7.1 Теорема существования радиуса сходимости у степенного ряда
Из теоремы Абеля следует, что существует такое число R (возможно, ) такое, что при степенной ряд сходится, при ряд расходится. Действительно, пусть в точке ряд сходится, в точке ряд расходится. Рассмотрим точку , расположенную между областями, в которых установлена сходимость и расходимость. В точке числовой ряд либо сходится, либо расходится. Если он сходится, то мы можем перенести точку в точку ; если ряд в точке расходится, мы переносим в точку . Продолжая этот процесс, мы сблизим точки и , эта граница и определит числоR.
Определение. Число R такое, что при степенной ряд сходится, при ряд расходится, называется радиусом сходимости. Интервал называется интервалом сходимостистепенного ряда.
Сходимость
ряда в концевых точках интервала
сходимости должна исследоваться
отдельно. В зависимости от поведения
ряда на концах интервала сходимости область
сходимости степенного
ряда может быть одной из следующих:
,
,
,
.
Итак, для определения области сходимости степенного ряда надо найти его интервал сходимости R, затем исследовать поведения ряда в концевых точках интервала сходимости .
Примеры. 1. . Для определения радиуса сходимости этого ряда целесообразно применить признак сходимости Дирихле. Однако этот признак, как и многие другие, может применяться только к положительному ряду, поэтому выпишем ряд, состоящий из абсолютных величин членов исследуемого ряда:. Применяем признак Дирихле: . Следовательно, . Мы нашли радиус сходимости R =3 и интервал сходимости . Исследуем поведение ряда на концах интервала: , ряд сходится. , ряд сходится абсолютно. Область сходимости — интервал [-7,7].
Приведем способ определения радиуса сходимости степенного ряда
Теорема 2. Если существует предел то радиус сходимости ряда равен
Рассмотрим
ряд .
По условию существует .
Обозначим его через Тогда
При каждом значении х степенной ряд становится числовым рядом.
Поэтому по признаку Даламбера ряд сходится если . т.е. .
Следовательно, по теореме о сходимости знакопеременных рядов ряд также сходится при причем абсолютно. При ряд расходится, так как и, следовательно, общий член ряда anxn не стремится к нулю при .
Таким образом, данный ряд сходится внутри интервала и расходится вне его. т.е. радиус сходимости равен
Можно доказать, что если , то ряд сходится на всей числовой прямой т.е. а если , то ряд сходится только при x=0.т.е., R=0.
Пример 1. Рассмотрим ряд .Здесь и
Следовательно,
по теореме 3 данный ряд сходится на
интервале . Исследуем поведение ряда
на концах интервала сходимости, т.е. в
точках. При х=1 получаем гармонический
ряд при ряд который сходится в силу
признака Лейбница.
Таким образом, данный
ряд сходится в любой точке полуинтервала
(-1. 1) и расходится вне его.
Пример 2. Ряд расходится на всей числовой прямой, кроме точки , так как его радиус сходимости
Пример 3. Ряд сходится абсолютно на всей числовой прямой так как его радиус сходимости .
Теорема 4. Если функция имеет производные до n+1 порядка в некоторой окрестности точки x=a, то, как известно из дифференциального исчисления, в каждой точке х этой окрестности она представима следующей формулой Тейлора:
f(x)=f(a)+(x-a)+ ++Rn(x), (2)Rn(x)=.(0<0<1).
Остаточный член формулы Тейлора, записанный в форме Лагранжа. Пусть теперь функция f(x) некоторой окрестности точки х=a имеет производные всех порядков. Если для каждой точки х этой окрестности =0, то переход к пределу в формуле (2) при дает нам представление функции f(x) в виде бесконечного ряда:
f(x)=f(a)+(x-a)+… ++… (3)
Заметим,
что независимо от того, выполняется
условие или нет, ряд, стоящий в правой
части равенства (3), называется рядом
Тейлора для функции f(x).
Если , то между
рядом Тейлора для функции f(x), если только
в точке х=а она имеет производные всех
порядков, но этот ряд может и не иметь
своей суммой функцию f(x).Функция f(x)
называется разложимой в ряд Тейлора в
окрестности точки х=а, если для нее
справедливо равенство (3).Условием
разложимости функции f(x) в ряд Тейлора
является равенством .
Учитывая ранее изложенное, мы можем сделать следующее заключение: Чтобы разложить функцию f(x) в ряд Тейлора, нужно: 1) формально составить для нее ряд Тейлора, 2) найти область сходимости этого ряда, 3) выяснить, для каких х из области сходимости имеет место равенство .Для этих х и будет верна формула(8). Теорема 5. Для того чтобы ряд Тейлора(3) функции сходился к точке x, необходимои достаточно, чтобы в этой точке остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при , т.е. чтобы .
Пусть
ряд Тейлора сходится к функции в некоторой
окрестности точки x0 т.е. . Так как n-я
частичная суммаряда() совпадает с
многочленом Тейлора Pn(x), т.
е. = Pn(x), находим:
= === =0. Обратно, пусть . Тогда =
Замечание. Если ряд Тейлора (2) сходится к порождающей функции f(x), то остаточный член формулы Тейлора равен остатку ряда Тейлора, т.e. Rn(x)=rn(x). (Напомним, что Rn(x)=, а rn(x)=S(x) — — Sn(x), где S(x) — сумма ряда Тейлора). Таким образом, задача разложения функции f(x) в степенной ряд сведена к определению значений х, при которых Rn(x)0 (при ). Если сделать замену, то следует каким-нибудь иным способом убедиться, что написанный ряд Тейлора сходится к данной функции.
На практике часто пользуются следующей теоремой, которая дает простое достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора.
Теорема 6. Если модули всех производных функций f(x) ограничены в окрестности точки х0 одним и тем же числом М>0, то для любого х из этой окрестности ряд Тейлора функции f(x), т.е. имеет место разложение:
f(x)=f(a)+(x-a)+…=.
Согласно теореме(3) достаточно показать, что . По условию теоремы (6) для любого n имеет место неравенство.Тогда имеем:
Осталось показать, чтоДля этого рассмотри ряд
Так както по признаку Даламбера этот ряд сходится на всей числовой оси. Но тогда, в силу необходимого признака сходимости
Следовательно, .
Теорема 7. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в каждой точке х его интервала сходимости — R<x<R, то есть из справедливости равенства (А) Следует справедливость (Б)
При этом интервал сходимости ряда (Б) совпадает с интервалом сходимости ряда (А).
Фиксируем
произвольную точку х интервала сходимости
(-R, R) данного ряда и докажем, что в этой
точке степенной ряд можно почленно
дифференцировать. С этой целью построим
отрезок [-p, p], содержащейся в интервале
(-R, R) содержащей точку х. Покажем, что на
этом отрезке ряд производных от членов
данного ряда сходится равномерно.
Итак,
равенство (Б) доказано для всякой точки
х интервала сходимости — R<x<R данного
ряда. Отсюда следует, что радиус сходимости
ряда производных (Б) не меньше R.
Докажем,
что он не может быть и больше R. С этой
целью предположим противное, то есть
что ряд (Б) сходится в интервале , где .
Тогда, проинтегрировав равенство (Б) на
отрезке [0, x], мы получим исходное равенство
(А), которое в силу теоремы об интегрировании
степенных рядов должно иметь место в
интервале более широком, чем (-R, R). Так
как это невозможно, то заключаем, что
Теорема доказана.
Следствие. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в каждой точке х его интервала сходимости сколько угодно раз.
Действительно, ряд , полученный почленным дифференцированием данного ряда, является степенным и поэтому к нему приложима доказанная теорема, на основании которой его снова можно дифференцировать. Так как и дальнейшие дифференцирования приводят к степенным рядам, то справедливость следствия очевидна.
Заметим, что m-кратное дифференцирование степенного ряда приводит к формуле
При
этом интервалы сходимости всех производных
рядов совпадают с интервалом сходимости
исходного ряда.
7.7 Если функция y = f(x) имеет производные в окрестности точки x = x0 до (n+1) — го порядка включительно, то существует точка , такая, что
(1) |
где
Формула (1) называется формулой Тейлора функции y = f(x) для точки x0,
Rn (x) — остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа.
Многочлен
называется многочленом Тейлора функции y = f(x).
При x0 = 0 приходим к частному случаю формулы (1):
(2) |
где
Формула (2) называется формулой
Маклорена функции y
= f(x).
Сформулируем условие разложимости функции в ряд Тейлора.
Если функция f(x) дифференцируема в окрестности точки x0 любое число раз и в некоторой окрестности этой точки , то
(3) |
При x0 = 0
(4) |
Ряд (3) называется рядом Тейлора, а ряд (4) – рядом Маклорена.
Приведем разложения в степенные ряды некоторых функций:
(5) | |
(6) | |
(7) | |
(8) | |
(-1 < x < 1) | (9) |
Для
каждого случая в скобках указана область,
в которой степенной ряд сходится к
соответствующей функции.
Последний ряд, называемый биномиальным, на концах интервала сходимости ведет себя по — разному в зависимости от ; при абсолютно сходится в ; при -1 < m < 0расходится в точке x = -1 и условно сходится в точке x = 1 при расходится в точках .
В общем случае разложение в степенные ряды основано на использовании рядов Тейлора или Маклорена. Но на практике степенные ряды многих функций можно найти формально, используя ряды (5 — 9).
Например, при разложении в степенной ряд функции в формулу (6) вместо подставляем . Тогда:
Полученный ряд сходится при любых , но следует помнить, что функция не определена при x < 0 . Поэтому найденный ряд сходится к функции только в полуинтервале .
Аналогично
можно записать степенные ряды функций
f
(x) = e-2x и
.
24.7. Степенные ряды с комплексной переменной
Рассмотрим две комплексные переменные величиныИ, где
— действительные переменные,- мнимая единица. Если каж
Дому значению переменнойИз некоторого множества соответствует единственное значение переменной, то говорят, что w есть функция от:
ЗдесьИ- действительные функции отЗадание одной
Функции от одной комплексной переменной означает задание двух действительных функций от двух действительных переменных.
Комплексным функциональным рядом называется ряд
(24.32)
Члены которого являются функциями комплексной переменной.
Значения z, при которых ряд (24.32) сходится, называются точками сходимости. Множество всех точек сходимости называется областью сходимости этого ряда. Для каждого числа z из области сходимости
Где. — частная сумма ряда (24.32), а- его сумма.
Ряд (24.32) сходится, если сходится ряд из модулей его членов.
Степенным рядом с комплексными членами называется ряд вида
(24.
33)
Где- комплексная переменная,- данное комплексное число, коэффициенты- данные комплексные числа.
В частном случае, приПолучаем комплексный степенной ряд, располо-
Жейный по степеням
(24.34)
Для каждогостепенного ряда (24.33) существует круг радиусаС центром в точке, внутри которого данный ряд сходится, а вне его расхо
Дится (т. е. при|. Этот круг называется кругом сходимости. Его радиус
Называется радиусом сходимости степенного ряда (, если степенной ряд сходится во всей плоскости,, если он сходится лишь в центре круга, в точке). Во всех точках внутри круга сходимости степенной ряд абсолютно сходится.
При отыскании радиуса сходимости степенного ряда могут применяться признаки сходимости Д’Аламбера и Коши. В частности, радиус сходимости степенного ряда (24.33) можно вычислить по формуле
(24.35)
Показательная и тригонометрические функции комплексной переменной определяются формулами
(24.36)
(24.37)
(24.38)
Ряды в правых частях формул (24.
36) — (24.38) сходятся при всех комплексных
Связь между этими функциями устанавливают формулы Эйлера:
(24.39)
Отметим, что
(24.40)
(24.41)
Где
Вторая из формул (24.40) означает, что функцияИмеет период, Формула (24.41) представляет комплексное числоВ показательной форме (-модуль,- аргумент).
Пример 24.25. Найти область сходимости рядаи его сумму.
Составим ряд из модулей членов данного ряда:
Полученный ряд является рядом с действительными членами, он представляет собой геометрический ряд. Следовательно, этот ряд сходится, когда, т. е. в круге радиусаС центром в начале координат. Таким образом, данный ряд также сходится в круге, который и является его областью сходимости.
Так как частная сумма ряда выражается формулой
ИПриТо сумма ряда
Итак, получено следующее разложение:
Пример 24.26. Найти область сходимости ряда Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов данного ряда
Этот ряд является геометрическим.
Так как, то ряд сходится при
Т. е. при, или при
Итак, областью сходимости является множество точек, лежащих вне круга радиусаС центром в начале координат.
Пример 24.27. Найти радиус сходимости степенного ряда
Поскольку, то
Итак, радиус сходимости данного ряда
Пример 24.28. Найти область сходимости ряда ПосколькуТо
Данный ряд сходится на всей комплексной плоскости.
Пример 24.29. Найти сумму
Используя третью го формул (24.39), получаем, поэтому
Суммируя геометрические прогрессии, находим
Разделив почленно первую дробь на, вторую на, получим
Итак,
Пример 24.30. С помощью разложения) получить следующие:
Первое разложение получено в пример 24.25. Подставив в него выражение Найдем
Преобразуем левую часть данного равенства:
Следовательно,
Откуда
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Дифференциальным уравнением называется уравнение относительно неизвестной функции и ее производных различных порядков.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение.
Если искомая функция зависит от одной переменной, то соответствующее дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Если искомая функция зависит от нескольких переменных, то соответствующее дифференциальное уравнения называется уравнением с частными производными. В главах 25 и 27 рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения.
Обыкновенное дифференциальное уравнение п-го порядка в общем визе можно записать так:
Где- независимая переменная;- искомая функция переменной ее производные;- заданная функция своих аргументов.
Отметим, что функция F может не содержать некоторых своих аргументов, но непременно должна зависеть от(когца речь идет об уравнении и-го порядка).
Если данное уравнение разрешимо относительно производной п-го порядка, его можно представить в виде
ФункцияОпределенная и непрерывно дифференцируемая п раз в ин
ТервалеНазывается решением дифференциального уравнения в этом ин
Тервале, если она обращает данное уравнение в тождество, т.
е.
Для всех
График решения дифференциального уравнения п-то порядка называется интегральной линией (или интегральной кривой).
Термин «дифференциальное уравнение» принадлежит Лейбницу (1676, опубликовано в 1684 г.). Начало исследований по дифференциальным уравнениям восходит ко временам Лейбница, Ньютона, в работах которых исследовались первые задачи, приводящие к таким уравнениям. Лейбниц, Ньютон, братья Я. и И. Бернулли разрабатывали методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. В качестве универсального способа использовались разложения интегралов дифференциальных уравнений в степенные ряды. Некоторые классы уравнений были приведены к к уравнению с разделяющимися переменными.
Возникновение теории дифференциальных уравнений в частных производных было связано с расширением в XVIII в. области приложений математического анали — ) за. Оно стимул ировалось теми задачами естествознания, механики, физики, в которых появилась необходимость в функциях нескольких переменных.
Первые примеры интегрирования уравнений с частными производными даны в работах Эйлера (1734). Теорию уравнений с частными производными интенсивно развивали Эйлер, Д’Аламбер, Д. Бернулли,. Новые иаеи в этой области в конце XVIII в. предложены в сочинениях Лагранжа, Лапласа, Монжа.
В 1807 г. Фурье вывел уравнение теплопроводности и для его решения разработал метод разделения переменных, названный его именем. Решением задач, возникавших в теории теплопроводности занимались многие математики, в том числе Гаусс, Пуассон, Грин, М. В. Остроградский и др.
Глава 25
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию этой переменной и ее производную. Если- функция независимой переменнойТо в общем
Виде уравнение записывается так:
Если это уравнение разрешимо относительноТо
ОткудаИли в более общем виде
Решением дифференциального уравнения называется всякая функция , обращающая уравнение в тождество.
В случае, если эта функция задана в неявном виде, решение называют интегралом. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция, где— произвольная постоянная, — обращающая данное
Уравнение в тождество.
Общее решение, заданное в неявном виде, называется общим
Интегралом этого уравнения.
Геометрически общее решение (и общий интеграл) представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости, зависящее от одного параметра С.
Частным решением уравнения называется решение, полученное из общего решения при фиксированном значении, где- число. Аналогично определяется частный интеграл
Задача Коши. Найти решениеДифференциального уравнения первого
Порядка, удовлетворяющее начальному условиюПриДругими словами, найти интегральную кривую этого уравнения, проходящую через точку
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Теперь, когда у нас есть представление в виде степенного ряда для данной функции, мы можем найти радиус сходимости, используя критерий отношений.
Так как тест отношений говорит нам, что ряд сходится, если ???L<1??? когда
???L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|???
нам просто нужно найти ???a_n??? и ???a_{n+1}???, а затем подставьте их в уравнение для ???L???. Используя степенной ряд, который мы сгенерировали для нашей функции, мы скажем, что
9{1}2xn}{n+1}\право|??????L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{-2xn}{n+1}\right|???
Скобки абсолютного значения отменяют ???-1???, поэтому мы получаем
???L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{2xn}{n+1}\ верно |???
Ограничение касается только ???n???, а не ???x???, поэтому мы можем вытянуть ???2x??? вне предела, пока мы держим его в барах абсолютного значения.
???L=\влево|2x\вправо|\lim_{n\to\infty}\влево|\frac{n}{n+1}\вправо|???
???L=\left|2x\right|\lim_{n\to\infty}\left|\frac{n}{n+1}\left(\frac{\frac{1}{n} }{\frac{1}{n}}\right)\right|???
???L=\left|2x\right|\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{n}{n}}{\frac{n}{n}+\frac {1}{n}}\право|???
???L=\left|2x\right|\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right|???
???L=\left|2x\right|\left|\frac{1}{1+\frac{1}{\infty}}\right|???
???L=\влево|2x\вправо|\влево|\frac{1}{1+0}\вправо|???
???L=\влево|2x\вправо|\влево|1\вправо|???
???L=\влево|2x\вправо|???
Так как из теста отношения мы знаем, что ряд будет сходиться, когда ???L<1???, положим
???\влево|2x\вправо|<1???
???\влево|х\вправо|<\frac12???
Имея неравенство вида ???\left|x-a\right| ???R=\frac12??? Чтобы найти интервал сходимости ряда Маклорена, мы удалим бары абсолютного значения из радиуса сходимости. ???\влево|х\вправо|<\frac12??? ???-\frac12 Но прежде чем мы сможем назвать это интервалом сходимости, мы должны проверить, сходится ли ряд в одной или обеих конечных точках, ???x=-1/2??? и ???х=1/2???. Для этого мы подключим каждую конечную точку к исходной серии. 9{2n+1}\frac{1}{n}??? Это чередующийся ряд, где ???a_n=\frac{1}{n}??? , что означает, что мы можем использовать тест переменного ряда, чтобы сказать, сходится он или нет. Помните, тест переменного ряда говорит нам, что ряд сходится, если ???\lim_{n\to\infty}a_n=0???. ???\lim_{n\to\infty}a_n??? ???\lim_{n\to\infty}\frac1n??? ???\frac{1}{\infty}??? ???0??? Поскольку предел равен ???0???, ряд сходится по критерию чередующихся рядов, что означает, что ряд Маклорена сходится в левой конечной точке интервала, ???x=-1/2???. 9{n+1}\frac{1}{n}??? Это чередующийся ряд, где ???a_n=\frac{1}{n}??? Это тот же самый ряд, который мы использовали для нахождения сходимости левой конечной точки интервала, и мы уже знаем, что он сходится с помощью проверки переменного ряда. Поскольку ряд сходится на обоих концах интервала, интервал сходимости ряда Маклорена ???f(x)=\ln(1+2x)??? ???-\frac12\le{x}\le\frac12??? При преобразовании по оси s плоскость s представляет набор сигналов (комплексные экспоненты (раздел 1.8)). Для любой заданной системы LTI (раздел 2. должно быть выполнено для сходимости. Область конвергенции имеет ряд свойств, которые зависят от характеристик сигнала \(x[n]\). Следующие свойства применяются к последовательностям бесконечной продолжительности. Как отмечалось выше, z-преобразование сходится, когда \(|X(z)|<\infty\). Итак, мы можем написать 9{n} \nonumber \] for \[n≥0 \nonumber \] Отсюда можно вывести некоторые дополнительные свойства: Из-за линейности, \[\begin{align} Из наблюдения ясно, что есть два нуля, в \(0\) и \(\frac{1}{8}\) и два полюса в точках \(\frac{1}{2}\) и \(\frac{−1}{4}\). Следуя приведенным выше свойствам, ROC равен \(|z|>\frac{1}{2}\). 9{n}\right) u[(-n)-1]\) Еще раз, по линейности, \[\begin{align} Наблюдение снова показывает, что есть два нуля в точках \(0\) и \(\frac{1}{16}\) и два полюса в точках \(\frac{1}{2}\) и \(\frac{−1}{4}\). Используя демонстрацию, узнайте об области сходимости для преобразования Лапласа. Очевидно, что для того, чтобы создать систему, действительно полезную в силу причинности и BIBO-стабильности, мы должны убедиться, что она находится в области конвергенции, что можно установить, взглянув на график нулевого полюса. Область конвергенции — это область на графике полюса/нуля передаточной функции, в которой эта функция существует. В целях удобного проектирования фильтров мы предпочитаем работать с рациональными функциями, которые могут быть описаны двумя полиномами, по одному для определения полюсов и нулей соответственно.
Следовательно, мы можем сказать, что ряд также сходится на правом конце интервала, ???x=1/2???. Получите доступ к полному курсу Calculus 2
12.6: Область сходимости для Z-преобразования
Введение
1) некоторые из этих сигналов могут вызывать сходимость выходных данных системы, в то время как другие вызывают расхождение выходных данных («взрыв»). Набор сигналов, которые вызывают сходимость выходных данных системы, лежит в 9{-n}\right|<\infty \nonumber \] Свойства области конвергенцииc
Рисунок \(\PageIndex{1}\): пример последовательности конечной продолжительности.
Рисунок \(\PageIndex{6}\): двусторонняя последовательность. Рисунок \(\PageIndex{7}\): ROC двусторонней последовательности. 9{п} и[п]\)
Следовательно, ROC двусторонней последовательности имеет вид \(-r_2<|z|
X_{1}[z] &=\frac{z}{z-\frac{1}{2}}+\frac{z}{z+\ frac{1}{4}} \nonumber \\
&=\frac{2 z\left(z-\frac{1}{8}\right)}{\left(z-\frac{1}{2) }\right)\left(z+\frac{1}{4}\right)}
\end{align} \nonumber \]
X_{2}[z] &=\frac{z}{z+ \frac{1}{4}}+\frac{z}{z-\frac{1}{2}} \nonumber \\
&=\frac{z\left(2 z-\frac{1}{) 8}\right)}{\left(z+\frac{1}{4}\right)\left(z-\frac{1}{2}\right)}
\end{align} \nonumber \]
однако в этом случае ROC равен \(|z|<\frac{1}{2}\). 9{n} и[(-n)-1]\). Графическое понимание ROC
Заключение
