По координатам вершин треугольника найти высоту: По координатам вершин треугольника найти

Содержание

По координатам вершин треугольника найти

Примеры решенийИнтегралы онлайн Пределы онлайн Производная онлайн Корни уравненияМетод матриц Обратная матрицаУмножение матриц По координатам пирамиды найти Собственные числа матрицы

Построить треугольник, вершины которого находятся в точках A, B, C. По координатам вершин треугольника найти:

координаты точки пересечения медиан;
длину и уравнение высоты, опущенной из вершины А;
площадь треугольника;
систему неравенств, задающих внутренность треугольника АВС.

Инструкция. Для решения подобных задач в онлайн режиме заполните координаты вершин, нажмите Далее. Полученное решение сохраняется в файле Word. см. примеры решений.

Решение онлайн
Видеоинструкция
Оформление Word
Также решают

Координаты вершин Использовать обозначение A, B, C
A: (; )
B: (; )
C: (; )

Найти
1.

Угол ABCчерез свойство векторов как угол между прямыми
2. Координаты точки М, делящий ABACBC в отношении: :
(при 1:1 означает деление отрезка пополам см. пример)
3. Проекция стороны ABACBC на сторону ABACBC
4. Уравнение медианы из вершины ABC и ее длину
5. Уравнение высоты из вершины ABC и ее длину
7. Уравнение биссектрисы из вершины ABC, используя: свойства векторов свойства углов
8. Уравнение прямой, перпендикулярной прямой ABACBC, проходящей через точку K ( : )
9. Уравнение прямой, параллельной прямой ABACBC, проходящей через точку K ( : )

Выводить в отчет:
Векторы сторон треугольника в системе орт
Площадь треугольника ABC
Уравнение прямой AB
Уравнение прямой AC
Уравнение прямой BC
Координаты точки пересечения медиан (координаты центра тяжести треугольника)
Координаты точки пересечения высот

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Координаты вектора в базисе

Даны вершиныA₁, A₂, A₃, A₄. По координатам вершин пирамиды найти:

Построение графика функции методом дифференциального исчисления

Экстремум функции двух переменных

Вычисление пределов

Пример. В задачах даны координаты точек A,B,C. Требуется: 1) записать векторы AB и AC в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами AB и AC.
Решение.
1) Координаты векторов в системе орт. Координаты векторов находим по формуле:
X=x_j-x_i; Y=y_j-y_i
здесь X, Y координаты вектора; x_i, y_i — координаты точки А_i; x_j, y_j — координаты точки А_j
Например, для вектора AB: X=x₂-x₁=12-7=5; Y=y₂-y₁=-1-(-4)=3
AB(5;3), AC(3;5), BC(-2;2)
2) Длина сторон треугольника.

Длина вектора a(X;Y) выражается через его координаты формулой:

3) Угол между прямыми. Угол между векторами a₁(X₁;Y₁), a₂(X₂;Y₂) можно найти по формуле:

где a₁a₂=X₁X₂+Y₁Y₂
Найдем угол между сторонами AB и AC

γ = arccos(0.88) = 28.07⁰
8) Уравнение прямой. Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁) и A₂(x₂; y₂), представляется уравнениями:

Уравнение прямой AB. Каноническое уравнение прямой:
или
y=³/₅x-⁴¹/₅ или 5y-3x+41=0

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

Даны вершины треугольника найти длину высоты

Даны координаты вершин треугольника .

1) Вычислить длину стороны .

2) Составить уравнение линии .

3) Составить уравнение высоты, проведенной из вершины А, и найти ее длину.

4) Найти точку пересечения медиан.

5) Найти косинус внутреннего угла при вершине В.

6) Найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А, относительно прямой ВС.

1. Длина стороны ВС равна модулю вектора .

; .

2. Уравнение прямой ВС: ; ; .

3. Уравнение высоты АК запишем как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору :

. Длину высоты АК можно найти как расстояние от точки А до прямой ВС: .

4. Найдем координаты точки N – середины стороны ВС:

; ; .

Точка пересечения медиан О делит каждую медиану на отрезки в отношении .

Используем формулы деления отрезка в данном отношении :

5. Косинус угла при вершине В найдем как косинус угла между векторами и ;

6. Точка М, симметричная точке А относительно прямой ВС, расположена на прямой АК, перпендикулярной к прямой ВС, на таком же расстоянии от прямой, как и точка А. Координаты точки К найдем как решения системы Систему решим по формулам Крамера:

Точка К является серединой отрезка АМ.

Контрольные варианты к задаче 2

Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:

1) вычислить длину стороны ВС;

2) составить уравнение линии ВС;

3) составить уравнение высоты, проведенной из вершины А;

4) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;

5) найти точку пересечения медиан;

6) вычислить внутренний угол при вершине В;

7) найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой ВС.

1.	.	2.	.
3.	.	4.	.
5.	.	6.	.
7.	.	8.	.
9.	.	10.	.
11.	.	12.	.
13.	.	14.	.
15.	.	16.	.
17.	.	18.	.
19.	.	20.	.
21.	.	22.	.
23.	.	24.	.
25.	.	26.	.
27.	.	28.	.
29.	.	30.	.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студента самое главное не сдать экзамен, а вовремя вспомнить про него. 10072 — | 7513 — или читать все.

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

Найти уравнение стороны треугольника.
Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

Таким образом, уравнение прямой BC —

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Уравнение прямой AB:

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

Дан треугольник ABC, где

длину стороны AB;

внутренний угол A с точностью до градуса;

уравнение и длину высоты, опущенной из вершины C;

точку пересечения высот;

уравнение медианы, проведенной через вершину C;

систему линейных неравенств, определяющих треугольник ABC;

треугольник угол высота медиана

Расстояние d между двумя точками

Расстояние d между двумя точками и определяется по формуле

Применяя (1), находим длину стороны АВ:

Внутренний угол A с точностью до градуса

Найдем координаты векторов .

AB= ( x b — x a, y b — y a) = ( 2 — 5, 0 — (-4) ) = ( -3, 4).

AC= ( x c — x a, y c — y a) = ( 8 — 5, -3 — (-4) ) = ( 3, 1).

Находим длину AC

Тогда искомый угол находим по его косинусу:

A = arccos (-0,3165) = 108,4 o

Уравнение и длину высоты, опущенной из вершины C

Находим уравнение стороны АВ по формуле прямой проходящей через две точки:

Уравнение прямой проходящей через точки A (x a, y a) и B (x b, y b) в общем виде:

x b — x a y b — y a

Подставим координаты точек A (5, -4) и B (2, 0) в уравнение прямой (1).

2 — 5 0 — (-4)
4 ( x — 5 ) = -3 ( y + 4 )
4 x — 20 = — 3 y — 12
4 x + 3 y — 8 = 0 — уравнение прямой AB.

Отсюда следует, что уравнение АВ можно записать в виде: Её угловой коэффициент Тогда угловой коэффициент высоты, опущенной из вершины C а уравнение высоты то есть, 3 x — 4 y — 36 = 0 — уравнение высоты CH.

Длина высоты есть расстояние от точки С до прямой АВ: 4 x + 3 y — 8 = 0; A=4; B=3:

Точка пересечения высот

Аналогично найдем уравнение высоты АМ.

Находим уравнение стороны АВ по формуле прямой проходящей через две точки:

Уравнение прямой проходящей через точки C (x c, y c) и B (x b, y b) в общем виде:

Подставим координаты точек C (8, -3) и B (2, 0) в уравнение прямой (1)

Отсюда 2 x — y — 14 = 0 — уравнение высоты AM

Точку пересечения высот К находим, решая систему уравнений:

Решая системы методом исключения, получаем K(4;-6).

Уравнение медианы, проведенной через вершину C

Находим середину стороны АВ,

применяя формулы деления отрезка на две равные части:

Подставив в (1) координаты точек С и Е, находим уравнение медианы:

2 ( x — 8 ) = -9 ( y + 3 )
2 x — 16 = — 9 y — 27
2 x + 9 y + 11 = 0 — уравнение медианы CN.

Cистема линейных неравенств, определяющих треугольник ABC

Выпишем уравнения сторон треугольника:

4 x + 3 y — 8 = 0 — уравнение прямой AB.

x — 3 y — 17 = 0 — уравнение прямой AC.

x + 2 y — 2 = 0 — уравнение прямой BС.

Тогда система линейных неравенств, определяющих треугольник ABC, имеет вид:

Уравнение высоты треугольника по координатам формула – dj-sensor.ru

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

Найти уравнение стороны треугольника.
Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Таким образом, уравнение прямой BC —

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Уравнение прямой AB:

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

Даны координаты вершин треугольника .

1) Вычислить длину стороны .

2) Составить уравнение линии .

3) Составить уравнение высоты, проведенной из вершины А, и найти ее длину.

4) Найти точку пересечения медиан.

5) Найти косинус внутреннего угла при вершине В.

Читайте также: Тангенс в квадрате в excel

6) Найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А, относительно прямой ВС.

1. Длина стороны ВС равна модулю вектора .

; .

2. Уравнение прямой ВС: ; ; .

3. Уравнение высоты АК запишем как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору :

. Длину высоты АК можно найти как расстояние от точки А до прямой ВС: .

4. Найдем координаты точки N – середины стороны ВС:

; ; .

Точка пересечения медиан О делит каждую медиану на отрезки в отношении .

Используем формулы деления отрезка в данном отношении :

5. Косинус угла при вершине В найдем как косинус угла между векторами и ;

Точка К является серединой отрезка АМ.

Контрольные варианты к задаче 2

Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:

1) вычислить длину стороны ВС;

2) составить уравнение линии ВС;

3) составить уравнение высоты, проведенной из вершины А;

4) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;

5) найти точку пересечения медиан;

6) вычислить внутренний угол при вершине В;

7) найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой ВС.

1.	.	2.	.
3.	.	4.	.
5.	.	6.	.
7.	.	8.	.
9.	.	10.	.
11.	.	12.	.
13.	.	14.	.
15.	.	16.	.
17.	.	18.	.
19.	.	20.	.
21.	.	22.	.
23.	.	24.	.
25.	.	26.	.
27.	.	28.	.
29.	.	30.	.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Учись учиться, не учась! 10637 – | 8008 – или читать все.

ЛУЧШИЙ ОТВЕТ

Вы можете заказать решение работы
по адресу , вместо бульдога ставьте @

Читайте также: Составить электронный баланс zn hcl

Нужны сторона AB, высота CD, медиана AE и площадь. Координаты вершин А(-8;-3) В(4;-12) С(8;10)

Уравнение прямой, проходящей через две точки (x1,y1) и (x2,y2), описывается уравнением:

Для прямой AB:
(x+8)·(-9)-(y+3)·12 = 0
-9x-72-12y-36 = 0
9x+12y+108 = 0
3x + 4y + 36 = 0

Для отыскания уравнения высоты CD найдем сначала уравнение прямой, которая ей перпендикулярна. Это прямая AB (уравнение у нас есть). Выразим y через x явно:
y = -(3/4)x-9

Если прямая задана уравнением y = kx+b, то перпендикулярная ей прямая будет иметь вид y = (-1/k)x + d. Поэтому искомая высота имеет уравнение:

y = (4/3)x + d. Постоянную d найдем из условия, что высота проходит через точку С.

10 = (32/3) + d,
d = -2/3

Таким образом, уравнение высоты CD: y = (4/3)x – 2/3, или, что то же, 4x-3y-2 = 0

Медиана AE проходит через две точки – точку А и середину отрезка BC. Найдем координаты середины BC по формуле:
X = (x1+x2)/2, Y = (y1+y2)/2. Искомые координаты: X_E = 6, Y_E = -1

Теперь ищем уравнение прямой, идущей через две точки: A(-8;-3) и E(6;-1) по указанному выше уравнению.

(x+8)·2-(y+3)·14 = 0
x+8-7y-21 = 0
x-7y-13 = 0

Это уравнение медианы AE.

Площадь треугольника, заданного на плоскости координатами вершин (x1,y1) (x2,y2) (x3,y3) определяется выражением:

S = (1/2)·|(x3-x1)·(y2-y1) – (y3-y1)·(x2-x1)|
S = (1/2)·|16·(-9)-13·12| = 300/2 = 150 (кв. ед.)

Автор: Мария Сухоруких

1.	.	2.	.
3.	.	4.	.
5.	.	6.	.
7.	.	8.	.
9.	.	10.	.
11.	.	12.	.
13.	.	14.	.
15.	.	16.	.
17.	.	18.	.
19.	.	20.	.
21.	.	22.	.
23.	.	24.	.
25.	.	26.	.
27.	.	28.	.
29.	.	30.	.

ЛУЧШИЙ ОТВЕТ

2. Заметим, что множество точек треугольника АВС представляет собой пересечение трех полуплоскостей, причем каждую полуплоскость можно задать с помощью линейного неравенства. Если мы возьмем уравнение любой из сторон ∆АВС , например АВ , тогда неравенства

«Алгоритмические конструкции» — Сложный алгоритм. Алгоритм решения задачи. Графического способ представления алгоритмов. Оклейка обоями. Алгоритмические конструкции. Блок-схема. Алгоритм. Способы представления алгоритмов. Цикл. Представление алгоритмов в виде описания последовательности действий. Блок-схема алгоритма «Оклейка обоями». Набор типовых структур. Блок-схемы базовых структур. Формы представления алгоритмов. Способ представления алгоритмов в виде графа.

«Основные типы алгоритмических структур» — Ветвление. Правописание приставок. Основные типы агроритмических структур. Алгоритм. Задание начальных параметров. Рецепт приготовления чая. Структура. Блочные символы. Записать в словесной форме алгоритмы. Цикл. Циклы. Задачи на закрепление знаний. Разветвляющийся алгоритм. Базовая структура. Конец алгоритма. Цикл с постусловием. Основные типы алгоритмических структур. Работа в группах. Цикл с условием.

«Основные алгоритмические структуры» — Понятность и выполнимость. Примеры известных вам алгоритмов. Алгоритм может быть представлен разными способами. Как выполняются команды в линейном алгоритме. Ветвление. Результативность и дискретность. Свойства алгоритма. Результативность. Условие. Детерминированность. Основные элементы блок-схем. Понятие об информации. Разделение алгоритма на последовательность шагов. Линейный алгоритм. Циклические алгоритмические конструкции.

«Виды алгоритмов» — Запись алгоритмов. Войди в сад. Представление об алгоритме. Открой мешок. Ханойские башни. Посмотри мультфильм. Девиз урока. Подойти к переходу. Собери урожай. Циклические алгоритмы. Ладоши. Алгоритм действий человека. Алгоритм. Уборка квартиры. Графический диктант. Название фигуры.

Домик готов. Что такое Алгоритм. Основные цвета. Команда. Запись цикла в процедуре. Знание. Рисуем крышу. Изменение цвета пера. Рисуем стену. Рисуем. Цикл. Рисуем окна. Рисуем домик. Интерактивный учебник. Корректировка процедуры.

«Способы записи алгоритмов» — Пример алгоритма. Словесный способ записи алгоритмов. Часто употребляемые символы и их назначения. Что такое алгоритм. Алгоритмы целесообразно представлять в табличной форме. Формы представления алгоритмов. Псевдокод. Программный способ записи алгоритмов. Пример алгоритма на ШАЯ. Пример блок-схемы. Алгоритмы представляют в графической форме. Способы записи алгоритмов.

Задача 1 . Даны координаты вершин треугольника АВС: А(4; 3), В(16;-6), С(20; 16). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) угол В в радианах с точностью до двух знаков; 4) уравнение высоты СD и ее длину; 5) уравнение медианы AE и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой CD; 6) уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ; 7) координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой СD.

Высота CD перпендикулярна стороне АВ. Чтобы найти угловой коэффициент высоты CD, воспользуемся условием перпендикулярности прямых. Так как то Подставив в (4) координаты точки С и найденный угловой коэффициент высоты, получим

7. Так как прямая АВ перпендикулярна прямой CD, то искомая точка М, расположенная симметрично точке А относительно прямой CD, лежит на прямой АВ. Кроме того, точка D является серединой отрезка AM. Применяя формулы (5), находим координаты искомой точки М:

В системе координат хОу построим точку А(4;0) и прямую х = 1. Пусть М(х;у) – произвольная точка искомого геометрического места точек. Опустим перпендикуляр MB на данную прямую x = 1 и определим координаты точки В. Так как точка В лежит на заданной прямой, то ее абсцисса равна 1. Ордината точки В равна ординате точки М. Следовательно, В(1;у) (рис. 2).

Решение: Пусть М(х; у) — одна из точек искомого геометрического места точек. Опустим из точки М перпендикуляр MB на данную прямую у = 1 (рис. 3). Определим координаты точки В. Очевидно, что абсцисса точки В равна абсциссе точки М, а ордината точки В равна 1, т. е. В(х; 1). По условию задачи |МА|=|МВ|. Следовательно, для любой точки М(х;у), принадлежащей искомому геометрическому месту точек, справедливо равенство:

Задача 4 . Составить каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, если она проходит через точки A(-8;12) и B(12;8 ). Найти все точки пересечения этой гиперболы с окружностью с центром в начале координат, если эта окружность проходит через фокусы гиперболы.

Решение . Составим математическую модель задачи. Обозначим через
— количество автобусов каждой тоннажности, которое будет приобретено. Цель закупок – иметь максимальную грузоподъемность приобретенных машин, описывается функцией цели

Вычислим значение функции на концах отрезка
В точке минимума функция принимает значения , следовательно, наименьшее значение на отрезке [-1; 4] функция принимает в точке минимума , а наибольшее на левой границе интервала.

1. Уравнение сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты.
В задании даны координаты точек, через которые проходят эти прямые, поэтому воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки $$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$$ подставляем и получаем уравнения
уравнение прямой AB $$\frac{x+6}{6+6}=\frac{y-8}{-1-8} => y = -\frac{3}{4}x + \frac{7}{2}$$ угловой коэффициент прямой AB равен $k_{AB} = -\frac{3}{4}$
уравнение прямой BC $$\frac{x-4}{6-4}=\frac{y-13}{-1-13} => y = -7x + 41$$ угловой коэффициент прямой BC равен $k_{BC} = -7$

2. Угол В в радианах с точностью до двух знаков
Угол B — угол между прямыми AB и BC, который рассчитывается по формуле $$tg\phi=|\frac{k_2-k_1}{1+k_2*k_1}|$$подставляем значения угловых коэффициентов этих прямых и получаем $$tg\phi=|\frac{-7+\frac{3}{4}}{1+7*\frac{3}{4}}| = 1 => \phi = \frac{\pi}{4} \approx 0.79$$
3.Длину стороны АВ
Длина стороны AB рассчитывается как расстояние между точками и равна $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ => $$d_{AB} = \sqrt{(6+6)^2+(-1-8)^2} = 15$$
4. 2}} = \frac{50}{5} =10$$

5. Уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечение этой медианы с высотой CD.
Уравнение медианы будем искать как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки А(-6;8) и E , где точка E — середина между точками B и C и ее координаты находятся по формуле $E(\frac{x_2+x_1}{2};\frac{y_2+y_1}{2})$ подставляем координаты точек $E(\frac{6+4}{2};\frac{-1+13}{2})$ => $E(5; 6)$, тогда уравнение медианы AE буде следующее $$\frac{x+6}{5+6}=\frac{y-8}{6-8} => y = -\frac{2}{11}x + \frac{76}{11}$$Найдем координаты точки пересечения высот и медианы, т.е. найдем их общую точку Для этого составим систему уравнение $$\begin{cases}y = -\frac{2}{11}x + \frac{76}{11}\\y = \frac{4}{3}x+\frac{23}{3}\end{cases}=>\begin{cases}11y = -2x +76\\3y = 4x+23\end{cases}=>$$$$\begin{cases}22y = -4x +152\\3y = 4x+23\end{cases}=> \begin{cases}25y =175\\3y = 4x+23\end{cases}=> $$$$\begin{cases}y =7\\ x=-\frac{1}{2}\end{cases}$$ Координаты точки пересечения $K(-\frac{1}{2};7)$

6. Уравнение прямой что проходит через точку К параллельно к стороне АВ.
Если прямая параллельны, то их угловые коэффициенты равны, т.е. $k_{AB}=k_{K} = -\frac{3}{4}$ , также известны координаты точки $K(-\frac{1}{2};7)$, т.е. для нахождения уравнения прямой применим формулу уравнения прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении $y — y_0=k(x-x_0)$, подставляем данные и получаем $$y — 7= -\frac{3}{4}(x-\frac{1}{2}) => y = -\frac{3}{4}x + \frac{53}{8}$$

8. Координаты точки М которая симметрична точке А относительно прямой CD.
Точка M лежит на прямой AB, т.к. CD — высота к этой стороне. Найдем точку пересечения CD и AB для этого решим систему уравнений $$\begin{cases}y = \frac{4}{3}x+\frac{23}{3}\\y = -\frac{3}{4}x + \frac{7}{2}\end{cases} =>\begin{cases}3y = 4x+23\\4y =-3x + 14\end{cases} => $$$$\begin{cases}12y = 16x+92\\12y =-9x + 42\end{cases} =>
\begin{cases}0= 25x+50\\12y =-9x + 42\end{cases} => $$$$\begin{cases}x=-2\\y=5 \end{cases}$$ Координаты точки D(-2;5). 2}\), где AD и DK — гипотенузы равных прямоугольных треугольников, а $Δx =x_2-x_1$ и $Δy=y_2-y_1$ — катеты этих треугольников, т.е. найдем катеты найдем и координаты точки M. $Δx=x_D-x_A = -2+6=4$, а $Δy=y_D-y_A = 5-8=-3$, тогда координаты точки M будут равны $x_M-x_D = Δx => x_D +Δx =-2+4=2 $, а $y_M-y_D = Δy => y_D +Δy =5-3=2 $, получили, что координаты точки $M(2;2)$

3. а) Для того, чтобы найти уравнение высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС , рассмотрим уравнение стороны ВС :
. Вектор с координатами
перпендикулярен сторонеВС и, значит, параллелен высоте. Запишем уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно вектору
:

4) Уравнение одной из высот мы уже построили. Построим уравнение еще одной высоты, например, из вершины В . Сторона АС задается уравнением
Значит, вектор
перпендикуляренАС , и, тем самым, параллелен искомой высоте. Тогда уравнение прямой, проходящей через вершину В в направлении вектора
(т. е. перпендикулярноАС ), имеет вид:

Простой многоугольник, имеющий три стороны и три вершины, называется треугольником. Точка пересечения трех высот треугольника называется «ортоцентром треугольника» и обычно обозначается буквой «Н». Высота треугольника — это отрезок, проведенный из каждой вершины к противоположной стороне и перпендикулярный противоположной стороне. Поскольку треугольник имеет три вершины и три стороны, он имеет три высоты, и точка пересечения этих трех сторон называется ортоцентром.

Для каждого треугольника положение ортоцентра меняется; то есть; для равностороннего треугольника ортоцентр, центр описанной окружности, центр вписанной окружности и центр тяжести одинаковы, но в случае других треугольников положение будет другим.

Рассмотрим треугольник ABC, чтобы определить ортоцентр треугольника. AD, BE и CF — перпендикуляры, проведенные из вершин A (x ₁, y ₁), B (x ₂, y ₂) и C (x ₃, y _3). ) к их соответствующим противоположным сторонам BC, AC и AB, а «H» является точкой их пересечения.

Значение, примеры, формулы и методы
Треугольники содержат специальные сегменты, такие как серединный перпендикуляр, медиана и высота. Когда вы думаете о высоте, вы можете думать об увеличении высоты горных хребтов; Однако термин высота также имеет место в геометрии и относится к высоте треугольника.
В этой статье мы подробно рассмотрим концепцию высот в треугольниках и связанные с ними термины. Мы научимся вычислять высоту по отношению к различным типам треугольников.
Что такое высота?
Отрезок, перпендикулярный вершине к противоположной стороне, или линия, содержащая противоположную сторону, называется высотой треугольника.
Треугольники с высотой, StudySmarter Originals
Высота измеряется как расстояние от вершины до основания, поэтому она также известна как высота треугольника. Каждый треугольник имеет три высоты, и эти высоты могут лежать снаружи, внутри или на стороне треугольника. Давайте посмотрим, как это может выглядеть.
Высоты с разными положениями, ck12.org
Свойства высоты
Вот некоторые свойства высоты:
Высота образует угол на стороне, противоположной вершине.
Местоположение высоты изменяется в зависимости от типа треугольника.
Поскольку треугольник имеет три вершины, он имеет три высоты.
Точка пересечения этих трех высот называется ортоцентром треугольника.
Формула высоты для различных треугольников
Существуют различные формы формул высоты в зависимости от типа треугольника. Мы рассмотрим формулу высоты для треугольников в целом, а также конкретно для разносторонних треугольников, равнобедренных треугольников, прямоугольных треугольников и равносторонних треугольников, включая краткое обсуждение того, как эти формулы получены.
Общая формула высоты
Поскольку высота используется для нахождения площади треугольника, мы можем вывести формулу из самой площади.
Площадь треугольника, где b — основание треугольника, а h — высота/высота. Отсюда мы можем вывести высоту треугольника следующим образом:
Высота (h)
Для треугольника площадь равна длине основания. Найдите длину высоты этого треугольника.
Решение 907:05: Здесь нам даны площадь и основание треугольника. Таким образом, мы можем напрямую применить общую формулу, чтобы найти длину высоты.
Высота h.
Формула высоты для разностороннего треугольника
Треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину, известен как разносторонний треугольник. Здесь для определения высоты используется формула Герона.
Формула Герона — это формула для нахождения площади треугольника на основе длины сторон, периметра и полупериметра.
Высота для разностороннего треугольника, StudySmarter Originals
Площадь треугольника (по формуле Герона)
Здесь s — полупериметр треугольника (т. е. ), а x, y, z — длины сторон.
Теперь, используя общую формулу площади и приравняв ее к формуле Герона, мы можем получить высоту,
Площадь
Итак, a высота для разностороннего треугольника:
В разностороннем треугольнике AD равна высота с основанием ВС. Длины всех трех сторон АВ, ВС и АС равны 12, 16 и 20 соответственно. Периметр этого треугольника равен 48 см. Вычислите длину высоты AD.
Разносторонний треугольник с неизвестной высотой, StudySmarter Originals
Решение : Здесь приведены. Основание ВС имеет длину 16 см. Чтобы вычислить длину высоты, нам нужен полупериметр. Давайте сначала найдем значение полупериметра из периметра.
Полупериметр
Теперь мы можем применить формулу высоты, чтобы получить меру высоты.
Высота разностороннего треугольника
Итак, высота этого разностороннего треугольника равна 12 см.
Формула высоты для равнобедренного треугольника
Равнобедренный треугольник — это треугольник, две стороны которого равны. Высота равнобедренного треугольника — это биссектриса этого треугольника с противоположной стороной. Мы можем вывести его формулу, используя свойства равнобедренного треугольника и теорему Пифагора.
Высота в равнобедренном треугольнике, StudySmarter Originals
Поскольку треугольник является равнобедренным, его стороны имеют длину x. Здесь мы используем одно из свойств равнобедренного треугольника, которое гласит, что высота делит его сторону основания пополам на две равные части.
Теперь, применяя теорему Пифагора, получаем:
Теперь, подставляя все значения данной стороны, получаем:
Следовательно, a высота равнобедренного треугольника — длины сторон, y — основание, а h — высота.
Найдите высоту равнобедренного треугольника, если основание равно, а длина двух равных сторон равна.
Равнобедренный треугольник с неизвестной высотой, StudySmarter Originals
Решение : Согласно формуле высоты для равнобедренного треугольника имеем.
Высота для равнобедренного треугольника:
Итак, высота для данного равнобедренного треугольника равна
Формула высоты для прямоугольного треугольника
Прямоугольный треугольник — это треугольник с одним углом как, и высота от одной из вершин относительно гипотенузы можно объяснить с помощью важного утверждения, называемого теоремой о высоте прямоугольного треугольника. Эта теорема дает формулу высоты для прямоугольного треугольника.
Высота прямоугольного треугольника, StudySmarter Originals
Сначала разберемся с теоремой.
Высота прямоугольного треугольника Теорема : Высота от вершины прямого угла до гипотенузы равна среднему геометрическому двух отрезков гипотенузы.
Доказательство : Из данной фигуры AC высота прямоугольного треугольника. Теперь, используя теорему подобия прямоугольного треугольника, мы получаем, что два треугольника и подобны.
Теорема подобия прямоугольного треугольника: Если из вершины прямого угла провести высоту к гипотенузе прямоугольного треугольника, то два новых образовавшихся треугольника подобны исходному треугольнику, а также подобны друг другу.
Следовательно, из приведенной выше теоремы мы можем получить формулу для высоты.
Высота прямоугольного треугольника, где x и y — длины по обе стороны от высоты, которые вместе составляют гипотенузу.
В данном прямоугольном треугольнике и Найдите длину высоты BD в данном треугольнике.
Прямоугольный треугольник с неизвестной высотой, StudySmarter Originals
Решение : Для вычисления высоты мы воспользуемся теоремой о высоте под прямым углом.
Высота прямоугольного треугольника:
Следовательно, длина высоты прямоугольного треугольника равна
Примечание : Мы не можем использовать теорему Пифагора для вычисления высоты прямоугольного треугольника, так как предоставлено недостаточно информации. Итак, мы используем теорему о высоте прямоугольного треугольника, чтобы найти высоту.
Формула высоты для равностороннего треугольника
Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны и углы соответственно равны. Мы можем вывести формулу высоты, используя либо формулу Герона, либо формулу Пифагора. Высота равностороннего треугольника также считается медианой.
Высота равностороннего треугольника, StudySmarter Originals
Площадь треугольника (по формуле Герона)
И мы также знаем, что Площадь треугольника
Таким образом, используя оба приведенных выше уравнения, мы получаем:
Теперь периметр равностороннего треугольника треугольник 3x. Значит полупериметр и все стороны равны.
Высота для равностороннего треугольника: , где h — высота, а x — длина всех трех равных сторон.
Для равностороннего треугольника XY, YZ и ZX равны сторонам с длиной Рассчитайте длину высоты для этого треугольника.
Равносторонний треугольник с неизвестной высотой, StudySmarter Originals
Решение : Здесь Теперь применим формулу высоты для равностороннего треугольника.
Высота для равностороннего треугольника:
Следовательно, для этого равностороннего треугольника длина высоты равна
Совпадение высот
В свойствах высоты мы обсуждали, что все три высоты треугольника пересекаются в точке, называемой ортоцентром. Давайте разберемся с концепциями параллелизма и ортоцентрового положения в разных треугольниках.
Все три высоты треугольника совпадают; то есть они пересекаются в точке. Эта точка совпадения называется ортоцентром треугольника.
Мы можем вычислить координаты ортоцентра, используя координаты вершины треугольника.
Положение ортоцентра в треугольнике
Положение ортоцентра может варьироваться в зависимости от типа треугольника и высот.
Остроугольный треугольник
Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.
Ортоцентр остроугольного треугольника, StudySmarter Originals
Прямоугольный треугольник
Ортоцентр прямоугольного треугольника лежит на вершине прямого угла.
Ортоцентр прямоугольного треугольника, StudySmarter Originals
Тупоугольный треугольник
В тупоугольном треугольнике ортоцентр лежит вне треугольника.
Ортоцентр тупоугольного треугольника, StudySmarter Originals
Применение высоты
Вот несколько применений высоты в треугольнике:
В первую очередь высота применяется для определения ортоцентра треугольника.
Высоту также можно использовать для расчета площади треугольника.
Высота над уровнем моря — основные выводы
Отрезок, перпендикулярный вершине к противоположной стороне (или линии, содержащей противоположную сторону), называется высотой треугольника.
Каждый треугольник имеет три высоты, и эти высоты могут лежать снаружи, внутри или на стороне треугольника.
Высота разностороннего треугольника:.
Высота равнобедренного треугольника:.
Высота прямоугольного треугольника:.
Высота равностороннего треугольника:.
Все три высоты треугольника совпадают; то есть они пересекаются в точке, называемой ортоцентром.
Площадь треугольника (координатная геометрия)
Площадь треугольника (координатная геометрия) — Math Open Reference
Открытый справочник по математике
Главная Контакт О Тематический указатель
Зная координаты трех вершин треугольника ABC, площадь можно найти по приведенной ниже формуле.
Попробуйте это Перетащите любую точку A,B,C. Площадь треугольника ABC постоянно пересчитывается по приведенной выше формуле. Вы также можете перетащить исходную точку в (0,0).
Учитывая координаты трех вершин любого треугольника, площадь треугольника определяется как: где A _x и A _y — координаты x и y точки A и т. д.
Эта формула позволяет вычислить площадь треугольника, если известны координаты всех трех сторон. вершины. Неважно, какие точки обозначены A, B или C, и он будет работать с любым треугольником, включая те, где некоторые или все координаты отрицательны.
Глядя на приведенную выше формулу, вы увидите, что она заключена в две вертикальные полосы: Две вертикальные полосы означают «абсолютное значение». Это означает, что он всегда положителен, даже если формула дала отрицательный результат. Многоугольники никогда не могут иметь отрицательную площадь.
«Ручность» точки B
Если вы выполните это вычисление, но пропустите последний шаг, где вы берете абсолютное значение, результат может быть отрицательным. Если он отрицательный, это означает, что 2-я точка (B) находится слева от отрезка AC. Здесь мы имеем в виду «левый» в том смысле, что если вы стоите в точке А и смотрите на С, то В находится слева от вас.
Если площадь равна нулю
Если площадь равна нулю, это означает, что три точки равны коллинеарный. Они лежат по прямой линии и не образуют треугольник. Вы можете перетащить точки выше, чтобы создать это условие.
Вы также можете использовать Формулу Герона
Формула Герона позволяет вычислить площадь треугольника, если известны длины всех трех сторон. (См. формулу Герона). В координатной геометрии мы можем найти расстояние между любыми двумя точками если мы знаем их координаты, и поэтому мы можем найти длины трех сторон треугольника, а затем подставить их в формулу Герона найти площадь.
Если одна сторона вертикальная или горизонтальная
В треугольнике выше сторона АС равна вертикально (параллельно оси Y). В этом случае легко использовать традиционный метод «половина базы умножить на высоту». См. Площадь треугольника — обычный метод.
Здесь AC выбран в качестве базы и имеет длину 8, полученная путем вычитания координат y точек A и C. Точно так же высота равна 11, полученная путем вычитания координат x точек B и A. Значит, площадь равна половине 8, умноженной на 11, или 44.
Коробочный метод
Вы также можете использовать метод ящиков, который действительно работает для любого полигона. Подробнее об этом см. Площадь треугольника — метод прямоугольника (координатная геометрия)
Что попробовать
На диаграмме в верхней части страницы перетащите точки A, B или C и обратите внимание, как при вычислении площади используются координаты. Попробуйте точки, которые являются отрицательными в x и y. Вы можете перетащить исходную точку, чтобы переместить оси.
Нажмите «скрыть детали». Перетащите треугольник в какую-нибудь новую случайную форму. Вычислите его площадь и нажмите «показать подробности», чтобы увидеть, правильно ли вы поняли.
После вышеизложенного оцените площадь, посчитав квадраты сетки внутри треугольника. (Каждый квадрат 5 на 5, поэтому имеет площадь 25).
После того, как вы сделали это, вы можете нажать «Печать», и он напечатает диаграмму точно так, как вы ее установили.
Ограничения
В интересах ясности в приведенном выше апплете координаты округлены до целых чисел, а длины округлены до одного десятичного знака. Это может привести к тому, что расчеты будут немного ошибочными.
Подробнее см. Учебные заметки
Другие темы по координатной геометрии
Введение в координатную геометрию
Координатная плоскость
Происхождение самолета
Определение оси
Координаты точки
Расстояние между двумя точками
Знакомство с линиями
в координатной геометрии
Линия (координатная геометрия)
Луч (координатная геометрия)
Сегмент (координатная геометрия)
Теорема о средней точке
Расстояние от точки до линии
— Когда линия горизонтальная или вертикальная
— Использование двух линейных уравнений
— Использование тригонометрии
— Использование формулы
Пересекающиеся линии
Вписанный прямоугольник (ограничивающая рамка)
Площадь треугольника (формульный метод)
Площадь треугольника (метод ящика)
Центроид треугольника
Центр треугольника
Площадь многоугольника
Алгоритм нахождения площади многоугольника
Площадь многоугольника (калькулятор)
Прямоугольник
Определение и свойства диагоналей
Площадь и периметр
Квадрат
Определение и свойства диагоналей
Площадь и периметр
Трапеция
Определение и свойства, высота, медиана
Площадь и периметр
Параллелограмм
Определение и свойства, высота, диагонали
Чистая миллиметровка для печати
(C) 2011 Copyright Math Open Reference.
Все права защищены
Пусть $A=(-6,3), B=(2,7)$ и $C$ — вершины треугольника. Скажем, высоты через вершины $A$ и $B$ пересекаются в $Q=(2,-1)$. Найдите координаты $C$.
Впервые здесь? Ознакомьтесь с часто задаваемыми вопросами!
х
Поиск изображений
*Математический поиск изображений лучше всего работает только с увеличенными и хорошо обрезанными математическими снимками экрана. Чек ДЕМО
Этот сайт использует файлы cookie для предоставления качественных услуг и анализа трафика. Чтобы узнать больше, посетите Политика конфиденциальности
Дом
Математика
org/ListItem»> Пусть $A=(-6,3), B=(2,7)$ и $C$ будут…
9{\circ}\), то что такое $\угол A C B$ ?
спросил 10 июля по математике по ♦Гаусс Алмаз (62 525 баллов) | 43 просмотра
треугольник
высота
вершин
ортоцентр
вершина
уравнение
доказать
Треугольник $A B C$ с вершинами в точках $A(1,1), B(1,-2)$ и $C(5,-2)$ сдвигается вверх на 3 единицы, а затем расширяется с помощью относительно начала координат в 2 раза. Каковы новые координаты точки $C$ ? Выразите ответ в виде упорядоченной пары.
спросил 10 июля по математике по ♦Гаусс Алмаз (62 525 баллов) | 51 просмотр
треугольник
вершин
переведено
фактор
координаты
пара
Треугольник с вершинами $A(6,1), B(4,1)$ и $C(4,4)$ повернут на 90 градусов против часовой стрелки вокруг $B$. Каковы координаты образа $C$ (точка, в которой находится $C$ после поворота)?
спросил 10 июля по математике по ♦Гаусс Алмаз (62 525 баллов) | 51 просмотр
вершин
координаты
треугольник
фактор
переведено
пара
очков
Пусть $a, b, c$ — длины сторон, $h_a, h_b, h_c$ — высоты соответственно, а $ r $ — внутренний радиус треугольника. Докажите неравенство….
спросил 17 мая 2020 г. по математике по ♦МатематикаГи Платина (135 094 балла) | 205 просмотров
неравенство
длина стороны
высота
треугольник
доказать
Вычислить площадь треугольника с вершинами $$ A(1,-1,2), B(3,1,-1), C(-1,2,5) $$
спросил 13 января по математике по ♦МатематикаГи Платина (135 094 балла) | 135 просмотров
вычислить
район
треугольник
вершин
Треугольник $\mathrm{ABC}$ имеет вершины $A(0,0), B(0,3)$ и $C(5,0)$. Точка $P$ внутри треугольника находится на расстоянии $\sqrt{10}$ единиц от точки $A$ и $\sqrt{13}$ единиц от точки $B$. Сколько единиц $P$ от точки $C$ ?
спросил 10 июля по математике по ♦Гаусс Алмаз (62 525 баллов) | 63 просмотра
координаты
вершин
треугольник
переведено
фактор
пара
район
Треугольник LMN имеет вершины в $\mathrm{L}(3 ; 1) . \mathrm{M}(2 ; 2)$ и $\mathrm{N}(0 ; 1)$.
спросил 19 мая 2021 г. по математике по ♦МатематикаГи Платина (135 094 балла) | 220 просмотров
треугольник
вершин
сопоставлено
вращение
зимсек
о-уровень
Точки $A(2,5), B(6,5), C(5,2)$ и $D(1,2)$ являются вершинами параллелограмма. Если параллелограмм переместить на 2 единицы вниз и на три единицы вправо, каковы будут координаты конечного изображения точки $B$ ?
спросил 10 июля по математике по ♦Гаусс Алмаз (62 525 баллов) | 42 просмотра
баллов
9{\ круг} ; 1,6\справа)\) и $\mathrm{Q}$.
спросил 20 июля по математике по ♦Гаусс Алмаз (62 525 баллов) | 44 просмотра
уравнение
график
координаты
вершин
середина
точка
градиент
Медианы $AD, B E$ и $CF$ треугольника $A B C$ пересекаются в центроиде $G$. Прямая через $G$, параллельная $BC$, пересекает $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно.
спросил 10 июля по математике по ♦Гаусс Алмаз (62 525 баллов) | 38 просмотров
вершин
график
уравнение
координаты
середина
градиент
точка
Точки $A(0,0), B(6,0), C(6,10)$ и $D(0,10)$ являются вершинами прямоугольника $A B C D$, а \ (E\) находится на отрезке $CD$ в точке $(2,10)$. Каково отношение площади треугольника $A D E$ к площади четырехугольника $A B C E$ ?
спросил 10 июля по математике по ♦Гаусс Алмаз (62 525 баллов) | 46 просмотров
вершин
координаты
очков
параллелограмм
изображение
график
середина
У нас есть треугольник $\треугольник A B C$ и точка $K$ на отрезке $\overline{BC}$ такие, что $A K$ является высотой до $\треугольник A B C$ . Если $A K=6, B K=8$ и $C K=6$, то каков периметр треугольника?
спросил 10 июля по математике по ♦Гаусс Алмаз (62 525 баллов) | 39 просмотров
треугольник
точка
равнобедренный
сегмент
периметр
вершин
координаты
Вычислить площадь треугольника ABC, если его вершины A(2; 3), B(-3; -1) и C(6; -2)
спросил 29 апр. 2021 г. по математике по Кэри_Б (146 баллов) | 1210 просмотров
треугольник
аналитическая геометрия
площадь-треугольник
Точки $A(0,0), B(9,6)$ и $C(6,12)$ являются вершинами треугольника $A B C$. Точка $D$ лежит на отрезке $AB$ таком, что $2(AD)=D B$, точка $E$ лежит на отрезке $BC$ таком, что $2(BE)= Э С$
спросил 10 июля по математике по ♦Гаусс Алмаз (62 525 баллов) | 41 просмотр
координаты
очков
вершин
параллелограмм
изображение
середина
график
На диаграмме $\mathrm{A}(-2; 2), \mathrm{B}(6; 5), \mathrm{C}(0;-3)$ и $\mathrm{ D}(x ; y)$ — вершины четырехугольника, имеющего $\mathrm{AD} \| \mathrm{BC}$. Полученный BA имеет $x$-перехват в точке $\mathrm{E}$.
спросил 20 июля по математике по ♦Гаусс Алмаз (62 525 баллов) | 61 просмотр
вершин
середина
график
координаты
баллы
изображение
параллелограмм
Поиск изображений
*Математический поиск изображений лучше всего работает только с увеличенными и хорошо обрезанными математическими снимками экрана. Чек ДЕМО
Темы
Все предметы
3D-печать 55
5G 0
Бухгалтерский учет 156
Реклама и маркетинг 369
сельское хозяйство 74
Искусство и ремесла 29
Блокчейн и крипто 42
Бизнес и предпринимательство 256
Карьера и жизненные навыки 22
Информатика 67
Кибербезопасность 35
Наука о данных и статистика 5378
Дроны 49
Раннее развитие детей 2
Экономика и финансы 1464
Энергия 0
Английский 43
Летная подготовка 81
Игры и метавселенная 35
Общие знания 371
География и окружающая среда 313
Графика и дизайн 16
Государственные департаменты 132
Здоровье и медицина 73
История 49
ИКТ и инновации 76
Интернет вещей — Интернет вещей 0
Библиотека и клубы 48
Науки о жизни 1577
Логистика 1
К53 15
Математика 11 003
Медицина и уход 0
Музыка и танцы 0
Авторы-партнеры 0
Партнерские организации 123
Школы-партнеры 0
Физика и химия 2365
Психология и неврология 195
Робототехника 23
Дизайн исследования 9
Колледжи ЮА ТПОП 73
Язык знаков 0
Спорт и отдых 45
Студенческая помощь 0
Преподавание и обучение 291
Туризм 76
Женщины в STEM 2
Мета-вопросы MathsGee 90
Самые популярные теги
рассчитать уравнение функция числа количество исчисление данные вероятность решать математика вопрос отвечать помощь алгебра ценность уравнения интерес настоящий бизнес решение график последовательность теорема оценивать обучение выражение система цена разница доказывать статистика иметь в виду показатели сумма вопросы вектор расстояние аналитика дробная часть математика кредит формула упрощать логарифмы дифференциал серии время товар дроби растения

Существование ортоцентра
В треугольнике высота является отрезком линии, проходящей через вершину, перпендикулярную противоположной стороне. Высота — это часть линии между вершиной и основанием перпендикуляра. Используя стандартные обозначения, в $\Delta ABC$ есть три высоты: $AH_{a},$ $BH_{b},$ $CH_{c}.$ Высоты обладают несколькими очень интересными свойствами; ниже нас интересует только одна: три линии встречаются в одной точке — ортоцентр треугольника (обозначается $H.)$ Для тупоугольного треугольника (имеющего один угол больше 90°) ортоцентр лежит вне треугольника, а отрезки $AH_{a},$ $BH_{b} ,$$CH_{c}$ не встречаются. Однако их протяженные линии имеют, поэтому даже в этом случае принято утверждать, что высоты совпадают с , то есть проходят через точку.
Удивительно, что факт совпадения высот не упоминается ни в евклидовом г. Элементы г. или последующие труды греческих ученых. Время первого доказательства все еще остается открытым вопросом; однако считается, что даже великий Гаусс считал необходимым доказать этот факт. Самое раннее известное доказательство было дано Уильямом Чапплом (1718–1781). Он указан ниже, но появляется на отдельной странице вместе с историческими примечаниями.
Заметим, что если $H$ — ортоцентр $\Delta ABC$, то $A$ — ортоцентр $\Delta BCH,$, а $B$ и $C$ — ортоцентры треугольников $ACH$. и $ABH,$ соответственно.
Я собрал несколько доказательств параллелизма высот, но, конечно же, у высот есть множество других свойств, не упомянутых ниже. Например, благодаря свойству зеркальности ортотреугольник решает проблему Фаньяно. У подножия высоты тоже есть интересные свойства.
Высоты как чевианцы
Это следствие 3 теоремы Чевы.
Ортоцентр как центр окружности
Ортоцентр $\Delta ABC$ совпадает с центром описанной окружности $\Delta A’B’C’$, стороны которого параллельны сторонам $\Delta ABC$ и проходят через вершины последний.
Ортоцентр как изогональное сопряжение центра окружности
Кроме того, что $l_{a}$ является биссектрисой угла $A, $l_{a}$ также делит пополам угол, образованный $h_{a}$, и диаметр описанной окружности, содержащей $A. $ Отсюда следует, что этот диаметр и $h_ {a}$ — изогональные изображения друг друга. То же верно и для вершин $B$ и $C.$ Следовательно, $H$ изогонально сопряжена с центром описанной окружности O.
Ортоцентр как инцентр
В $\Delta ABC$ $\Delta H_{a}H_{b}H_{c}$ известен как ортический треугольник . У него есть интересное свойство: биссектрисы его углов фактически служат высотами $\Delta ABC$. Таким образом, тот факт, что в треугольнике биссектрисы параллельны, означает, что высоты в треугольнике также совпадают.
В доказательстве я неоднократно буду использовать предложение Евклида III.21 о вписанных углах и его обращение. С углами $BH_{c}C,$ $AH_{a}B,$ $AH_{a}C,$ $BH_{b}C$ все в порядке. Таким образом, мы получаем три четырехугольника, вписываемых в окружность: $BH_{c}HH_{a},$ $BH_{c}H_{b}C,$ и $CH_{b}HH_{a}.$ В каждом имеется это пара равных углов. Соответственно: $\angle H_{c}BH=\angle H_{c}H_{a}H,$ $\angle H_{c}BH_{b}=\angle H_{c}CH_{b},$ и $ \angle H_{b}CH=\angle H_{b}H_{a}H. $ Остается только заметить, что, естественно, $\angle H_{c}BH= \angle H_{c}BH_{b}$ и $\angle H_{b}CH=\angle H_{b}CH_{c}.$ Наконец, $\angle H_{c}H_{a}H=\angle H_{b}H_{a}H,$, что доказывает, что $H_{a}H$ — биссектриса угла ортотреугольника. Аналогично обрабатываются два других угла.
Через прямую Эйлера
Аргумент, показывающий, что три точки — центр описанной окружности $O$, центр тяжести $M,$ и ортоцентр $H$ — лежат на одной прямой, обратим.
Действительно, в $\Delta ABC$ рассмотрим центроид $M$ и центр описанной окружности $O.$ Если они совпадают, то совпадают соответствующие медианы и серединные перпендикуляры. Другими словами, медианы перпендикулярны сторонам и, следовательно, совпадают с высотами. Тогда высоты пересекаются в центре треугольника (который в данном случае, очевидно, равносторонний).0003
Предположим, что точки $O$ и $M$ различны. Они определяют единственную прямую, на которой мы будем рассматривать точку, обозначенную как $H,$ такую, что $MH=2\cdot OM$ с $M$, лежащей между $O$ и $H. $ Поскольку также $AM = 2 \cdot MM_{a},$ $\Delta AHM$ подобен $\Delta M_{a}OM.$ Элементы VI.2 подразумевает, что прямые $OM_{a}$ и $AH$ параллельны. Но первая перпендикулярна $BC$, а значит, и вторая. Аналогично, $BH \perp AC$ и $CH \perp AB.$
Комплексные переменные
Доказательство в круговых координатах приводит непосредственно к прямой Эйлера и хорошей теореме Дж. Л. Кулиджа
Комплексные переменные II
Два коротких доказательства, из которых второе — самое ясное доказательство, которое я когда-либо встречал.
Векторная алгебра I
Для заданного $\Delta ABC$ выберите любую точку O в качестве начала координат и рассмотрите векторы $OA,$ $OB$ и $OC$, которые начинаются в точке O и заканчиваются в вершинах треугольника. Введем «боковые» векторы: $AB=OB-OA,$ $BC=OC-OB,$ и $AC=OC-OA.$ Аналогичным образом будут использоваться другие векторы, лежащие вдоль прямых, связанных с треугольником . Предположим, что $H$ является точкой пересечения $AH_{a}$ и $BH_{b}. $ Тогда $AH\perp; BC$ и $BH \perp AC.$ Скалярное произведение ортогональных векторов равно $0.$ Таким образом, мы имеем два уравнения
$(OH — OA)\cdot (OC — OB)$ = 0 и $(OH — OB)\cdot (OC — OA) = 0.$
Вычесть первое уравнение из второго, умножить и упростить:
$OH\cdot OB + OA\cdot OC — OB\cdot OC — OH\cdot OA = (OH — OC)\cdot (OB — OA) = CH\cdot AB = 0$
Следовательно, $CH\perp AB.$ Таким образом, третья высота $CH_{c}$ проходит через точку пересечения первых двух.
Векторная алгебра II
Пусть теперь $O$ — центр описанной окружности $\Delta ABC$. 9{2}\\ &= 0, \end{выравнивание}$
, потому что O является центром описанной окружности $\Delta ABC$.
Векторная алгебра III
Это очень похоже на первое доказательство с помощью векторной алгебры, но мы начнем с тождества, которое ценно справа. Тождество приписывается Л. Эйлеру.
$AB\cdot CD + AC\cdot DB + AD\cdot BC = 0.$
Выбрав в качестве начала отсчета произвольную точку $O$, для точки общего положения $X$ обозначим через $x$ вектор OX. $, тогда приведенное тождество эквивалентно
$(b-a)\cdot (d-c) + (c-a)\cdot (b-d) + (d-a)\cdot (c-b) = 0.$
Это можно показать чисто алгебраически:
$\begin{выравнивание} (b-a)\cdot (d-c) &= b\cdot d-a\cdot d-b\cdot c+a\cdot c,\\ (c-a)\cdot (b-d) &= c\cdot b-a\cdot b-c\cdot d+a\cdot d,\\ (d-a)\cdot (c-b) &= d\cdot c-a\cdot c-d\cdot b+a\cdot b. \end{выравнивание}$
Сложение трех значений отменяет все члены справа, делая сумму слева $0.$
Теперь давайте воспользуемся этим тождеством, где $D=H$ является пересечением высот, скажем, $A$ и $B.$ Это означает, что $AC\cdot HB=0$ и $AH\cdot BC=0, $ такое, что также $AB\cdot CH=0.$
Элементарная геометрия, вписанные углы
Спасибо Бьянко за это доказательство. См. также Altshiller-Court’s College Geometry , p. 94.
Пусть $H$ — точка пересечения двух высот $BH_{b}$ и $CH_{c}.$ Докажем, что прямая $AH$ перпендикулярна $BC.$
Четырехугольник $CH_{b}H_{c}B$ вписанный. Действительно, поскольку углы при $H_{b}$ и $H_{c}$ прямые, четырехугольник вписан в окружность с диаметром на $BC.$ Отсюда $\angle BCH_{c}=\angle BH_ {b}H_{c}.$ С другой стороны, четырехугольник $AH_{b}HH_{c}$ также вписан, так как окружность с диаметром $AH$ проходит через все четыре точки. Следовательно, $\angle HH_{b}H_{c} = \angle HAH_{c}.$ Объединяя два равенства, получаем $\angle BCH_{c}=\angle HAH_{c}.$ 9{\circ}$ делает $CG$ третьей высотой.
Плоская аналитическая геометрия
(Владимир Заич.) Предположим, что треугольник $ABC$ находится в декартовой системе координат. Предположим, что ни одна сторона не параллельна какой-либо из $2$ координатных осей $(x, y).$ Если да, то мы всегда можем повернуть систему координат на произвольный угол, отличный от всех внутренних углов треугольника. Так как координатные оси $x$, $y$ перпендикулярны друг другу и поскольку каждая высота перпендикулярна одной стороне, то никакая высота не параллельна ни одной координатной оси. Пусть координаты $3$ вершин будут:
$\begin{выравнивание} А = (х_{а}, у_{а}),\\ B = (x_{b}, y_{b}),\\ С = (х_{с}, у_{с}). \end{выравнивание}$
Уравнения боковых линий $3$ равны
$\begin{выравнивание} c &= AB: y — y_{a} = {(y_{a} — y_{b})\cdot x + x_{a}\cdot y_{b} — x_{b}\cdot y_{a}} / (х_{а} — х_{б})\\ a &= BC: y — y_{b} = {(y_{b} — y_{c})\cdot x + x_{b}\cdot y_{c} — x_{c}\cdot y_{b}} / (х_{б} — х_{с})\\ b &= CA: y — y_{c} = {(y_{c} — y_{a})\cdot x + x_{c}\cdot y_{a} — x_{a}\cdot y_{c}} / (х_{с} — х_{а}). \end{выравнивание}$
Нам нужно вычислить только $1$ уравнение, остальные $2$ задаются циклической перестановкой индексов $A,$ $B,$ $C.$
Лемма
Две прямые (не параллельные какой-либо оси координат) перпендикулярны друг другу тогда и только тогда, когда произведение их касательных равно -1 (минус один).
Уравнения трех высот CH_{c}, BH_{c}, AH_{a} получаются с использованием касательных боковых линий, леммы и того факта, что они проходят через соответствующую вершину. Опять же, нам нужно составить только одно уравнение, остальные два задаются циклической перестановкой A, B, C.
$\begin{выравнивание} CH_{c}: y — y_{c} &= {-(x_{a} — x_{b})\cdot x + (x_{a} — x_{b})\cdot x_{c}} / ( у_{а} — у_{б})\\ AH_{a}: y — y_{a} &= {-(x_{b} — x_{c})\cdot x + (x_{b} — x_{c})\cdot x_{a}} / ( у_{б} — у_{с})\\ BH_{b}: y — y_{b} &= {-(x_{c} — x_{a})\cdot x + (x_{c} — x_{a})\cdot x_{b}} / ( у_{с} — у_{а}). \end{выравнивание}$
Чтобы найти координаты пересечения (ортоцентра), возьмите любые два уравнения высоты и решите относительно $x$ и $y.$ Например, $CH_{c} \cap BH_{b}:$
$\begin{выравнивание} x_O &= (x_{a}\cdot x_{b}\cdot (y_{a} — y_{b}) + x_{b}\cdot x_{c}\cdot (y_{b} — y_{c} )\\ &+ x_{c}\cdot x_{a}\cdot (y_{c} — y_{a}) — (y_{a} — y_{b})\cdot (y_{b} — y_{c}) \cdot (у_{с} — у_{а}))\\ & / (x_{c}\cdot y_{b} — x_{b}\cdot y_{c} + x_{a}\cdot y_{c} — x_{c}\cdot y_{a} + x_{b }\cdot y_{a} — x_{a}\cdot y_{b}) \end{выравнивание}$
$\begin{выравнивание} y_O &= (y_{a}\cdot y_{b}\cdot (x_{a} — x_{b}) + y_{b}\cdot y_{c}\cdot (x_{b} — x_{c} )\\ &+ y_{c}\cdot y_{a}\cdot (x_{c} — x_{a}) — (x_{a} — x_{b})\cdot (x_{b} — x_{c}) \cdot (x_{c} — x_{a})) \\ & / (y_{c}\cdot x_{b} — y_{b}\cdot x_{c} + y_{a}\cdot x_{c} — y_{c}\cdot x_{a} + y_{b }\cdot x_{a} — y_{a}\cdot x_{b}) \end{выравнивание}$
Поскольку решение инвариантно относительно циклической перестановки A, B, C, отсюда следует, что одни и те же координаты x _O и y _O являются решением любых двух координат высоты, и эти 3 высоты действительно пересекаются в одной точке. точка. Это также можно было бы проверить прямым решением всех пар уравнений высоты.
Плоская геометрия
(Владимир Зайич.) Пусть $\Delta ABC$, сторона $c = AB$ горизонтальна, вершина $C$ расположена сверху. Продолжим стороны $a = BC$ и $b = CA$ вверх за вершину $C.$
Постройте высоты $h_{a}$ и $h_{b}$, опуская нормали из вершин $A$ и $B$ к противоположным сторонам $a = BC$ и $b = CA,$ соответственно. Обозначим через $O$ пересечение этих двух высот. Обозначим через $H_{a}$ и $H_{b}$ основания высот $h_{a}$ и $h_{b},$ соответственно (т. е. их пересечения с соответствующими сторонами треугольника).
Постройте высоту $h_{c}$ $\Delta ABO$, опустив нормаль из вершины $O$ на сторону $c = AB. Обозначим через $h_{c}$ основание этой высоты. Продлите высоту $h_{c}$ $\Delta ABO$ вверх, пока она не пересечет обе (продолженные) прямые $a = BC$ и $b = CA.$ Предположим, что эти пересечения могут отличаться друг от друга (см. прилагаемый рисунок). Обозначим пересечения $C_{a}$ и $C_{b},$ соответственно. Тогда либо $OC_{a} \lt OC_{b}$, либо $OC_{a} \gt OC_{b}.$
Обратите внимание, что следующие пары треугольников подобны (поскольку оба треугольника в каждой паре имеют одинаковые углы при вершине $O$ и каждый треугольник имеет прямой угол):
$\Delta AOH_{b}$ и $\Delta BOH_{a}$
$\Delta AOH_{c}$ и $\Delta C_{a}OH_{a}$
$\Delta BOH_{c}$ и $\Delta C_{b}OH_{b}$
Следовательно
$OA/OH_{b} = OB/OH_{a}$
$OA/OH_{c} = OC_{a}/OH_{a}$
$OB/OH_{c} = OC_{b}/OH_{b}$
Исключая $OA$ и $OH_{a}$ путем деления левых и правых частей первых двух уравнений, получаем
$OH_{c}/OH_{b} = OB/OC_{a}.$
Умножение левых и правых частей результата и третьего уравнения устраняет почти все остальное:
$OB/OH_{b} = OC_{b}/OH_{b}\cdot OB/OC_{a}$
$OC_{b}/OC_{a} = 1$
Отрезки $OC_{b}$ и $OC_{a}$ равны. Другими словами, прямые $a$ и $b$ пересекаются по нормали $h_{c}$ к прямой $c$, опущенной из точки $O$ и точек $C,$ $C_{b},$ и $C_{a}$ идентичны. КЭД 9{\circ},$, так что $CK$ перпендикулярна $AB.$ Следовательно, $K = H_{c}.$ Аналогично, окружность $C_{b}$ пересекает $AB$ в точке $h_{c}$ (и , конечно, $A.)$ Мы заключаем, что две окружности $C_{a}$ и $C_{b}$, которые, очевидно, пересекаются в точке $C,$, также пересекаются в точке $H_{c}.$ $CH_{c} Таким образом, $ является радикальной осью двух окружностей.
Переходя к другим сторонам и парам окружностей, видим, что высоты $\Delta ABC$ служат радикальными осями окружностей $C_{a},$ $C_{b},$ и $C_{c}$, взятых в парах. Как мы знаем, попарно радикальные оси трех окружностей сходятся в одной точке, как и три высоты треугольника.
(Более общее утверждение появляется как теорема 184 в «Трактате о круге и сфере» Дж. Л. Кулиджа: ортоцентр треугольника — это радикальный центр любых трех окружностей, каждая из которых имеет диаметр, крайние точки которых являются вершинами и точка на противоположной боковой прямой, но никакие две не проходят через одну и ту же вершину. {2} = 0.$
в теореме Карно легко проверяется, когда $AA’,$$BB’,$$CC’$ являются высотами $\Delta ABC$.
Доказательство из 1749
Бывший корреспондент прислал мне записку-сюрприз (20 января 2010 г.):
Вот демонстрация Уильяма Чаппла, что высоты треугольника совпадают. Это взято из Miscellanea Curiosa Mathematica , номер IX, отредактированного Фрэнсисом Холлидеем и опубликованного Кейвом — я понимаю, что это издание было начато в 1745 году, с двумя выпусками в год, что указывает на дату публикации в 1749 году., год издания сборника…
Демонстрация Уильяма Чаппла относится к следующей диаграмме:
Само доказательство я поместил на отдельной странице вместе с комментарием Томаса Стивенса Дэвиса в The Philosophical Magazine в 1850 году.
И более свежее доказательство
Это доказательство принадлежит В. Николину, учителю начальной школы из Сербии, и основано на следующей диаграмме:
Краткое доказательство доступно на отдельной странице.
Облегченное аналитическое доказательство
Это и следующие 3 доказательства принадлежат Мишелю Кабарту (1 февраля 2011 г.).
Возьмем за ось $x$ сторону $BC$, а за ось $y$ высоту $AH,$ так, чтобы начало координат было $H.$ Координаты $A(0,a),$ $B (b, 0)$ и $C(c, 0).$ Мы хотим показать, что пересечения $L$ и $K$ имеют одинаковую ординату.
Наклон $AB$ равен $-a/b$, поэтому наклон $CC’$ равен $b/a$, а уравнение $CC’$ равно
$y = (b/a)\cdot (x — c) = (b/a)x -(bc/a).$
Таким образом, ордината $K$ равна $-bc/a.$ Это симметрично относительно $b$ и $c,$, поэтому мы обязательно найдем тот же результат для $L.$
Краткое геометрическое доказательство
Ссылаясь на диаграмму в предыдущем доказательстве, треугольники $AHB$ и $CHL$ подобны (прямоугольные треугольники с $\угол HAB = \угол HCL),$ таким образом, $HB\cdot HC = HA\cdot HL.$ По симметрии (или с учетом треугольников $AHC$ и $BHK)$ получаем $HB\cdot HC = HA\cdot HK. $ Отсюда $HK = HL$ и $K = L.$
Проективное доказательство (Chasles)
Рассмотрим четырехугольник HABC в таком порядке, где $H$ — любая точка.
По теореме Дезарга бесконечная прямая разрезает $AB$ и $CH,$ $AC$ и $BH,$ $BC$ и $AH$ по трем парам точек инволюции: $C’ — h2,$ $ B’ — h3,$ $A’ — h4.$ Если две пары прямых перпендикулярны, то двойные точки инволюции являются циклическими точками. Тогда третья пара прямых также перпендикулярна.
Тригонометрическое доказательство Душана Валло
Доказательство, иллюстрированное следующей диаграммой, помещено на отдельной странице.
Совпадение высот, как видно из 3D
Стюарт Андерсон придумал доказательство, которое выигрывает от встраивания треугольника в $3D.$
Также доступна динамическая иллюстрация.
(Кстати, Вы можете быть удивлены, узнав, что у высот есть уши, основание, стебель и корень.)
Документ без названия
Документ без названия
Высота: Случайная встреча или судьба? Ариэль Алфорд

Мы слышали, что площадь треугольника можно вычислить по умножив длину основания на высоту и разделив на два. Но что такое высота?

Высота, также известная как высота, имеет два важных свойства. Сначала это линия, проходящая через вершину треугольника, которая находится напротив основания. Во-вторых, эта линия должна быть перпендикулярна к базе.
Проверьте высоту треугольника ниже.

Два треугольника ниже показывают попытку создания высоты. Что не так с «высотой», нарисованной на каждом рисунке?
Ошибка 1 Ошибка 2

Не все высоты расположены внутри треугольника. Изменить форму этого треугольника, чтобы обнаружить когда высота снаружи треугольника. Чтобы изменить форму треугольника, нажмите на вершину D (зеленая точка) и перетащите его по экрану.

Но высота, нарисованная из одной вершины, выглядит по-разному с высоты через другую вершину!
Не обманывайтесь, думая, что треугольники имеют только один высота. На самом деле, каждый треугольник имеет три высоты, одна из которых перпендикулярна каждой из трех сторон треугольника.
Высоты в тупоугольном треугольнике

Высоты остроугольного треугольника

Что вы заметили о трех высотах в остром треугольник? Как вы думаете, верно ли это для строк, содержащих высоты в каждый треугольник? Изменить это треугольник, перетаскивая вершины, и исследуйте, соответствует ли ваш гипотеза верна для всех типов треугольников (остроугольных, прямоугольных, тупоугольных, большой маленький . . .).

Итак, кажется, что строки, содержащие высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, но как мы можем быть Конечно?
Докажем!
Сначала нам нужно расположить произвольный треугольник на плоскости xy. Хотя мы могли бы разместить треугольник в любом месте на плоскости, наиболее выгодно поместить треугольник в первый квадрант с одна вершина в начале координат и одна сторона вдоль оси x. Теперь мы можем позволить C быть любой точкой на оси x, то есть (c, 0), и B может быть любой точкой в первом квадранте или точкой (d,e).

Чтобы доказать, что перпендикуляры, проходящие через каждую вершину (т. содержащие высоты) пересекаются в одной точке, нам понадобится найти уравнение каждой линии и найти одну точку (x, y), которая удовлетворяет всем трем уравнениям. Уравнение каждой высоты будет иметь общую форму
у = мх + б
, где «m» — наклон, а «b» — точка пересечения линии по оси Y.
Так как же найти наклон высоты?
Из нашей конструкции высоты мы знаем, что она должна быть перпендикулярно его основанию. Таким образом, это означает, что наклон основание и наклон высоты связаны. На самом деле, потому что они перпендикулярны, они находятся в следующем соотношении:

Теперь все, что нам нужно сделать, чтобы вычислить наклон высоты, это найти наклон его основания.

Используя наши знания о линиях наклона и перпендикулярах, мы вычисляем следующие склоны для наших высот:

Если мы сможем составить уравнение для каждой линии высот, мы может решить систему уравнений, чтобы увидеть, где они пересекаются (и таким образом выяснить, пересекаются ли все три прямые в одной точке). Итак, давайте найдем уравнение для каждой строки.

Мы составили уравнение для прямой, содержащей каждой высоте, теперь, где они пересекаются?

Из уравнения AC’ мы знаем, что x-координата пересечение AC’ и AB’ должно быть d. Итак, давайте подключим d в для x в нашем уравнении для линии AB’.

Итак, мы обнаружили, что AC’ и AB’ пересекаются в следующих точках. точка:
Теперь возникает вопрос, лежит ли эта точка также на BC’.
No related posts.

По координатам вершин треугольника найти

Даны вершины треугольника найти длину высоты

Расстояние d между двумя точками

Внутренний угол A с точностью до градуса

Уравнение и длину высоты, опущенной из вершины C

Точка пересечения высот

Уравнение медианы, проведенной через вершину C

Cистема линейных неравенств, определяющих треугольник ABC

Уравнение высоты треугольника по координатам формула – dj-sensor.ru

Даны координаты вершин треугольника найти уравнение высоты

Даны вершины треугольника найти высоту. Даны координаты вершин треугольника авс

Даны координаты вершин треугольника найти угол b. Дано координаты вершин треугольника

Как найти ортоцентр треугольника?

Определение ортоцентра треугольника

Примеры задач

3 Теперь 9, подставить значение x = -12/7 в уравнение (1)

Добавить комментарий Отменить ответ