Основные правила тригонометрии: Тригонометрические формулы. Основные тригонометрические тождества. Тригонометрические тождества

Урок «Преобразование тригонометрических выражений»

Краткосрочный план в рамках городского семинара – практикума «Новые подходы к обучению, как основной способ современного качества образования в рамках трехъязычья»

Раздел долгосрочного планирования:				Школа: ГУ «Средняя общеобразовательная школа № 2 отдела образования акимата города Аркалыка»
Дата: 20.04.2018				ФИО учителя: Савенкова Фарида Расиховна
класс: 9 «А»				Участвовал: 12
Тема урока		«Преобразование тригонометрических выражений »
Цели обучения, достигаемые на этом уроке		Тригонометрические функции и их свойства, тригонометрические тождества и формулы.
Цель урока		Систематизировать и обобщить знания учащихся по теме «Преобразование тригонометрических выражений», осуществить проверку знаний учащихся по наиболее важным разделам пройденной темы, корректировка знаний учащихся.
Критерии оценивания		Упрощает выражения; Применяет основные тригонометрические тождества; Применяет формулы приведения; Применяет формулы сложения: Применяет формулы тригонометрических функций двойного и половинного угла.
Языковые задачи		Оперирует понятиями: тригонометрические функции; синус, косинус, тангенс и котангенс призвольного угла; числовые значения тригонометрических функций некоторых углов; четные и нечетные функции: основные тригонометрические тождества. Словарный запас и термины, касающиеся темы: Соотношение между тригонометрическими функциями одного аргумента; упростить выражение; вычислить, доказать тождество; формулы приведения; формулы сложения и формулы тригонометрических функций двойного и половинного углов.
Уровень мыслительных навыков		Знание, понимание, применение, анализ
Воспитание ценностей		Cотрудничество, самостоятельность, взаимовыручка, уважение друг к другу в группах, умение правильно реагировать на критику, иметь навыки работать в группах и в парах.
Межпредметная связь		Межпредметная связь
Предыдущие знания		Тригонометрические тождества. Формулы приведения. Формулы сложения. Формулы тригонометрических функций двойного и половинного угла.
Ход урока
этапы урока	Виды упражнений, запланированных на урок:							Ресурсы
Начало урока	Добрый день! Я рада всех видеть на уроке! Думаю, что сегодняшний урок будет для вас интересен и познавателен. Создание благоприятной атмосферы в классе. Игра «Привет, сосед!». Учащиеся, поворачиваются друг другу лицом, глядя глаза в глаза соседу, произносят следующие слова Привет, сосед! Улыбнись мне в ответ Я хочу, чтобы ты не грустил, Всем улыбки сегодня дарил. Мотивация изучения темы и задач урока Начнем!? Учитель раздает конверты с ребусами. Прошу вас сгруппироватся в группы и выполнить задание с ребусами, что же у вас в команде получилось? (учащиеся разгадывают ребус и формируют тему урока и цели урока) Дети делают предположения, что тема урока касается действия с тригонометрическими тождествами и формулами. Значит тема нашего урока «Преобразование тригонометрических выражений» (записывают тему урока в тетрадь) Девиз урока: «Не бойтесь формул! Учитесь владеть этим инструментом Человеческого гения! В формулах заключено величие и могущество разума…» Марков А.А.							Слайд № 1 Карточки с ребусами Слайд № 2,3 Оценночный лист Слайд № 4
Середина урока	Стратегия «Думай-в паре – делись» СОБЕРИ ТОЖДЕСТВО (на столах каждой пары учащихся карточки с заданием на соотношение тригонометрических тождеств) sin 2α+cos 2α=1; tg α ctg α =1; tg α = ; сtg α = ; 1+ tg 2α = ; 1+ ctg 2α = ; Sin2 = 2sin cos2 = tg2 = ; 1 – sin 2 α = теперь посмотрим, правильно ли вы собрали формулы? Перед вами лежит текст, а над формулами цифры, соответствующие вашему тексту, прочтите его (учитель спрашивает по цепочке). Выделяем несколько слов: медицина, строительство, география, физика, астрономия, биология, Обратная связь: 2. Игра «ВИКТОРИНА» Учащеся по очереди выбирают задания, отвечают ответ результат тригонометрических выражений или вычислений пока незакончится время. Для проверки на доске показываются правильные ответы. За каждый правильный ответ ученик получает дополнительный балл. Обратная связь: 3. Задание «КТО БЫСТРЕЕ?» А сейчас я попрошу вас выбрать задания, по своим словам, (медицина, физика, биология, география, астрономия, строительство) Медицина: Вычислить 2 Физика: Упростите Биология: Упростите Астрономия: Найдите sinx∙cosx, если sinx – cosx = География: Вычислить Строительство: Упростить выражение: Каждая пара дает опрделение, сколько и какие формулы тригонометрических функций они использовали. Обратная связь: 4 дифференцированные задания «ПРОВЕРЬ СЕБЯ» Группа А Группа В Группа С 5. ТВОРЧЕСКОЕ. Сегодня на уроке мы многое узнали о применении тригонометрии в жизни. Выполнее этого задания вам подскажут дескрипторы в оценочном листе. Подведем итоги, поститаем баллы и выставим себе оценочки 27 – 25 баллов – оценка «5» 24 – 20 баллов – оценка «4» 19 и более – оценка «3»							Слайд № 5 Карточка № 1 текст ФО техника «Светофор» презентация № 2 Оценночный лист ФО техника «Светофор» Оценночный лист ФО техника «Светофор»
Конец урока	Рефлексия Попрошу вас , свои стикеры прикрепить на тот уровень, который вам ближе всего сегодня на уроке.							стикеры
Дифференциация, – каким способом вы хотите больше оказывать поддержку? Какие задания вы даете ученикам более способным по сравнению с другими?			Оценивание – как Вы планируете проверять уровень усвоения материала учащимися?				Охрана здоровья и соблюдение техники безопасности
Дифференциацияможет включать в себя разработку учебных материалов и ресурсов, принимая во внимание индивидуальные способности учащихся, отбор заданий, ожидаемые результаты, личную поддержку учеников, (по теории множественного интеллектаГарднера). Используя время эффективно, можно использовать дифференциацию на любой стадии урока.			.				Здоровьесберегающие технологии. Использование на уроках разминочных упражнений и активные виды работы. Пункты Правил техники безопасности ,используемых на данном уроке.

Оценочный лист———————————————————————

Простым карандашом обводите балл по выполненному заданию

Критерий оценивания	№ задания	Дескриптор	Балл
		Обучающийся
Собери тождества (работа в парах)	1	Собирает основные тригонометрические тождества самостоятельно	2
		Определяет по тождествам текст	1
Викторина (работа в парах)	2	Применяет основные правила вычисления тригонометрических функций	2
		Записывает результаты формул тригонометрических тождеств	2
		Определяет формулу вычисления	1
«Кто быстрее» (работа в парах)	3	Выполняет задание с применением тригонометрических формул	2
		Дает определение использованных тригонометрических формул и тождеств	2
«Проверь себя» (индивидуальное задание)	4	Выполняет задание группы А без ошибок	3
		Выполняет задание группы В без ошибок	3
		Выполняет задание группы С без ошибок	3
Творческое задание	5	Определяет более 5 – ти слов на казахском языке	3
		Определяет более 5 – ти слов на английском языке	3
Всего баллов				27

Оценочный лист———————————————————————

Простым карандашом обводите балл по выполненному заданию

Критерий оценивания	№ задания	Дескриптор	Балл
		Обучающийся
Собери тождества (работа в парах)	1	Собирает основные тригонометрические тождества самостоятельно	2
		Определяет по тождествам текст	1
Викторина (работа в парах)	2	Применяет основные правила вычисления тригонометрических функций	2
		Записывает результаты формул тригонометрических тождеств	2
		Определяет формулу вычисления	1
«Кто быстрее» (работа в парах)	3	Выполняет задание с применением тригонометрических формул	2
		Дает определение использованных тригонометрических формул и тождеств	2
«Проверь себя» (индивидуальное задание)	4	Выполняет задание группы А без ошибок	3
		Выполняет задание группы В без ошибок	3
		Выполняет задание группы С без ошибок	3
Творческое задание	5	Определяет более 5 – ти слов на казахском языке	3
		Определяет более 5 – ти слов на английском языке	3
Всего баллов				27

Группа А	Группа В	Группа С
Группа А	Группа В	Группа С
Группа А	Группа В	Группа С

Группа А

Группа В

Группа С

1213 ФИЗИКА.

В процессе работы над учебным проектом «Зачем нужна тригонометрия» была создана группа физиков, которая занималась изучением проблемы «Почему мы иногда видим то, чего нет на самом деле?». Для исследования были предложены следующие вопросы: «Как устроено наше зрение и как создаются оптические иллюзии?», «Почему мы видим миражи?», «Как возникает радуга?», «Что такое полярное сияние?», «Как тригонометрия может помочь найти ответы на эти вопросы?».

Все проблемные вопросы полностью освещены. Рассмотрены различные виды оптических иллюзий, и выяснены основные причины возникновения иллюзий. Также раскрыта суть естественных (природных) оптических иллюзий – радуги, миража, северного сияния – с помощью законов физики. Выяснено, что законы оптики описываются с помощью тригонометрических функций.

1214 АСТРОНОМИЯ

Потребность в решении треугольников раньше всего обнаружилась в астрономии; поэтому, в течение долгого времени тригонометрия развивалась и изучалась как один из разделов астрономии.

 Потребность в решении треугольников раньше всего обнаружилась в астрономии; поэтому, в течение долгого времени тригонометрия развивалась и изучалась как один из разделов астрономии.

Составленные Гиппархом таблицы положений Солнца и Луны позволили предвычислять моменты наступления затмений (с ошибкой 1—2 ч). Гиппарх впервые стал использовать в астрономии методы сферической тригонометрии. Он повысил точность наблюдений, применив для наведения на светило крест нитей в угломерных инструментах — секстантах и квадрантах. Ученый составил огромный по тем временам каталог положений 850 звезд, разделив их по блеску на 6 степеней (звездных величин). Гиппарх ввел географические координаты — широту и долготу, и его можно считать основателем математической географии. (ок. 190 до н. э. — ок. 120 до н. э.)

1215 МЕДИЦИНА

Тригонометрия играет важную роль в медицине. С ее помощью иранские ученые открыли формулу сердца — комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии.

Биологические ритмы, биоритмы связаны с тригонометрией

        Связь биоритмов с тригонометрией

       Модель биоритмов можно построить с помощью графиков тригонометрических функций.  Для этого необходимо ввести дату рождения человека (день, месяц, год) и длительность прогноза .

1216 СТРОИТЕЛЬСТВО

Тригонометрия в архитектуре

Детская школа Гауди в Барселоне

Страховая корпорация Swiss Re в Лондоне

Феликс Кандела Ресторан в Лос-Манантиалесе

Тригонометрия применяется не только в алгебре и началах анализа, но и во многих других науках Тригонометрия является основой для создания многих шедевров искусства и архитектуры Научились видеть тригонометрию в постройке моделей зданий. 

1217 ГЕОГРАФИЯ

Тригонометрия очень нужна в географии, с помощью знаний тригонометрии можно измерить ширину реки и высоту дерева. Тригонометрия позволяет нам самим составить таблицы и расчитать по ним всё что нам нужно!!! 

1218 БИОЛОГИЯ

Биение сердца, дыхание, циклы в жизнидеятельности организма. 2 = 1, которое будет выполняться для любого значения а из промежутка от 0 градусов до 180 градусов. Данное равенство называется основным тригонометрическим тождеством .

Формулы приведения

Формулы приведения используются для того, чтобы значения тригонометрических функций от аргументов вида (90˚ ±a), (180˚ ±a), выразить через значения sin(a), cos(a), tg(a) и ctg(a).

Для использования формул приведения существует два правила.

1. Если угол можно представить в виде (90˚ ±a), то название функции меняется sin на cos, cos на sin, tg на ctg, ctg на tg. Если же угол можно представить в виде (180˚ ±a), то название функции остается без изменений.

Посмотрите на рисунок ниже, где схематично изображено, когда следует менять знак, а когда нет.

2. Правило «каким ты был, таким ты и остался».

Знак приведенной функции остается прежним. Если исходная функция имела знак «плюс», то и приведенная функция имеет знак «плюс». Если исходная функция имела знак «минус», то и приведенная функция имеет знак «минус».

На рисунке ниже представлены знаки основных тригонометрических функций в зависимости от четверти.

Определение. Формулами приведения называют формулы, которые позволяют перейти от тригонометрических функций вида к функциям аргумента . С их помощью синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла можно привести к синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу угла из интервала от 0 до 90 градусов (от 0 до радиан). Таким образом, формулы приведения позволяют нам переходить к работе с углами в пределах 90 градусов, что, несомненно, очень удобно.

Формулы приведения:

Для использования формул приведения существует два правила.

1. Если угол можно представить в виде (π/2 ±a) или (3*π/2 ±a), то название функции меняется sin на cos, cos на sin, tg на ctg, ctg на tg. Если же угол можно представить в виде (π ±a) или (2*π ±a), то название функции остается без изменений.

Посмотрите на рисунок ниже, там схематично изображено, когда следует менять знак, а когда нет

2. Знак приведенной функции остается прежним. Если исходная функция имела знак «плюс», то и приведенная функция имеет знак «плюс». Если исходная функция имела знак «минус», то и приведенная функция имеет знак «минус».

На рисунке ниже представлены знаки основных тригонометрических функций в зависимости от четверти.

Пример:

Вычислить

Воспользуемся формулами приведения:

Sin(150˚) находится во второй четверти, по рисунку видим что знак sin в этой четверти равен «+». Значит у приведенной функции тоже будет знак «+». Это мы применили второе правило.

Теперь 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ это π/2. То есть имеем дело со случаем π/2+60, следовательно по первому правилу меняем функцию с sin на cos. В итоге получаем Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.

В этой статье мы всесторонне рассмотрим . Основные тригонометрические тождества представляют собой равенства, устанавливающие связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, и позволяют находить любую из этих тригонометрических функций через известную другую.

Сразу перечислим основные тригонометрические тождества, которые разберем в этой статье. Запишем их в таблицу, а ниже дадим вывод этих формул и приведем необходимые пояснения.

Навигация по странице.

Связь между синусом и косинусом одного угла

Иногда говорят не об основных тригонометрических тождествах, перечисленных в таблице выше, а об одном единственном основном тригонометрическом тождестве вида . Объяснение этому факту достаточно простое: равенства получаются из основного тригонометрического тождества после деления обеих его частей на и соответственно, а равенства и следуют из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса . Подробнее об этом поговорим в следующих пунктах.

То есть, особый интерес представляет именно равенство , которому и дали название основного тригонометрического тождества.

Прежде чем доказать основное тригонометрическое тождество, дадим его формулировку: сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице. Теперь докажем его.

Основное тригонометрическое тождество очень часто используется при преобразовании тригонометрических выражений . Оно позволяет сумму квадратов синуса и косинуса одного угла заменять единицей. Не менее часто основное тригонометрическое тождество используется и в обратном порядке: единица заменяется суммой квадратов синуса и косинуса какого-либо угла.

Тангенс и котангенс через синус и косинус

Тождества, связывающие тангенс и котангенс с синусом и косинусом одного угла вида и сразу следуют из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Действительно, по определению синус есть ордината y, косинус есть абсцисса x, тангенс есть отношение ординаты к абсциссе, то есть, , а котангенс есть отношение абсциссы к ординате, то есть, .

Благодаря такой очевидности тождеств и часто определения тангенса и котангенса дают не через отношение абсциссы и ординаты, а через отношение синуса и косинуса. Так тангенсом угла называют отношение синуса к косинусу этого угла, а котангенсом – отношение косинуса к синусу.

В заключение этого пункта следует отметить, что тождества и имеют место для всех таких углов , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл. Так формула справедлива для любых , отличных от (иначе в знаменателе будет нуль, а деление на нуль мы не определяли), а формула — для всех , отличных от , где z — любое .

Связь между тангенсом и котангенсом

Еще более очевидным тригонометрическим тождеством, чем два предыдущих, является тождество, связывающее тангенс и котангенс одного угла вида . Понятно, что оно имеет место для любых углов , отличных от , в противном случае либо тангенс, либо котангенс не определены.

Доказательство формулы очень просто. По определению и , откуда . Можно было доказательство провести и немного иначе. Так как и , то .

Итак, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, есть .

Изучите тригонометрию за 5 шагов | Джон Марш

Тригонометрия — раздел математики. Тригонометрия – это наука о треугольниках. Это очень легко, если подойти к этому правильно. Тригонометрия — это все о соотношении между сторонами и углами треугольников.

Прямоугольный треугольник

В этой статье мы обсудим, как изучить основы тригонометрии за 5 шагов.

Шаг 1: Просмотрите все основные сведения.

Практика манипулирования алгеброй. Это важный шаг в любой области математики. Практика квадратного уравнения, линейного уравнения и т. д.
Практикуйте все основы геометрии. Геометрия тесно связана с тригонометрией.

Узнайте об углах.
а) Прямой угол: Прямой угол составляет 90 градусов, а радиан прямого угла равен π/2

б) Прямой угол: Прямой угол составляет 180 градусов, а радиан прямого угла равен π.

c) Полный оборот: Полный оборот составляет 360 градусов, а радиан полного оборота равен 2π.

Шаг 2: Начните с прямоугольных треугольников. Это трехсторонний треугольник, один из углов которого равен 90 градусов.

Прямой угол имеет три противоположные стороны, гипотенузу и прилежащую.

Гипотенуза — самая длинная сторона прямого угла.

В тригонометрии есть три основные функции синуса, косинуса и тангенса.
a)Sin θ = O/H
b)Cos θ = A/H
c)Tan θ = A/O

Эти функции можно запомнить таким образом,
a) SOH=> Sin(синус). Противоположная над гипотенузой.
б) CAH=> Cos(Косинус). Примыкает к гипотенузе.
c) TAO=> Tan(Tangent). Соседняя над противоположной.

Изучите теорему Пифагора.
Гипотенуза2 = Противоположная2+ Смежная2

Пример: У прямого угла две стороны 5см и 3см найти гипотенузу.

Решение: Учитывая противоположное =5 см и соседнее =3 см Шаг 3: Пройдите через неправильный треугольник. Эти треугольники не являются прямоугольными треугольниками.

Не использовать теорему Пифагора.

Функция синуса, косинуса и тангенса играет одинаковую роль.

Есть два важных правила,
а) Правило синусов: Это правило содержит отношение длины стороны к греху угла противоположной стороны. Она одинакова для всех трех сторон.
a/sin A= b/sin B = c/sin C

b) Правило косинуса: пусть треугольник со сторонами a, b и c, угол, противоположный стороне c, равен C
, тогда, правило косинуса,
c2=a2+b2-2ab cos(C)

Шаг 4: Изучите другую важную функцию тригонометрии.

Узнайте об измерении угла в радианах. Это еще один способ измерения угла.

Например, 180 градусов в радианах равно π или 3,14.

Выучите три важных фундаментальных тождества,
a) sin2 θ +cos2 θ =1
b)1+tan2 θ =sec2 θ
c) 1+cot2 θ =cosec2 θ

Выучите три других наиболее важных соотношения.
a)cot θ =1/tan θ
b)sec θ =1/cos θ
c)cosec θ =1/sin θ

Шаг 5: Практика является ключом к любой области математики. Тригонометрию очень легко применять только тогда, когда учащиеся умеют пользоваться правилом и формулами.

Например, у вас есть уравнение, в котором есть члены синус и косинус, ваш первый шаг — эфирное изменение синуса через косинус или косинуса через синус. Практика по тригонометрии Help Online. Который поможет вам улучшить свои навыки тригонометрии. Есть много сайтов, которые предоставят вам бесплатный Live Math Tutor.

Правила треугольника: тригонометрия и углы, область

Можно вывести различные свойства и значения прямоугольных треугольников, используя тригонометрические правила. Но что, если мы имеем дело с треугольниками, у которых нет прямых углов? Можем ли мы по-прежнему применять тригонометрию, чтобы узнать различные свойства заданных треугольников, такие как неизвестные углы, длины или площади?

Правила треугольника, обсуждаемые в этой статье, раскроют этот вопрос более подробно:

Правила треугольника – правило синуса

Первое правило треугольника, которое мы обсудим, называется правилом синуса. Правило синусов можно использовать до найти недостающие стороны или углы в треугольнике.

Рассмотрим следующий треугольник со сторонами a, b и c и углами A, B и C.

Треугольник со сторонами a, b и c и углами A, B и C, Nilabhro Datta — StudySmarter Originals

Есть две версии правила синусов.

Для приведенного выше треугольника первая версия правила синусов гласит:

Эта версия правила синусов обычно используется для нахождения длины отсутствующей стороны.

Вторая версия правила синусов гласит:

Эта версия правила синусов обычно используется для нахождения недостающего угла.

Для следующего треугольника найдите a.

Решение

В соответствии с правилом синусов,

Прочтите Правила синусов и косинусов, чтобы узнать больше о правиле синусов.

Для этого треугольника найдите x.

Решение

Согласно правилу синусов,

Правила треугольника – правило косинуса

Второе правило треугольника, которое мы обсудим, называется правилом косинуса. Правило косинуса можно использовать, чтобы найти недостающие стороны или углы в треугольнике.

Рассмотрим следующий треугольник со сторонами a, b и c и углами A, B и C.

Треугольник со сторонами a, b и c и углами A, B и C, Nilabhro Datta — StudySmarter Originals

Существует две версии правила косинусов.

Для приведенного выше треугольника первая версия правила косинуса гласит:

a² = b² + c² — 2bc · cos (A)

Эта версия правила косинуса обычно используется для нахождения длины отсутствующей стороны когда известны длины двух других сторон и угол между ними.

Вторая версия правила косинуса гласит:

Эта версия правила косинуса обычно используется для нахождения угла, когда известны длины всех трех сторон.

Найти х.

Решение

По теореме косинусов

a² = b² + c² — 2bc · cos (A)

=> x² = 5² + 8² — 2 x 5 x 8 x cos (30)

2 > x² = 19,72

=> x = 4,44

Найдите угол A для следующего треугольника. в большей глубине.

Правила треугольника – площадь треугольника

Мы уже знакомы со следующей формулой:

Но что, если мы не знаем точную высоту треугольника? Мы также можем найти площадь треугольника, для которого мы знаем длину любых двух сторон и угол между ними .