Периодические функции тригонометрические: Периодические функции — урок. Алгебра, 10 класс.

Периодическая функция | это… Что такое Периодическая функция?

Графики синуса и косинуса — периодических функций с периодом .

Периоди́ческая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через какой-то регулярный интервал, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу фиксированного ненулевого числа (пери́ода функции).

Говоря более формально, функция периодична, если существует такое число T≠0 (период), что на всей области определения функции выполняется равенство .

Все тригонометрические функции являются периодическими.

Содержание 1 Формальное определение 1.1 Замечание 2 Примеры 3 Некоторые особенности периодических функций 4 См. также 5 Ссылки

Формальное определение

Пусть есть абелева группа (обычно предполагается  — вещественные числа с операцией сложения или  — комплексные числа). Функция (где  — произвольное множество её значений) называется

периодической с периодом , если справедливо

.

Если это равенство не выполнено ни для какого , то функция называется апериоди́ческой.

Если для функции существуют два периода , отношение которых не равно вещественному числу, то есть , то называется двоякопериоди́ческой фу́нкцией. В этом случае значения на всей плоскости определяются значениями в параллелограмме, натянутом на .

Замечание

Период функции определён неоднозначно. В частности, если  — период, то и любой элемент вида (или , если в области определения функции определена операция умножения), где  — произвольное натуральное число, также является периодом.

Множество всех периодов функции образует аддитивную группу.

Однако если у множества периодов имеется наименьшее значение, то оно называется основным (или главным) периодом функции.

Примеры

• Вещественные функции синус и косинус являются периодическими с основным периодом , так как

• Функция, равная константе , является периодической, и любое ненулевое число является её периодом. Основного периода функция не имеет.

• Функция Дирихле является периодической, её периодом является любое ненулевое рациональное число. Основного периода она также не имеет.

• Функция является апериодической.

Некоторые особенности периодических функций

• Сумма двух функций с соизмеримыми периодами и не всегда является функцией с основным периодом, равным наименьшему общему кратному и (однако просто периодом это число будет являться). Например, у функции основной период равен , у функции  — , а у их суммы основной период, очевидно, равен .

• Сумма двух функций с несоизмеримыми периодами не всегда является непериодической функцией. Например, функция из предыдущего примера и функция имеют несоизмеримые периоды, но их сумма равна константе, а значит, является периодической функцией.

• Существуют периодические функции, не равные константе, у которой периодами являются несоизмеримые числа. Например, у функции , принимающей значения 1 при алгебраическом x и 0 в остальных случаях, любое алгебраическое число является периодом, а среди алгебраических чисел есть и несоизмеримые.

См. также

• Квазипериодическая функция

Ссылки

• Периодическая функция (Большая советская энциклопедия)

Математика: Справ. материалы

Математика: Справ. материалы

Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся.— М.: Просвещение, 1988.— 416 с. В книге дано краткое изложение основных разделов школьных курсов алгебры и начал анализа, геометрии. Книга окажет помощь в систематизации и обобщении знаний по математике. Оглавление СЛОВО К УЧАЩИМСЯ ГЛАВА I. ЧИСЛА § 1. Натуральные числа 2. Арифметические действия над натуральными числами. 3. Деление с остатком. 4. Признаки делимости. 5. Разложение натурального числа на простые множители. 6. Наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел. 7. Наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел. 8. Употребление букв в алгебре. Переменные. § 2. Рациональные числа 10. Равенство дробей. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. 11. Приведение дробей к общему знаменателю. 12. Арифметические действия над обыкновенными дробями. 13. Десятичные дроби. 14. Арифметические действия над десятичными дробями. 15. Проценты. 16. Обращение обыкновенной дроби в бесконечную десятичную периодическую дробь. 17. Обращение бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь. 18. Координатная прямая. 19. Множество рациональных чисел. § 3. Действительные числа 21. Действительные числа. Числовая прямая. 22 Обозначения некоторых числовых множеств. 23. Сравнение действительных чисел. 25. Числовые промежутки. 26. Модуль действительного числа. 27. Формула расстояния между двумя точками координатной прямой. 28. Правила действий над действительными числами. 29. Свойства арифметических действий над действительными числами. 30. Пропорции. 31. Целая часть числа. Дробная часть числа. 32. Степень с натуральным показателем. 33. Степень с нулевым показателем. Степень с отрицательным целым показателем. 34. Стандартный вид положительного действительного числа. 35. Определение арифметического корня. 36. Корень нечетной степени из отрицательного числа. 37. Степень с дробным показателем. 38. Свойства степеней с рациональными показателями. 39. Приближенные значения чисел. Абсолютная и относительная погрешности. 40. Десятичные приближения действительного числа по недостатку и по избытку. 41. Правило извлечения квадратного корня из натурального числа. 42. Понятие о степени с иррациональным показателем. 3. 112. Построение графика функции y = f(x-m)+n 113. График квадратичной функции. 114. Способы построения графика квадратичной функции 115. Построение графика функции y = f(kx). 116. Сжатие и растяжение графиков тригонометрических функций. 117. График гармонического колебания ГЛАВА IV. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 12. Преобразование выражений, содержащих переменную под знаком логарифма 119. Определение логарифма положительного числа по данному основанию. 120. Свойства логарифмов. 121. Переход к новому основанию логарифма. 122. Логарифмирование и потенцирование. 123. Десятичный логарифм. Характеристика и мантисса десятичного логарифма. § 13. Формулы тригонометрии и их использование для преобразования тригонометрических выражений 125. Формулы сложения и вычитания аргументов. 126. Формулы приведения. 127. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. 128. Формулы двойного угла. 129. Формулы понижения степени. 130. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение. 131. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму. 132. Преобразование выражения a cos t + b sin t к виду A sin (t + a). 133. Примеры преобразований выражений, содержащих обратные тригонометрические функции. ГЛАВА V. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ § 14. Уравнения с одной переменной 135. Равносильность уравнений. 136. Линейные уравнения. 137. Квадратные уравнения. 138. Неполные квадратные уравнения. 139. Теорема Виета. 140. Системы и совокупности уравнений. 141. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля. 142. Понятие следствия уравнения. Посторонние корни. 143. Уравнения с переменной в знаменателе. 144. Область определения уравнения. 145. Рациональные уравнения. 146. Решение уравнения p(x) = 0 методом разложения его левой части на множители. 147. Решение уравнений методом введения новой переменной. 148. Биквадратные уравнения. 149. Решение задач с помощью составления уравнений. 150. Иррациональные уравнения. 151. Показательные уравнения. 152. Логарифмические уравнения. 153. Примеры решения показательно-логарифмических уравнений. 154. Простейшие тригонометрические уравнения. 155. Методы решения тригонометрических уравнений. 156. Универсальная подстановка (для тригонометрических уравнений). 157. Метод введения вспомогательного аргумента (для тригонометрических уравнений). 158. Графическое решение уравнений. 159. Уравнения с параметром. § 15. Уравнения с двумя переменными 161. График уравнения с двумя переменными. 162. Линейное уравнение с двумя переменными и его график. § 16. Системы уравнений 164. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом подстановки. 165. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом сложения. 167. Графическое решение систем двух уравнений с двумя переменными. 168. Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными. 169. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методами умножения и деления. 170. Системы показательных и логарифмических уравнений. 171. Системы тригонометрических уравнений с двумя переменными. 172. Системы трех уравнений с тремя переменными. 173. Решение задач с помощью составления систем уравнений. Глава VI. НЕРАВЕНСТВА § 17. Решение неравенств с переменной 175. Графическое решение неравенств с одной переменной. 176. Линейные неравенства с одной переменной. 177. Системы неравенств с одной переменной. 178. Совокупность неравенств с одной переменной. 179. Дробно-линейные неравенства. 180. Неравенства второй степени. 181. Графическое решение неравенств второй степени. 182. Неравенства с модулями. 183. Решение рациональных неравенств методом промежутков. 184. Показательные неравенства. 185. Логарифмические неравенства. 186. Иррациональные неравенства. 187. Решение тригонометрических неравенств. 188. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными. § 18. Доказательство неравенств 190. Синтетический метод доказательства неравенств. 191. Доказательство неравенств методом от противного. 192. Использование неравенств при решении уравнений. ГЛАВА VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА § 19. Числовые последовательности 194. Способы задания последовательности. 195. Возрастание и убывание последовательности. 196. Определение арифметической прогрессии. 197. Свойства арифметической прогрессии 198. Определение геометрической прогрессии. 199. Свойства геометрической прогрессии. 200. Понятие о пределе последовательности. 201. Вычисление пределов последовательностей. 202. Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q| § 20. Предел функции 204. Вычисление пределов функции при х->оо. 205. Предел функции в точке. Непрерывные функции. 206. Вертикальная асимптота. 207. Вычисление пределов функций в точке. § 21. Производная и ее применения 209. Определение производной. 210. Формулы дифференцирования. Таблица производных. 211. Дифференцирование суммы, произведения, частного. 212. Сложная функция и ее дифференцирование. 213. Физический смысл производной. 214. Вторая производная и ее физический смысл. 215. Касательная к графику функции. 216. Применение производной к исследованию функций на монотонность. 217. Применение производной к исследованию функций на экстремум. 218. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке. 219. Отыскание наибольшего или наименьшего значения непрерывной функции на незамкнутом промежутке. 220. Задачи на отыскание наибольших или наименьших значений величин. 221. Применение производной для доказательства тождеств. 222. Применение производной для доказательства неравенств. 223. Общая схема построения графика функции. § 22. Первообразная и интеграл 225. Таблица первообразных. 226. Правила вычисления первообразных. 227. Интеграл. 228. Связь между интегралов и первообразной (формула Ньютона—Лейбница). 229. Правила вычисления интегралов. 230. Использование интеграла для вычисления площадей плоских фигур. ГЕОМЕТРИЯ. ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ 2. Точка. Прямая. 3. Определения. Аксиомы. Теоремы. § 2. Основные свойства простейших геометрических фигур 5. Луч. 6. Окружность. Круг. 7. Полуплоскость. 8. Угол. Градусная мера угла. 9. Смежные и вертикальные углы. 10. Центральные и вписанные углы. 11. Параллельные прямые. 12. Признаки параллельности прямых. 13. Перпендикулярные прямые. 14. Касательная к окружности. 15. Треугольники. 16. Равенство треугольников. 17. Равнобедренный треугольник. 18. Сумма углов треугольника. 19. Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора. 20. Окружности, вписанные в треугольник и описанные около треугольника. § 3. Геометрические построения на плоскости 22. Простейшие задачи на построение. 23. Геометрическое место точек на плоскости. § 4. Четырехугольники 25. Параллелограмм. 26. Прямоугольник. Ромб. Квадрат. 27. Трапеция. § 5. Многоугольники 29. Выпуклые многоугольники. 30. Правильные многоугольники. 31. Длина окружности. § 6. Решение треугольников 33. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике. 34. Теорема косинусов. Теорема синусов. 35. Решение треугольников. § 7. Площади плоских фигур 37. Площади многоугольников. 38. Площади подобных фигур. 39. Площадь круга. ГЛАВА II. Прямые и плоскости в пространстве § 9. Параллельность прямых и плоскостей 42. Параллельность прямой и плоскости. 43. Параллельные плоскости. § 10. Перпендикулярность прямых и плоскостей 45. Перпендикуляр и наклонная к плоскости. 46. Перпендикулярность плоскостей. ГЛАВА III. ТЕЛА В ПРОСТРАНСТВЕ § 11. Многогранники 48. Многогранные углы. Многогранники. 49. Призма. Параллелепипед. Куб. 50. Пираприда. 51. Правильные многогранники. § 12. Тела вращения 53. Конус. 54. Шар. § 13. Изображение пространственных фигур на плоскости 56. Ортогональное проектирование. 57. Геометрическое место точек в пространстве. § 14. Объемы тел 59. Объем параллелепипеда, призмы и пирамиды. 60. Объем цилиндра и конуса. 61. Общая формула объемов тел вращения. § 15. Площади поверхностей тел 63. Понятие площади поверхности. 64. Площади поверхностей тел вращения. ГЛАВА IV. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ § 16. Координаты на плоскости и в пространстве 66. Координаты середины отрезка. § 17. Уравнения фигур на плоскости 68. Пересечение двух окружностей. 69. Уравнение прямой. 70. Пересечение прямой и окружности. § 18. Уравнения фигур в пространстве 72. Уравнение сферы. 73. Взаимное расположение сферы и плоскости. 74. Пересечение двух сфер. ГЛАВА V. РЕОБРАЗОВАНИЯ ФИГУР 76. Понятие движения. § 20. Подобие фигур 78. Подобные фигуры. ГЛАВА VI. ВЕКТОРЫ 80. Понятие вектора. 81. Координаты вектора. § 22. Операции над векторами 83. Умножение вектора на число. Коллинеарные векторы. 84. Скалярное произведение векторов. ПРИЛОЖЕНИЯ ГЕОМЕТРИЯ

тригонометрических тождеств периодичности | Brilliant Math & Science Wiki

Содержание

• Периоды тригонометрической функции
• Смотрите также

Тождества периодичности тригонометрических функций говорят нам о том, что смещение графика тригонометрической функции на определенную величину дает ту же функцию.

Функции sin⁡x\sin xsinx и cos⁡x\cos xcosx, а также их соответствующие обратные функции csc⁡x\csc xcscx и sec⁡x\sec xsecx имеют период 2π, 2\pi, 2π, а tan⁡x\tan xtanx и cot⁡x\cot xcotx имеют период π\piπ. Таким образом, тождества периодичности функций равны

sin⁡(x)=sin⁡(x+2π)csc⁡(x)=csc⁡(x+2π)cos⁡(x)=cos⁡(x+2π)sec⁡(x)=sec⁡( x+2π)tan⁡(x)=tan⁡(x+π)cot⁡(x)=cot⁡(x+π).\begin{выровнено} \sin(x)&=\sin(x+2\pi) &\quad \csc(x)&=\csc(x+2\pi)\\ \cos(x)&=\cos(x+2\pi) &\quad \sec(x)&=\sec(x+2\pi)\\ \tan(x)&=\tan(x+\pi) &\quad \cot(x)&=\cot(x+\pi). \end{выровнено}sin(x)cos(x)tan(x)​=sin(x+2π)=cos(x+2π)=tan(x+π)​csc(x)sec(x)cot( x)​=csc(x+2π)=sec(x+2π)=cot(x+π).​

Аналогично,

sin⁡(x)=−sin⁡(x+π)csc⁡(x )=-csc⁡(x+π)cos⁡(x)=-cos⁡(x+π)sec⁡(x)=-sec⁡(x+π).\begin{выровнено} \sin(x)&=-\sin(x+\pi) &\quad \csc(x)&=-\csc(x+\pi)\\ \cos(x)&=-\cos(x+\pi) &\quad \sec(x)&=-\sec(x+\pi). \end{выравнивание}sin(x)cos(x)=-sin(x+π)=-cos(x+π)csc(x)sec(x)=-csc(x+π)=- сек(х+π).​

Таким образом, если мы знаем значение функции от 000 до 2π2\pi2π для первых 3 функций, мы можем найти значение функции при любом значении. Более ясно, мы можем думать о функциях как о значениях единичного круга.

На приведенном выше рисунке показано, что функции синуса и косинуса повторяются каждый раз, когда мы обходим единичный круг. На самом деле мы можем обойти 4π,6π,8π,…,2kπ4\pi, 6\pi, 8\pi, \ldots, 2k\pi4π,6π,8π,…,2kπ для положительного целого числа kkk и все равно получить то же самое. функция. Таким образом, более общая форма тождества периодичности будет:

sin⁡(x)=sin⁡(x+2kπ)csc⁡(x)=csc⁡(x+2kπ)cos⁡(x)=cos⁡(x+2kπ)sec⁡(x)=sec⁡( x + 2kπ) tan⁡(x) = tan⁡(x+kπ)cot⁡(x)=cot⁡(x+kπ).\begin{выровнено} \sin(x)&=\sin(x+2k\pi) &\quad \csc(x)&=\csc(x+2k\pi)\\ \cos(x)&=\cos(x+2k\pi) &\quad \sec(x)&=\sec(x+2k\pi)\\ \tan(x)&=\tan(x+k\pi) &\quad \cot(x)&=\cot(x+k\pi). \end{выровнено}sin(x)cos(x)tan(x)​=sin(x+2kπ)=cos(x+2kπ)=tan(x+kπ)​csc(x)sec(x)cot( x)​=csc(x+2kπ)=sec(x+2kπ)=cot(x+kπ).​

Найдите значение 2sin⁡(11π+x)2\sin(11\pi+x)2sin(11π+x).

---

У нас есть

2sin⁡(11π+x)=2sin⁡(2⋅5π+π+x)=2sin⁡(π+x)=−2sin⁡x. □\begin{выровнено} 2\sin(11\pi+x) &=2\sin(2\cdot5\pi +\pi +x)\\ &=2\sin(\pi +x)\\ &=-2\sin х. \ _\квадрат \end{выровнено}2sin(11π+x)​=2sin(2⋅5π+π+x)=2sin(π+x)=−2sinx. □​​

Найдите значение 2cos⁡(193π)+sin⁡(72π)2\cos\left(\frac{19}{3}\pi\right)+\sin\left(\frac{7}{2}\pi \right)2cos(319​π)+sin(27​π).

---

У нас есть

2cos⁡(193π)+sin⁡(72π)=2cos⁡(6π+π3)+sin⁡(3π+π2)=2cos⁡(π3)+sin⁡(2π+π+π2)=2cos⁡(π3) +sin⁡(π+π2)=2cos⁡(π3)−sin⁡(π2)=1−1=0. □\begin{выровнено} 2 \cos\left( \frac { 19}{ 3 } \pi \right) +\sin\left( \frac { 7 }{ 2 } \pi \right) &=2\cos\left( 6\pi +\frac { \pi }{ 3 } \right) +\sin\left( 3\pi +\frac { \pi }{ 2 } \right) \\ &=2\cos\left( \frac { \pi }{ 3 } \right) +\sin\left( 2\pi +\pi +\frac { \pi }{ 2 } \right) \\ &=2\cos\left( \frac { \pi }{ 3 } \right) +\sin\left( \pi +\frac { \pi }{ 2 } \right) \\ &=2\cos\left( \frac { \pi }{ 3 } \right) -\sin\left( \frac { \pi }{ 2 } \right) \\ &=1-1\\&=0. \ _\квадрат \end{выровнено}2cos(319​π)+sin(27​π)​=2cos(6π+3π​)+sin(3π+2π​)=2cos(3π​)+sin(2π+π+2π​)=2cos(3π​)+ грех(π+2π​)=2cos(3π​)−sin(2π​)=1−1=0. □​​

π4\frac{\pi}44π​ π2\frac{\pi}22π​ π\piπ 2π2\pi2π

Найдите основной период f(t)=∣sin⁡t∣+∣cos⁡t∣. f(t)=\left|\sin t\right|+\left|\cos t\right |.f(t)=∣sint∣+∣cost∣.

9{ 2 } х. \ _\квадрат \end{выровнено}cos2(-8π−x)1−cos2(7π+x)​=cos2(−x)1−cos2(6π+π+x)​=cos2x1−cos2(π+x)​= cos2x1−(cosx)2=cos2x1−cos2x=cos2xsin2x=tan2x. □​​

• Тригонометрия
• Функциональные уравнения — периодические функции

Цитировать как: Тригонометрические тождества периодичности. Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/trigonometric-periodicity-identities/

периодическая функция в тригонометрии|Функция синуса : Период 2π

Пожалуйста, включите JavaScript что f(x + T) = f(x) для всех x.
Если T — наименьшее положительное действительное число, такое что f(x+T) = f(x) для всех x, то T называется фундаментальным периодом f(x).
Шаблон, в котором значения y повторяются через равные промежутки времени. Один такой полный шаблон называется Цикл . Он может начинаться в любой точке графика. Период функции представляет собой горизонтальный сдвиг в цикле.
Поскольку sin(2nπ + θ) = sin θ, cos(2nπ + θ) = cos θ, для всех значений θ и n $\epsilon$ N.
Следовательно, функции синуса и косинуса являются периодическими функциями.
Мы находим, что 2π — наименьшее положительное действительное число, такое что
sin (2π + θ) = sin θ и cos(2π + θ) = cos θ для всех значений θ.
Итак, функция синуса и косинуса является периодической функцией с периодом 2π.
Мы также знаем, что tan( π + θ ) = tan θ и cot ( π + θ ) = cot θ
Следовательно, tan θ и cot θ — периодические функции с периодом π.

Синусная функция: период 2π Функция: период 2π Функция: период π

Косновная функция: период 2π .

1) Найдите период функции f(x) = -2 cos(3x) .
Решение : Функция f(x) = -2 cos(3x) проходит полный цикл, когда угол 3x изменяется от 0 до 2π .
Таким образом, период данной функции равен
3x = 2π
∴ x = $\frac{2π}{3}$
, поэтому период f(x) = $\frac{2π}{3}$

2) Найдите период функции f(x) = 3 sin (4x).
Решение: Функция f(x) = 3 sin (4x) проходит полный цикл, когда угол 4x изменяется от 0 до 2π .
Таким образом, период данной функции равен
4x = 2π
∴ x = $\frac{π}{2}$
поэтому период f(x) = $\frac{π}{2}$

3) Найдите период функции f(x) = -2 cos$\frac{θ}{6}$ .
Решение : Функция f(x) = -2 cos$\frac{θ}{6}$ проходит полный цикл, когда угол $\frac{θ}{6}$ изменяется от 0 до 2π .
Таким образом, период данной функции равен
$\frac{θ}{6}$ = 2π
∴ θ = 12π

11 класс математики

От периодической функции в тригонометрии до Home

Мы в ask-math верим что учебные материалы должны быть бесплатными для всех.