольные картинки на видео-уроке онлайн репетитора

Как Пожаловаться на Матричный метод — Википедия #wikipedia
Матричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.
Математика онлайн — решение уравнений, решение матриц, интегралов — matematik-online — mathematician — math via skype.

Матричный метод решения систем уравнений

#maths #poleznoe #formula
Этот онлайн калькулятор поможет вам понять, как разложить число на простые множители. Калькулятор разложения числа на множители очень просто и быстро разложит число на множители и выдаст подробное решение задачи.
Разложение на множители в программе онлайн уроков учителя математики
Разбор примерного варианта ОГЭ 2016 года по математике
  • Решение задач
  • Разложение на множители
  • Асимптоты
  • Обратные функции
  • Матрицы и системы уравнений
  • Производные
  • Интегралы
  • Дифференциальные уравнения
  • Формулы разложения на множители
  • Упрощение выражений многочленов — задачи и решения

Разложение на множители превращает выражение в произведение членов.
Примеры разложения на множители.
Показать решение онлайн репетитора? — Звоните по скайпу.
5х² – х – 42 = (5x + 14)∙(x — 3) number empire factoring calculator.
Вот ресурсы, включающие разложение на множители: