Определенный интеграл это: Определенный интеграл и методы его вычисления с примерами решения

Это переводит язык интегрирования из чего-то чисто геометрического в структурированную алгебраическую конструкцию, которой можно манипулировать различными способами.

Будучи одним из основных инструментов исчисления, интегралы обладают большим количеством свойств, вытекающих из геометрии координатной плоскости, определения функционала и связи между интегралами и производными. Интегралы также имеют алгебраическую интерпретацию, которая позволяет использовать очень полезные методы, такие как uuu-подстановка, которые необходимы для многих типов интегральных вычислений (и в доказательствах многих свойств ниже!). 9{g(b)} \frac{f\big(h(u)\big)}{g'(u)} \, du. ∫ab​f(x)dx=∫g(a)g(b)​g′(u)f(h(u))​du.

Заметим, например, что одно из свойств предыдущего подраздела следует из uuu-подстановки u=a+b−xu = a + b — xu=a+b−x.

Наконец, некоторые свойства сравнивают значения различных интегралов. Многие из них расширяют представление об интеграле как о типе суммирования.

Если f(x) 9б f(x) \, dx. ∫a∞​f(x)dx:=b→∞lim​∫ab​f(x)dx.

Интервалы формы (−∞,b](-\infty, b](−∞,b] могут быть определены аналогичным образом. Они называются несобственными интегралами.

Помимо интегралов с одной переменной, существуют линейные интегралы и контурные интегралы для функций многих переменных. Линейный интеграл — это функция g(x, y)g(x, \, y)g(x,y), которую можно проинтегрировать по кривой γ(t)=( x(t), y(t))\gamma(t) = \big(x(t), \, y(t)\big)γ(t)=(x(t),y(t)) из t=at=at=a до t=bt=bt=b равно 92} \, dt.∫γ​gds=∫ab​g(x(t),y(t))(x′(t))2+(y′(t))2​dt.

Поверхностный интеграл подобен линейному интегралу, но для двойных интегралов. Интегралы могут быть вложены друг в друга для интегрирования по нескольким измерениям (например, с поверхностью).

Существуют также методы интегрирования по комплексным числам и более экзотическим числовым полям. Теория меры расширяет понятие интервала интегрирования на любое множество, удовлетворяющее набору параметров. Он также предоставляет способ определения методов интегрирования, отличных от предложенного Риманом, которые позволяют интегрировать более обобщенные наборы (например, векторные пространства функций). 92} \, dx∫01​ex2dx

нельзя оценить без численных методов.

Существует множество численных методов аппроксимации интегралов с любой степенью точности, но их эффективность полностью зависит от рассматриваемой функции и интервала. Когда это возможно, всегда предпочтительнее точный расчет.

Частичные суммы Римана, правило трапеций и правило Симпсона стремятся обеспечить геометрическую аппроксимацию рассматриваемой области. Другие подходы, такие как использование формулы Чебышева, стремятся смоделировать рассматриваемую функцию (по крайней мере, в соответствующем интервале) с функциями, которые легче интегрировать.

Нахождение хороших приближений для определенных интегралов является одной из основных целей численного анализа.

• Антипроизводные
• Основная теорема исчисления
• Интеграция
• Интеграционные хитрости
• Суммы Римана

Цитировать как: Определенные интегралы.

Площади и определенные интегралы — Math Insight можно легко рассматривать как относящийся к области

Сначала нам нужно больше обозначений. Предположим, что у нас есть функция $f$, интегралом которой является другая функция $F$: $$\int f(x)\;dx=F(x)+C$$ Пусть $a,b$ — два числа. Тогда определенный интеграл 92\over 2}+2\biggr)={21\over 2}$$

Все остальные интегралы, которые мы сделали ранее, будут назвал неопределенными интегралами , поскольку у них не было «пределов» $а,б$. Таким образом, определенный интеграл — это всего лишь разность двух значения функции, заданной неопределенным интегралом. То есть, здесь нет почти ничего нового, кроме идеи оценки функция, которую мы получаем путем интегрирования.

Но теперь мы можем сделать что-то новое: вычислить 9x\ge x$ на интервале $[0,2]$.

Как человеку может быть интересно, в целом может быть не так легко сказать, находится ли график одной кривой выше или ниже еще один. Порядок рассмотрения ситуации следующий: две функции $f,g$, чтобы найти интервалы, где $f(x)\le g(x)$ и наоборот:

• Найдите пересечение графиков, решив $f(x)=g(x)$ для $x$ до найти $x$-координаты точек пересечения.
• Между любыми двумя решениями $x_1,x_2$ уравнения $f(x)=g(x)$ (а также слева и справа от самого левого и самого правого решений!), подключите одну вспомогательную точку по вашему выбору, чтобы увидеть, какая функция больше.

Конечно, эта процедура работает по той же причине, что и тест первой производной

для локальных минимумов и максимумов: мы неявно предполагают, что $f$ и $g$ являются непрерывными , так что если график одного выше графика другого, то ситуация не может сам реверс без графиков собственно пересечение .

No related posts.