Площадь куба 5 класс формула: Чему равна площадь поверхности куба с ребром 1?

5 класс. Математика. Формулы. — Объем прямоугольного параллелепипеда.

Комментарии преподавателя

 

Введение:

Как вы ду­ма­е­те, что тя­же­лее: 1 кг пуха или 1 кг гвоз­дей? А что за­ни­ма­ет боль­ше места? Вот об этом мы се­год­ня будем го­во­рить. Будем раз­би­рать­ся, в чем же раз­ни­ца между объ­е­мом и мас­сой.

Определение объема

Объем – это то, сколь­ко места в про­стран­стве за­ни­ма­ет объ­ект, а масса – это то, сколь­ко он весит. Вот литр – это объем или масса? И как он свя­зан с ки­ло­грам­мом? В ма­га­зине мо­ло­ко про­да­ет­ся в лит­ро­вых бу­тыл­ках, вода про­да­ет­ся 1,5-2-лит­ро­вых бу­тыл­ках, сме­та­на про­да­ет­ся в бан­ках по 250 грамм. А что такое 0,33 л?

Измерение объема

Итак, да­вай­те возь­мем весы, бу­тыл­ку и на­льем в нее 600 грамм масла. Потом возь­мем дру­гую такую же бу­тыл­ку и на­льем в нее 600 грамм воды. А те­перь мы возь­мем тесто для блин­чи­ков и на­льем в такую же бу­тыл­ку 600 грамм. По­смот­ри­те, мы везде на­ли­ва­ли 600 грамм – одну и ту же массу, а уро­вень жид­ко­стей по­лу­чил­ся раз­ный, но масса не из­ме­ни­лась (см. рис. 1).

Рис. 1. Срав­не­ние уров­ней жид­ко­стей: масла, воды и теста для блин­чи­ков 

Что же ме­ня­лось? Ме­ня­лось ко­ли­че­ство за­ни­ма­е­мо­го места. Как раз это – ко­ли­че­ство за­ни­ма­е­мо­го места – на­зы­ва­ют объ­е­мом. Масса у нас везде была одна и та же, а объем по­лу­чил­ся раз­ный.

Так что же такое, спро­си­те вы, литр? Возь­мем колбу и на­льем в нее 1 кг воды. Так вот, 1 кг воды, то есть то место, ко­то­рое за­ни­ма­ет 1 кг воды, до­го­во­ри­лись на­зы­вать лит­ром.

Да­вай­те еще раз сфор­му­ли­ру­ем. Объем – это число, по­ка­зы­ва­ю­щее, сколь­ко места в про­стран­стве за­ни­ма­ет объ­ект. А чем же, кроме лит­ров, ме­ря­ют объ­ект? Так же, как и у длины, и у пло­ща­ди су­ще­ству­ет много раз­ных спе­ци­аль­ных ве­ли­чин из­ме­ре­ния. На­при­мер, бар­рель. Бар­рель – это ко­ли­че­ство нефти, ко­то­рое по­ме­ща­ет­ся в бочку, опре­де­лен­но­го раз­ме­ра (см. рис. 2).

Рис. 2. Бар­рель

Или есть такая ве­ли­чи­на как гал­лон. Гал­лон – это ве­ли­чи­на, ко­то­рой поль­зу­ют­ся для из­ме­ре­ния в Ан­глии и в Аме­ри­ке. Но обыч­но объ­е­мы ме­ря­ют ку­би­че­ски­ми де­ци­мет­ра­ми, ку­би­че­ски­ми сан­ти­мет­ра­ми, ку­би­че­ски­ми мет­ра­ми. А как же со­от­но­сит­ся литр с ку­би­че­ским де­ци­мет­ром или мет­ром? На самом деле литр – это один ку­би­че­ский де­ци­метр (см. рис. 3). 

Рис. 3. Литр – ку­би­че­ский де­ци­метр

То есть внутрь этого ку­би­ка по­ме­ща­ет­ся ровно 1 кг воды. Дело не в том, какой формы ко­роб­ка, а сколь­ко туда по­ме­ща­ет­ся. Да­вай­те по­про­бу­ем в ку­би­че­ский де­ци­метр на­сы­пать муки. Или можно пе­ре­сы­пать муку в пакет – и все равно по­лу­чит­ся 1 литр (или 1 ку­би­че­ский де­ци­метр). То, что там внут­ри, будет литр или ку­би­че­ский де­ци­метр, по­то­му что не важно, какой формы, – важно, сколь­ко за­ни­ма­ет места.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Очень по­хо­же об­сто­ят дела с объ­е­мом пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Объем куба со сто­ро­ной 1 еди­ни­ца – это 1 ку­би­че­ская еди­ни­ца. Опять же, ис­ход­ные ли­ней­ные ве­ли­чи­ны могут быть лю­бы­ми: мил­ли­мет­ры, сан­ти­мет­ры, дюймы.

На­при­мер, 1 см3 – это объем куба со сто­ро­ной 1 см, а 1 км3 – это объем куба со сто­ро­ной 1 км.

Най­дем объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да со сто­ро­на­ми 7 см, 5 см, 4 см. (Рис. 7.) 

Рис. 7. Пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед

Ре­ше­ние

Объем на­ше­го пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да – это ко­ли­че­ство еди­нич­ных кубов, по­ме­ща­ю­щих­ся в него.

Уло­жим на дно ряд еди­нич­ных ку­би­ков со сто­ро­ной 1 см вдоль длин­ной сто­ро­ны. По­ме­сти­лось 7 штук. Уже по опыту ра­бо­ты с пря­мо­уголь­ни­ком мы знаем, что на дно по­ме­стит­ся всего 5 таких рядов, по 7 штук в каж­дом. То есть всего:

На­зо­вем это слой. Сколь­ко таких слоев мы можем уло­жить друг на друга?

Это за­ви­сит от вы­со­ты. Она равна 4 см. Зна­чит, укла­ды­ва­ет­ся 4 слоя в каж­дом по 35 штук. Всего:

А от­ку­да у нас по­яви­лось число 35? Это 75. То есть ко­ли­че­ство ку­би­ков мы по­лу­чи­ли пе­ре­мно­же­ни­ем длин всех трех сто­рон.

Но это и есть объем на­ше­го пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Ответ: 140  

Те­перь мы можем за­пи­сать фор­му­лу и в общем виде. (Рис. 8.) 

Рис. 8. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да

Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да со сто­ро­на­ми , ,  равен про­из­ве­де­нию всех трех сто­рон.

Если длины сто­рон даны в сан­ти­мет­рах, то объем по­лу­чит­ся в ку­би­че­ских сан­ти­мет­рах (см3).

Если в мет­рах, то объем в ку­би­че­ских мет­рах (м3).

Ана­ло­гич­но объем может быть из­ме­рен в ку­би­че­ских мил­ли­мет­рах, ки­ло­мет­рах и т. д.

Задача 1

Стек­лян­ный куб со сто­ро­ной 1 м на­пол­нен водой це­ли­ком. Ка­ко­ва масса воды? (Рис. 9.)

Рис. 9. Куб

Ре­ше­ние

Куб яв­ля­ет­ся еди­нич­ным. Сто­ро­на – 1 м. Объем – 1 м3.

Если мы знаем, сколь­ко весит 1 ку­би­че­ский метр воды (со­кра­щен­но го­во­рят ку­бо­метр), то за­да­ча ре­ше­на.

Но если мы этого не знаем, то нетруд­но по­счи­тать.

Длина сто­ро­ны .

По­счи­та­ем объем в дм3.

Но 1 дм3 имеет от­дель­ное на­зва­ние, 1 литр. То есть у нас 1000 лит­ров воды.

Нам всем из­вест­но, что масса од­но­го литра воды равна 1 кг. То есть у нас 1000 кг воды, или 1 тонна.

По­нят­но, что такой куб, на­пол­нен­ный водой, не под силу пе­ре­дви­нуть ни од­но­му обыч­но­му че­ло­ве­ку.

Ответ: 1 т.

Задача 2

Рис. 10. Хо­ло­диль­ник

Хо­ло­диль­ник имеет вы­со­ту 2 метра, ши­ри­ну 60 см и глу­би­ну 50 см. Найти его объем.

Ре­ше­ние

Пре­жде чем мы вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма – про­из­ве­де­ние длин всех сто­рон – необ­хо­ди­мо пе­ре­ве­сти длины в оди­на­ко­вые еди­ни­цы из­ме­ре­ния.

Мы можем пе­ре­ве­сти все в метры или все в сан­ти­мет­ры.

Со­от­вет­ствен­но, и объем мы по­лу­чим или в ку­би­че­ских мет­рах, или ку­би­че­ских сан­ти­мет­рах.

Сде­ла­ем и так, и так.

Ответ:  или 

Думаю, вы со­гла­си­тесь, что в ку­би­че­ских мет­рах объем более по­ня­тен.

Че­ло­век на глаз плохо от­ли­ча­ет число с пятью ну­ля­ми от числа с ше­стью ну­ля­ми, а ведь одно в 10 раз боль­ше, чем дру­гое.

Перевод единиц объема

Часто нам нужно пе­ре­ве­сти одну еди­ни­цу объ­е­ма в дру­гую. На­при­мер, ку­бо­мет­ры в ку­би­че­ские де­ци­мет­ры. Тя­же­ло за­пом­нить все эти со­от­но­ше­ния. Но этого и не нужно де­лать. До­ста­точ­но по­нять общий прин­цип.

На­при­мер, сколь­ко ку­би­че­ских сан­ти­мет­ров в ку­би­че­ском метре?

Да­вай­те по­смот­рим, сколь­ко ку­би­ков со сто­ро­ной 1 сан­ти­метр по­ме­стит­ся в куб со сто­ро­ной 1 м. (Рис. 11.)

Рис. 11. Куб

В один ряд укла­ды­ва­ет­ся 100 штук (ведь в одном метре 100 см).

В один слой укла­ды­ва­ет­ся 100 рядов или  ку­би­ков.

Всего по­ме­ща­ет­ся 100 слоев.

Всего 

Таким об­ра­зом, 

То есть если ли­ней­ные ве­ли­чи­ны свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем «в одном метре 100 см», то чтобы по­лу­чить со­от­но­ше­ние для ку­би­че­ских ве­ли­чин, нужно воз­ве­сти 100 в 3 сте­пень (). И не нужно каж­дый раз чер­тить кубы.

За­од­но мы уви­де­ли со­от­но­ше­ние и для еди­ниц пло­ща­ди. В одном квад­рат­ном метре  квад­рат­ных сан­ти­мет­ров. В одном слое у нас было 10 000 ку­би­ков.

Сколь­ко в одном ку­би­че­ском ки­ло­мет­ре ку­би­че­ских мет­ров?

Ответ: 1 млрд м3.

Каж­дый ку­бо­метр воды весит 1 т. Зна­чит, ку­би­че­ский ки­ло­метр воды весит 1 млрд тонн. Та­ки­ми еди­ни­ца­ми поль­зу­ют­ся при из­ме­ре­нии ко­ли­че­ства воды в морях и оке­а­нах.

Ка­ко­ва масса од­но­го ку­би­че­ско­го сан­ти­мет­ра воды?

Мы знаем массу од­но­го литра, это 1 кг, но 1 литр – это ку­би­че­ский де­ци­метр.

Так как , то . Но это зна­чит, что 1  весит:

Для одной ты­сяч­ной су­ще­ству­ет при­став­ка «мил­ли-» (пом­ним, что мил­ли­метр – это одна ты­сяч­ная метра), эту при­став­ку ис­поль­зу­ют и здесь.

То есть иными сло­ва­ми мы можем ска­зать, что один мил­ли­литр воды имеет массу 1 г.

 

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=4suTtsj23t4

Источники конспекта:

 http://interneturok.ru/ru/school/matematika/5-klass/bplowadi-i-obyomyb/ob-yomy-ob-yomy-pryamougolnogo-parallelepipeda?konspekt&chapter_id=767

http://interneturok.ru/ru/school/matematika/5-klass/bplowadi-i-obyomyb/ob-yom?konspekt&chapter_id=767

Источник теста: http://alfusja-bahova.ucoz.ru/index/test_28_obem_prjamougolnogo_parallelepipeda_edinicy_obema/0-110

конспект урока «Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда» | План-конспект урока по математике (5 класс):

МКОУ Букановская средняя школа

ТЕМА УРОКА

                                                                     

        Подготовила и провела

Учитель математики  

Рогачева Н.В.

-2012-

Цели урока:

Образовательные: Повторить и закрепить знания учащихся о составных частях прямоугольного параллелепипеда; создать условия для исследовательской деятельности учащихся  по выводу формулы для нахождения  площади поверхности

Развивающая:  Развивать пространственное воображение, активизировать мыслительную деятельность школьников.

Воспитательная:  Обеспечить развитие мотивации на умение правильно достигать поставленной цели — совпадение  ожидания и результата, воспитывать чувство ответственности, уверенности в себе.

План урока:

1. Организация учащихся к деятельности на уроке.
2. Организация контроля усвоения знаний учащихся, полученных на прошлом уроке,  по индивидуальным карточкам на нетбуке.
3. Организация повторения ранее изученного материала
4. Организация  мотивации учащихся к исследовательской  деятельности на уроке.
5. Организация исследовательской деятельности
6. Организация осмысления.
7. Организация  закрепления изученного материала.
8. Подведение итогов
9. Домашнее задание. Выставление отметок.  
10. .  Рефлексия

Оборудование:  компьютер, проектор, развертка прямоугольно параллелепипеда,  куба и нетбук у каждого ученика

 

ХОД УРОКА

1. Организация учащихся к деятельности на уроке.

Цель:

задать позитивный настрой урока

Учитель:  Здравствуйте! Урок мне хочется начать с цитаты В. Скотта. «Самое полезное в жизни – это собственный опыт» . И это неслучайно. Я думаю,  к концу урока вы поймете глубокий смысл этой фразы и поделитесь своими мыслями со мной.

 Сегодня на уроке мы продолжим изучение темы « Прямоугольный параллелепипед», повторим , что мы уже знаем о прямоугольном параллелепипеде и пополним  эти знания новыми.

2. Организация контрольного среза усвоения знаний учащихся, полученных на прошлом уроке,  по индивидуальным карточкам на нетбуке.

Цель:  проконтролировать уровень усвоения знаний, полученных на прошлом уроке

Предлагаю вам выполнить задание на компьютере,  (ученики открывают задание в Power Poit), на нетбуках

/Учитель просматривает выполнение заданий и тут же  комментирует и оценивает правильность сделанной работы./

3. Организация повторения ранее изученного материала

Цель: 

актуализация знаний, полученных на предыдущих уроках

/На экране проектора  — изображение прямоугольного параллелепипеда, в руках учащихся модели  и развертки прямоугольного параллелепипеда и куба. /

Вопросы для  повторения

• Какую фигуру называют параллелепипедом?
• Почему он называется прямоугольным?
• Приведите примеры  предметов, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда
• Из чего состоит прямоугольный параллелепипед?
• Какие грани называют противоположными?
• Каким свойством они обладают?
• Какие три измерения имеет  параллелепипед?
• Что называют кубом?
• Из чего складывается поверхность  прямоугольного параллелепипеда,  куба —

4. Организация  мотивации учащихся к исследовательской  деятельности на уроке.

Цель: мотивировать учащихся к исследовательской деятельности на уроке

Учитель: – посмотрите на эти два прямоугольных параллелепипеда(на экране)  и скажите , если мы решим их покрасить, то на какой из них пойдет большее количество  краски, если на единицу их площади идет одинаковое количество краски, к примеру  на 1  см2 – 20 г  

Ученики затрудняются ответить, но после наводящих вопросов учителя: «От чего будет зависеть количество краски?» Отвечают: «От площади» и приходят к выводу, что для правильного ответа на поставленный вопрос  необходимо знать площадь поверхности каждой фигуры.

5. Организация исследовательской деятельности

Цель: 

Получение новых знаний через самостоятельную деятельность учащихся

 Учитель: Умеем мы находить ее?  Пока нет. Вот сегодня на уроке мы этим и займемся.

 -записываем в тетрадях тему урока «Формула площади  поверхности прямоугольного параллелепипеда», отсюда основная цель  нашего урока:

  (говорят ученики) вывести формулу для определения площади поверхности прямоугольного  параллелепипеда и куба,  

Учитель:  какими способами мы можем найти площадь поверхности прямоугольного  параллелепипеда. Выдвигаем свои идеи.

Ученики: если нам известны площади граней, мы можем их сложить.

Учитель: а если неизвестны?

Ученики:  мы можем их найти, зная измерения, по формуле площади прямоугольника

Учитель: Молодцы!  Вы рассуждаете в верном направлении. Посмотрите внимательно на параллелепипед, на его развертку. Давайте ответим на следующие вопросы:

• Сколько граней имеет параллелепипед?
• Каждая грань имеет форму какой фигуры?
• Как найти площадь прямоугольника?
• Когда найдем площади всех граней, что с ними нужно сделать?
• Каким свойством обладают противоположные грани?

  Учитель:  Перед вами куб, его развертка

• Сколько граней он имеет?

• Каждая грань имеет форму какой фигуры?
• Как найти площадь квадрата?
• Когда найдем площади всех граней, что с ними нужно сделать

 Учитель:  мы повторили основные теоретические  моменты, которые нам понадобятся при выводе формул. Перед вами  таблица(на экране проектора)

ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
Прямоугольного параллелепипеда					Куба
	I		II		III
Дано:		Измерения: а, b, с		Площади  граней: S1,  S2,  S3	Измерение: а
Найти:		Sпов.пр.пар.		Sпов.пр.пар.	Sпов.куба
Решение
Вывод:

В ней обобщены три возможных случая вывода формул. Каждая из вас будет работать над своей конкретной формулой.

Лиза – выводит формулу для  нахождения площади поверхности прямоугольного  параллелепипеда, если известны три его измерения  а, b, с.

  Наташа  — выводит формулу для нахождения площади поверхности куба с одним измерением а.

А Вика с Надей  запишут формулу для  площади поверхности прямоугольного  параллелепипеда,  если известны площади его граней.

/Ученики работают на местах: учитель помогает им по мере необходимости, отвечает на их вопросы, контролирует ситуацию./

Учитель: Все готовы, предлагаю, каждому из вас, поделится своими выводами.

/Каждый из учеников у доски рассказывает о своих выводах, учитель корректирует, вносит необходимые поправки. Заполняется таблица на экране./

6. Организация осмысления.

Цель: подвести итог исследовательской деятельности учащихся

Учитель: давайте подведем итоги вашей исследовательской деятельности. В рабочих тетрадях запишем полученные формулы:

Sпов. пр.пар.=  2S1   +   2S2   +  2S3

Sпов.пр.пар.= 2ab +  2ac + 2 bc = 2 (ab + ac +bc)

Sкуба = 6 а2

Учитель: -будьте внимательны при чтении условия задачи, например, если речь в задаче идет о прямоугольном баке без крышки, то количество  граней будет равно пяти.

7. Организация  закрепления изученного материала

Цель:

• вырабатывать умение  применять полученные формулы к решению геометрических задач  
• для получения информации о степени понимания нового материала, полноты, правильности его усвоения и для своевременной коррекции обнаруженных ошибок

Давайте вернемся к нашей задачи про параллелепипеды, выясним на какой из них потребуется краски больше, если на 1 см2 идет 20 г краски.

                 К доске выходят две ученицы, решают одновременно, делаем вывод.

                  № 792(б), у доски  

                  №794, у доски

                  № 795(куба) – решают все на местах, каждый затем показывает учителю

8. Подведение итогов.

Цель:  выявление и коррекция непонимания отдельными учениками сущности понятий и явлений, пробелов в овладении умениям.

 – сейчас давайте подведем итог нашему уроку. Тема урока……… я предлагаю вам тестовые задания, выполнение которого позволит понять,  каждому из нас, насколько глубоко усвоен новый материал. Открываем нетбуки

 Ученики работают в программе  My Test, где сразу могут увидеть свою оценку знаний:

Отличный результат!

Хороший результат!

Будь внимательнее!

/Желательно, по окончании теста, найти время, чтобы ответить на тестовые  вопросы, вслух, с целю восполнения пробелов у некоторых учеников/

 

Тест по теме

«Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда»

1. Чтобы найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда необходимо площади всех граней

а)умножить         б) вычесть             в)сложить

2. Формула для нахождения площади поверхности прямоугольного параллелепипеда имеет вид

а) S =ab + ac + bc       б)S = 2ab +2ac +2bc      в)S = 6 (ab + ac + bc)

3.    Площадь куба складывается из шести

а) квадратов            б) прямоугольников      в)треугольников

4.   Формула для нахождения площади поверхности куба имеет вид

а)   S = 6а3        б) S = 6а2        в) S = 6а6

 

5. Измерения  прямоугольного  параллелепипеда равны 2см, 3 см,  4 см. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна

А) 26 см2                                   б) 50 см2                              в) 52 см2

Озвучиваем результаты поднятием рук.

9. Выставление отметок. Домашнее задание:

                       п.20, № 814, № 815

10.Рефлексия 

Цель: предоставить возможность каждому учащемуся самому  оценить свой уровень усвоения нового материала.

Учитель:  Выберите , пожалуйста, смайлик, который покажет,  с каким настроением вы покидаете урок

        ______________   Я – молодец!

        

        _________________ Могу и лучше!

            _________________  Надо постараться!

Учитель: урок окончен. Всем спасибо!

        

Площадь поверхности куба

Площадь поверхности или общая площадь поверхности куба – это все пространство, занимаемое его внешними гранями. Другими словами, это количество единичных квадратов, необходимых для покрытия его формы. Он выражается в квадратных единицах, таких как м ² , см ² , мм ² или ² .

Формула

Формула:

Площадь поверхности куба

Как найти площадь поверхности куба

Давайте разберемся, как мы рассматриваем грани куба и вычисляем площадь его поверхности с помощью сетки.

Как найти площадь поверхности куба

Поскольку общая площадь поверхности куба равна площади всех его 6 граней, она включает площадь боковой поверхности (LSA) . LSA — это площадь всех граней, кроме вершины и основания.

SO, LSA = площадь из четырех боковых или боковых лиц

Формула:

Площадь боковой поверхности (LSA) = 4A ²

Решающие примеры

Найти поверхность.

куб со стороной 5 см.

Решение:

Как мы знаем,
∴ Площадь поверхности (SA) = 6A ² , здесь A = 5 см
= 6 × 5 ²
= 150 см ²

= 150 см ²

= 150 см ²

= 150 см ²

= 150 см ²

= 150 см ²

. Рассчитайте площадь боковой поверхности куба со стороной 9 мм.

Решение:

Как мы знаем,
Площадь боковой поверхности (LSA) = 4a ² , здесь a = 9 мм
= 4 × 9 ² мм = 9 024047 мм0004

Найдите площадь поверхности куба со сторонами 4 см и 8 дюймов соответственно.

Решение:

Здесь задана мера двух кубов.
Как известно,
Для одного куба,
Площадь поверхности (SA) =   6a ² , здесь a = 4 см
= 6 × 4 ²
= 97 см 2 куб,
Площадь поверхности (SA) = 6a ² , здесь a = 8 в
= 6 × 8 ²
= 384 в ²

Сколько мраморной бумаги нам понадобится, чтобы покрыть 6-сантиметровую подарочную коробку в форме куба?

Решение:

Как мы знаем,
Необходимое количество мраморной бумаги равно площади поверхности куба
∴ Площадь поверхности (SA) = 6a ² , здесь a = 6 см 6 ²
= 216 см ²
Итак, нам понадобится 216 см ² мраморной бумаги, чтобы покрыть всю кубическую подарочную коробку.

Нахождение длины РЕБРА куба, если известна ОБЛАСТЬ ПОВЕРХНОСТИ

Найдите длину стороны куба, площадь которого равна 62 единицам площади квадрата.

Решение:

Как известно,
SA = 6a ²
∴ ${a=\sqrt{\dfrac{SA}{6}}}$, здесь SA = 625 ед. кв.
${ \следовательно, a=\sqrt{\dfrac{625}{6}}}$
≈ 10,21 единиц

Нахождение 9{2/3}}
долларов США = 294 см ²

Математика, 6 класс, площадь поверхности и объем, формула объема для прямоугольных призм

Отчет

• Детали
• Библиотека ресурсов

Автор:

Крис Адкок

Тема:

Геометрия

Тип материала:

План урока

Уровень:

Средняя школа

Оценка:

6

Провайдер:

Пирсон

Метки:

6 класс Математика, Кубики, Формулы, Прямоугольные призмы, Объем

Войдите, чтобы добавить теги к этому элементу.

Лицензия:

Язык:

Форматы носителей:

Показать больше Показать меньше

Обзор

Учащиеся строят призмы с дробными длинами сторон, используя кубы с дробными единицами (т. е. кубы с длинами сторон, представляющими собой дробные единицы, например, 13 единиц или 14 единиц). Учащиеся проверяют, что формула объема прямоугольной призмы V = lwh или V = bh , применяется к призмам, длина сторон которых не является целым числом.

В пятом классе учащиеся находили объемы призм с целыми размерами, находя количество единичных кубов, которые помещаются внутри призм. Они обнаружили, что общее количество требуемых единичных кубов равно количеству единичных кубов в одном слое (что равно площади основания), умноженному на количество слоев (что равно высоте). Эта идея была обобщена как

V = lwh , где l , w и h — длина, ширина и высота призмы, или как основания призмы и высота.

Единичные кубы в каждом слое = 3 × 4

Количество слоев = 5

Общее количество единичных кубов = 3 × 4 × 5 = 60

Объем = 60 кубических единиц

На этом уроке учащиеся расширяют эту идею к призмам с дробными длинами сторон. Они строят призмы, используя кубы единичных дробей. Объем — это количество кубов с долями единиц в призме, умноженное на объем каждого куба с долями единиц. Учащиеся показывают, что этот результат совпадает с объемом, найденным по формуле.

Например, вы можете построить призму размером 45 на 35 на 25 единиц, используя кубы по 15 единиц. Для этого требуется 4 × 3   × 2, или 24 куба по 15 единиц. Каждый 15-элементный куб имеет объем 1125 кубических единиц, поэтому общий объем составляет 24125 кубических единиц. Это тот же самый объем, полученный по формуле

V = lwh :V=lwh=45×35×25=24125.

15-элементные кубики в каждом слое = 3 × 4

Количество слоев = 2

Общее количество 15-элементных кубиков = 3 × 4 × 2 =  24

Объем = 24 × 1125 = 24125 кубических единиц

 

• Убедитесь, что формула объема для прямоугольных призм V = lwh или V длина стороны призмы = 909026 Bh целые числа.

Пусть учащиеся поработают в парах, чтобы ответить на вопросы, а затем попросите добровольцев поделиться своими ответами и своими рассуждениями.

Внутри единичного куба помещаются шестьдесят четыре меньших куба. Чтобы увидеть это, учащиеся могут визуализировать четыре слоя маленьких кубов размером 4 на 4, помещающихся внутри единичного куба. Всего это 4 · 4 · 4, или 64 кубика.

Поскольку объем единичного куба равен 1 кубической единице, каждый куб из 14 единиц имеет объем 164 кубических единицы.

[общая ошибка] Учащиеся могут подумать, что 4 маленьких куба помещаются внутри единичного куба, потому что малый куб состоит из 14 элементов. Объясните, что единица 14 относится к длине ребра куба, а не к его объему.

Отверстие

Куб в левой части диаграммы имеет длину ребра 1 единицу. Куб справа имеет длину ребра 14 единиц.

Объем — это объем пространства внутри трехмерной фигуры.

• Сколько кубиков из 14 единиц помещается в куб из 1 единицы?
• Каков объем 14-элементного куба?

Обсудить математическую миссию. Объясните учащимся, что они будут исследовать, работает ли формула объема

V = lwh , даже если размеры призмы не являются целыми числами.

Отверстие

Постройте прямоугольные призмы с дробными длинами ребер и найдите объем призм.

Познакомьте учащихся с интерактивным средством Cube Builder и убедитесь, что они знают, как использовать его для создания призм из кубов с дробными единицами. Дайте учащимся время изучить интерактивный конструктор кубов, прежде чем они начнут решать задачи.

Предложите учащимся начать решать задачи в одиночку, а через несколько минут перейти к работе в паре.

В первых двух задачах убедитесь, что учащиеся понимают, что сначала они должны найти объем путем рассуждений (т. е. они должны найти количество кубов с долями единиц в призме и объем каждого куба с долями единиц). Затем они должны применить формулу объема, чтобы увидеть, получают ли они тот же результат.

Если учащимся трудно понять, сколько 14-элементных кубов использовать в первой задаче, предложите им записать все измерения в виде дробей со знаменателем 4. Размеры 34 на 54 на 24 единицы, поэтому призма должна быть 3 куба на 5 кубов на 2 куба.

[распространенная ошибка] Некоторые учащиеся могут получить неправильные ответы при использовании формулы, потому что они не помнят, как умножать дроби и смешанные числа. Напомните учащимся записать все множители в виде дробей, а затем просто умножить числители, а затем умножить знаменатели.

ELL: Выслушивая ответы учащихся, предупредите их заранее, что они будут представлять свою работу по конкретной проблеме в разделе «Пути мышления». Это даст им достаточно времени, чтобы подготовить вдумчивый ответ.

SWD: Отстающим учащимся может по-прежнему требоваться подробная инструкция по умножению дробей. Проведите инструктаж в малых группах, чтобы убедиться, что все учащиеся могут точно умножать дроби, чтобы найти объем прямоугольной призмы.

Ученик с трудом собирает призму 114 на 34 на 12.

• Каждый куб имеет длину ребра 14 единиц. Итак, чтобы узнать, сколько кубов нужно использовать, вам нужно выяснить, сколько 14-юнитов в каждом измерении.
• Попробуйте записать смешанные числа в виде дробей.
• Сколько четвертей в числе 34? Сколько четвертей в числе 54? Сколько четвертей в числе 12?

• В призме 30 кубов по 14 единиц.
• V = 30 · 164 = 3064
  Объем призмы равен 3064 кубических единиц, или 1532 кубических единиц.
• 54·34·24=3064

Объем равен 3064 (или 1532) кубических единиц, что одно и то же. Да, формула объема работает для этой призмы.

Время работы

Если прямоугольная призма имеет целочисленные размеры ребер, ее объем можно найти по формуле V = l ⋅ w ⋅ h , где l, w, и h представляют длину , ширина и высота призмы. Исследуйте, работает ли эта формула, даже если измерения не являются целыми числами.

Используйте кубы по 14 единиц, чтобы построить призму длиной 114 единиц, шириной 34 единицы и высотой 12 единиц.

• Сколько кубов по 14 единиц помещается внутри призмы?
• Каков объем призмы?
• Подходит ли для этой призмы формула объема
  В = л ⋅ вт ⋅ ч (или В = лвтч) ?

INTERACTIVE: Cube Builder

Подсказка:

Сколько 14-элементных кубов помещается в 1-элементный куб?

В этой задаче учащиеся должны признать, что объем куба из 13 единиц равен 127 кубическим единицам. Напомните им, как они нашли объем куба с 14 единицами в начале, и предложите им использовать аналогичные рассуждения для куба с 13 единицами.

Ученик дает неправильный объем призмы, состоящей из 13-элементных кубов.

• Попробуйте использовать интерактивный Cube Builder для создания единичного куба из 13-элементных кубов.
• Сколько кубиков вам нужно?
• Если единичный куб имеет объем 1 куб. единиц, то каков объем каждого из 13-элементных кубов?

• В призме 40 кубов по 13 единиц.
• V=13·13·13=127
  Объем каждого 13-элементного куба составляет 127 кубических единиц.
• V=40·127=4027=11327
  Объем призмы 11327 куб.ед.
• V=123·113·23=53·43·23=4027=11327
  Объем 11327 куб.ед., что то же самое. Да, формула объема работает для этой призмы.

Рабочее время

Используйте кубы по 13 единиц, чтобы построить призму длиной 123 единицы, шириной 113 единиц и высотой 23 единицы.

• Сколько кубов по 13 единиц помещается внутри призмы?
• Каков объем каждого 13-элементного куба?
• Каков объем призмы?
• Подходит ли для этой призмы формула объема В = lwh ?

ИНТЕРАКТИВ: Cube Builder

Подсказка:

Сколько 13-элементных кубов помещается в 1-элементный куб?

[распространенная ошибка] Некоторые учащиеся могут получить неправильные ответы при использовании формулы, потому что они не помнят, как умножать дроби и смешанные числа. Напомните учащимся записать все множители в виде дробей, а затем просто умножить числители, а затем умножить знаменатели.

SWD:

Отстающим учащимся все же могут понадобиться подробные инструкции по умножению дробей. Проведите инструктаж в малых группах, чтобы убедиться, что все учащиеся могут точно умножать дроби, чтобы найти объем прямоугольной призмы.

• V=45⋅35⋅25=24125
  Объем 24125 куб.ед.

Рабочее время

• Используйте формулу объема, чтобы найти объем призмы длиной 45 единиц, шириной 35 единиц и высотой 25 единиц.

Напомните учащимся посмотреть на размеры бумажных призм, которые они сделали на предыдущем уроке, — эти размеры понадобятся им для этой задачи.

[распространенная ошибка] Некоторые учащиеся могут получить неправильные ответы при использовании формулы, потому что они не помнят, как умножать дроби и смешанные числа. Напомните учащимся записать все множители в виде дробей, а затем просто умножить числители, а затем умножить знаменатели.

Студент не может рассчитать размеры призм.

• Запомните размеры бумаги, которую вы использовали для изготовления призм, используйте эти размеры, чтобы найти размеры призм.
• Когда вы складываете бумагу, чтобы сделать призму, каждая сторона призмы составляет одну четвертую части бумаги.

• Более короткая призма: V=234·234·812=114·114·172=2,05732=64932
  Объем более короткой призмы составляет 64932 дюймов3.
  Более высокая призма: V=218·218·11=178·178·11=317964=494364
  Объем более высокой призмы равен 494364 дюймов3.
• Ответы будут разными. Более короткая призма имеет больший объем.

Рабочее время

• Вычислите объем каждой из двух призм, которые вы сделали на уроке 1.
• Верен ли ваш прогноз относительно того, какая призма имеет больший объем?

Подсказка:

Используйте формулу, чтобы найти объем призм.

Ищите учеников, которые правильно и неправильно рассуждают о построении призм и вычислении объемов. Выберите этих учащихся, чтобы они поделились своей работой во время Ways of Thinking.

Математическая практика 1: Разбираться в задачах и настойчиво решать их.

В задаче-вызове учащиеся должны определить, как использовать только то, что они видят на видео, чтобы оценить объем куба, а затем сравнить объем куба с объемом тела человека. Ищите студентов, которые подходят к этой проблеме интересными или уникальными способами. Эти студенты могут поделиться своими методами в Ways of Thinking.

У ученика проблемы с запуском задачи.

• Что нужно знать, чтобы найти объем куба?
• Как можно оценить длину каждого ребра куба?
• Как соотносится рост человека с длиной ребра куба?
• Какой, по вашему мнению, средний рост мужчины?

Ответы

• Ответы будут разными. Возможный ответ: По моим оценкам, рост мужчины составляет около 5 футов 8 дюймов. Сравнивая длину ребра куба с ростом человека, длина ребра получается около 5 футов, поэтому объем равен 5 · 5 · 5 = 125, или около 125 футов ³ .
• Ответы будут разными. Возможный ответ: Если я оценю, что человек представляет собой прямоугольную призму с размерами 523 фута в высоту, 112 футов в ширину и 23 фута в толщину, то его объем будет равен 173·32·23=10218=523, или примерно 523 фута ³ . Следовательно, его тело заняло бы 523÷125=173÷125=173·1125=17375=0,0453, или около 5% куба.

Рабочее время

• Объясните, как вы нашли объем одного из кубиков из урока.
• Объясните, как вы нашли объем одной из прямоугольных призм из урока.
• Подкрепите свои объяснения диаграммами.

В этом видео показан номер, в котором мужчина выполняет акробатические трюки внутри куба.

• Оцените объем куба.
• Оцените процент объема куба, который занимает тело мужчины.

ВИДЕО: Закон о воздушном кубе

Предложите учащимся поделиться своими презентациями. Работайте вместе, как класс, чтобы исправить любые ошибки и неправильные представления.

Предложите учащимся, решившим задачу-вызов, поделиться своей работой.

Математическая практика 6: внимание к точности.

Попросите учащихся объяснить, шаг за шагом, как они нашли свои решения. Поощряйте студентов использовать ясный, точный язык.

Математическая практика 3: Создание убедительных аргументов и критика рассуждений других.

Другие учащиеся должны критически оценить рассуждения докладчиков и внести предложения по улучшению решений.

Математическая практика 4: Модель с математикой.

В задаче-вызове некоторые учащиеся могли использовать одну или несколько прямоугольных призм, чтобы смоделировать человека и приблизить его объем. Попросите этих учащихся описать, как они рассуждали о создании своих моделей.

Performance Task

• Запишите методы ваших одноклассников для нахождения объема куба и прямоугольной призмы.

Подсказка:

В присутствии одноклассников задайте такие вопросы, как:

• С какими проблемами вы столкнулись при поиске тома?
• Какие знания об умножении дробей вы использовали?
• Вы сначала оценили объем? Как вы сделали свою оценку?
• Чем вам помог Cube Builder?
• Как узнать, что ваш ответ правильный?

Вы можете построить призму с дробными длинами сторон, используя кубы единичных дробей. Чтобы найти объем призмы, умножьте количество кубов с долями единиц на объем каждого куба. Это дает вам тот же ответ, что и при использовании формулы объема 9.0267 В = lwh .

ELL: Дайте учащимся достаточно времени на ожидание, поскольку некоторые из них изучают и обрабатывают новую математическую информацию на втором языке. Составьте таблицу ключевых моментов, которые учащиеся отмечают во время своих презентаций, посвященных объему прямоугольных призм.

Формирующее оценивание

• Напишите краткое изложение того, как построить и найти объем прямоугольных призм.

Подсказка:

Проверьте свою сводку.

• Объясните, как построить призму из кубиков и найти объем призмы?
• Вы предоставляете формулу для нахождения объема любой прямоугольной призмы?

Пусть каждый учащийся напишет краткое размышление перед окончанием урока. Просмотрите размышления, чтобы узнать, что учащимся нравится в использовании формулы объема.

No related posts.