Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки (центра). Часть, плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом. | |
Отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, называется радиусом. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется её хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром. D = 2R | |
Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Часть окружности называется дугой. Градусная мера дуги равна градусной мере центрального угла. | |
 | |
|
Вписанный в окружность угол равен половине градусной меры дуги и, соответственно, половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. | |
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой. Вписанные углы ACB, ADB, AEB равны, потому что опираются на одну дугу АВ. | |
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой. И обратно, если вписанный угол — прямой, то он опирается на диаметр. | |
OH — расстояние от центра до хорды. Треугольники AOH и BOH равны. | |
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности. Их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. | |
| Если две окружности имеют только одну общую точку, то они называются касающимися друг друга в этой точке. | |
Точка касания двух касающихся окружностей принадлежит прямой, которая проходит через центры этих окружностей. O1O2 — линия центров, АВ — общая касательная. | |
|
Понравились материалы сайта? Узнайте, как поддержать сайт и помочь его развитию. | |
| Отношение длины любой окружности L к ее диаметру D L/2R = π Число π ≈ 3,1415926535897932384626433832795… — иррациональное и в десятичном виде представляет собой бесконечную непериодическую дробь. | |
Круговым сектором называется часть круга,
лежащая внутри соответствующего центрального угла. Круговым сегментом называется часть круга, заключённая между дугой окружности и её хордой. | |
| Одна и та же хорда окружности может быть границей разных сегментов. | |
Длина дуги и площадь сектора прямо пропорциональны градусной мере дуги и угла сектора. Длина дуги так относится к длине окружности, как градусная мера дуги относится к градусной мере окружности. Площадь сектора так относится к площади круга, как градусная мера угла сектора относится к градусной мере полного угла. | |
Чтобы найти площадь сегмента нужно соединить концы хорды с центром окружности и рассмотреть получившиеся сектор и треугольник. | |
|
Если сегмент меньше полукруга, то его площадь равна площади сектора минус площадь треугольника. Если сегмент больше полукруга, то его площадь равна площади сектора плюс площадь треугольника. | |
Окружность
К содержанию
Окружность — геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.
Данная точка (O) называется центром окружности.
Радиус окружности — это отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности. Все радиусы имеют одну и ту же длину (по определению).
Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.
Центр окружности является серединой любого диаметра.
Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.
Длина единичной полуокружности обозначается через π.
Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360º.
Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.
Круговой сектор — часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга. Дуга, которая ограничивает сектор, называется дугой сектора.
Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими.
Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными.
Взаимное расположение прямой и окружности
- Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d ), то прямая и окружность имеют две общие точки.
В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности. - Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку. Такая прямая называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
- Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек .
В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности.Центральные и вписанные углы
Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности.
Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
- Следствие 1.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. - Следствие 2.
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой.
Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
Основные формулы
- Длина окружности:
C = 2∙π∙R
- Длина дуги окружности:
R = С/(2∙π) = D/2
- Диаметр:
D = C/π = 2∙R
- Длина дуги окружности:
l = (π∙R) / 180∙α,
где α — градусная мера длины дуги окружности)
- Площадь круга:
S = π∙R2
- Площадь кругового сектора:
S = ((π∙R2) / 360)∙α
Уравнение окружности
- В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке C (xо;yо) имеет вид:
(x — xо)2 + (y — yо)
- Уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат имеет вид:
x2 + y2 = r2
| Площадь круга |
Другие заметки по алгебре и геометрии
Полезная информация?
Аккорд — Определение математического слова
Аккорд — Определение математического слова — Открытый справочник по математикеОткрытый справочник по математике
Главная Контакт О Тематический указатель
Линия, соединяющая две точки на окружности или кривой.
(произносится как «корд»)
Попробуйте это Перетащите любую оранжевую точку. Синяя линия всегда будет хордой окружности.
Синяя линия на рисунке выше называется «хордой окружности c». Аккорд очень похож на секанс, но где секанс — это линия, протянувшаяся до бесконечности в обе стороны хорда сегмент линии, который покрывает только часть внутри круга. Хорда, проходящая через центр окружности, также является диаметром окружности.
Расчет длины хорды
Ниже приведены две формулы для длины хорды. Выберите один на основе того, что вам дано для начала.1. Даны радиус и центральный угол
Ниже приведена формула длины хорды, если известны радиус и центральный угол. гдеr – радиус окружности
c – угол, образуемый в центре хордой
sin – функция синуса (см. Обзор тригонометрии)
2. Учитывая радиус и расстояние до центра
Ниже приведена формула длины хорды, если известны радиус и расстояние по перпендикуляру от хорды до центра окружности.
Это простое приложение
Теорема Пифагора.
где r это радиус окружности
d это перпендикулярное расстояние от хорды до центра окружности
В поисках центра
Биссектриса хорды всегда проходит через центр окружности. На рисунке вверху страницы нажмите «Показать правую биссектрису». Затем переместите вокруг одной из точек P,Q и видим, что это всегда так. Это можно использовать, чтобы найти центр круга: нарисуйте одну хорду и ее правую биссектрису. Центр должен быть где-то на этой линии. Повторите это, и две биссектрисы встретятся в центре круга. Пошаговые инструкции см. в разделе «Нахождение центра окружности в главе «Конструкции».
Пересекающиеся хорды
Если две хорды окружности пересекаются, пересечение создает четыре сегмента линии, которые имеют интересные отношения. См. Теорема о пересекающихся хордах.
Другие темы кружка
Общий
- Определение круга
- Радиус окружности
- Диаметр круга
- Длина окружности
- Части круга (схема)
- Определение полукруга
- Касательная
- Секанс
- Аккорд
- Теорема о пересекающихся хордах
- Теорема о пересекающихся секущих длинах
- Теорема о пересекающихся секущих углах
- Площадь круга
- Концентрические круги
- Кольцо
- Площадь кольца
- Сектор круга
- Площадь сектора круга
- Сегмент круга
- Площадь сегмента окружности (данный центральный угол)
- Площадь сегмента круга (данная высота сегмента)
Уравнения окружности
- Основное уравнение окружности (центр в начале координат)
- Общее уравнение окружности (центр в любом месте)
- Параметрическое уравнение окружности
Уголки по окружности
- Угол вписанный
- Центральный уголок
- Теорема центрального угла
Дуги
- Дуга
- Длина дуги
- Измеритель угла дуги
- Смежные дуги
- Большая/малая дуги
- Перехваченная дуга
- Сектор круга
- Радиус дуги или сегмента при заданной высоте/ширине
- Стрела — высота дуги или сегмента
(C) 2011 Copyright Math Open Reference.
Все права защищены
единиц исследования по кругам: линии и сегменты.
единица исследования по кругам: линии и сегменты.Этот модуль предназначен для учащихся, успешно завершивших первый год алгебры. Предполагается, что у них есть практические знания геометрии. для этой единицы. Применение и понимание цифр и понятий используемые с кругами, такими как точка, линия, сегмент, угол, компланарность и т. д., будут подпадать под это предположение. Рисунки, демонстрации и некоторые предлагаемые задачи реализованы с использованием Блокнот геометра . Подробно разложены упражнения для первого занятия; последующие уроки может быть или не быть таким подробным.
Объективы
1. Дайте определение кругу и связанным с ним терминам.
2. Применять теоремы, касающиеся касательных и радиусов.
3. Применить теоремы о хордах окружности.
Поведенческие задачи учащегося: учащийся сможет
1) чертить и обозначать части круга при определенных условиях;
2) делать выводы по данным частям круга и условиям на их основе;
3) определить, являются ли точки внутренними, внешними или лежащими на окружности; и,
4) указать количество точек пересечения с окружностью, определяемой данная цифра
и его положение относительно круга.
Урок 1: Основные термины
Окружность — это множество точек на плоскости, находящихся на заданном расстоянии, называется радиусом , от заданной точки плоскости, называемой центр . Отрезок от центра до точки на окружности называется а радиус . Все радиусы окружности равны. Для демонстрация этих определений нажмите здесь.
Хорда — это отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметр — хорда, проходящая через центр.
Сеанс — это линия, которая
содержит аккорд.
На рисунке отрезок EF — хорда; отрезок CD – диаметр; сегмент AD представляет собой радиус с точкой А в центре; линия EF является секущей.
Конгруэнтные окружности — это окружности с конгруэнтными радиусами. По определению, радиусы равных окружностей равны. Что означают кружки на рисунке есть общее? Если вы сказали центральную точку А, вы правы. Это концентрические окружности .
Можете ли вы назвать другие природные явления, которые напоминают концентрические круги?
определение: На плоскости внутренняя часть круга представляет собой множество точки, расстояние от центра которых меньше радиуса. Внешний вид окружности — это множество точек на плоскости, расстояние до которых от центр больше радиуса.
На рисунке отрезок FG — радиус; так как FP > FG, точка P находится в
внешний вид круга; так как FH < FG, точка H находится внутри
круг.
УПРАЖНЕНИЯ
В упражнениях 1–6 нарисуйте и обозначьте в круге P следующее.
1. Радиус, отрезок PX 2. Секущая, прямая YQ 3. Диаметр, отрезок YZ 4. Отрезок PA такой, что PA > PX 5. Отрезок PB такой, что PB < PX 6. Отрезок PR такой, что PB < PR < PA
7. Нарисуйте окружность и несколько параллельных хорд. Как вы думаете, что верно середина
все такие аккорды?
8. Точка Z лежит на окружности X. Сколько можно провести хорд, содержащих Z? Сколько
диаметры? Сколько радиусов?
Окружность R содержит точку A. Скажите, является ли B внутренней точкой, внешней ли точку или на окружность.
9. R(4, 1) ; А(3, 7) ; В(2, -7) 10. Р(2, 4) ; А(9, 3) ; Б(6,-1)
11. R(8, 11) ; А(12, 7) ; В(4, 7) 12. R(-3, 3) ; А(0,-4) ; Б(5, 2)
13. Точки A и B лежат на окружности P. Является ли отрезок AB диаметром, если P(5, 5), A(8, 9) и В(2, 1)?
14. Точка W лежит на внешней окружности O, а точка X лежит внутри.
Через сколько
очки делает
названная фигура пересекает окружность?
а. сегмент WX б. луч WX
в. луч XW d. сегмент ОХ
**Некоторые задачи взяты из Scott, Foresman and Company Geometry (стр. 326), в то время как другие пришли из Houghton Mifflin Geometry (стр. 294 - 295).
Поведенческие задачи учащегося: учащийся сможет
1) применять теоремы и/или определения, касающиеся касательных окружностей и касательные окружности.
Урок 2: Касательные
Определение: A тангенс к окружности – это линия в плоскости окружность, которая пересекает окружность ровно в одной точке. Точка пересечение называется точкой касания .
На рисунке линия DC является касательной; точка В является точкой касания. Луч
или отрезок является касательным, если он является частью касательной и содержит точку
касания. Итак, луч BC является касательным луча , а отрезок BC является касательным сегмент .
Теорема: Если прямая касается окружности, то прямая перпендикулярно радиусу, проведенному к
точка касания.
На рисунке слева угол CBA выглядит прямым. На правильно, измерив угол CBA, мы видим, что это угол 90 градусов, определение прямого угла; следовательно, прямая CD перпендикулярна радиус АВ.
Теорема: В плоскости окружности, если прямая перпендикулярна радиуса в точке на окружности, то прямая касается окружности.
На рисунке мы бы выбрали точку F как любую точку на линии CD. Показать линию CD перпендикулярен, значит AF > AB в силу того, что перпендикулярный отрезок от точки до прямой — кратчайший отрезок от точки до прямой, есть отрезок АВ. Чтобы увидеть демонстрацию того, что это остается верным, за исключением случаев, когда точка F совпадает с точкой B <нажмите здесь> demtan.gsp
Этот эскиз ремня вентилятора в системе двигателя предлагает касательную
отношения для двух кругов.
На рисунке отрезок OQ соединяет центры двух красных кружков.
Определение: Общая касательная — это линия, касательная к каждому из два компланарных круга.
Общие внешние касательные не пересекают отрезок, соединяющий центры
круги. Синяя линия является общей внешней касательной к двум круги.
Общие внутренние касательные пересекают сегмент, соединяющий центры кругов. Зеленая линия является общей внутренней касательной.
Определение: Касательные окружности — это две компланарные окружности, касающиеся той же линии в той же точке.
Окружности W и Y — это внешне касательных окружностей , а окружности Y и X — касательных внутри окружностей.
Три или более окружностей касаются друг друга если каждая пара они касательные.
УПРАЖНЕНИЯ
Часть 1. Используя два круга для каждого эскиза, проиллюстрируйте несколько
конфигурации, которые удовлетворяют условиям для общих внутренних/внешних
касательные.
(около 5 примеров)
Часть 2. Используйте диаграмму, чтобы найти длины различных сегментов на основе касательной линия AC, диаметр AB, секущая BQ (пересечение линии AC в точке C).
Пример задачи: если BC = 13 и AC = 5, найдите AB. (около 5 примеров)
Часть 3. Используя ту же диаграмму, что и в части 2, используйте обратную пифагорейскую схему. Теорема, чтобы найти указанную длину, чтобы прямая AC была касательной. Линии AC и BQ лежат в плоскости окружности P с диаметром AB.
Пример задачи: если PB = 4 и AC = 6, то BC = ?. (около 5 примеров)
Часть 4. Задачи с внутренними и внешними касательными. (около 5 примеров)
** Проблемы, предложенные Scott, Foresman and Company. Геометрия (стр. 329 - 330).
Часть 5. 1 - 3 Сделайте наброски, чтобы показать все возможные положения трех (2. четырех) 3. пять) взаимно касающихся окружностей.
4. Напишите предположение о количестве возможных позиций для n взаимно касающихся окружностей, если n на целое число больше
чем четыре.
**Задачи взяты из Merrill Геометрия Рабочий лист по обогащению (стр. 55).
Поведенческие задачи учащегося: учащийся сможет
1) решать задачи на геометрическое место с касательными, используя методы построения, связанные к касательным.
Урок 3: Строительные упражнения
Построения для этих упражнений можно выполнить двумя способами:
1) обычное использование компаса и линейки; или
2) пакет программ Блокнот геометра .
1. Построить прямую, касающуюся окружности в заданной точке окружности.
(Вы можете начать с построения перпендикуляра через данную пункт.)
2. Учитывая точку вне круга, постройте две касательные к окружности из заданная точка.
3. После завершения построения № 2 используйте методы построения, чтобы показать что касательные отрезки равны.
4. Расширение от №2. Постройте окружность, касающуюся сторон угла ABC.
как показано на рисунке ниже.
На рисунке красный круг касается угла ABC. Если вы хотите попробуйте эту конструкцию,
<нажмите здесь>. angtan.gsp
Поведенческие задачи учащегося: учащийся сможет
1) сформулировать и применить теоремы, относящиеся к хордам окружности.
Урок 4: Аккорды круга
Определение: Хорда — это отрезок, концы которого лежат на круг.
Теорема: Если прямая, проходящая через центр окружности, перпендикулярна хорда, она делит хорду пополам.
Теорема: В одном и том же круге или в конгруэнтных кругах, если две хорды на одинаковом расстоянии от центра, то хорды конгруэнтны.
Теорема: В одном и том же круге или в конгруэнтных кругах, если две хорды конгруэнтны, то они находятся на одинаковом расстоянии от центра.
УПРАЖНЕНИЯ
Часть 1. Используйте схему, чтобы найти различные длины в круге.