Вектор онлайн решение: Онлайн калькулятор. Координаты вектора по двум точкам.

Скалярное произведение векторов

Теоретический материал по теме — скалярное произведение векторов.{\circ}=6 \cdot \frac{1}{2}=3$

Пример

Задание. Найти скалярное произведение векторов $\overline{a}=(3 ;-1)$ и $\overline{b}=(-2 ; 7)$

Решение. Скалярное произведение

$\overline{a} \overline{b}=3 \cdot(-2)+(-1) \cdot 7=-6-7=-13$

Векторное произведение векторов

Теоретический материал по теме — векторное произведение векторов.

Пример

Задание. Найти векторное произведение векторов $\overline{a}=(6 ; 7 ; 10)$ и $\overline{b}=(8 ; 5 ; 9)$

Решение. Составляем определитель и вычисляем его:

$\overline{a} \times \overline{b}=\left| \begin{array}{ccc}{\overline{i}} & {\overline{j}} & {\overline{k}} \\ {6} & {7} & {10} \\ {8} & {5} & {9}\end{array}\right|=\overline{i} \left| \begin{array}{cc}{7} & {10} \\ {5} & {9}\end{array}\right|-\overline{j} \left| \begin{array}{cc}{6} & {10} \\ {8} & {9}\end{array}\right|+\overline{k} \left| \begin{array}{cc}{6} & {7} \\ {8} & {5}\end{array}\right|=$

$=\overline{i}(7 \cdot 9-5 \cdot 10)-\overline{j}(6 \cdot 9-8 \cdot 10)+\overline{k}(6 \cdot 5-8 \cdot 7)=$

$=13 \overline{i}+26 \overline{j}-26 \overline{k}=(13 ; 26 ;-26)$

Смешанное произведение векторов

Теоретический материал по теме — смешанное произведение векторов.

Пример

Задание. Вычислить объем пирамиды, построенной на векторах $\overline{a}=(2 ; 3 ; 5)$, $\overline{b}=(1 ; 4 ; 4)$, $\overline{c}=(3 ; 5 ; 7)$

Решение. Найдем смешанное произведение заданных векторов, для это составим определитель, по строкам которого запишем координаты векторов $\overline{a}$, $\overline{b}$ и $\overline{c}$:

$(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})=\left| \begin{array}{lll}{2} & {3} & {5} \\ {1} & {4} & {4} \\ {3} & {5} & {7}\end{array}\right|=2 \cdot 4 \cdot 7+1 \cdot 5 \cdot 5+3 \cdot 4 \cdot 3-$

$-3 \cdot 4 \cdot 5-5 \cdot 4 \cdot 2-1 \cdot 3 \cdot 7=-4$

$$V_{пир}=\frac{1}{6}|(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})|=\frac{1}{6} \cdot 4=\frac{2}{3}$$

Читать первую тему — операции над векторами, раздела векторы.

Смешанное произведение векторов. Онлайн калькулятор

Данный онлайн калькулятор вычисляет смешанное произведение векторов. Дается подробное решение. Для вычисления смешанного произведения векторов выберите способ представления векторов (по координатам или по двум точкам) введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить.»

Очистить все ячейки?

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Смешанное произведение векторов (теория)

Смешанное произведение трех векторов это число, которое получается при скалярном произведении результата векторного произведения первых двух векторов на третьий вектор. Другими словами, если заданы три вектора a, b и c, то для получения смешанного произведения этих векторов, сначала векторно умножаются первые два вектора и полученный вектор [ab] скалярно умножается на вектор c.

Смешанное произведение трех векторов a, b и c обозначается так: abc или так (a,b,c). Тогда можно записать:

Прежде чем сформулировать теорему, представляющую геометрический смысл смешанного произведения, ознакомьтесь с понятиями правая тройка, левая тройка, правая система координат, левая система координат (определения 2, 2′ и 3 на странице векторное произведение векторов онлайн).

Для определенности, в дальнейшем мы будем рассматривать только правые системы координат.

Теорема 1. Смешанное произведение векторов ([

Следствие 1. Имеет место следующее равенство:

Для доказательства следствия заметим, что из переместительного свойства скалярного произведения имеем:

Следовательно нам достаточно доказать, что

Из выражения (3) видно, что левая и правая часть равны объему параллелипеда. Но и знаки правой и левой частей совпадают, так как тройки векторов abc и bca имеют одинаковую ориентацию.

Доказанное равенство (1) позволяет записать смешанное произведение трех векторов a, b, c просто в виде abc, не указывая, какие именно два вектора перемножаются векторно первые два или последние два.

Следствие 2. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Доказательство вытекает из теоремы 1. Действительно, если векторы компланарны, то смешанное произведение этих векторов равно нулю. Обратное, если смешанное произведение равно нулю, то из теоремы 1 вытекает компланарность этих векторов (так как объем параллелипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах равно нулю).

Следствие 3. Смешанное произведение трех векторов, два из которых совпадают, равно нулю.

Действительно. Если два вектора из трех совпадают, то они компланарны. Следовательно, смешанное произведение этих векторов равно нулю.

Смешанное произведение векторов в декартовых координатах

Теорема 2. Пусть три вектора a, b и c определены своими декартовыми прямоугольными координатами

Тогда смешанное произведение abc равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов:

Доказательство. Смешанное произведение

Тогда скалярное произведение векторов [ab] и c можно записать так:

Последнее выражение можно записать, используя определители второго порядка:

Формулы (6) и (4) эквивалентны, так как (6) является разложением определителя (4) по третьей строке.

Теорема доказана.

Следствие 3. Для компланарности трех векторов

необходимо и достаточно равенство нулю определителя, строки которой заполнены координатами этих векторов, т.е:

Для доказательства следствия достаточно рассмотреть формулу (4) и следствие 2.

Смешанное произведение векторов на примерах

Пример 1. Найти смешанное произведение векторов abс, где

Решение.

Для вычисления смешанного произведения векторов a, b, c

Смешанное произведение векторов a, b, c равен определителю матрицы L. Вычислим определитель матрицы L, разложив определитель по строке 1:

Ответ.

Смешанное произведение векторов a, b, c равен :

Пример 2. Найти смешанное произведение векторов abс, где

Начальная точка вектора a:

Конечная точка вектора a:

Вектор b:

Начальная точка вектора c:

Конечная точка вектора c:

Решение.

Переместим вектор a на начало координат. Для этого вычтем из соответствующих координат конечной точки B координаты начальной точки A:

Переместим вектор c на начало координат. Для этого вычтем из соответствующих координат конечной точки F координаты начальной точки E:

Для вычисления смешанного произведения векторов a, b, c составим матрицу, строки которой образуются векторами

Смешанное произведение векторов a, b, c равен определителю матрицы L. Вычислим определитель матрицы L, разложив определитель по строке 1:

Ответ.

Смешанное произведение векторов a, b, c равен :

Онлайн калькулятор: Калькулятор сложения векторов

Калькулятор ниже выполняет сложение векторов каждый раз при добавлении вектора в таблицу, и отображает результат на графике. Калькулятор задуман как можно более универсальным, поэтому поддерживать ввод нескольких представлений векторов: в декартовых координатах (см. Прямоугольная система координат) и в полярных координатах (см. Полярная система координат). Если используется прямоугольная система координат, надо ввести координаты x и y вектора. В случае полярной системы координат, надо ввести радиальную координату и угловую координату (полярный угол или азимут) вектора. Угловая координата может быть введена как в градусах, так и в радианах. Описание формул расчета можно найти под калькулятором

Сложение векторов

Вектора

Вектора

Импортировать данныеОшибка импорта

Для разделения полей можно использовать один из этих символов: Tab, «;» или «,» Пример: polar;-50.5;-50.5;-50.5;-50.5;radians

Загрузить данные из csv файла

Знаков после запятой: 2

Сумма векторов

Радиальная координата

Угловая координата (полярный угол), градусы

Угловая координата (полярный угол), радианы

content_copy Ссылка save Сохранить extension Виджет

Сложение векторов

Сначала калькулятор переводит все введенные вектора в декартовы координаты. Для преобразования из угловых координат используется следующая формула:

Замет он выполняет последовательное сложение векторов, которое в декартовых координатах выглядит очень просто и описывается следующей формулой:

Для векторов и сумма векторов это

Все введенные вектора, а также их сумма строятся на графике, так что можно видеть графический результат сложения, где сумма изображена вектором красного цвета. Сумма строится по так называемому правилу параллелограмма.

Калькулятор также можно использовать и для вычитания векторов, если помнить что разность векторов это сумма уменьшаемого вектора с вектором, обратным уменьшителю:

Чтобы получить обратный, или противоположный вектор в декартовых координатах достаточно взять его координаты с противоположным знаком. В случае полярной системы координат можно либо добавить 180 градусов к угловой координате, либо взять радиальную координату с противоположным знаком.

Векторное произведение векторов онлайн

Вычисление векторного произведения векторов онлайн.

Выберите необходимые вам размерность векторов и форму их представления

Форма представления первого вектора: КоординатамиТочками
Форма представления второго вектора: КоординатамиТочками

Введите значения векторов.

Первый вектор

Второй вектор

Вводить можно числа или дроби. Например: 1.5 или 1/7 или -1/4 и т.д.

Воспользуйтесь также:
Скалярное произведение векторов
Смешанное произведение векторов
Проверка образуют ли вектора базис
Разложение вектора по заданному базису

Векторное произведение векторов онлайн

Векторное произведение

Векторным произведением вектора

a

b

c

a

b

a

b

c

Векторное произведение двух векторов

a

{x₁; y₁; z₁}

b

{x₂; y₂; z₂}

a

b

{y₁ z₂ — z₁ y₂; z₁ x₂ — x₁ z₂; x₁ y₂ — y₁ x₂}

длина суммы векторов и теорема косинусов

Сложение векторов, заданных координатами (при сложении одноимённые координаты складываются) даёт возможность узнать, как расположен относительно начала координат вектор, являющийся суммой слагаемых векторов. Подробно эти две операции разбирались на уроке «Векторы и операции над векторами».

Теперь же нам предстоит узнать, как найти длину вектора, являющегося результатом сложения векторов. Для этого потребуется использовать теорему косинусов. Такую задачу приходится решать, например, когда дорога из пункта A в пункт С — не прямая, а отклоняется от прямой, чтобы пройти ещё через какой-то пункт B, а нужно узнать длину предполагаемой прямой дороги. Кстати, геодезия — одна из тех сфер деятельности, где тригонометрические функции применяются во всех их полноте.

Поэтому для сложения векторов и определения длины суммы векторов нужно извлечь квадратный корень из каждой части равенства, тогда получится формула длины:

.

Перейдём к примерам.

Проверить решение можно на Калькуляторе онлайн.

Выполнить сложение и вычитание векторов самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 3. Даны длины векторов и длина их суммы . Найти длину их разности .

Решение.

Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус угла, смежного с углом между векторами и находим его:

Не забываем, что косинус смежного угла получился со знаком минус. Это значит, что косинус «изначального» угла будет со знаком плюс.

Шаг 2. Выполняем вычитание векторов. Находим длину разности векторов, подставляя в формулу косинус «изначального» угла:

Проверить решение можно на Калькуляторе онлайн.

Пример 4. Даны длины векторов и длина их разности . Найти длину их суммы .

Решение.

Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус «изначального» угла (задача обратная по отношению к примеру 1) и находим его:

Шаг 2. Меняем знак косинуса и получаем косинус смежного угла между и :

Шаг 3. Выполняем сложение векторов. Находим длину суммы векторов, подставляя в формулу косинус смежного угла:

Проверить решение можно на Калькуляторе онлайн.

Пример 6. Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы имели место слелующие соотношения:

1) длина суммы векторов равна длине разности векторов, т. е. ,

2) длина суммы векторов больше длины разности векторов, т. е. ,

3) длина суммы векторов меньше длины разности векторов, т. е. ?

Решение.

Находим условие для первого соотношения. Для этого решаем следующее уравнение:

То есть, для того, чтобы длина суммы векторов была равна длине их разности, необходимы, чтобы косинус угла между ними и косинус смежного ему угла были равны. Это условие выполняется, когда углы образуют прямой угол.

Находим условие для второго соотношения. Решаем уравнение:

Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами меньше косинуса смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была больше длины разности векторов, необходимо, чтобы углы образовали острый угол (пример 1).

Находим условие для третьего соотношения. Решаем уравнение:

Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами больше косинуса смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была меньше длины разности векторов, необходимо, чтобы углы образовали тупой угол.

Проверить решение можно на Калькуляторе онлайн.

Поделиться с друзьями

Начало темы «Векторы»

Продолжение темы «Векторы»

ФСР онлайн. Фундаментальное решение системы уравнений

Попробуем решить систему уравнений, типа

Решение подобных систем неразрывно связывают с формулой приведения матрицы к треугольному виду. Это наглядно, красиво и никогда не дает сбоев.  Есть только одно но, нужно делать очень много ручной работы и использовать понятия ранга матрицы

Нет никаких сомнений подвергать выверенную веками технологию, но есть не менее красивое решение используя векторное произведение. Информации по ним на январь 2019 года в интернете нет, поэтому скромно назовемся первооткрывателем.

Это решение конечно же не оптимально (по быстродействию), так как при вычислении векторного произведения, надо вычислять определитель матрицы, а это так или иначе  вычисление треугольной матрицы.

Но решение красиво и наглядно, кроме этого легко видеть критерий при котором система не имеет решений.

В чем же суть методики?

Решая эту систему как произведение двух векторов, мы получим

А следоватетельно, корни системы равны 

Для тех кто не верит, это легко проверяется подстановкой

Такой же нехитрый прием используется  и при системах где количество переменных может быть и пять и десять.

Рассмотрим, как же решаются такие системы с помощью векторных произведений.

Итак, у нас есть исходная система

Приведем её вот в такой вид

У нас получилось 6 столбцов.

На этом этапе не будем вводить новых сущностей и не используем в своей работе понятия ранга матрицы. Мы просто видим что уравнений 3, а переменных 5-ть. Следовательно общее решение будет использовать 5-3=2 независимых переменных.

На этом же шаге, мы можем определить, какие же из переменных будут свободными. Так как фантазии ноль, то те из переменных, которые будут правее всех, те  и станут свободными.

То есть свободными у нас будут две переменных 

А теперь за три шага определяем фундаментальное решение исходной системы

Шаг1.

Шаг 2.

Шаг 3.

Нет необходимости подробно рассказывать откуда  мы берем данные. Это очевидно

Интереснее то, что мы с этими «векторами» делать будем.

Разделим их на -81

получаем следующие три вектора

Таким образом фундаментальное решение  принимает вид

Великолепно! Не правда ли….

Хочется еще что то решить…. Еще один пример

Это интересное уравнение, так вектора в любом сочетании будут давать ноль.

Это говорит нам о том, что одно из уравнений «лишнее». Согласимся с этим и уберем его. Например последнее.

Тогда нам надо выбрать две свободных переменных, пусть это будут переменные с индексами 2 и 4.

Тогда вектора находятся как

Разделим на -3 и наше общее решение будет иметь вид

Не каждому сразу становиться ясно откуда у нас появляются нули и единицы в нашем стройном вектором ряде.  Это  связано с тем, что мы свободные переменные выбрали как нашей душе угодно, а не самые крайние правые. 

Если бы мы взяли переменные с индексами 3 и 4  как свободные то решение бы мы переписали так как нам бы выдала машина.

В начале статьи мы упомянули о критерии неразрешимости той или иной системы уравнений. В классической версии для этого исползуется правило Кронекера-Копелли, здесь же просто анализируется результат векторного произведения.

Если результирующий вектор имеет вид 

где , а среди всех оставшихся есть хотя бы один не нулевой, то такая система решений не имеет

Примеры, неразрешимых систем уравнений

Если результирующий вектор имеет все нулевые коэффициенты ( мы такой пример рассмотрели выше), то это говорит о том, что или как минимум одно из уравнений есть линейное представление другого, и/или одна из переменных  пропорциональна другой.

Калькулятор, представленный здесь, дает Вам возможность самому проанализировать исходную систему, за Вас он лишь сделает точные расчеты, по тем данным, что Вы ему введете.

Вот один из примеров

алгебраическое сложение векторов

Вы искали алгебраическое сложение векторов? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и вектор правило треугольника, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «алгебраическое сложение векторов».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как алгебраическое сложение векторов,вектор правило треугольника,вектор суммы,вектор суммы двух векторов,вектор формулы,вектора вычитание,вектора вычитание и сложение,вектора правило треугольника,вектора сложение,вектора сумма,векторная сумма,векторное сложение,векторное сложение векторов,векторов формула,векторы вычитание,векторы вычитание и сложение,векторы по правилу треугольника,векторы правила треугольника,векторы правило треугольника,векторы сложение,векторы сложение правило треугольника,выполните сложение векторов а и б,вычитание вектора,вычитание векторов,вычитание векторов примеры,вычитание двух векторов,вычитание сонаправленных векторов,вычитания векторов,вычитания векторов примеры,геометрия сложение векторов,геометрия формулы векторов,для того чтобы сложить два вектора нужно,задачи на вычитание и сложение векторов,задачи на сложение векторов,задачи сложение векторов,как производится вычитание векторов,как складывать вектора в геометрии,как сложить 3 вектора,как сложить вектора по координатам,как сложить векторы по координатам,как сложить векторы по правилу треугольника,как сложить три вектора,какие правила сложения векторов вы знаете,какие правила сложения двух и нескольких векторов вы знаете,когда сумма векторов равна 0,когда сумма векторов равна нулю,методы сложения векторов,на рисунке даны векторы а и б какой из векторов c равен сумме этих векторов,определение сложение векторов,определение сумма векторов,определение суммы векторов,по каким правилам можно выполнять сложение векторов,построить сумму векторов,правила вычитания векторов,правила сложения векторов,правила сложения векторов в геометрии,правила треугольника векторы,правило вектора треугольника,правило разности векторов,правило сложение векторов правило треугольника,правило сложения векторов по правилу треугольника,правило сложения векторов треугольника,правило сумма векторов,правило треугольника вектор,правило треугольника векторы,правило треугольника векторы определение,правило треугольника для векторов,примеры вычитание векторов,примеры вычитания векторов,примеры сложение векторов,разница векторов,разность векторов формула,решение векторов сложение и вычитание векторов,складывание векторов,сложение 3 векторов,сложение вектора,сложение векторов,сложение векторов геометрия,сложение векторов задачи,сложение векторов из одной точки,сложение векторов координат,сложение векторов координаты,сложение векторов методом треугольника,сложение векторов определение,сложение векторов параллельных,сложение векторов по координатам формула,сложение векторов по правилу,сложение векторов по правилу треугольника,сложение векторов правило,сложение векторов правило треугольника,сложение векторов примеры,сложение векторов противоположно направленных,сложение векторов треугольником,сложение векторов формула,сложение векторов это,сложение векторы,сложение двух векторов,сложение и вычитание векторов примеры,сложение и вычитание векторов примеры с решением,сложение и вычитание коллинеарных векторов,сложение нескольких векторов,сложение параллельных векторов,сложение противоположно направленных векторов,сложение противоположных векторов,сложение сонаправленных векторов,сложение трех векторов,сложения векторов,способы сложения векторов,сумма 2 векторов,сумма 3 векторов,сумма вектора,сумма векторов,сумма векторов алгебраическая,сумма векторов определение,сумма векторов по правилу треугольника,сумма векторов правило,сумма векторов правило треугольника,сумма векторов треугольника,сумма векторов формула,сумма векторов формула по координатам,сумма векторов формула через координаты,сумма векторов что такое,сумма векторов это,сумма векторов это определение,сумма двух векторов,сумма и вычитание векторов,сумма противоположных векторов,суммы векторов,суммы векторов определение,суммы векторов формула,формула сложения векторов,формула сумма векторов,формула суммы векторов,формулы сложения векторов,чему равна сумма векторов,чему равна сумма противоположных векторов,что такое сумма векторов. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и алгебраическое сложение векторов. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, вектор суммы).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же алгебраическое сложение векторов Онлайн?

Решить задачу алгебраическое сложение векторов вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Векторный калькулятор онлайн — Solumaths

Описание:

Векторный калькулятор позволяет производить вычисления с векторами с использованием координат.

Описание:

Векторный калькулятор позволяет вычислять вектор из декартовых координат.

Онлайн-калькулятор векторов позволяет выполнять арифметические операции с векторами, это позволяет сумму, разность или умножение вектора на скаляр.Векторный калькулятор позволяет использовать как буквальные координаты , так и числовые координаты . Векторный калькулятор определяет различные этапы вычислений. Векторный калькулятор — инструмент, особенно подходящий для аналитической геометрии.

1. Арифметические операции с использованием векторов координат

Для выполнения следующего вычисления `((3), (4), (5)) + ((1), (2), (3)) — ((2), (4), (5))` с координатами векторов войти vector_calculator (`[3; 4; 5] + [1; 2; 3] — [2; 4; 5]`), после расчета возвращается результат.

2. Расчет векторов и буквальных координат

Изюминкой векторного калькулятора является его способность выполнять буквальные вычисления, то есть символьные вычисления. от координат векторов.

Для выполнения следующего вычисления `((a), (2a), (5a)) + ((0), (- a), (c)) — ((1 + a), (4 + c), (5 )) ` включая векторы координат, содержащие буквы, войти vector_calculator (`[a; 2a; 5a] + [0; -a; c] — [1 + a; 4 + c; 5]`), после расчета возвращается результат.

Синтаксис:

Примеры:

— Онлайн-калькулятор результирующего вектора

Векторы — это величины, имеющие как величину, так и направление. Векторы помогают одновременно представлять разные величины в одном выражении.

Что такое результирующий векторный калькулятор?

«Калькулятор результирующего вектора» — это онлайн-инструмент, который помогает вычислить результирующее значение для данного вектора. Онлайн-калькулятор результирующего вектора поможет вам вычислить результирующее значение для данного вектора в течение нескольких секунд.

ПРИМЕЧАНИЕ. Введите цифры, состоящие не более чем из двух цифр.

Как использовать результирующий векторный калькулятор?

Пожалуйста, следуйте инструкциям ниже по использованию калькулятора:

• Шаг 1: Введите коэффициенты двух векторов в указанные поля ввода.
• Шаг 2: Нажмите кнопку « Добавить », чтобы вычислить результирующее значение для данного вектора
• Шаг 3: Нажмите кнопку « Сброс », чтобы очистить поля и ввести новые значения.

Как найти результирующий вектор?

Результирующий вектор определяется как вектор, который дает комбинированный эффект всех векторов. Когда мы складываем два или более векторов, результатом является результирующий вектор.Пусть \ (\ vec A = x \ hat i + y \ hat j + z \ hat k \) и \ (\ vec B = p \ hat i + q \ hat j + r \ hat k \). Результирующий вектор рассчитывается по формуле:

Результирующий вектор = \ (\ vec A + \ vec B = (x + p) \ hat i + (y + q) \ hat j + (z + r) \ hat k \)

Где x, y, z, p, q и r — числовые значения, а \ (\ hat i, \ hat j, \ hat k \) — единичные векторы вдоль оси x, оси y и z- оси соответственно.

Давайте вкратце рассмотрим пример.

Хотите найти сложные математические решения за секунды?

Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором для решения сложных вопросов.Cuemath находит решения простым и легким способом.

Забронируйте бесплатную пробную версию Класс

Найти равнодействующую двух заданных векторов a = 4i + 2j — 5k и b = 3i — 2j + k?

Для a = 4i + 2j — 5k и b = 3i — 2j + k

Результат = a + b = (4i + 2j — 5k) + (3i — 2j + k)

= (4 + 3) я + (2 — 2) j + (-5 + 1) к

= 7i + 0j — 4k

= 7i — 4k

Следовательно, результат двух векторов равен 7i — 4k

Точно так же вы можете использовать калькулятор, чтобы найти результат двух векторов для следующего:

• a = 4i + 2j — 5k и b = -1i + 4j — 3k
• a = -2i — 5k и b = -7i + j + k

Расчет длины вектора, онлайн калькулятор

Наш онлайн-калькулятор позволяет определить длину вектора всего за пару кликов.Чтобы рассчитать длину вектора по заданным координатам или точкам — Выберите размер и метод определения вектора, введите все координаты и нажмите «Рассчитать», калькулятор даст пошаговое решение и ответ! Каждый шаг будет подробно расписан, это поможет вам понять решение и закрепить покрытый материал.

Форма представления векторов:

по координатам по точкам

Калькулятор векторов

Как определить, является ли вектор линейной комбинацией других векторов

Идея линейной комбинации векторов очень важна для изучения линейной алгебры.Мы можем использовать линейные комбинации, чтобы понять охватывающие множества, пространство столбцов матрицы и большое количество других тем. Один из самых полезных навыков при работе с линейными комбинациями — это определение того, когда один вектор является линейной комбинацией заданного набора векторов.

реклама

Предположим, что у нас есть вектор \ (\ vec {v} \), и мы хотим знать ответ на вопрос, является ли \ (\ vec {v} \) линейной комбинацией векторов \ (\ vec {a} _ {1} \), \ (\ vec {a} _ {2} \) и \ (\ vec {a} _ {3} \)? ».n \) для некоторого \ (n \), то на этот вопрос можно ответить, используя эквивалентную расширенную матрицу:

\ (\ left [\ begin {array} {ccc | c} \ vec {a} _1 & \ vec {a} _2 & \ vec {a} _3 & \ vec {v} \\ \ end {array} \ right ] \)

Если эта матрица представляет собой непротиворечивую систему уравнений, то мы можем сказать, что \ (\ vec {v} \) является линейной комбинацией других векторов.

Пример

Определите, является ли вектор \ (\ begin {bmatrix} 5 \\ 3 \\ 0 \\ \ end {bmatrix} \) линейной комбинацией векторов:
\ (\ begin {bmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \\ \ end {bmatrix} \), \ (\ begin {bmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \\ \ end {bmatrix} \), \ (\ begin {bmatrix} 8 \\ 1 \\ 1 \\ \ end {bmatrix} \) и \ (\ begin {bmatrix} -4 \\ 6 \\ 1 \\ \ end {bmatrix} \)

Решение

Помните, что это означает, что мы хотим найти такие константы \ (x_ {1} \), \ (x_ {2} \), \ (x_ {3} \) и \ (x_ {4} \), что:

\ (\ begin {bmatrix} 5 \\ 3 \\ 0 \\ \ end {bmatrix} = x_ {1} \ begin {bmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \\ \ end {bmatrix} + x_ {2} \ begin {bmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \\ \ end {bmatrix} + x_ {3} \ begin {bmatrix} 8 \\ 1 \\ 1 \\ \ end {bmatrix} + x_ {4} \ begin {bmatrix} -4 \\ 6 \\ 1 \\ \ end {bmatrix} \)

Это векторное уравнение эквивалентно расширенной матрице.Настроив эту матрицу и уменьшив строку, мы находим:

\ (\ left [\ begin {array} {cccc | c} 2 & 1 & 8 & -4 & 5 \\
0 & 4 & 1 & 6 & 3 \\
1 & 3 & 1 & 1 & 0 \ \
\ end {array} \ right]
\)

эквивалентно:

\ (\ left [\ begin {array} {cccc | c} 1 & 0 & 0 & — \ dfrac {103} {29} & — \ dfrac {74} {29} \\
0 & 1 & 0 & \ dfrac {42} {29} & \ dfrac {13} {29} \\
0 & 0 & 1 & \ dfrac {6} {29} & \ dfrac {35} {29} \\
\ end {array} \верно]\)

Хотя это не красиво, эта матрица НЕ содержит такую ​​строку, как \ (\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & c \\ \ end {bmatrix} \), где \ (c \ neq 0 \ ), что указывало бы на несоответствие базовой системы.Следовательно, основная система согласована (имеет решение), что означает, что векторное уравнение также согласовано.

Итак, мы можем сказать, что \ (\ begin {bmatrix} 5 \\ 3 \\ 0 \\ \ end {bmatrix} \) является линейной комбинацией других векторов.

Пошаговый процесс

В общем, если вы хотите определить, является ли вектор \ (\ vec {u} \) линейной комбинацией векторов \ (\ vec {v} _ {1} \), \ (\ vec {v} _ { 2} \),…, \ (\ vec {v} _ {p} \) (для любого целого числа \ (p> 2 \)) вы сделаете следующее.

Шаг 1

Настроить расширенную матрицу

\ (\ left [\ begin {array} {cccc | c} \ vec {v} _1 & \ vec {v} _2 & \ cdots & \ vec {v} _p & \ vec {u} \\ \ end {массив } \ right] \)

и ряд уменьшить.

Шаг 2

Используйте сокращенную форму матрицы, чтобы определить, представляет ли расширенная матрица непротиворечивую систему уравнений. Если это так, то \ (\ vec {u} \) является линейной комбинацией остальных. В противном случае это не так.

На втором этапе важно помнить, что система уравнений непротиворечива, если существует одно решение ИЛИ много решений.Количество решений не имеет значения — важно только то, что существует хотя бы одно решение. Это означает, что существует по крайней мере один способ записать данный вектор как линейную комбинацию других.

Запись вектора как линейной комбинации других векторов

Иногда вас могут попросить записать вектор как линейную комбинацию других векторов. Это требует той же работы, что и выше, с еще одним шагом. Вам нужно использовать решение векторного уравнения, чтобы записать, как векторы объединяются для создания нового вектора.

Давайте начнем с более простого случая, чем тот, который мы делали раньше, а затем вернемся к нему, поскольку он немного сложен.

Пример

Запишите вектор \ (\ vec {v} = \ begin {bmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \\ \ end {bmatrix} \) как линейную комбинацию векторов:
\ (\ begin {bmatrix} 2 \ \ 0 \\ 1 \\ \ end {bmatrix} \), \ (\ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \ end {bmatrix} \) и \ (\ begin {bmatrix} -2 \ \ 0 \\ 0 \\ \ end {bmatrix} \)

Решение

Шаг 1

Мы настраиваем нашу расширенную матрицу и сокращаем ее по строкам.

\ (
\ left [\ begin {array} {ccc | c} 2 & 0 & -2 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 4 \\
1 & 0 & 0 & 2 \\
\ end { array} \ right]
\)

эквивалентно

\ (
\ left [\ begin {array} {ccc | c} 1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 4 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
\ end {массив } \ right]
\)

Шаг 2

Мы определяем, представляет ли матрица непротиворечивую систему уравнений.

Исходя из сокращенной матрицы, базовая система согласована. Опять же, это связано с тем, что в части коэффициентов матрицы нет строк со всеми нулями, а в дополнении нет единственного ненулевого значения. (в качестве аргумента вы также можете использовать количество точек поворота.)

В отличие от предыдущего, мы хотим не только проверять наличие линейной комбинации. Мы хотим показать саму линейную комбинацию. Значит, нам нужно реальное решение. В данном случае только один:

\ (x_1 = 2 \), \ (x_2 = 4 \), \ (x_3 = 1 \)

Используя эти значения, мы можем записать \ (\ vec {v} \) как:

\ (\ vec {v} = \ begin {bmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \\ \ end {bmatrix} = (2) \ begin {bmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \\ \ end {bmatrix} + (4) \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \ end {bmatrix} + (1) \ begin {bmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ \ end {bmatrix} \)

Теперь вернемся к нашему первому примеру (с сумасшедшими дробями), но немного изменим инструкции.

Пример

Запишите вектор \ (\ vec {v} = \ begin {bmatrix} 5 \\ 3 \\ 0 \\ \ end {bmatrix} \) как линейную комбинацию векторов:
\ (\ begin {bmatrix} 2 \ \ 0 \\ 1 \\ \ end {bmatrix} \), \ (\ begin {bmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \\ \ end {bmatrix} \), \ (\ begin {bmatrix} 8 \\ 1 \\ 1 \\ \ end {bmatrix} \) и \ (\ begin {bmatrix} -4 \\ 6 \\ 1 \\ \ end {bmatrix} \)

Когда мы сделали шаг 1, у нас была следующая работа. Это показало, что эквивалентное векторное уравнение было непротиворечивым, и подтвердило, что \ (\ vec {v} \) было линейной комбинацией других векторов.

\ (\ left [\ begin {array} {cccc | c} 2 & 1 & 8 & -4 & 5 \\
0 & 4 & 1 & 6 & 3 \\
1 & 3 & 1 & 1 & 0 \ \
\ end {array} \ right]
\)

эквивалентно:

\ (\ left [\ begin {array} {cccc | c} 1 & 0 & 0 & — \ dfrac {103} {29} & — \ dfrac {74} {29} \\
0 & 1 & 0 & \ dfrac {42} {29} & \ dfrac {13} {29} \\
0 & 0 & 1 & \ dfrac {6} {29} & \ dfrac {35} {29} \\
\ end {array} \верно]\)

Что, если бы мы хотели записать линейную комбинацию.Это отличается от предыдущего примера тем, что существует бесконечно много решений векторного уравнения.

При более внимательном рассмотрении этой расширенной матрицы мы видим, что есть одна свободная переменная \ (x_ {4} \). Если мы выпишем уравнения, у нас будет:

\ (x_1 — \ left (\ dfrac {103} {29} \ right) x_4 = — \ dfrac {74} {29} \)

\ (x_2 + \ left (\ dfrac {42} {29} \ right) x_4 = \ dfrac {13} {29} \)

\ (x_3 + \ left (\ dfrac {6} {29} \ right) x_4 = \ dfrac {35} {29} \)

Поскольку \ (x_ {4} \) — свободная переменная, мы можем дать ей любое значение и найти решение этой системы уравнений.Действительно «хорошее» значение будет равно нулю. Если \ (x_4 = 0 \), то:

\ (x_1 — \ dfrac {103} {29} (0) = — \ dfrac {74} {29} \)

\ (x_2 + \ dfrac {42} {29} (0) = \ dfrac {13} {29} \)

\ (x_3 + \ dfrac {6} {29} (0) = \ dfrac {35} {29} \)

Используя это решение, мы можем записать \ (\ vec {v} \) как линейную комбинацию других векторов.

\ (\ vec {v} = \ begin {bmatrix} 5 \\ 3 \\ 0 \\ \ end {bmatrix} = \ left (- \ dfrac {72} {29} \ right) \ begin {bmatrix} 2 \ \ 0 \\ 1 \\ \ end {bmatrix} + \ left (\ dfrac {13} {29} \ right) \ begin {bmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \\ \ end {bmatrix} + \ left ( \ dfrac {35} {29} \ right) \ begin {bmatrix} 8 \\ 1 \\ 1 \\ \ end {bmatrix} + (0) \ begin {bmatrix} -4 \\ 6 \\ 1 \\ \ конец {bmatrix} \)

Это было бы одно решение, но поскольку \ (x_4 \) бесплатно, их бесконечно много.Для каждого возможного значения \ (x_4 \) у вас есть другой правильный способ записать \ (\ vec {v} \) как линейную комбинацию других векторов. Например, если \ (x_4 = 1 \):

\ (\ begin {align} x_1 & = — \ dfrac {74} {29} + \ dfrac {103} {29} \\ & = \ dfrac {29} {29} \\ & = 1 \ end {align} \)

\ (\ begin {align} x_2 & = \ dfrac {13} {29} — \ dfrac {42} {29} \\ & = — \ dfrac {29} {29} \\ & = -1 \ end {align } \)

\ (\ begin {align} x_3 & = \ dfrac {35} {29} — \ dfrac {6} {29} \\ & = \ dfrac {29} {29} \\ & = 1 \ end {align} \ )

Используя это, мы также можем написать:

\ (\ vec {v} = \ begin {bmatrix} 5 \\ 3 \\ 0 \\ \ end {bmatrix} = (1) \ begin {bmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \\ \ end {bmatrix} + (-1) \ begin {bmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \\ \ end {bmatrix} + (1) \ begin {bmatrix} 8 \\ 1 \\ 1 \\ \ end {bmatrix} + (1 ) \ begin {bmatrix} -4 \\ 6 \\ 1 \\ \ end {bmatrix} \)

Как это хорошо? (примечание: обычно мы не записываем 1 в уравнении, показывающем линейную комбинацию.Я оставил его там, чтобы вы могли видеть, где заканчивается каждое число из решения).

Опять же, у такой проблемы есть бесконечно много ответов. Все, что вам нужно сделать, это выбрать значение для свободных переменных, и у вас будет одно конкретное решение, которое вы можете использовать при написании линейной комбинации.

Когда вектор НЕ является линейной комбинацией других

Стоит увидеть один пример, где вектор не является линейной комбинацией некоторых заданных векторов. Когда это произойдет, мы получим расширенную матрицу, указывающую на противоречивую систему уравнений.

Пример

Определите, является ли вектор \ (\ begin {bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ \ end {bmatrix} \) линейной комбинацией векторов:
\ (\ begin {bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ \ end {bmatrix} \), \ (\ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ \ end {bmatrix} \) и \ (\ begin {bmatrix} 1 \\ 2 \\ — 1 \\ \ end {bmatrix} \).

Решение

Шаг 1

Мы настраиваем нашу расширенную матрицу и сокращаем ее по строкам.

\ (
\ left [\ begin {array} {ccc | c} 1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 2 & 2 \\
0 & -1 & -1 & 1 \\
\ end {array} \ right]
\)

эквивалентно:

\ (
\ left [\ begin {array} {ccc | c} 1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\ end {массив } \ right]
\)

Шаг 2

Мы определяем, представляет ли матрица непротиворечивую систему уравнений.

Учитывая форму последней строки, эта матрица представляет противоречивую систему уравнений . Это означает, что нельзя записать этот вектор как линейную комбинацию других векторов. Вот и все — больше нечего сказать! Это будет наш вывод каждый раз, когда сокращение строки приводит к строке с нулями и ненулевым значением при увеличении.

Учебное пособие — линейные комбинации и пролет

Вам нужно больше практики с линейными комбинациями и диапазоном? Это 40-страничное учебное пособие поможет! Он включает объяснения, примеры, практические задачи и полные пошаговые решения.

Получить учебное пособие

Подпишитесь на нашу рассылку!

Мы всегда публикуем новые бесплатные уроки и добавляем новые учебные пособия, руководства по калькуляторам и пакеты задач.

Подпишитесь, чтобы получать электронные письма (раз в пару или три недели) с информацией о новинках!

Векторный 3D плоттер | Academo.org

Интерактивный сюжет из трехмерных векторов.Посмотрите, как два вектора связаны с их результирующим, разностным и перекрестным произведением.

Математика Геометрия График участок вектор

Приведенная выше демонстрация позволяет вам ввести до трех векторов в форме (x, y, z). Нажатие кнопки рисования отобразит векторы на диаграмме (масштаб диаграммы будет автоматически настроен, чтобы соответствовать величине векторов). Вы можете перетащить диаграмму и увеличить или уменьшить масштаб с помощью прокрутки с помощью мыши. При нажатии на конец вектора также отображаются его отдельные компоненты.

В демонстрации также есть возможность построить 3 других вектора, которые можно вычислить из первых двух входных векторов. Первый из них является результирующим, и он получается, когда компоненты каждого вектора складываются. Если результат \ (\ textbf {c} \), то

Аналогичным образом, разница в том, что вы получаете, когда вычитаете один вектор из другого, в данном случае \ (\ textbf {d} \),

Наконец, векторное произведение (также известное как перекрестное произведение) определяется как

С геометрической точки зрения длина векторного произведения равна произведению величин \ (\ textbf {a} \) и \ (\ textbf {b} \), умноженных на синус угла между ними.Он указывает в направлении \ (\ hat {n} \), который является вектором, указывающим прямо из плоскости, в которой лежат \ (\ textbf {a} \) и \ (\ textbf {b} \). Это означает, что если два вектора указывают в одном (или точно противоположном) направлении, то их перекрестное произведение будет равно нулю. Попробуйте это выше!

Кредиты

• Спасибо пользователю https://github.com/harshaxnim за создание возможности добавлять дополнительные векторы, а также за реализацию других улучшений в коде этой демонстрации

Векторные уравнения и интервалы

Уравнение, включающее векторы с n координатами, аналогично n уравнениям, включающим только числа. Например, уравнение

xC126D + yC − 1−2−1D = C8163D

упрощается до

Cx2x6xD + C − y − 2y − yD = C8163DorCx − y2x − 2y6x − yD = C8163D.

Чтобы два вектора были равны, все их координаты должны быть равны, так что это просто система линейных уравнений

Ex − y = 82x − 2y = 166x − y = 3.

Определение

Векторное уравнение — это уравнение, включающее линейную комбинацию векторов с возможно неизвестными коэффициентами.

Спросить, имеет ли векторное уравнение решение, то же самое, что спросить, является ли данный вектор линейной комбинацией некоторых других данных векторов.

Например, приведенное выше векторное уравнение спрашивает, является ли вектор (8,16,3) линейной комбинацией векторов (1,2,6) и (−1,2, −1).

То, что нас действительно волнует, — это решение систем линейных уравнений, а не решение векторных уравнений. Вся суть векторных уравнений в том, что они дают нам другой, более геометрический способ рассмотрения систем линейных уравнений.

Для реального решения векторного уравнения

xC126D + yC − 1−2−1D = C8163D,

необходимо решить систему линейных уравнений

Ex − y = 82x − 2y = 166x − y = 3.

Это означает формирование расширенной матрицы

и редукторный. Обратите внимание, что столбцы расширенной матрицы — это векторы из исходного векторного уравнения , поэтому на самом деле нет необходимости писать систему уравнений: можно перейти непосредственно от векторного уравнения к расширенной матрице, «смешав векторы вместе. ».В следующем примере мы проводим сокращение строки и находим решение.

Рецепт: решение векторного уравнения

В общем случае векторное уравнение

x1v1 + x2v2 + ··· + xkvk = b

, где v1, v2, …, vk, b — векторы в Rn, а x1, x2, …, xk — неизвестные скаляры, имеет то же решение, что и линейная система с расширенной матрицей

, столбцы которого — это vi и b.

Теперь у нас есть три эквивалентных способа мышления о линейной системе:

1. В виде системы уравнений:

   h3x1 + 3×2−2×3 = 7×1 − x2−3×3 = 5

2. В качестве дополненной матрицы:
3. В виде векторного уравнения (x1v1 + x2v2 + ··· + xnvn = b):

   x1F21G + x2F3−1G + x3F − 2−3G = F75G

Третий — геометрический по своей природе: он поддается рисованию картинок.

Важно знать, каковы все линейные комбинации из набора векторов v1, v2, …, vk в Rn. Другими словами, мы хотели бы понять множество всех векторов b в Rn таких, что векторное уравнение (в неизвестных x1, x2, …, xk)

x1v1 + x2v2 + ··· + xkvk = b

имеет решение (т.е. согласованно).

Определение

Пусть v1, v2, …, vk — векторы в Rn. охватывает v1, v2, …, vk — это совокупность всех линейных комбинаций v1, v2 ,…, vk, и обозначается Span {v1, v2, …, vk}. В символах:

Диапазон {v1, v2, …, vk} = Ax1v1 + x2v2 + ··· + xkvk | x1, x2, …, xkinRB

Мы также говорим, что Span {v1, v2, …, vk} — это подмножество , охватываемое или , сгенерированное векторами v1, v2, …, vk.

Приведенное выше определение является первым из нескольких основных определений , которые мы увидим в этом учебнике. Они важны в том смысле, что составляют суть предмета линейной алгебры: изучение линейной алгебры означает (частично) изучение этих определений.Все определения важны, но важно, чтобы вы выучили и поняли определения, отмеченные как таковые.

Эквивалент означает, что для любого заданного списка векторов v1, v2, …, vk, b либо все три утверждения верны, либо все три утверждения ложны.

Фотографии пролетов

Рисование изображения Span {v1, v2, …, vk} аналогично рисованию изображения всех линейных комбинаций v1, v2, …, vk.