Решение уравнений высших степеней с помощью замены переменной
Похожие презентации:
Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)
Применение производной в науке и в жизни
Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»
Знакомство детей с математическими знаками и монетами
Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10
Методы обработки экспериментальных данных
Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ
Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии
Дифференциальные уравнения
Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи
1. Проект:»РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ С ПОМОЩЬЮ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ»
ПРОЕКТ:»РЕШЕНИЕУРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ
СТЕПЕНЕЙ С ПОМОЩЬЮ
ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ»
ВЫПОЛНИЛИ УЧАЩИЕСЯ 9 кл: УТАРБАЕВА
Ж., КУШКУМБАЕВ С.,БЕСПАЕВ К., ИСЕНОВ Д.
2. ЦЕЛИ ПРОЕКТА:
1. СОВЕРШЕНСТВОВАТЬ НАВЫКИРЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ
ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ.
2. НАУЧИТЬСЯ РАБОТАТЬ С
ИНФОРМАЦИЕЙ ИЗ ИНТЕРНЕТА.
3. УМЕТЬ СОЗДАВАТЬ ПРЕЗЕНТАЦИИ,
ИСПОЛЬЗУЯ СОБРАННЫЙ МАТЕРИАЛ.
3. НЕМНОГО ИСТОРИИ…
Некоторые алгебраическиеприемы решения
линейных и квадратных
уравнений были известны
еще 4000 лет назад в
Древнем Вавилоне.
Необходимость решать
уравнения не только
первой, но и второй
степени еще в древности
была вызвана
потребностью решать
задачи, связанные с
нахождением площадей
земельных участков и с
земельными работами
военного характера, а
также с развитием
астрономии и самой
математики
4. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ.
НАХОЖДЕНИЕПЛОЩАДИ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИ
.
Х ФИГУР.
ПРИВОДИТ К
РЕШЕНИЮ
КВАДРАТНЫХ
УРАВНЕНИЙ.
Нахождение
объёма
ПРИВОДИТ К
РЕШЕНИЮ
КУБИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ.
Задачи
баллистики
ПРИВОДИТ К
РЕШЕНИЮ
КВАДРАТНЫХ,
КУБИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ.
Кристаллография
Решение уравнений
четвертой и пятой
степени
Полёт самолёта
Решение
квадратного и
кубического
уравнения
В Древней Индии были
распространены
публичные соревнования
в решении трудных задач.
В одной из старинных
индийских книг говорится
по поводу таких
соревнований следующее:
«Как солнце блеском
своим затмевает звезды,
так ученый человек
затмит славу другого в
народных собраниях,
предлагая и решая
алгебраические задачи ».
Задачи часто облекались в
стихотворную форму.
10. Уравнения, приводимые к квадратным (биквадратные)
УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДИМЫЕ ККВАДРАТНЫМ (БИКВАДРАТНЫЕ)
К квадратным уравнениям сводятся уравнения
четвертой степени: ax4 + bx2 + c = 0,
называемые биквадратными, причем, а ≠ 0.
Достаточно положить в этом уравнении х2 = y,
следовательно, ay² + by + c = 0
найдём корни полученного квадратного
уравнения y1,2 =
заменим y на x и получим
11. x⁴ — 25x² + 144 = 0
X⁴— 25X² + 144 = 0
x⁴ — 25x² + 144 = 0
сделаем замену
x² = y
получим квадратное уравнение y² — 25y + 144 = 0
D = 25² — 4 • 1 • 144 = 625 — 576 = 49
y₁ = 16
y₂ = 9
значит,
x² = 16; x² = 9
Ответ:
x₁ = 4; x₂ = -4; x₃ = 3; x₄ = -3
12.
x⁴ — 4x² + 4 = 0X⁴— 4X² + 4 = 0
сделаем замену x² = y
получим квадратное уравнение
D = 4² — 4 • 1 • 4 = 16 — 16 = 0
значит,
y=2
Ответ:
x₁,₂ =±√
y² — 4y + 4 = 0
13. x⁴ — 2x² — 3 = 0
X⁴— 2X² — 3 = 0
сделаем замену x² = y
получим квадратное уравнение
y² — 2y — 3 = 0
D = 2² — 4 • 1 • (-3) = 4 — (-12) = 16
y₁ = 3
y₂= -1
значит,
x² = 3; x² = -1
Ответ:
x₁,₂=±√3;
14. 9x⁴ — 9x² + 2 = 0
9X⁴ — 9X² + 2 = 0сделаем замену x² = y
получим квадратное уравнение 9y² — 9y + 2 = 0
D = 9² — 4 • 9 • 2 = 81 — 72 = 9
значит,
y₁ =2/3; y₂=1/3
x² =2/3 ; x² = 1/3
Ответ:
x₁,₂=±√6/3 x₃,₄=±√3/3
15. 4x⁴ — 5x² + 1 = 0
4X⁴ — 5X² + 1 = 0сделаем замену x² = y
получим квадратное уравнение
D = 5² — 4 • 4 • 1 = 25 — 16 = 9
y₁ = 1
y₂ = 0,25
значит, x² = 1; x² = 0,25
Ответ:
4y² — 5y + 1 = 0
x₁ = 1; x₂ = -1; x₃ = 0,5; x₄ = -0,5
16.
5x⁴ — 5x² + 2 = 05X⁴ — 5X² + 2 = 0сделаем замену x² = y
получим квадратное уравнение 5y² — 5y + 2 = 0
D = 5² — 4 • 5 • 2 = 25 — 40 = -15
Ответ: нет корней
17. x⁴ + 5x² — 36 = 0
X⁴+ 5X² — 36 = 0
сделаем замену x² = y
получим квадратное уравнение
y² + 5y — 36 = 0
D = 5² — 4 • 1 • (-36) = 25 — (-144) = 169
y₁ = 4
y₂ =-9
значит,
x² = 4; x² = -9
Ответ:
x₁ = 2; x₂ = -2
18. x⁴ — 6x² + 8 = 0
X⁴— 6X² + 8 = 0
сделаем замену x² = y
получим квадратное уравнение y² — 6y + 8 = 0
D = 6² — 4 • 1 • 8 = 36 — 32 = 4
y₁ = 4
y₂ =2
значит, x² = 4; x² = 2
Ответ:
x₁ = 2; x₂ = -2 ; x₃ = √2; x₄ = -√2
19. x⁴ + 10x² + 25 = 0
X⁴+ 10X² + 25 = 0
сделаем замену x² = y
получим квадратное уравнение y² + 10y + 25 = 0
D = 10² — 4 • 1 • 25 = 100 — 100 = 0
y = -10 ± 0 / 2 • 1 = -10 / 2 = -5
Ответ:
нет корней
20. x⁴ + x² — 2 = 0
X⁴+ X² — 2 = 0
сделаем замену x² = y
получим квадратное уравнение y² + y — 2 = 0
D = 1² — 4 • 1 • (-2) = 1 — (-8) = 9
y₁ = 1
y₂ = -2
значит, x² = 1; x² = -2
Ответ:
x₁ = 1; x₂ = -1
21.
x⁴ — 8x² — 9 = 0X⁴— 8X² — 9 = 0
сделаем замену x² = y
получим квадратное уравнение y² — 8y — 9 = 0
D = 8² — 4 • 1 • (-9) = 64 — (-36) = 100
y₁ = 9
y₂ =-1
значит, x² = 9; x² = -1
Ответ:
x₁ = 3; x₂ = -3
22. x⁴ — 7x² — 144 = 0
X⁴— 7X² — 144 = 0
сделаем замену x² = y
получим квадратное уравнение y² — 7y — 144 = 0
D = 7² — 4 • 1 • (-144) = 49 — (-576) = 625
y₁ = 16
y₂ =-9
значит, x² = 16; x² = -9
Ответ:
x₁ = 4; x₂ = -4
23. 36x⁴ — 3x² + 1 = 0
36X⁴ — 3X² + 1 = 0сделаем замену x² = y
получим квадратное уравнение 36y² — 3y + 1 = 0
D = 3² — 4 • 36 • 1 = 9 — 144 = -135
Ответ:
нет корней, так как
дискриминант отрицательный!
24. 16x⁴ + 10x² + 1 = 0
16X⁴ + 10X² + 1 = 0сделаем замену x² = y
получим квадратное уравнение 16y² + 10y + 1 = 0
D = 10² — 4 • 16 • 1 = 100 — 64 = 36
y₁ = -0,125
y₂ = -0,5
значит, x² = -0,125; x² = -0,5
Ответ:
нет корней
25.
x⁴ — 8x² + 16 = 0X⁴— 8X² + 16 = 0
сделаем замену x² = y
получим квадратное уравнение y² — 8y + 16 = 0
D = 8² — 4 • 1 • 16 = 64 — 64 = 0
y= 8/2=4
Ответ:
x = 2; х₂= -2
26. x⁴ — 25x² = 0
X⁴— 25X² = 0
сделаем замену x² = y
получим квадратное уравнение y² — 25y = 0
y₁ = 25
y₂ = 0
значит, x² = 25; x² = 0
Ответ:
x₁ = 0; x₂ = 5; x₃ = -5
27. x⁴ + 15x² + 50 = 0
X⁴+ 15X² + 50 = 0
сделаем замену x² = y
получим квадратное уравнение y² + 15y + 50 = 0
D = 15² — 4 • 1 • 50 = 225 — 200 = 25
y₁ = -5
y₂ = -10
значит, x² = -5; x² = -10
Ответ:
нет корней
28. x⁴ — 5x² — 36 = 0
X⁴— 5X² — 36 = 0
сделаем замену x² = y
получим квадратное уравнение y² — 5y — 36 = 0
D = 5² — 4 • 1 • (-36) = 25 — (-144) = 169
y₁ =9
y₂ = -4
Значит, x² = 9; x² = -4
Ответ:
x₁ = 3; x₂ = -3
29. x⁴ + 10x² + 25 = 0
X⁴+ 10X² + 25 = 0
сделаем замену x² = y
получим квадратное уравнение y² + 10y + 25 = 0
D = 10² — 4 • 1 • 25 = 100 — 100 = 0
y = -5
Ответ:
нет корней
30.
x⁴ — 6x² + 8 = 0X⁴— 6X² + 8 = 0
сделаем замену x² = y
получим квадратное уравнение y² — 6y + 8 = 0
D = 6² — 4 • 1 • 8 = 36 — 32 = 4
y₁ = 4
y₂ = 2
Значит, x² = 4; x² = 2
Ответ:
x₁ = 2; x₂ = -2; x₃ = √2; x₄ =-√2
31. 5x⁴ — 5x² = 0
5X⁴ — 5X² = 0сделаем замену x² = y
получим квадратное уравнение 5y² — 5y = 0
y₁ = 1
y₂ = 0
Значит, x² = 1; x² = 0
Ответ:
x₁ = 0; x₂ = 1; x₃ = -1
32. x⁴ + 6x² = 0
X⁴+ 6 X² = 0
сделаем замену x² = y
получим квадратное уравнение y² + 6y = 0
y₁ = 0
y₂ = -6
Значит, x² = 0; x² = -6
Ответ:
x=0
33. (5X+1)² +6(5X+1)-7=0
Замена: 5X+1=y.Получим уравнение: y²+6y-7=0
D=36+28=64
y₁=1; y₂= -7;
5X+1=1
5X=0
X=0;
5X+1=-7
5X=-8
X= -1,6
34. (X²-9) ²-8(X²-9)+7=0
Замена: X²-9=y.Получим уравнение: y²-8y+7=0
D=64-28=36
y₁=7; y₂=1
X²-9=7 или X²-9=1
X=±4
x=±√10
35. (2х2+3х)2-7(2х2+3х)=-10
(2Х2+3Х)2-7(2Х2+3Х)=-1012 февраля 1535
года между Фиори
и Н.
Тартальейсостоялся научный
поединок, на котором
Тарталья одержал
блестящую победу.
Он за два часа
решил все
предложенные
Фиори 30 задач, в то
не решил ни одной
задачи Тартальи.
В нашей презентации всего 25 уравнений.
Попробуйте решить их за урок!!!
Н. Тарталья
English Русский Правила
Исследовательский проект «Уравнения высших степеней» • Наука и образование ONLINE
Главная Работы на конкурс Предметное образование Физико-математические дисциплины Исследовательский проект «Уравнения высших степеней»
Автор: Калошина Мария Олеговна
Место работы/учебы (аффилиация): МАОУ «СОШ №30 г. Челябинска», 10 класс
Научный руководитель: Юрченко Ольга Павловна
Решение алгебраических уравнений высших степеней с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших и древнейших математических задач. Интерес к ним велик, так как эти уравнения тесно связаны с поиском корней уравнений, не рассматриваемых школьной программой по математике.
На следующий год мне, как ученице 11 класса, предстоит написать единый государственный экзамен по математике, где во второй части встречаются уравнения высших степеней. Поэтому в этом году я решила более подробно разобраться в этой теме. Думаю, что данная тема актуальна тем, что она может пригодиться всем выпускникам как 9, так и 11 классов.
Гипотеза: не существует универсального способа решения для всех видов уравнений высших степеней.
Цель моего исследования: подробно изучить алгебраические уравнения высших степеней и выявить наиболее интересные и практичные способы решения.
Объект моего исследования: уравнения высших степеней.
Для достижения цели исследования я поставила перед собой следующие задачи:
- изучить исторические сведения об уравнениях высших степеней;
- рассмотреть различные способы решения данных уравнений;
- научиться решать алгебраические уравнения высших степеней;
- составить алгоритмы решения данных уравнений.
Проект «Алгебра в экономике (бизнес планирование)»
В экономической науке широко используется методы анализа, синтеза, индукции, научного абстрагирования, а также математический инструментарий. Гипотеза: Математические законы и понятия, которыми мы владеем, используются ли в экономике. Цель работы: По…
Посмотреть работу
Проектная работа «Нестандартные способы умножения»
Тема очень актуальна, поскольку простое умножение — это долгое и скучное занятие, а вот с нестандартными способами это занятие становиться весёлым и быстрым. Цель: подробно рассмотреть несколько нестандартных способов умножения и выявить самый удобны…
Посмотреть работу
Исследовательская работа «Многоугольники на целочисленной решетке»
Мы часто предпочитаем рисовать и чертить на клетчатой бумаге.
И даже не задумываемся о том, что она (а точнее – узлы клетчатой бумаги) являются одним из важнейших примеров точечной решетки на плоскости. Решетки на плоскости позволяют переводить на ге…
Посмотреть работу
Проект «Решение систем линейных уравнений различными методами»
Доступна к просмотру полнотекстовая версия работы
В работе рассмотрены различные математические методы решения систем линейных уравнений, показаны алгоритмы и примеры решения линейных алгебраических уравнений различными методами. Дается краткая историческая справка о жизни ученых, занимавшихся данно…
Посмотреть работу
Исследовательский проект «Золотое сечение — красота и гармония окружающего нас мира»
Актуальность: окружающий нас мир многообразен. Все, наверное, обращали внимание, что мы неодинаково относимся к предметам и явлениям окружающей действительности.
Беспорядочность, бесформенность, несоразмерность воспринимаются нами как безобразное и п…
Посмотреть работу
Мероприятие завершено
Полиномиальный калькулятор с несколькими переменными, показывающий работу
|
Наших пользователей: Моим близнецам нужна была помощь с уравнениями по алгебре, но у меня не было знаний, чтобы помочь им. Algebrator — это действительно образовательное программное обеспечение. Мои ученики чувствуют себя комфортно, используя его. Это как если бы эксперт сидел рядом с вами. Какие замечательные пошаговые объяснения. Как отцу, иногда это помогает мне яснее объяснять что-то своим детям, а иногда показывает мне, как лучше решать проблемы. Студенты, борющиеся со всевозможными задачами по алгебре, узнают, что наше программное обеспечение спасает им жизнь. Вот поисковые фразы, которые сегодняшние поисковики использовали, чтобы найти наш сайт. Сможете ли вы найти среди них свою?Поисковые фразы, использованные 14 мая 2014 г. :
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вместо того, чтобы тратить много денег на репетитора по математике, я нашел программу, которая делает то же самое. Мои близнецы больше не борются с математикой. Спасибо за создание продукта, который помогает многим людям. Решатель полиномиальных уравнений — CodeProject
- Загрузить исходный код алгоритма Дженкинса-Трауба для действительных и комплексных коэффициентов в VB — 43,8 КБ
- Скачать исходный код и демо для алгоритма Дженкинса-Трауба для действительных и комплексных коэффициентов в VB — 90,3 КБ
- Скачать исходный код для алгоритма Дженкинса-Трауба для действительных и комплексных коэффициентов в C# Алгоритм Трауба для действительных и комплексных коэффициентов на C #
- Скачать исходный код алгоритма Дженкинса-Трауба на C++ для вещественных коэффициентов
- Скачать исходный код и демонстрацию алгоритма Дженкинса-Трауба на C++ для действительных коэффициентов
- Скачать исходный код алгоритма Дженкинса-Трауба на C++ для комплексных коэффициентов
- Скачать исходный код и демоверсию алгоритма Дженкинса-Трауба на C++ для комплексных коэффициентов
- Скачать исходный код для использования явных формул VB. NET (VS 2013)
- Скачать исходный код и демонстрацию для использования явных формул VB.NET (VS 2013)
NET (VS 2013)
Введение
Недавно я столкнулся с ситуацией, когда мне нужно было решить полиномиальное уравнение 4-й степени в .NET, и К моему удивлению, я не смог найти ни одного кода, написанного на C# или VB .NET, который содержал бы явные алгебраические формулы или численный алгоритм Дженкинса-Трауба. (Однако я нашел несколько переводов алгоритма Дженкинса-Трауба, написанных самим Дженкинсом на FORTRAN (все еще можно скачать здесь, Netlib). Однако мне удалось перепутать реализации, выполненные на C++, которые я перевел на C#, и VB.NET. В свою защиту я также перевел алгоритм, написанный Лораном Бартольди , но он не был включен в статью. Те, которые я использовал, — это один алгоритм C++, переведенный Дэвидом Биннером только для реальных коэффициентов. Пожалуйста, примите мои искренние приношу извинения за эту ошибку.С++, на который я полагался для комплексных коэффициентов, был написан Хенриком Вестермарком.
Это оба этих приложения, которые я преобразовал из C++ и C в код C# и VB.
Примечание. К алгоритму Джеркинса-Трауба может быть прикреплена лицензия для коммерческого использования. Пожалуйста, проверьте это, прежде чем использовать его в программе, которую вы хотите продать другим. Для исследования и личного использования нет проблем.
Явные алгебраические формулы, которые также реализованы, неприятны и определенно засорят ваш день, если они вам когда-нибудь понадобятся, поэтому я решил поделиться ими с вами. Я внес некоторые исправления в формулу благодаря комментарию Бенуа-Андрие ниже.
У меня также есть довольно длинная история после прочтения «Уравнения, которое невозможно решить» Марио Ливио. Название книги относится к истории неразрешимости полиномиального уравнения 5-й степени, но также проходит через историческое развитие решений полиномиальных уравнений более низкой степени.
Я не буду давать никаких объяснений того, как были получены эти формулы, так как формулы получаются довольно длинными, настолько длинными, что даже Тарталья (один из тех, кто принимал участие в решении кубического уравнения) имел проблемы с запоминанием все правила, которые он открыл.
Что касается численного алгоритма Дженкинса-Трауба, он был полностью переведен мной из версии C++ и C в VB.NET и C#, и, насколько я его тестировал, он работает нормально. Следует отметить, что в алгоритме Дженкинса-Трауба обычно используются явные формулы для 1-й и 2-й степени, а для 3-й степени и выше используется числовая аппроксимация.
Полиномиальное уравнение 1-й степени
Это довольно легко решить математически, поэтому, если у вас возникли проблемы, вам, вероятно, не следует загружать код. Я, конечно, говорю об уравнениях в форме 2x + 3 = 7, а простое уравнение называется линейным уравнением, поскольку его можно представить в виде линий на графике (или нарисованном).
Однако история, стоящая за уравнениями, довольно интересна, поэтому я собираюсь перенести вас в период с 2000 г. до н.э. по 600 г. до н.э., в вавилонскую цивилизацию в Месопотамии. Слово «уравнение» следует использовать с осторожностью в этом контексте, поскольку вавилоняне на самом деле не использовали алгебру для решения этих уравнений, а вместо этого отваживались на длинные дебаты и логику для решения проблем.
Возможно, это способ сделать математику еще более сложной и непонятной, чем когда-либо прежде, особенно при работе с полиномиальными уравнениями более высокого порядка.
Результат такого способа решения математических задач без использования алгебры означал, что вавилоняне не могли найти какие-либо общие закономерности или формулы, лежащие в основе различных математических задач. Несмотря на громоздкие формулировки математических задач, им удалось решить пару линейных уравнений (имея в виду уравнения, в которых x и y неизвестны).
Вавилоняне, похоже, не были заинтересованы в создании большого количества текстов с уравнением 1-й степени, как, например, египтяне, поскольку кажется, что вавилоняне считали это слишком элементарным для любого подробного обсуждения. Однако в Египте существуют большие рукописи на эту тему, в которых представлены математические «рецепты» с решением некоторых задач, как своего рода поваренная книга.
Следует отметить, что в китайском сборнике «Девять глав математического искусства» (Jiu zhang suan shu) можно найти решения не менее трех линейных уравнений с тремя неизвестными, что является настоящим подвигом, учитывая громоздкость процедуры.
2 + x = 4, и они также могли только найти положительное решение.
Греческой цивилизации вскоре удалось решить некоторые вопросы с помощью гениального математика Диафания. Он эффективно усовершенствовал способ представления решений, сделав его промежуточным звеном между вавилонскими формулировками уравнений и современным способом использования алгебры. В его книге «Арифметика» показаны решения трех различных типов квадратных уравнений, а также знаменитых уравнений Диафануса, примером которых является Великая теорема Ферма. Ферма действительно читал «Аритметику», и именно в этой книге Диафануса он написал на полях свою знаменитую последнюю теорему. Что касается самого Диафания, то мы на самом деле очень мало о нем знаем, нельзя даже предположить, когда он действительно жил, за исключением того, что это, вероятно, было в Александрии в период между 200 и 214 и 284 или 29 годами нашей эры.8.
С падением греческой цивилизации математический прогресс на западе остановился и впал в спячку почти на тысячелетие.
Прогресс математики теперь повернулся на восток, и один из великих математиков своего времени, Брахмагупта из Индии, которому удалось решить некоторые из уравнений Диафануса, а также он первым дал решения полиномиальных уравнений 2-й степени, которые также включали отрицательные числа. Он понял, что отрицательные числа можно рассматривать как «долги», а положительные числа как «состояние», очень похоже на то, как это сделал бы современный бухгалтер, и таким образом совершил огромный прорыв в математике.
Следующий большой шаг в решении уравнений был сделан развитием алгебры, и получил свое название от арабского математика Мухаммада ибн Мусы аль-Хорезми, а точнее его книги «Китаб аль-джабр ва аль-мукабала», относящейся к слово аль-джабр как основа современной словесной алгебры. Аль-джабр означает «восстановление» или «завершение», что вполне соответствует важности математического развития, которое это повлечет за собой. Его книги не были новаторскими в плане нового материала; вместо этого подлинным гением была систематическая обработка решений квадратного уравнения.
Однако полный набор решений квадратного уравнения не появлялся в Европе до двенадцатого века в Испании.
Реализация квадратичной формулы на компьютере, однако, не так проста, как может показаться на первый взгляд. Предположим, что уравнение имеет вид:
Решением является хорошо известная формула, и я, конечно же, думаю об этой:
образом на компьютере. Причина в том, что если коэффициенты a или c очень близки к нулю, вы можете получить огромные ошибки усечения. Корректная реализация для поиска корней на компьютере:
Даже если коэффициенты сложные, компьютерная формула остается в силе, хотя необходимо учитывать, как брать знак квадратного корня:
В приведенной выше формуле Re обозначает действительную часть решение и звездочка — комплексное сопряжение комплексного числа.
Полиномиальное уравнение 3-й и 4-й степени
Это часто называют уравнением или функцией кубического или четвертого порядка, и неудивительно, что оно возникает, когда мы хотим найти объем чего-либо.
Фактическое общее уравнение не было решено до шестнадцатого века, хотя несколько частных случаев были решены вавилонянами, а еще несколько было дано персидским поэтом Омаром Хайямом в двенадцатом веке. Однако реальной ощутимой потребности в решении кубического уравнения не было. Никто не ждал, когда его откроют, это был скорее умственный вызов, своего рода математические олимпиады, которые определили величайший интеллект того времени.
Первое частное решение кубического уравнения было получено в старейшем открытом в настоящее время университете, Болонском университете, который был открыт с момента его основания в 1088 году. После того, как в 1501 году ему представили задачу, которая включала полиномиальные уравнения третьей степени , Scipione del Ferro решил поработать над проблемой. И около 1515 года ему удалось найти метод решения кубических уравнений, имевших вид x3+mx = n. Дель Ферро не опубликовал свой результат, что, к сожалению, было вполне нормальным в те дни, и рассказал о своем открытии своему ученику Антонио Фиоре и его зятю только на смертном одре.
Затем Фиоре, похоже, решил, что формула принадлежала ему, и с этого момента он мог использовать ее по своему усмотрению, но не опубликовал ее сразу, а вместо этого дождался подходящего момента для появления.
Итак, когда Никколо Тарталья в 1530 году объявил, что может решить некоторые задачи, касающиеся кубических уравнений, Фиоре решил, что его время настало, и вызвал Тарталью на математический диспут. Каждый участник давал другому решить 30 задач, и проигравший платил победителю денежную цену. У каждого из них было бы сорок или пятьдесят дней, чтобы решить проблемы.
К тому времени, когда задачи были переданы Тарталье, он успел решить их все за два часа! А Фиоре не смог решить ни одной из поставленных перед ним задач и не знал уравнений вида x3 + mx2 = n, поэтому Тарталья выиграл соревнование.
В 1539 году, после масштабной кампании по сохранению, персонаж по имени Джероламо Кардано (на самом деле он зарабатывал деньги азартными играми, когда был студентом, и был известен своей грубостью и грубостью по отношению к окружающим) сумел убедить Тарталью раскрыть формулу при условии, что Кардано не раскроет ее.
Однако Кардано узнал о решениях дель Ферро от зятя дель Ферро и решил, что он не связан соглашением с Тартальей, поскольку он представит решение дель Ферро, а не Тарталья, поэтому он опубликовал результат в своей книге. Арс Магна. Многие современные математики считают эту книгу началом современной алгебры, и она включает в себя решения с комплексными числами, хотя Кардано не разбирался в этом подробно, поскольку некоторая часть этого была из решений Тартальи, включающих квадратный корень из отрицательного числа. . (Рафаэля Бомбелли часто считают первооткрывателем комплексных чисел, поскольку он провел гораздо больше исследований по этому вопросу.) После того, как книга была опубликована, Тарталья немедленно бросил вызов Кардано, который был довольно плохим математиком по меркам Тартальи. и он тут же отказался. Однако ученик Кардано, Лодовико Феррари, отправил Тарталье многочисленные публичные вызовы, которые Тарталья отрицал. В конце концов Тарталье предложили работу в университете, учитывая, что он победит Феррари в споре.
Феррари открыл общий способ решения кубического уравнения, который не был известен Тарталье. Он также нашел решение уравнения четвертой степени еще в 1540 году, но для этого требовалось решение кубического уравнения, поэтому оно не было опубликовано, пока Кардано не нашел о решениях дель Ферро.
Феррари выиграл спор с Тартальей, который ушел незадолго до окончания первого дня спора. (Феррари был довольно характерным, так как он потерял все пальцы на правой руке в возрасте семнадцати лет в драке). С этого момента его карьера резко пошла вверх, хотя позже он якобы был отравлен своей сестрой и умер.
Настоящий первооткрыватель формулы третьей степени, как вы понимаете, довольно сложен, хотя решение уравнения 4-й степени, похоже, является работой одного Феррари.
Формулы обычно не реализуются на компьютере, так как с их помощью решения, найденные численным методом, почти всегда лучше. Если вы по-прежнему хотите использовать явные формулы, вам следует реализовать формулу Виете, которая использует тригонометрические функции вместо решений Феррари.
Полиномиальные уравнения высших степеней
После того, как квадратное уравнение было решено с помощью алгебры, многие пытались решить квинтовое уравнение или полиномиальное уравнение 5-й степени, и все они потерпели неудачу. Это не было доказано, пока Абель не нашел общее доказательство этого в 1823 году, в котором говорилось, что вы на самом деле не можете. Теорема известна сегодня как теорема Абеля-Руффини или как теорема Абеля о невозможности. Причина двойного названия в том, что Руффини дал неполное доказательство теоремы в 179 г.9, о котором Абель не знал до 1826 года. Прочитав и изучив его, он сказал, что работа Руффини была настолько сложной для понимания, что он не был уверен, верна ли она.
Однако важно знать, что на самом деле означает доказательство, и, что особенно важно, что оно не означает. Доказательство Абеля просто утверждает, что невозможно найти общее решение для всех корней в квинтике или любом полиномиальном уравнении более высокого порядка с помощью алгебры.
Абель использовал обобщение интегралов Эйлера, чтобы доказать это, и немецкий математик Якоби был вне себя от того, что это открытие осталось незамеченным математическим сообществом.
Однако можно найти решение уравнений 5-й степени с помощью численных методов (Ньютона-Рапсона) или с помощью эллиптических интегралов. Если использовать теорию Эвариста Галуа, можно также выяснить, какие решения можно найти. Эварист Галуа также доказал, что полиномиальное уравнение 5-й степени не может быть решено независимо от работы Абеля и Руффини, и его доказательство было опубликовано посмертно в 1846 г.
Проблема с явными формулами
конечное пространство для хранения на компьютере, что может в некоторых случаях давать такую большую ошибку, что это сделает расчетные решения далекими от истинных значений. На практике решения для 3-го и выше почти всегда лучше с помощью алгоритма Дженкинса-Трауба или других подобных методов, чем решения, рассчитанные по явным формулам.
Однако существуют проблемы с численной оценкой многочлена, так как любой человек, обладающий достаточным пониманием стоящих за ними алгоритмов, легко может построить пример, который не будет сходиться.
Возьмем приведенное ниже уравнение (1):
Учитывая, что это полином 5-й степени, решения можно найти только с помощью численного алгоритма, но мы знаем из Фундаментальной теоремы алгебры, что уравнение будет иметь ровно 5 действительных или сложные решения, как доказали Гаусс и другие. Точными решениями уравнения 1 являются: Проблема с этим примером заключается в том, что реализованный метод Дженкинса-Трауба на C# и VB не будет сходиться (скорее всего, к двойной точности, выбранной для хранения данных, а также эпсилон , минимальное и максимальное значения, которые были «экспортированы» из библиотеки float в VC++). Фактически, для алгоритма такого типа всегда может быть проблематично сходиться, учитывая количество кратных корней. Причина в том, что алгоритм извлекает найденные корни из исходного уравнения, и при слишком большой численной погрешности может привести к тому, что другие решения не будут найдены. Поэтому обратите внимание на тот факт, что любой метод, использующий итерации типа Ньютона, может иметь проблемы с несколькими корнями.
Это также относится к обстоятельствам, когда корни расположены близко друг к другу (или очень далеко друг от друга).
Дженкинс-Трауб действительно использует метод типа Ньютона для поиска корней, и это также может иметь другие проблемы. Если многочлен без линейного члена равен нулю в нуле, итерационный метод не сойдется, учитывая, что и функция, и ее производная равны нулю в нуле.
Есть еще одна удивительная вещь, связанная с многочленами, имеющими кратные корни. дело в том, что производный многочлен будет иметь на один меньше одинаковых корней. Возьмите пример из уравнения 1, если мы произведем уравнение, мы получим:
И когда мы попытаемся решить это уравнение, используя тот же алгоритм Дженкинса-Трауба, что и раньше, мы обнаружим, что на самом деле те же самые корни все еще существуют, но есть еще один, которого нет. Решения легко проверить, подставив значения в исходное уравнение (1):
Реальный код стал настолько сложным, что объяснить его все сложно, если не невозможно.
Вместо этого я собираюсь отослать вас к процедуре Дженкинса-Трауба, описанной в Википедии.
Однако важно знать, что алгоритм Дженкинса-Трауба де-факто считается способом численного вычисления корней полинома. Он тщательно протестирован, а также реализован во многих продуктах, находящихся в коммерческом использовании (например, Matematica и других).
Что касается явных формул, их следует использовать с осторожностью, и нельзя предполагать, что они дадут правильные результаты для любых введенных вами реальных коэффициентов, хотя описание, данное в программе, должно указывать, является ли это распознаваемым типом, и если выходное описание соответствует вычисленным корням. Для нахождения корней используется несколько различных методов, среди них уравнение Феррари, депрессивное биквадратичное уравнение и многие другие. 92%2Bd*x%2Be
