Отрицательная степень в знаменателе: Степень с отрицательным показателем | Алгебра

Перевод степеней в целые числа. Может ли степень быть отрицательной. Отрицательная степень

Числом, возведенным в степень, называют такое число, которое несколько раз умножено само на себя.

Степень числа с отрицательным значением (a — n) можно определить на подобии того, как определяется степень того же числа с положительным показателем (a n) . Однако, оно также требует дополнительного определения. Определяется такая формула как:

a — n = (1 / a n)

Свойства отрицательных значений степеней чисел аналогичны степеням с положительным показателем. Представленное уравнение a m / a n = a m-n может быть справедливым как

«Нигде, как в математике, ясность и точность вывода не позволяет человеку отвертеться от ответа разговорами вокруг вопроса ».

А. Д. Александров

при n больше m , так и при m больше n .

Рассмотрим на примере: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Для начала необходимо определить то число, которое выступает определением степени. b=a(-n) . В этом примере -n является показателем степени, b — искомое числовое значение, a — основание степени в виде натурального числового значения. Затем определить модуль, то есть абсолютное значение отрицательного числа, которое выступает в роли показателя степени. Вычислить степень данного числа относительного абсолютного числа, как показателя. Значение степени находится делением единицы на полученное число.

Рис. 1

Рассмотри степень числа с отрицательным дробным показателем. Представим, что число а это любое положительное число, числа n и m — натуральные числа. Согласно определению a , которое возведено в степень — равняется единице, разделенной на это же число с положительной степенью (рис 1).

Когда степенью числа является дробь, то в таких случаях используются исключительно числа с положительными показателями.

Стоит помнить , что ноль никогда не может быть показателем степени числа (правило деления на ноль).

Распространению такого понятия как число стали такие манипуляции, как расчеты измерения, а также развитие математики, как науки. Ввод отрицательных значений было обусловлено развитием алгебры, которая давала общие решения арифметических задач, независимо от их конкретного смысла и исходных числовых данных. В индии еще в VI-XI веках отрицательные значения чисел систематически употребляли во время решения задач и растолковывались таким же образом, что и сегодня. В европейской науке отрицательные числа начали обширно употребляться благодаря Р. Декарту, который дал геометрическое толкование отрицательным числам, как направлениям отрезков. Именно Декарт предложил обозначение числа возведенного в степень отображать как двухэтажную формулу

a n .

В одной из предыдущих статей мы уже упоминали о степени числа. Сегодня мы постараемся сориентироваться в процессе нахождения ее значения. Научно говоря, мы будем выяснять, как правильно возводить в степень. Мы разберемся, как производится этот процесс, одновременно затронем все вероятные показатели степени: натуральный, иррациональный, рациональный, целый.

Итак, давайте подробно рассмотрим решения примеров и выясним, что значит:

1. Определение понятия.
2. Возведение в отрицательную ст.
3. Целый показатель.
4. Возведение числа в иррациональную степень.

Вот точно отражающее смысл определение: «Возведением в степень называют определение значения степени числа».

Соответственно, возведение числа a в ст. r и процесс нахождения значения степени a с показателем r — это идентичные понятия. К примеру, если стоит задача вычислить значение степени (0,6)6″, то ее можно упростить до выражения «Возвести число 0,6 в степень 6».

После этого можно приступать напрямую к правилам возведения.

Возведение в отрицательную степень

Для наглядности следует обратить внимание на такую цепочку выражений:

110=0,1=1* 10 в минус 1 ст.,

1100=0,01=1*10 в минус 2 степ.,

11000=0,0001=1*10 в минус 3 ст.,

110000=0,00001=1*10 в минус 4 степeни.

Благодаря данным примерам можно четко просмотреть возможность моментально вычислить 10 в любой минусовой степени. Для этой цели достаточно банально сдвигать десятичную составляющую:

• 10 в -1 степeни — перед единицей 1 ноль;
• в -3 — три нуля перед единицей;
• в -9 — это 9 нулей и проч.

Так же легко понять по данной схеме, сколько будет составлять 10 в минус 5 ст. —

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Как возвести число в натуральную степeнь

Вспоминая определение, учитываем, что натуральное число a в ст. n равняется произведению из n множителей, при этом каждый из них равняется a. Проиллюстрируем: (а*а*…а)n, где n — это количество чисел, которые умножаются. Соответственно, чтобы a возвести в n, необходимо рассчитать произведение следующего вида: а*а*…а разделить на n раз.

Отсюда становится очевидно, что возведение в натуральную ст. опирается на умение осуществлять умножение (этот материал освещен в разделе про умножение действительных чисел). Давайте рассмотрим задачу:

Возведите -2 в 4-ю ст.

Мы имеем дело с натуральным показателем. Соответственно, ход решения будет следующим: (-2) в cт. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Теперь осталось только осуществить умножение целых численностей:(-2)*(-2)*(-2)*(-2). Получаем 16.

Ответ на задачу:

(-2) в ст. 4=16.

Пример:

Вычислите значение: три целых две седьмых в квадрате.

Данный пример равняется следующему произведению: три целых две седьмых умножить на три целых две седьмых. Припомнив, как осуществляется умножение смешанных чисел, завершаем возведение:

• 3 целых 2 седьмых умножить на самих себя;
• равно 23 седьмых умножить на 23 седьмых;
• равно 529 сорок девятых;
• сокращаем и получаем 10 тридцать девять сорок девятых.

Ответ: 10 39/49

Касаемо вопроса возведения в иррациональный показатель, следует отметить что расчеты начинают проводить после завершения предварительного округления основы степени до какого-либо разряда, который позволил бы получить величину с заданной точностью. К примеру, нам необходимо возвести число П (пи) в квадрат.

Начинаем с того, что округляем П до сотых и получаем:

П в квадрате = (3,14)2=9,8596. Однако если сократить П до десятитысячных, получим П=3,14159. Тогда возведение в квадрат получает совсем другое чиcло: 9,8695877281.

Здесь следует отметить, что во многих задачах нет надобности возводить иррациональные числа в cтeпeнь. Как правило, ответ вписывается или в виде, собственно, степени, к примеру, корень из 6 в степени 3, либо, если позволит выражение, проводится его преобразование: корень из 5 в 7 cтепeни = 125 корень из 5.

Как возвести чиcло в целую степень

Эту алгебраическую манипуляцию уместно принимать во внимание для следующих случаев:

• для целых чисел;
• для нулевого показателя;
• для целого положительного показателя.

Поскольку практически все целые положительные числа совпадают с массой чисел натуральных, то постановка в положительную целую степень — это тот же процесс, что и постановка в ст. натуральную. Данный процесс мы описали в предшествующем пункте.

Теперь поговорим о вычислении ст. нулевой. Мы уже выяснили выше, что нулевую степень числа a можно определить для любого отличного от нуля a (действительного), при этом a в ст. 0 будет равно 1.

Соответственно, возведение какого угодно действительного числа в нулевую ст. будет давать единицу.

К примеру, 10 в ст.0=1, (-3,65)0=1, а 0 в ст. 0 нельзя определить.

Для того чтобы завершить возведение в целую степень, остается определиться с вариантами целых отрицательных значений. Мы помним, что ст. от a с целым показателем -z будет определяться как дробь. В знаменателе дроби располагается ст. с целым положительным значением, значение которой мы уже научились находить. Теперь остается лишь рассмотреть пример возведения.

Пример:

Вычислить значение числа 2 в кубе с целым отрицательным показателем.

Процесс решения:

Согласно определению стeпeни с отрицательным показателем обозначаем: два в минус 3 ст. равняется один к двум в третьей cтепeни.

Знаменатель рассчитывается просто: два в кубе;

3 = 2*2*2=8.

Ответ: два в минус 3-й ст. = одна восьмая.

Со школы всем нам известно правило о возведении в степень: любое число с показателем N равно результату перемножения данного числа на самого себя N-ное количество раз. Иными словами, 7 в степени 3 — это 7, умноженное на себя три раза, то есть 343. Еще одно правило — возведение любой величины в степень 0 дает единицу, а возведение отрицательной величины представляет собой результат обычного возведения в степень, если она четная, и такой же результат со знаком «минус», если она нечетная.

Правила же дают и ответ, как возводить число в отрицательную степень. Для этого нужно возвести обычным способом нужную величину на модуль показателя, а потом единицу поделить на результат. -C2.

Второй вариант — использование готовой функции «Степень», принимающей два обязательных аргумента — число и показатель. Чтобы приступить к ее использованию, достаточно в любой свободной ячейке поставить знак «равно» (=), указывающий на начало формулы, и ввести вышеприведенные слова. Осталось выбрать две ячейки, которые будут участвовать в операции (или указать конкретные числа вручную), и нажать на клавишу Enter. Посмотрим на нескольких простых примерах.

			Формула	Результат
			СТЕПЕНЬ(B2;C2)
			СТЕПЕНЬ(B3;C3)	0,002915

Как видим, нет ничего сложного в том, как возводить число в отрицательную степень и в обычную с помощью Excel. Ведь для решения данной задачи можно пользоваться как привычным всем символом «крышечка», так и удобной для запоминания встроенной функцией программы. Это несомненный плюс!

Перейдем к более сложным примерам. Вспомним правило о том, как возводить число в отрицательную степень дробного характера, и увидим, что эта задача очень просто решается в Excel.

Дробные показатели

Если кратко, то алгоритм вычисления числа с дробным показателем следующий.

1. Преобразовать дробный показатель в правильную или неправильную дробь.
2. Возвести наше число в числитель полученной преобразованной дроби.
3. Из полученного в предыдущем пункте числа вычислить корень, с условием, что показателем корня будет знаменатель дроби, полученной на первом этапе.

Согласитесь, что даже при оперировании малыми числами и правильными дробями подобные вычисления могут занять немало времени. Хорошо, что табличному процессору Excel без разницы, какое число и в какую степень возводить. C$3».

Число / Степень

Обратите внимание, что положительные числа (даже нецелые) без проблем вычисляются при любых показателях. Не возникает проблем и с возведением любых чисел в целые показатели. А вот возведение отрицательного числа в дробную степень обернется для вас ошибкой, поскольку невозможно выполнить правило, указанное в начале нашей статьи про возведение отрицательных чисел, ведь четность — это характеристика исключительно ЦЕЛОГО числа.

Формулы степеней используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.

Число c является n -ной степенью числа a когда:

Операции со степенями.

1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:

a m ·a n = a m + n .

2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:

(a/b) n = a n /b n .

5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:

(a m) n = a m n .

Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.

Например . (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4 .

Операции с корнями.

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:

3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:

4. Если увеличить степень корня в n раз и в тоже время возвести в n -ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:

5. Если уменьшить степень корня в n раз и в тоже время извлечь корень n -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:

Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:

Формулу a m :a n =a m — n можно использовать не только при m > n , но и при m n .

Например . a 4:a 7 = a 4 — 7 = a -3 .

Чтобы формула a m :a n =a m — n стала справедливой при m=n , нужно присутствие нулевой степени.

Степень с нулевым показателем. Степень всякого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равняется единице.

Например . 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Степень с дробным показателем. Чтобы возвести действительное число а в степень m/n , необходимо извлечь корень n -ой степени из m -ой степени этого числа а .

Как известно, в математике существуют не только положительные числа, но и отрицательные. Если знакомство с положительными степенями начинается с определения площади квадрата, то с отрицательными всё несколько сложнее.

Это следует знать:

1. Возведением числа в натуральную степень называется умножение числа (понятие число и цифра в статье будем считать эквивалентными) само на себя в таком количестве, каков показатель степени (в дальнейшем будем использовать параллельно и просто слово показатель). 5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.

В данном случае, мы видим, что модуль продолжает расти , а вот знак зависит от чётности или нечётности показателя.

Следует заметить, если мы возводим единицу, то она всегда останется сама собой. В случае, если нужно возвести число минус один, то при чётном показателе степени она превратится в единицу, при нечётном останется минус единицей.

Возведение в целую отрицательную степень если модуль больше единицы

Для цифр, чей модуль больше единицы, есть свои особенности действий. Прежде всего, нужно целую часть дроби перевести в числитель, то есть перевести в неправильную дробь. Если у нас имеется десятичная дробь, то её необходимо перевести в обычную. Делается это следующим образом:

• 6 целых 7/17 = 109/17;
• 2,54 = 254/100.

Теперь рассмотрим, как возвести число в отрицательную степень в данных условиях. Уже из вышеизложенного, мы можем предположить, чего нам ждать от результата вычислений. 3) = 1/rad64 = 1/8.

В этом случае, нужно иметь в виду, что извлечение корней высокого уровня возможно только в специально подобранном виде и, скорее всего, избавиться от знака радикала (корня квадратного, кубического и так далее) при точных вычислениях вам не удастся.

Все же, подробно изучив предыдущие главы, сложностей в школьных вычислениях ожидать не стоит.

Следует заметить, что под описание данной главы подходит и возведение с заведомо иррациональным показателем , например, если показатель равен минус ПИ. Действовать нужно по вышеописанным принципам. Однако, вычисления в подобных случаях становятся настолько сложными, что под силу только мощным электронно-вычислительным машинам.

Заключение

Действие, которое мы изучали, является одной из самых сложнейших задач в математике (особенно в случае дробно-рационального или иррационального его значения). Однако, подробно и пошагово изучив данную инструкцию, можно научиться без особых проблем проделывать это на полном автомате.

Чему равно 10 в отрицательной степени? – Обзоры Вики

Отсюда, что такое отрицательный показатель? Как объясняется на странице, отрицательная экспонента просто означает «мультипликативная инверсия основания, возведенная в положительную противоположность степени».

Чему равно 10 в отрицательной 2-й степени? Ответ: число 10 в степени минус 2 равно 0.01.

Дополнительно Можете ли вы иметь отрицательную экспоненту в многочлене? Многочлен не может иметь переменную в знаменателе или отрицательный показатель степени., так как мономы должны иметь только целые показатели степени. Полиномы обычно записывают так, чтобы степени одной переменной располагались в порядке убывания.

Как вы делаете отрицательные показатели с переменными?

Чему равно 5 в отрицательной степени числа 2? Ответ: 5 в степени минус 2 равно 0.04.

Чему равно 10 в отрицательной степени числа 3? Ответ: 10 в степени минус 3 равно 0.001.

Может ли переменная иметь отрицательный показатель степени?

Распределение с отрицательными показателями означает, что у вас будут дробные ответы. Базис с отрицательным показателем можно заменить дробью. Основание и показатель степени становятся знаменателем, но показатель степени при этом теряет свой отрицательный знак. … Измените члены с отрицательными показателями на дроби.

Также Почему отрицательные показатели не являются многочленами? Первый не является полиномом, потому что у него отрицательный показатель степени, а все показатели в многочлен должен быть положительным. … Все показатели степени в алгебраическом выражении должны быть неотрицательными целыми числами, чтобы алгебраическое выражение было многочленом.

Может ли рациональная функция иметь отрицательный показатель?

Рациональные показатели

Числитель рационального показателя — это степень, в которую нужно возвести основание, а знаменатель — корень из взятого основания. Рациональные показатели может быть положительным или отрицательным с одним и тем же значение для отрицательных корней, как указано выше.

Сколько 10 в отрицательной степени 7? Ответ: 10 в степени отрицательной 7 равно 0.0000001.

Как вычислить отрицательную степень без калькулятора?

Что такое 5 в отрицательной степени?

Отрицательные показатели означают, что вместо умножения что многие из основных чисел вместе, вы делите. Например, 52=25, но 5−2=152=125. Вы можете использовать свойство произведения полномочий, чтобы показать это. Мы знаем, что 52=25, и мы знаем, что 50=1. 2 и равно -1.

Что означает отрицательный показатель степени в научной записи? Отрицательная экспонента показывает, что десятичная точка сдвинута на указанное количество разрядов влево. В экспоненциальной системе обозначений числовой термин обозначает количество значащих цифр в числе. … Другой пример: 0.00053 = 5.3 x 10^–4 Это число состоит из 2 значащих цифр.

Как записать отрицательный показатель степени в экспоненте?

Являются ли отрицательные числа полиномами? В частности, чтобы выражение было многочленом, оно не должно содержать квадратных корней переменных, дробных или отрицательных степеней переменных, а также переменных в знаменателях любых дробей.

Может ли квадратное уравнение иметь отрицательные показатели?

Это зависит от того, что вы имеете в виду. Когда мы говорим квадратное уравнение, мы имеем в виду уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, и мы можем видеть, что нет отрицательных показателей.

Что есть что-нибудь в степени минус 1? Отрицательная единица — это особое значение для показателя степени, потому что возведение числа в степень отрицательной единицы дает обратное значение: х − 1 = 1x.

Узнайте об отрицательных показателях и их значении

 

В этом видео мы рассмотрим, как упростить числа, возведенные в отрицательные степени. После того, как вы закончите этот урок, просмотрите все наши уроки по алгебре 1 и практические задачи.

Пример отрицательного показателя степени

Чтобы упростить следующее:

мы должны переместить 4 в знаменатель и сделать показатель степени положительным.

Затем умножьте 4 само на себя, 2 раза, что упростит до:

, поэтому окончательный ответ будет

Чтобы упростить следующее:

мы должны переместить x в знаменатель и сделать показатель степени положительным.

Если есть что-то более сложное, например, тогда в знаменатель пойдет только x, так как он имеет отрицательный показатель степени. Это будет упрощено до


Другие примеры:




Стенограмма видеоурока

Давайте кратко рассмотрим отрицательные показатели.

Здесь у нас

Если это , то это просто будет

Но здесь у нас отрицательный показатель степени.

Это имеет другое значение.

Мы по-прежнему будем это делать, но негатив изменится там, где мы это делаем.

Итак, всякий раз, когда у нас есть число, возведенное в отрицательную степень, мы собираемся переместить его в знаменатель и сделать показатель степени положительным.

В этом случае у нас будет

Обратите внимание, что наш ответ не отрицательный. Отрицательное значение в показателе степени не имеет ничего общего с нашим окончательным ответом.

Это просто показывает, что мы собираемся делать . Мы собираемся переместить его в знаменатель.

Посмотрим еще на один.

Итак, мы просто переместим его в знаменатель.

Если вам интересно, откуда взялся наш числитель, то это обычная вещь. Так как это то же самое, что и .

Итак, продолжим решение.

Давайте еще одну.

Итак, мы сделаем то же самое. мы переместим его в знаменатель и изменим показатель степени на положительный.

То же самое верно и для переменных.

У нас есть ,

это просто

Причина, по которой я учу его в стиле числитель-знаменатель, заключается в том, что он может стать более сложным.

Если у нас есть

, дело здесь в том, что это единственное возведение в отрицательную степень. Нет .

Итак, когда мы решим это, останется в числителе, а будет в знаменателе и изменит показатель степени на положительный.

Давайте еще одну.

Здесь у нас будет

Единственная переменная, которая должна стать знаменателем, это , остальные остаются на своих местах.

Давайте еще один пример.

Во всех остальных случаях показатель степени отрицательный, но все в числителе.

В этом случае показатель степени в знаменателе отрицательный.

Итак, мы сделаем наоборот.

Мы собираемся поместить отрицательную экспоненту в числитель, а затем изменить экспоненту на положительную.

Поэтому везде, где написан термин с отрицательным показателем, поместите его в противоположное место.

Если оно в числителе, поднесите его к знаменателю и сделайте показатель степени положительным.

Если оно стоит в знаменателе, поднесите его к числителю и сделайте показатель степени положительным.

Имейте в виду, что отрицательная экспонента не влияет на знак ответа.

Отрицательные показатели степени в дробях — правило и примеры

Чтобы решить отрицательные степени с помощью дробей, мы должны использовать как правило отрицательной степени, так и правило дробной степени. Мы рассмотрим процесс, который можно использовать для упрощения выражений с отрицательными показателями степени с дробями, а также различные упражнения для улучшения понимания.

No related posts.