Y 3 y 1 решение – y»*y^3 = 1 решите дифференциальное уравнение

Решите уравнение 4/9*y^3-y+4/3*y+1=5/1-3*y (4 делить на 9 умножить на у в кубе минус у плюс 4 делить на 3 умножить на у плюс 1 равно 5 делить на 1 минус 3 умножить на у)

Найду корень уравнения: 4/9*y^3-y+4/3*y+1=5/1-3*y

Виды выражений


Решение

   3                        
4*y        4*y              
---- - y + --- + 1 = 5 - 3*y
 9          3               

$$\frac{4 y}{3} + \frac{4 y^{3}}{9} - y + 1 = - 3 y + 5$$

Быстрый ответ

[LaTeX]

            _____________                            /                                    _____________\
           /       _____                             |                                   /       _____ |
          /  9   \/ 574                              |                           ___    /  9   \/ 574  |
       3 /   - + -------                             |            ___          \/ 3 *3 /   - + ------- |
       \/    2      4                5               |        5*\/ 3                 \/    2      4    |
y1 = - ------------------ + -------------------- + I*|- -------------------- - ------------------------|
               2                   _____________     |         _____________              2            |
                                  /       _____      |        /       _____                            |
                                 /  9   \/ 574       |       /  9   \/ 574                             |
                            4*3 /   - + -------      |  4*3 /   - + -------                            |
                              \/    2      4         \    \/    2      4                               /

$$y_{1} = - \frac{1}{2} \sqrt[3]{\frac{9}{2} + \frac{\sqrt{574}}{4}} + \frac{5}{4 \sqrt[3]{\frac{9}{2} + \frac{\sqrt{574}}{4}}} + i \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt[3]{\frac{9}{2} + \frac{\sqrt{574}}{4}} - \frac{5 \sqrt{3}}{4 \sqrt[3]{\frac{9}{2} + \frac{\sqrt{574}}{4}}}\right)$$

            _____________                            /           _____________                       \
           /       _____                             |          /       _____                        |
          /  9   \/ 574                              |  ___    /  9   \/ 574                         |
       3 /   - + -------                             |\/ 3 *3 /   - + -------              ___       |
       \/    2      4                5               |      \/    2      4             5*\/ 3        |
y2 = - ------------------ + -------------------- + I*|------------------------ + --------------------|
               2                   _____________     |           2                      _____________|
                                  /       _____      |                                 /       _____ |
                                 /  9   \/ 574       |                                /  9   \/ 574  |
                            4*3 /   - + -------      |                           4*3 /   - + ------- |
                              \/    2      4         \                             \/    2      4    /

$$y_{2} = - \frac{1}{2} \sqrt[3]{\frac{9}{2} + \frac{\sqrt{574}}{4}} + \frac{5}{4 \sqrt[3]{\frac{9}{2} + \frac{\sqrt{574}}{4}}} + i \left(\frac{5 \sqrt{3}}{4 \sqrt[3]{\frac{9}{2} + \frac{\sqrt{574}}{4}}} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt[3]{\frac{9}{2} + \frac{\sqrt{574}}{4}}\right)$$

          _____________                       
         /       _____                        
        /  9   \/ 574              5          
y3 = 3 /   - + -------  - --------------------
     \/    2      4              _____________
                                /       _____ 
                               /  9   \/ 574  
                          2*3 /   - + ------- 
                            \/    2      4    

$$y_{3} = - \frac{5}{2 \sqrt[3]{\frac{9}{2} + \frac{\sqrt{574}}{4}}} + \sqrt[3]{\frac{9}{2} + \frac{\sqrt{574}}{4}}$$

Численный ответ

[LaTeX]

y1 = -0.523489302418 + 2.88480903168*i
y3 = -0.523489302418 - 2.88480903168*i

www.kontrolnaya-rabota.ru

Уравнения первого порядка - Решение дифференциальных уравнений

Бесплатные решения из сборника задач по дифференциальным уравнениям А.Ф. Филиппова. Решения дифференциальных уравнений в данном разделе доступны в режиме онлайн без регистрации.

301. Решить уравнение и построить график решения.
xy' + x2 + xy - y = 0.

302. Решить уравнение и построить график решения.
2xy' + y2 = 1.

303. Решить уравнение и построить график решения.
(2xy2 - y)dx + x dy = 0.

304. Решить уравнение и построить график решения.
(xy' + y)2 = x2y'.

305. Решить уравнение и построить график решения.

y - y' = y2 + xy'.

306. Решить уравнение и построить график решения.
(x + 2y3)y' = y.

307. Решить уравнение и построить график решения.
y'3 - y'e2x = 0.

308. Решить уравнение и построить график решения.
x2y' = y(x + y).

309. Решить уравнение и построить график решения.
(1 - x2)dy + xy dx = 0.

310. Решить уравнение и построить график решения.
y'2 + 2(x - 1)y' - 2y = 0.

311. Решить уравнение и построить график решения.
y + y' ln2 y = (x + 2 ln y)y'.

312. Решить уравнение и построить график решения.
x2y' - 2xy = 3y.

313. Решить уравнение и построить график решения.
x + yy' = y2(1 + y'2).

314. Решить уравнение и построить график решения.
y = (xy' + 2y)2.

315. Решить уравнение и построить график решения.
y' = 1/(x - y2).

316. Решить уравнение и построить график решения.
y'3 + (3x - 6)y' = 3y.

317. Решить уравнение и построить график решения.
x - y/y' = 2/y.

318. Решить уравнение и построить график решения.
2y'3 - 3y'2 + x = y.

319. Решить уравнение и построить график решения.
(x + y)2y' = 1.

320. Решить уравнение и построить график решения.
2x3yy' + 3x2y2 + 7 = 0.

321. Решить уравнение и построить график решения.
dx/x = (1/y - 2x) dy.

322. Решить уравнение и построить график решения.
xy' = ey + 2y'.

324. Решить уравнение и построить график решения.
x2y'2 + y2 = 2x(2 - yy').

326. Решить уравнение и построить график решения.
2x2y' = y2(2xy' - y).

327. Решить уравнение и построить график решения.
(y - xy')/(x + yy') = 2.

332. Решить дифференциальное уравнение: (xy4 - x)dx + (y + xy)dy = 0.

333. Решить дифференциальное уравнение: (sin x + y)dy + (y cos x - x2)dx = 0.

334. Решить дифференциальное уравнение: 3y'

3 - xy' + 1 = 0.

335. Решить дифференциальное уравнение: yy' + y2 ctg x = cos x.

336. Решить дифференциальное уравнение: (ey + 2xy)dx + (ey + x)x dy = 0.

339. Решить дифференциальное уравнение: y(y - xy') = sqrt(x4 + y4).

340. Решить дифференциальное уравнение: xy' + y = ln y'.

341. Решить дифференциальное уравнение: x2(dy - dx) = (x + y)y dx.

342. Решить дифференциальное уравнение: y' + xy1/3 = 3y.

343. Решить дифференциальное уравнение: (x cos y + sin 2y)y' = 1.

345. Решить дифференциальное уравнение: y' = x e2x/y + y.

347. Решить дифференциальное уравнение: (4xy - 3)y' + y2 = 1.

350. Решить дифференциальное уравнение: 3y'4 = y' + y.

353. Решить дифференциальное уравнение: (cos x - x sin x)y dx + (x cos x - 2y)dy = 0.

354. Решить дифференциальное уравнение: x2y'2 - 2xyy' = x2 + 3y2.

355. Решить дифференциальное уравнение: xy'/y + 2xy ln x + 1 = 0.

356. Решить дифференциальное уравнение: xy' = x sqrt(y - x2) + 2y.

357. Решить дифференциальное уравнение: (1 - x2y)dx + x2(y - x)dy = 0.

358. Решить дифференциальное уравнение: (2xey + y4)y' = yey.

359. Решить дифференциальное уравнение: xy'(ln y - ln x) = y.

360. Решить дифференциальное уравнение: 2y' = x + ln y'.

361. Решить дифференциальное уравнение: (2x2y - 3y2)y' = 6x2 - 2xy2 + 1.

363. Решить дифференциальное уравнение: y2y' + x2 sin3 x = y3 ctg x.

364. Решить дифференциальное уравнение: 2xy' - y = sin y'.

365. Решить дифференциальное уравнение: (x2y2 + 1)y + (xy - 1)2xy' = 0.

366. Решить дифференциальное уравнение: y sin x + y' cos x = 1.

369. Решить дифференциальное уравнение: y' = sqrt(2x - y; 3) + 2.

371. Решить дифференциальное уравнение: 2(x2y + sqrt(1 + x4y

2))dx + x3 dy = 0.

372. Решить дифференциальное уравнение: (y' - x sqrt(y))(x2 - 1) = xy.

374. Решить дифференциальное уравнение: (2x + 3y - 1)dx + (4x + 6y - 5)dy = 0.

375. Решить дифференциальное уравнение: (2xy2 - y)dx + (y2 + x + y)dy = 0.

376. Решить дифференциальное уравнение: y = y' sqrt(1 + y'2).

377. Решить дифференциальное уравнение: y2 = (xyy' + 1) ln x.

382. Решить дифференциальное уравнение: xy' + 1 = ex-y.

383. Решить дифференциальное уравнение: y' = tg(y - 2x).

388. Решить дифференциальное уравнение: (2x + y + 5)y' = 3x + 6.

394. Решить дифференциальное уравнение: x dy - 2y dx + xy2(2x dy + y dx) = 0.

395. Решить дифференциальное уравнение: (x3 - 2xy2)dx + 3x2y dy = x dy - y dx.

399. Решить дифференциальное уравнение: xy' = (x2 + tg y)cos2 y.

401. Решить дифференциальное уравнение: y' = 3x2/(x3 + y + 1).

402.

Решить дифференциальное уравнение: y' = (1 + y)2/(x(y + 1) - x2).

404. Решить дифференциальное уравнение: 6x5y dx + (y4 ln y - 3x6)dy = 0.

406. Решить дифференциальное уравнение: 2xy' + 1 = y + x2/(y - 1).

408. Решить дифференциальное уравнение: y' = ((3x + y3 - 1)/y)2.

409. Решить дифференциальное уравнение: (x sqrt(y2 + 1) + 1)(y2 + 1)dx = xy dy.

410. Решить дифференциальное уравнение: (x2 + y2 + 1)yy' + (x2 + y2 - 1)x = 0.

413. Решить дифференциальное уравнение: xyy' - x2 sqrt(y2 + 1) = (x + 1)(y2 + 1).

414. Решить дифференциальное уравнение: (x2 - 1)y' + y2 - 2xy + 1 = 0.

415. Решить дифференциальное уравнение: y' tg y + 4x3 cos y = 2x.

417. Решить дифференциальное уравнение: (x + y)(1 - xy)dx + (x + 2y)dy = 0.

419. Решить дифференциальное уравнение: (x2 - 1)dx + (x2y2 + x3

+ x)dy = 0.

420. Решить дифференциальное уравнение: x(y'2 + e2y) = -2y'.

xn--e1avkt.xn--p1ai

помогите найти частное решение дифференциального уравнения xy'+y=x+1 при y=3, x=2

все просто.. . y(x) = -x*ln(x) - x^2 + C1*x подставляй н. у. и получишь то, что желаешь...

Решается, например, методом вариации произвольной постоянной. 1.xy'+y=0 ---> y'+y/x=0 ---> dy/dx + y/x = 0 ---> dy/y + dx/x = 0 ----> dy/y = - dx/x ---> lny=-lnx+lnC ---> y=C/x Проверяем. y'=-C/x^2 ---> xy'+y=-Cx/x^2 + C/x = -C/x + C/x=0 Значит функция верная. 2. Теперь варьируем произвольную постоянную То есть C = C(x). Тогда y'=(C(x)/x)' = (C'(x)*x-C(x))/x^2. Подставляем в исходное уравнение. xy'+y=x+1 ---> x * ((C'(x)*x-C(x))/x^2) + (C(x)/x) = x+1 ---> C'(x)*x^2/x^2 - C(x)*x/x^2 + C(x)/x = x+1 ---> C'(x) - C(x)/x + C(x)/x = x+1 ---> C'(x) = x+1. Находим C(x). C(x)=x^2/2+x+C1. Получаем y=C(x)/x = (x^2/2+x+C1)/x = x/2+1+C1/x. 3. Находим С1 зная начальные условия. y(2)=3. y(2)=2/2+1+C1/2=2+C1/2=3 --->C1=2. Получаем y=2/x+x/2+1. Проверяем. y'=(2/x+x/2+1)'=-2/x^2+1/2 xy'+y=(-2/x^2+1/2)*x + 2/x+x/2+1 = -2/x + x/2 + 2/x + x/2 + 1 = x+1

Это ЛНДУ 1 порядка. Приводится к виду y`+y/x=(x+1)/x. Решается методом Бернулли (y=u*v) или методом Лагранжа (вариации произвольной постоянной)

xy' + y = x + 1 (x·y)' = x + 1 y = x/2 + C/x + 1 y(2) = 3 → 3 = 1 + C/2 + 1 → C = 2 → y = x/2 + 2/x + 1.

а почему нельзя просто подставить 2 y' + 3 = 3; y' = 0

<img src="//otvet.imgsmail.ru/download/de61b8acb4b8ea998c6d6231dfce3dd7_i-285.jpg"><img src="//otvet.imgsmail.ru/download/3a0e7bedd99156fe9c6b33cc872a0e6f_i-286.jpg">

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Проверка решений дифференциальных уравнений Задача 1.1. Убедиться, что функция y(x) = Cx + C 1 + C2 при каждом C ∈ R является решением уравнения y − xy = y 1 + y2 · (1.1) Решение: Вычислим производную функции y(x) и подста- вим y (x) и y(x) в уравнение (1.1). Получим y (x) = C; Cx + C 1 + C2 − xC = C 1 + C2 · Очевидно, полученное равенство является тождеством, сле- довательно данная функция является решением уравнения. За

вы все изи) я автоматом получила 5 у МАГАЗА

touch.otvet.mail.ru

Уравнения, допускающие понижение порядка - Решение дифференциальных уравнений

Бесплатные решения из сборника задач по дифференциальным уравнениям А.Ф. Филиппова. Решения дифференциальных уравнений в данном разделе доступны в режиме онлайн без регистрации.

421. Решить уравнение: x2y'' = y'2.

422. Решить уравнение: 2xy'y'' = y'2 - 1.

423. Решить уравнение: y3y'' = 1.

424. Решить уравнение: y'2 + 2yy'' = 0.

425. Решить уравнение: y'' = 2yy'.

426. Решить уравнение: yy'' + 1 = y'2.

427. Решить уравнение: y''(ex + 1) + y' = 0.

428. Решить уравнение: y''' = y''2.

429. Решить уравнение: yy'' = y'2 - y'3.

430. Решить уравнение: y''' = 2(y'' - 1) ctg x.

432. Решить уравнение: y''3 + xy'' = 2y'.

433. Решить уравнение: y''2 + y' = xy''.

434. Решить уравнение: y'' + y'2 = 2e-y.

435. Решить уравнение: xy''' = y'' - xy''.

436. Решить уравнение: y''2 = y'2 + 1.

438. Решить уравнение: y'' - xy''' + y'''3 = 0.

439. Решить уравнение: 2y'(y'' + 2) = xy''2.

441. Решить уравнение: y'2 = (3y - 2y')y''.

442. Решить уравнение: y''(2y' + x) = 1.

443. Решить уравнение: y''2 - 2y'y''' + 1 = 0.

444. Решить уравнение: (1 -x2)y'' + xy' = 2.

445. Решить уравнение: yy'' - 2yy' ln y = y'2.

446. Решить уравнение: (y' + 2y)y'' = y'2.

447. Решить уравнение: xy'' = y' + x sin(y'/x).

448. Решить уравнение: y'''y'2 = y''3.

449. Решить уравнение: yy'' + y = y'2.

450. Решить уравнение: xy'' = y' + x(y'2 + x2).

452. Решить дифференциальное уравнение, воспользовавшись формулой, сводящей многократное интегрирование к однократному.
xy'' = sin x.

455. Решить уравнение, преобразовав его к такому виду, чтобы обе части уравнения являлись полными производными.
yy''' + 3y'y'' = 0.

456. Решить уравнение, преобразовав его к такому виду, чтобы обе части уравнения являлись полными производными.
y'y''' = 2y''2.

457. Решить уравнение, преобразовав его к такому виду, чтобы обе части уравнения являлись полными производными.
yy'' = y'(y' + 1).

458. Решить уравнение, преобразовав его к такому виду, чтобы обе части уравнения являлись полными производными.
5y'''2 - 3y''yIV = 0.

459. Решить уравнение, преобразовав его к такому виду, чтобы обе части уравнения являлись полными производными.
yy'' + y'2 = 1.

460. Решить уравнение, преобразовав его к такому виду, чтобы обе части уравнения являлись полными производными.
y'' = xy' + y + 1.

461. Решить уравнение, преобразовав его к такому виду, чтобы обе части уравнения являлись полными производными.
xy'' = 2yy' - y'.

462. Решить уравнение, преобразовав его к такому виду, чтобы обе части уравнения являлись полными производными.
xy'' - y' = x2yy'.

463. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение.
xyy'' - xy'2 = yy'.

464. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение.
yy'' = y'2 + 15y2 sqrt(x).

465. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение.
(x2 + 1)(y'2 - yy'') = xyy'.

466. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение.
xyy'' + xy'2 = 2yy'.

467. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение.
x2yy'' = (y - xy')2.

468. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение.
y'' + y'/x + y/x2 = y'2/y.

469. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение.
y(xy'' + y') = xy'2(1 - x).

470. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение.
x2yy'' + y'2 = 0.

471. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение.
x2(y'2 - 2yy'') = y2.

472. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение.
xyy'' = y'(y + y').

473. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение.
4x2y3y'' = x2 - y4.

474. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение.
x3y'' = (y - xy')(y - xy' - x).

475. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение.
y2/x2 + y'2 = 3xy'' + 2yy'/x.

476. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение.
y'' = (2xy - 5/x)y' + 4y2 - 4y/x2.

477. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение.
x2(2yy'' - y'2) = 1 - 2xyy'.

478. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение.
x2(yy'' - y'2) + xyy' = (2xy' - 3y)x3/2.

479. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение.
x4(y'2 - 2yy'') = 4x3yy' + 1.

480. Понизить порядок данного уравнения, пользуясь его однородностью, и решить это уравнение.
yy' + xyy'' - xy'2 = x3.

482. Понизив порядок данного дифференциального уравнения, свести его к уравнению первого порядка.
y''2 - y'y''' = (y'/x)2.

487. Понизив порядок данного дифференциального уравнения, свести его к уравнению первого порядка.
y2(y'y''' - 2y''2) = y'4.

500. Понизив порядок данного дифференциального уравнения, свести его к уравнению первого порядка.
x2(y2y''' - y'3) = 2y2y' - 3xyy'2...

501. Найти решение, удовлетворяющие заданным начальным условиям.
yy'' = 2xy'2; y(2) = 2, y'(2) = 0,5.

502. Найти решение, удовлетворяющие заданным начальным условиям.
2y''' - 3y'2 = 0; y(0) = -3, y'(0) = 1, y''(0) = -1.

503. Найти решение, удовлетворяющие заданным начальным условиям.
x2y'' - 3xy' = 6y2/x2 - 4y; y(1) = 1, y'(1) = 4.

505. Найти решение, удовлетворяющие заданным начальным условиям.
y'' cos y + y'2 sin y = y'; y(-1) = π/6, y'(-1) = 2.

507. Найти кривые, у которых радиус кривизны обратно пропорционален косинусу угла между касательной и осью абсцисс.

508. Определить форму равновесия нерастяжимой нити с закрепленными концами, на которую действует нагрузка так, что на каждую единицу длины горизонтальной проекции нагрузка одинакова (цепи...

509. Найти форму равновесия однородной нерастяжимой нити (с закрепленными концами) под действием ее веса.

510. Доказать, что уравнение движения маятника у" + sin у = 0 имеет частное решение y(x), стремящееся к π при x → +∞.

xn--e1avkt.xn--p1ai

Примеры решения линейных дифференциальных уравнений й

Рассмотрим примеры решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли.

1) y’=3x-y/x

Перепишем уравнение в стандартном виде: y’+y/x=3x.  Здесь p(x)=1/x, q(x)=3x.

1) Введем замену y=uv, где u=u(x) и v=v(x) — некоторые новые функции от x. Отсюда y’=(uv)’=u’v+v’u. Подставляем полученные выражения для y и y’ в условие: u’v+v’u+uv/x=3x.

2) Сгруппируем слагаемые, содержащие v:  [u’+u/x]v+v’u=3x.     (I)    Теперь потребуем равенства нулю выражения в скобках: u’+u/x=0. Получили новое дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно  u и x. Подставляем u’=du/dx и разделяем переменные: du/dx= — u/x. Умножаем обе части уравнения на dx  и делим на u≠0. Пришли к уравнению с разделенными переменными: du/u= — dx/x. Интегрируем его:

   

Поскольку при нахождении u С берем равным нулю, то получаем, что ln│u│=-ln│x│,  используем свойство логарифма: ln│u│= ln│1/x│отсюда u=1/x.

3) В уравнение (I) подставляем [u’+u/x]=0 и u=1/x. Имеем: v’/x=3x. Умножаем  обе части полученного уравнения на x≠0: v’=3x². Можно представить v’=dv/dx  и разделить переменные: dv/dx=3x², отсюда, умножив обе части на dx, получаем dv=3x²dx, интегрируем:

   

здесь С уже не игнорируем, и приходим к v=x³+C.          (А можно было просто проинтегрировать обе части равенства: v’=3x²

   

и сразу получить ответ v=x³+C).

4) Так как y=uv, подставив найденные выражения для u и v, получаем: y=(x³+C)/x. Если преобразовать ответ, получим: y=x²+C/x.

Ответ: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

Линейное уравнение в стандартном виде. p(x)=1, q(x)=cosx.

1) y=uv, y’=u’v+v’u. Подставляем в условие:

u’v+v’u+uv=cosx. Группируем слагаемые с v: [u’+u]v+v’u=cosx.     (II)

2) Теперь потребуем, чтобы выполнялось условие u’+u=0. Получили уравнение с разделяющимися переменными u и x. Так как u’=du/dx, то du/dx+u=0, откуда du/dx=-u. Умножаем обе части на dx и делим на u≠0: du/u=-dx. Интегрируем уравнение:

   

3) В уравнение (II) подставляем [u’+u]=0 и

   

   

Интегрируем обе части уравнения:

   

Этот интеграл находится с помощью формулы интегрирования по частям:

   

4) y=uv, подставляем найденные выражения для u и v:

   

Ответ:

   

Рассмотрим еще одно интересное задание.

3) Найти решение уравнения (x+y)y’=1, удовлетворяющее начальному условию y(-1)=0.

Если рассматривать y как функцию от x, то уравнение не получится записать в стандартном виде y’+p(x)y=q(x). А вот если рассматривать x как функцию от y, то с учетом того, что y’=1/x’, получаем: (x+y)·1/x’=1, откуда x’=x+y, теперь переписываем это уравнение в виде x’-x=y.      (III)

Мы получили линейное дифференциальное уравнение первого порядка вида x’+p(y)=q(y). Здесь p(y)=-1, q(y)=y. Все рассуждения абсолютно аналогичны. Проведем их.

1) Замена x=uv, где u=u(y), v=v(y). Отсюда x’=u’v+v’u. Подставляем в (III): u’v+v’u-uv=y.

2) Группируем слагаемые с v: [u’-u]v+v’u=y.        (IV)     Требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: u’-u=0. А это — уравнение с разделяющимися переменными. Только не забываем, что вторая переменная здесь y, а не x. С учетом того, что u’=du/dy, разделим переменные: du/dy=u. Умножаем обе части уравнения на dy и делим на u: du/u=dy. Теперь интегрируем:

   

3) В (IV) подставляем [u’-u]=0 и

   

Этот интеграл также находим по формуле интегрирования по частям

   

Здесь

   

Подставляем, по формуле интегрирования по частям получаем:

   

4) Так как x=uv, то, подставив найденные выражения для функций u и v, получаем:

   

5) В общее решение уравнения

   

подставляем начальные условия y(-1)=0  (то есть x=-1, y=0):

   

Отсюда частное решение x=-y-1. Выразив y через x, приходим к окончательному варианту ответа: y=-x-1.

Ответ: y=-x-1.

Задания для самопроверки:

1) y’=x+y

2) xy’-2y=x²

   

Показать решение

1) y’-y=x. Здесь p(x)=-1, q(x)=x.

1) Вводим замену y=uv, y’=u’v+v’u. Подставляем в условие: u’v+v’u=x+uv, u’v+v’u- uv=x.

2) Группируем слагаемые с v: [u’- u]v+v’u=x       (*).

Требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: u’- u=0ю Из этого условия находим u: du/dx=u, du/u=dx. Интегрируем:

   

3) В равенство (*) подставляем [u’- u]=0 и

   

   

Интеграл в правой части уравнения будем искать с помощью формулы интегрирования по частям: u=x, du=x’dx=dx.

   

Отсюда получаем, что

   

   

4) Поскольку y-uv, подставлям:

   

Ответ:

   

2) Делим обе части уравнения на x: y’-(2/x)y=x. Здесь p(x)=-2/x, q(x)=x.

1) Замена y=uv, y’=u’v+v’u. Подставляем в условие: xu’v+xv’u-2uv=x².

2)  Группируем слагаемые с v: [xu’-2u]v+xv’u=x²      (**). Теперь требуем выполнения условия xu’-2u=0. Отсюда x·du/dx=2u, du/u=2dx/x. Интегрируем:

   

3) В равенство (**) подставляем [xu’-2u]=0, u=x²: xv’x²=x², отсюда xv’=1, а значит, v’=1/x. Отсюда v= ln|x|+C.

4) Так как y=uv, то подставляем и получаем: y=x²(ln|x|+C).

Ответ: y=x²(ln|x|+C).

   

1)  Замена y=uv, y’=u’v+v’u. Подставляем в условие:

   

2) Группируем слагаемые с v:

   

Требуем равенства нулю выражения в скобках: u’+2u/x=0. Отсюда du/dx=-2u/x, du/u= (-2/x)dx. Интегрируем:

   

3) В условие (***) подставляем [u’+2u/x]=0  и u=1/x². Имеем:

   

Чтобы найти интеграл в правой части, введем замену -x²=t, тогда dt=(-x²)’dx=-2xdx. Отсюда

   

   

4) Так как y=uv, подставив, получаем:

   

Ответ:

   

 

www.matematika.uznateshe.ru

Линейные уравнения первого порядка - Решение дифференциальных уравнений

Бесплатные решения из сборника задач по дифференциальным уравнениям А.Ф. Филиппова. Решения дифференциальных уравнений в данном разделе доступны в режиме онлайн без регистрации.

136. Решить уравнение: xy' - 2y = 2x4.

137. Решить уравнение: (2x + 1)y' = 4x + 2y.

138. Решить уравнение: y' + y tg x = sec x.

139. Решить уравнение: (xy + ex)dx - x dy = 0.

140. Решить уравнение: x2y' + xy + 1 = 0.

141. Решить уравнение: y = x(y' - x cos x).

142. Решить уравнение: 2x(x2 + y)dx = dy.

143. Решить уравнение: (xy' - 1)ln x = 2y.

144. Решить уравнение: xy' + (x + 1)y = 3x2e-x.

145. Решить уравнение: (x + y2) dy = y dx.

146. Решить уравнение: (2ey - x)y' = 1.

147. Решить уравнение: (sin2 y + x ctg y)y' = 1.

148. Решить уравнение: (2x + y)dy = y dx + 4 ln y dy.

149. Решить уравнение: y' = y/(3x - y2).

150. Решить уравнение: (1 - 2xy)y' = y(y - 1).

151. Решить уравнение: y' + 2y = y2ex.

152. Решить уравнение: (x + 1)(y' + y2) = -y.

153. Решить уравнение: y' = y4 cos x + y tg x.

154. Решить уравнение: xy2y' = x2 + y3.

155. Решить уравнение: xy dy = (y2 + x)dx.

156. Решить уравнение: xy' - 2x2 sqrt(y) = 4y.

157. Решить уравнение: xy' + 2y + x5y3ex = 0.

158. Решить уравнение: 2y' - x/y = xy/(x2 - 1).

159. Решить уравнение: y'x3 sin y = xy' - 2y.

160. Решить уравнение: (2x2y ln y - x)y' = y.

161. С помощью замены переменных или дифференцирования привести уравнение к линейному и решить его.
x dx = (x2 - 2y + 1)dy.

162. С помощью замены переменных или дифференцирования привести уравнение к линейному и решить его.
(x + 1)(yy' - 1) = y2.

163. С помощью замены переменных или дифференцирования привести уравнение к линейному и решить его.
x(ey - y') = 2.

164. С помощью замены переменных или дифференцирования привести уравнение к линейному и решить его.
(x2 - 1)y' sin y + 2x cos y = 2x - 2x3.

165. С помощью замены переменных или дифференцирования привести уравнение к линейному и решить его.
y(x) = 0x∫ y(t)dt + x + 1.

166. С помощью замены переменных или дифференцирования привести уравнение к линейному и решить его.
0x∫ (x - t)y(t)dt = 2x + 0x∫ y(t)dt...

167. Найти путем подбора частное решение, привести данное дифференциальное уравнение Риккати к уравнению Бернулли и решить его.
x2y' + xy + x2y2 = 4...

168. Найти путем подбора частное решение, привести данное дифференциальное уравнение Риккати к уравнению Бернулли и решить его.
3y' + y2 + 2/x2 = 0.

169. Найти путем подбора частное решение, привести данное дифференциальное уравнение Риккати к уравнению Бернулли и решить его.
xy' - (2x + 1)y + y2 = -x2.

170. Найти путем подбора частное решение, привести данное дифференциальное уравнение Риккати к уравнению Бернулли и решить его.
y' - 2xy + y2 = 5 - x2.

171. Найти путем подбора частное решение, привести данное дифференциальное уравнение Риккати к уравнению Бернулли и решить его.
y' + 2yex - y2 = e2x...

173. Найти кривые, у которых площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной и ординатой точки касания, есть величина постоянная, равная 3a2.

174. Найти кривые, у которых площадь треугольника, ограниченного касательной, осью абсцисс и отрезком от начала координат до точки касания, есть величина постоянная, равная a2...

175. В баке находится 100 л раствора, содержащего 10 кг соли. В бак втекает 5 л воды в минуту, а смесь с той же скоростью переливается в другой 100-литровый бак, первоначально наполненный...

176. За время Δt (где Δt очень мало и выражено в долях года) из каждого грамма радия распадается 0,00044 Δt грамма и образуется 0,00043 Δt грамма радона. Из каждого...

177. Даны два различных решения y1 и y2 линейного уравнения первого порядка. Выразить через них общее решение этого уравнения.

178. Найти то решение дифференциального уравнения y' sin 2x = 2(y + cos x), которое остается ограниченным при x → π/2.

179. Пусть в уравнении xy' + ay = f(x) имеем a = const > 0, f(x) → b при х → 0. Показать, что только одно решение уравнения остается ограниченным при х → 0, и найти предел...

180. Пусть в уравнении предыдущей задачи а = const < 0, f(x) → b при х → 0. Показать, что все решения этого уравнения имеют один и тот же конечный предел при х → 0. Найти...

181. Показать, что уравнение dx/dt + x = f(t), где |f(t)| ≤ M при -∞ < t < +∞, имеет одно решение, ограниченное при -∞ < t < +∞. Найти это решение...

182. Показать, что только одно решение уравнения xy' - (2x2 + 1)y = x2 стремится к конечному пределу при х → +∞, и найти этот предел. Выразить это решение...

183. Найти периодическое решение уравнения y' = 2y cos2 x - sin x. Примечание: искомое решение выражается через интеграл с бесконечным пределом.

184. Пусть в уравнении dx/dt + a(t)x = f(t), a(t) ≥ c > 0, f(t) → 0 при t → +∞. Доказать, что каждое решение этого уравнения стремится к нулю при t → +∞...

185. Пусть в уравнении предыдущей задачи имеем a(t) ≥ c > 0 и пусть x0(t) - решение с начальным условием x0(0) = b. Показать, что для любого ε > 0...

xn--e1avkt.xn--p1ai

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Бесплатные решения из сборника задач по дифференциальным уравнениям А.Ф. Филиппова. Решения дифференциальных уравнений в данном разделе доступны в режиме онлайн без регистрации.

511. Решить уравнение: y'' + y' - 2y = 0.

512. Решить уравнение: y'' + 4y' + 3y = 0.

513. Решить уравнение: y'' - 2y' = 0.

514. Решить уравнение: 2y'' - 5y' + 2y = 0.

515. Решить уравнение: y'' - 4y' + 5y = 0.

516. Решить уравнение: y'' + 2y' + 10y = 0.

517. Решить уравнение: y'' + 4y = 0.

518. Решить уравнение: y''' - 8y = 0.

519. Решить уравнение: yIV - y = 0.

520. Решить уравнение: yIV + 4y = 0.

521. Решить уравнение: yVI + 64y = 0.

522. Решить уравнение: y'' - 2y' + y = 0.

523. Решить уравнение: 4y'' + 4y' + y = 0.

524. Решить уравнение: yV - 6yIV + 9y''' = 0.

525. Решить уравнение: yV - 10y''' + 9y' = 0.

526. Решить уравнение: yIV + 2y'' + y = 0.

527. Решить уравнение: y''' - 3y'' + 3y' - y = 0.

528. Решить уравнение: y''' - y'' - y' + y = 0.

529. Решить уравнение: yIV - 5y'' + 4y = 0.

530. Решить уравнение: yV + 8y''' + 16y' = 0.

531. Решить уравнение: y''' - 3y' + 2y = 0.

532. Решить уравнение: yIV + 4y'' + 3y = 0.

533. Решить уравнение: y'' - 2y' - 3y = e4x.

534. Решить уравнение: y'' + y = 4xex.

535. Решить уравнение: y'' - y = 2ex - x2.

536. Решить уравнение: y'' + y' - 2y = 3xex.

537. Решить уравнение: y'' - 3y' + 2y = six x.

538. Решить уравнение: y'' + y = 4 sin x.

539. Решить уравнение: y'' - 5y' + 4y = 4x2e2x.

540. Решить уравнение: y'' - 3y' + 2y = x cos x.

541. Решить уравнение: y'' + 3y' - 4y = e-4x + xe-x.

542. Решить уравнение: y'' + 2y' - 3y = x2ex.

543. Решить уравнение: y'' - 4y' + 8y = e2x + sin 2x.

544. Решить уравнение: y'' - 9y = e3x cos x.

545. Решить уравнение: y'' - 2y' + y = 6xex.

546. Решить уравнение: y'' + y = x sin x.

547. Решить уравнение: y'' + 4y' + 4y = xe2x.

548. Решить уравнение: y'' - 5y' = 3x2 + sin 5x.

549. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y'' - 2y' + 2y = ex + x cos x.

550. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y'' + 6y' + 10y = 3xe-3x - 2e3x cos x.

552. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y'' + 7y' + 10y = xe-2x cos 5x.

553. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y'' - 2y' + 5y = 2xex + ex sin 2x.

554. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y'' - 2y' + y = 2xex + ex sin 2x.

555. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y'' - 8y' + 17y = e4x(x2 - 3x sin x).

556. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y''' + y' = sin x + x cos x.

557. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y''' - 2y'' + 4y' - 8y = e2x sin 2x + 2x2.

558. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y'' - 6y' + 8y = 5xe2x + 2e4x sin x.

559. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y'' + 2y' + y = x(e-x - cos x).

560. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y''' - y'' - y' + y = 3ex + 5x sin x.

562. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y'' - 9y = e-3x(x2 + sin 3x).

563. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): yIV + y'' = 7x - 3 cos x.

564. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y'' + 4y = cos x * cos 3x.

566. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y'' - 4y' + 5y = e2x sin2 x.

568. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y'' - 2y' + 2y = (x + ex)sin x.

569. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): yIV + 5y'' + 4y = sin x * cos 2x.

570. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y'' - 3y' + 2y = 2x.

572. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y'' + 4y' + 3y = ch x.

573. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y'' + 4y = sh x * sin 2x.

575. Решить дифференциальное уравнение способом вариации постоянных: y'' - 2y' + y = ex/x.

576. Решить дифференциальное уравнение способом вариации постоянных: y'' + 3y' + 2y = 1/(ex + 1).

577. Решить дифференциальное уравнение способом вариации постоянных: y'' + y = 1/sin x.

578. Решить дифференциальное уравнение способом вариации постоянных: y'' + 4y = 2 tg x.

579. Решить дифференциальное уравнение способом вариации постоянных: y'' + 2y' + y = 3e-x sqrt(x + 1).

580. Решить дифференциальное уравнение способом вариации постоянных: y'' + y = 2 sec3 x.

581. Решить дифференциальное уравнение способом вариации постоянных: x3(y'' - y) = x2 - 2.

582. Найти решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям: y'' - 2y' + y = 0; y(2) = 1, y'(2) = -2.

583. Найти решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям: y'' + y = 4ex; y(0) = 4, y'(0) = -3.

584. Найти решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям: y'' - 2y' = 2ex; y(1) = -1, y'(1) = 0.

585. Найти решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям: y'' + 2y' + 2y = xe-x; y(0) = y'(0) = 0.

586. Найти решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям: y''' - y' = 0; y(0) = 3, y'(0) = -1, y''(0) = 1.

587. Найти решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям: y''' - 3y' - 2y = 9e2x; y(0) = 0, y'(0) = -3, y''(0) = 3.

588. Найти решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям: yIV + y'' = 2 cos x; y(0) = -2, y'(0) = 1, y''(0) = y'''(0) = 0.

589. Решить уравнение Эйлера: x2y'' - 4xy' + 6y = 0.

590. Решить уравнение Эйлера: x2y'' - xy' - 3y = 0.

591. Решить уравнение Эйлера: x3y''' + xy' - y = 0.

592. Решить уравнение Эйлера: x2y''' = 2y'.

593. Решить уравнение Эйлера: x2y'' - xy' + y = 8x3.

594. Решить уравнение Эйлера: x2y'' + xy' + 4y = 10x.

595. Решить уравнение Эйлера: x3y'' - 2xy = 6 ln x.

597. Решить уравнение Эйлера: x2y'' - 6y = 5x3 + 8x2.

598. Решить уравнение Эйлера: x2y'' - 2y = sin ln x.

599. Решить уравнение Эйлера: (x - 2)2y'' - 3(x - 2)y' + 4y = x.

600. Решить уравнение Эйлера: (2x + 3)3y''' + 3(2x + 3)y' - 6y = 0.

601. Применяя различные методы, решить уравнения 601–611: y'' + 2y' + y = cos ix.

602. Применяя различные методы, решить уравнения 601–611: y'' - 2y' + y = xex sin2 ix.

603. Применяя различные методы, решить уравнения 601–611: y'' + 2iy = 8ex sin x.

604. Применяя различные методы, решить уравнения 601–611: y'' + 2iy' - y = 8 cos x.

610. Применяя различные методы, решить уравнения 601–611: x2y'' - xy' + y = ln x/x + x/ln x.

612. Какие условия достаточно наложить на функцию f(x), чтобы все решения уравнения задачи 611 (y'' + y = f(x)) оставались ограниченными при x → +∞?

613. Построить линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (возможно более низкого порядка), имеющее данное частное решение: y1 = x2ex...

615. Построить линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (возможно более низкого порядка), имеющее данное частное решение: y1 = x sin x.

616. Построить линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (возможно более низкого порядка), имеющее данное частное решение: y1 = xex...

617. Построить линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (возможно более низкого порядка), имеющее данные частные решения: y1 = xex,...

618. Построить линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (возможно более низкого порядка), имеющее данные частные решения: y1 = x, y2...

619. При каких a и b все решения уравнения y'' + ay' + by = 0 ограничены на всей числовой оси -∞ < x < +∞?

620. При каких a и b все решения уравнения y'' + ay' + by = 0 стремятся к нулю при x → +∞?

623. При каких a и b каждое решение уравнения y'' + ay' + by = 0 обращается в нуль на бесконечном множестве точек x?

624. При каких a и b все решения уравнения y'' + ay' + by = 0 удовлетворяют соотношению y = o(e-x) при x → +∞?

625. Для заданного b > 0 подобрать такое a, при котором решение уравнения y'' + ay' + by = 0 с начальными условиями y(0) = 1, y'(0) = 0 возможно быстрее стремится к нулю при x →...

628. Найти периодическое решение уравнения x'' + x' + 4x = eiωt и на комплексной плоскости начертить кривую, которую пробегает амплитудный множитель этого решения при изменении...

629. Дано уравнение y'' + ay' + by = f(x), причем |f(x)| ≤ m (-∞ < x < ∞), а корни характеристического уравнения λ2 < λ1 <...

634. Частица массы m движется по оси Ox, отталкиваясь от точки x = 0 с силой 3mr0 и притягиваясь к точке x = 1 с силой 4mr1, где r0 и r1 –...

635. Электрическая цепь состоит из последовательно включенных источника постоянного тока, дающего напряжение V, сопротивления R, самоиндукции L и выключателя, который включается при t =...

639. Последовательно включены источник тока, напряжение которого меняется по закону E = V sin ωt, сопротивление R и самоиндукция L. Найти силу тока в цепи (установившийся режим).

xn--e1avkt.xn--p1ai

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *