Полином лежандра это: Полиномы Лежандра — это… Что такое Полиномы Лежандра?

alexxlab / / Разное

Содержание

Полином Лежандра — это… Что такое Полином Лежандра?


Полином Лежандра

Многочлены Лежандра — определённая ортогональная система многочленов, на отрезке [ − 1,1] по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов 1, x, x^2, x^3, \ldots ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.

Определение

Многочлены Лежандра определяются по формуле (называемой формулой Родрига)

P_n (x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n}(x^2 - 1)^n

часто записываемой в виде

P_n (\cos\,\theta) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d}{d(\cos\,\theta)^n}(\cos^2\,\theta - 1)^n

Они также могут быть вычислены по рекуррентной формуле

P_{n+1}(x) = \frac{2n+1}{n+1} x P_n(x) - \frac{n}{n+1} P_{n-1}(x)

Присоединённые многочлены Лежандра определяются по формуле

P^m_n (x) = (1-x^2)^{m/2} \frac{d^m}{dx^m} P_n (x)

которую также можно представить в виде

P^m_n (\cos\,\theta) = \sin^m\theta \frac{d^m}{d(\cos\,\theta)^m} P_n(\cos\,\theta)

При m = 0 функция P^m_n совпадает с Pn.

Примеры

Первые четыре многочлена Лежандра равны:

  1. P0(x) = 1
  2. P1(x) = x
  3. P_2(x) = {1\over{2}} (3x^2 - 1)
  4. P_3(x) = {1\over 2} (5x^3 - 3x)

Свойства

{d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P_n(x) \right] - \frac{m^2}{(1-x^2)} P_n(x) + n(n+1)P_n(x) = 0.
\sum_{n=0}^{\infty}P_n(z)x^n = {1\over{\sqrt{1-2xz+x^2}}}
\int\limits_{-1}^{1}P_k(x)P_l(x)dx = {2\over{2k+1}}\delta_{kl}
  • При каждом m > 0 система присоединённых функций Лежандра P^m_n (x), \,n=m,m+1,\ldots полна в L2( − 1,1).
  • В зависимости от m и n присоединённые многочлены Лежандра могут быть как чётными, так и нечётными функциями:
P^m_n(-x) = (-1)^{m+n} P^m_n(x)

Функции Лежандра

Многочлены Лежандра (вместе с присоединёнными функциями Лежандра Pn,m(x)) естественно возникают в теории потенциала. Сферические функции — это функции (в сферических координатах r,θ,φ) вида

r^n P^m_n(\cos \theta) \cos m\varphi   и   r^n P^m_n(\cos \theta) \sin m\varphi,

где P^m_n — присоединённые многочлены Лежандра. Сферические функции удовлетворяют уравнению Лапласа всюду в \R^3 (при n < 0 — всюду, кроме нуля) и служат ортогональным базисом для функций.

Литература

  • В.С. Владимиров, В.В. Жаринов. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5

Wikimedia Foundation. 2010.

  • Полином Лагранжа
  • Полином Чебышева

Смотреть что такое «Полином Лежандра» в других словарях:

  • полином Лежандра — Ležandro daugianaris statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Legendre polynomial vok. Legendresches Polynom, n rus. многочлен Лежандра, m; полином Лежандра, m pranc. polynôme de Legendre, m …   Fizikos terminų žodynas

  • присоединённый полином Лежандра — prijungtinis Ležandro daugianaris statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. associated Legendre polynomial vok. Legendresches zugeordnetes Polynom, n; zugeordnetes Legendresches Polynom, n rus. присоединённый многочлен Лежандра, m;… …   Fizikos terminų žodynas

  • Многочлены Лежандра — Многочлен Лежандра  многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов, на отрезке по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов… …   Википедия

  • многочлен Лежандра — Ležandro daugianaris statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Legendre polynomial vok. Legendresches Polynom, n rus. многочлен Лежандра, m; полином Лежандра, m pranc. polynôme de Legendre, m …   Fizikos terminų žodynas

  • присоединённый многочлен Лежандра — prijungtinis Ležandro daugianaris statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. associated Legendre polynomial vok. Legendresches zugeordnetes Polynom, n; zugeordnetes Legendresches Polynom, n rus. присоединённый многочлен Лежандра, m;… …   Fizikos terminų žodynas

  • РАССЕЯНИЕ МИКРОЧАСТИЦ — процесс столкновения ч ц, в результате к рого меняются импульсы ч ц (у п р у г о е р а с с е я н и е) или наряду с изменением импульсов меняются также внутр. состояния ч ц (к в а з и у п р у г и е п р о ц е с с ы) либо образуются др. ч цы (н е у… …   Физическая энциклопедия

  • СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — (сферические гармоники) спец. функции, возникающие, напр., при отыскании ограниченных решений ур ния Лапласа Du = 0 в сферич. координатах (r, q, j) методом разделения переменных. Введены в кон. 18 в. А. Лежандром и П. Лапласом. Полагая и = и(r,q …   Физическая энциклопедия

  • Юпитер — У этого термина существуют и другие значения, см. Юпитер (значения). Юпитер …   Википедия

  • Гипергеометрическая функция — (функция Гаусса) определяется внутри круга как сумма гипергеометрического ряда а при   как её аналитическое продолжение. Она является решением линейного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) второго порядка называемого… …   Википедия

  • Legendre polynomial — Ležandro daugianaris statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Legendre polynomial vok. Legendresches Polynom, n rus. многочлен Лежандра, m; полином Лежандра, m pranc. polynôme de Legendre, m …   Fizikos terminų žodynas

Многочлены Лежандра — это… Что такое Многочлены Лежандра?

Многочлен Лежа́ндра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов, на отрезке по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.

Определение

Полиномы Лежандра и присоединённые функции Лежандра первого и второго рода

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

(УравнПолЛеж)

где  — комплексная переменная. Решения этого уравнения при целых имеют вид многочленов, называемых

многочленами Лежандра. Полином Лежандра степени можно представить через формулу Родрига в виде[1]

Часто вместо записывают косинус полярного угла:

Уравнение (УравнПолЛеж) можно получить из частного случая гипергеометрического уравнения, называемого уравнением Лежандра

(УравнЛеж)

где ,  — произвольные комплексные постоянные. Интерес представляют его решения, являющиеся однозначными и регулярными при (в частности, при действительных ) или когда действительная часть числа больше единицы. Его решения называют присоединёнными функциями Лежандра или шаровыми функциями. Подстановка вида в (УравнЛеж) даёт уравнение Гаусса, решение которого в области принимает вид

где F — гипергеометрическая функция. Подстановка в (УравнЛеж) приводит к решению вида

определённым на . Функции и называют функциями Лежандра первого и второго рода.[2]

Справедливы соотношения[3]

и

Формулы с

  • Многочлены Лежандра также определяются по следующим формулам:
, если ;
, если .

Рекуррентная формула

Формулы с разложениями

  • Многочлены Лежандра также определяются следующими разложениями:


для ± :


и для ± :

Следовательно,

Присоединённые многочлены Лежандра

  • Присоединённые многочлены Лежандра определяются по формуле:

которую также можно представить в виде:

При функция совпадает с .

Матрица функции многочлена Лежандра

Эта матрица является верхнетреугольной. Её определитель равен нулю, а собственные значения равны , где .

Примеры

Первые 6 многочленов Лежандра.

Первые многочлены Лежандра равны:

Поскольку , то

Свойства

Что также можно записать как:

где  — символ Кронекера.

  • Для , норма равна:
  • Нормированная функция многочленов Лежандра связана с нормой следующим соотношением:
  •  — четная функция;
  •  — нечетная функция.

Ряды многочленов Лежандра

Разложение липшицевой функции в ряд многочленов Лежандра

Липшицевая функция является функцией со свойством:

, где .

Эта функция разлагается в ряд многочленов Лежандра.

Пусть  — пространство непрерывных отображений на отрезке , и .

Пусть

тогда удовлетворяет следующему условию:

Пусть и удовлетворяет следующим условиям:

  1. , где

Липшецевую функцию можно записать следующим образом:

Разложение голоморфной функции

Всякая функция f, голоморфная внутри эллипса с фокусами −1 и +1, может быть представлена в виде ряда:

Теорема сложения

Для величин, удовлетворяющих условиям , , , — действительное число, можно записать теорему сложения для полиномов Лежандра первого рода:[4]

или, в альтернативной форме через гамма-функцию:

Для полиномов Лежандра второго рода теорема сложения выглядит как[5]

при условиях , , ,

Функции Лежандра

Многочлены Лежандра (вместе с присоединёнными функциями Лежандра ) естественно возникают в теории потенциала.

Шаровые функции — это функции (в сферических координатах ) вида (с точностью до константы)

и

где  — присоединённые многочлены Лежандра;

а точнее вида , где  — сферические функции.

Шаровые функции удовлетворяют уравнению Лапласа всюду в .

Примечания

  1. ↑ Градштейн, Рыжик, 1963, с. 1039
  2. ↑ Бейтмен, Эрдейи, Т. 1, 1973, с. 126—127
  3. ↑ Бейтмен, Эрдейи, Т. 1, 1973, с. 140
  4. ↑ Градштейн, Рыжик, 1963, с. 1027
  5. ↑ Градштейн, Рыжик, 1963, с. 1028

Литература

  • Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции = Higher Transcendental Functions / Пер. Н. Я. Виленкина. — Изд. 2-е,. — М.: Наука, 1973. — Т. 1. — 296 с. — 14 000 экз.
  • Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5
  • Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — Изд. 4-е, перераб. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — 19 000 экз.
  • Кампе де Ферье Ж., Кемпбелл Р., Петьо Г., Фогель Т. Функции математической физики. — М.: Физматлит, 1963.
  • Никольский С. М. Квадратурные формулы. — М.: Наука, 1988.

Присоединённые многочлены Лежандра — это… Что такое Присоединённые многочлены Лежандра?


Присоединённые многочлены Лежандра

Многочлены Лежандра — определённая ортогональная система многочленов, на отрезке [ − 1,1] по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов 1, x, x^2, x^3, \ldots ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.

Определение

Многочлены Лежандра определяются по формуле (называемой формулой Родрига)

P_n (x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n}(x^2 - 1)^n

часто записываемой в виде

P_n (\cos\,\theta) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d}{d(\cos\,\theta)^n}(\cos^2\,\theta - 1)^n

Они также могут быть вычислены по рекуррентной формуле

P_{n+1}(x) = \frac{2n+1}{n+1} x P_n(x) - \frac{n}{n+1} P_{n-1}(x)

Присоединённые многочлены Лежандра определяются по формуле

P^m_n (x) = (1-x^2)^{m/2} \frac{d^m}{dx^m} P_n (x)

которую также можно представить в виде

P^m_n (\cos\,\theta) = \sin^m\theta \frac{d^m}{d(\cos\,\theta)^m} P_n(\cos\,\theta)

При m = 0 функция P^m_n совпадает с Pn.

Примеры

Первые четыре многочлена Лежандра равны:

  1. P0(x) = 1
  2. P1(x) = x
  3. P_2(x) = {1\over{2}} (3x^2 - 1)
  4. P_3(x) = {1\over 2} (5x^3 - 3x)

Свойства

{d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P_n(x) \right] - \frac{m^2}{(1-x^2)} P_n(x) + n(n+1)P_n(x) = 0.
\sum_{n=0}^{\infty}P_n(z)x^n = {1\over{\sqrt{1-2xz+x^2}}}
\int\limits_{-1}^{1}P_k(x)P_l(x)dx = {2\over{2k+1}}\delta_{kl}
  • При каждом m > 0 система присоединённых функций Лежандра P^m_n (x), \,n=m,m+1,\ldots полна в L2( − 1,1).
  • В зависимости от m и n присоединённые многочлены Лежандра могут быть как чётными, так и нечётными функциями:
P^m_n(-x) = (-1)^{m+n} P^m_n(x)

Функции Лежандра

Многочлены Лежандра (вместе с присоединёнными функциями Лежандра Pn,m(x)) естественно возникают в теории потенциала. Сферические функции — это функции (в сферических координатах r,θ,φ) вида

r^n P^m_n(\cos \theta) \cos m\varphi   и   r^n P^m_n(\cos \theta) \sin m\varphi,

где P^m_n — присоединённые многочлены Лежандра. Сферические функции удовлетворяют уравнению Лапласа всюду в \R^3 (при n < 0 — всюду, кроме нуля) и служат ортогональным базисом для функций.

Литература

  • В.С. Владимиров, В.В. Жаринов. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5

Wikimedia Foundation. 2010.

  • Присоединённое представление лиевой алгебры
  • Присосконоги

Смотреть что такое «Присоединённые многочлены Лежандра» в других словарях:

  • Многочлены Лежандра — Многочлен Лежандра  многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов, на отрезке по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов… …   Википедия

  • Многочлен Лежандра — Многочлены Лежандра  определённая ортогональная система многочленов, на отрезке [ − 1,1] по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта. Названы по имени французского математика Адриен Мари… …   Википедия

  • Полином Лежандра — Многочлены Лежандра  определённая ортогональная система многочленов, на отрезке [ − 1,1] по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта. Названы по имени французского математика Адриен Мари… …   Википедия

  • Полиномы Лежандра — Многочлены Лежандра  определённая ортогональная система многочленов, на отрезке [ − 1,1] по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта. Названы по имени французского математика Адриен Мари… …   Википедия

  • Функция Лежандра — Многочлены Лежандра  определённая ортогональная система многочленов, на отрезке [ − 1,1] по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта. Названы по имени французского математика Адриен Мари… …   Википедия

  • C++ Technical Report 1 — (TR1) является общим названием для стандарта ISO / IEC TR 19768, библиотеки расширений C++  это документ с предложением дополнений в стандарт библиотеки С++. Дополнения включают регулярные выражения, умные указатели, хэш таблицы, и… …   Википедия

  • Сферические функции — представляют собой угловую часть семейства ортогональных решений уравнения Лапласа, записанную в сферических координатах. Они широко используются для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями …   Википедия

Функция Лежандра — это… Что такое Функция Лежандра?


Функция Лежандра

Многочлены Лежандра — определённая ортогональная система многочленов, на отрезке [ − 1,1] по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов 1, x, x^2, x^3, \ldots ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.

Определение

Многочлены Лежандра определяются по формуле (называемой формулой Родрига)

P_n (x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n}(x^2 - 1)^n

часто записываемой в виде

P_n (\cos\,\theta) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d}{d(\cos\,\theta)^n}(\cos^2\,\theta - 1)^n

Они также могут быть вычислены по рекуррентной формуле

P_{n+1}(x) = \frac{2n+1}{n+1} x P_n(x) - \frac{n}{n+1} P_{n-1}(x)

Присоединённые многочлены Лежандра определяются по формуле

P^m_n (x) = (1-x^2)^{m/2} \frac{d^m}{dx^m} P_n (x)

которую также можно представить в виде

P^m_n (\cos\,\theta) = \sin^m\theta \frac{d^m}{d(\cos\,\theta)^m} P_n(\cos\,\theta)

При m = 0 функция P^m_n совпадает с Pn.

Примеры

Первые четыре многочлена Лежандра равны:

  1. P0(x) = 1
  2. P1(x) = x
  3. P_2(x) = {1\over{2}} (3x^2 - 1)
  4. P_3(x) = {1\over 2} (5x^3 - 3x)

Свойства

{d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P_n(x) \right] - \frac{m^2}{(1-x^2)} P_n(x) + n(n+1)P_n(x) = 0.
\sum_{n=0}^{\infty}P_n(z)x^n = {1\over{\sqrt{1-2xz+x^2}}}
\int\limits_{-1}^{1}P_k(x)P_l(x)dx = {2\over{2k+1}}\delta_{kl}
  • При каждом m > 0 система присоединённых функций Лежандра P^m_n (x), \,n=m,m+1,\ldots полна в L2( − 1,1).
  • В зависимости от m и n присоединённые многочлены Лежандра могут быть как чётными, так и нечётными функциями:
P^m_n(-x) = (-1)^{m+n} P^m_n(x)

Функции Лежандра

Многочлены Лежандра (вместе с присоединёнными функциями Лежандра Pn,m(x)) естественно возникают в теории потенциала. Сферические функции — это функции (в сферических координатах r,θ,φ) вида

r^n P^m_n(\cos \theta) \cos m\varphi   и   r^n P^m_n(\cos \theta) \sin m\varphi,

где P^m_n — присоединённые многочлены Лежандра. Сферические функции удовлетворяют уравнению Лапласа всюду в \R^3 (при n < 0 — всюду, кроме нуля) и служат ортогональным базисом для функций.

Литература

  • В.С. Владимиров, В.В. Жаринов. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5

Wikimedia Foundation. 2010.

  • Функция Дирака
  • Функция Мебиуса

Смотреть что такое «Функция Лежандра» в других словарях:

  • Хи-функция Лежандра — это специальная функция, названная по имени французского математика Адриен Мари Лежандра. Хи функция Лежандра определяется рядом Тейлора также являющимся рядом Дирихле: Таким образом Хи функция Лежандра тривиально выражается через полилогарифм:… …   Википедия

  • ЛЕЖАНДРА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — 1) Преобразование математич. анализа, осуществляющее двойственность между объектами в дуальных пространствах (наряду с проективной двойственностью в аналитич. еометрии и полярной двойственностью в выпуклой геометрии). Пусть гладкая функция,… …   Математическая энциклопедия

  • Лежандра символ — Символ Лежандра функция, используемая в теории чисел. Введён французским математиком А. М. Лежандром. Символ Лежандра является частным случаем символа Якоби, который в свою очередь является частным случаем символа Кронекера Якоби. Определение… …   Википедия

  • ЛЕЖАНДРА МНОГОЧЛЕНЫ — сферические многочлены, многочлены, ортогональные на сегменте [ 1,1] с единичным весом Стандартизованные Л. м. определяются Родрига формулой и имеют представление Наиболее употребительны формулы Л. м. можно определить как коэффициенты разложения… …   Математическая энциклопедия

  • Функция Эйлера — Не следует путать с функцией распределения простых чисел. Первая тысяча значений Функция Эйлера φ(n) мультипликативная …   Википедия

  • Функция Гамильтона — У этого термина существуют и другие значения, см. Гамильтониан. Функция Гамильтона, или Гамильтониан  функция, зависящая от обобщённых координат, импульсов и, возможно, времени, описывающая динамику механической системы в гамильтоновой… …   Википедия

  • Функция гамильтона — Гамильтониан (функция Гамильтона) функция, зависящая от обобщённых координат, импульсов и, возможно, времени, описывающая динамику механической системы в гамильтоновой формулировке классической механики, а также оператор в квантовой механике и… …   Википедия

  • Лежандра многочлены —         сферические многочлены, специальная система многочленов последовательно возрастающих степеней. Впервые рассматривалась А. Лежандром и П. Лапласом (в 1782 85) независимо друг от друга. Для n = 0,1,2,… Л. м. Р (х) могут быть определены… …   Большая советская энциклопедия

  • ЛЕЖАНДРА СИМВОЛ — арифметическая функция чисел р к а, определенная для простых нечетных ри целых а, не делящихся на р. Л. с. обозначается Л. с. если сравнение разрешимо; в противном же случае Иногда Л. с. доопределяют и для чисел а, делящихся на р, полагая, что в… …   Математическая энциклопедия

  • Гипергеометрическая функция — (функция Гаусса) определяется внутри круга как сумма гипергеометрического ряда а при   как её аналитическое продолжение. Она является решением линейного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) второго порядка называемого… …   Википедия


Присоединенные функции Лежандра — Студопедия.Нет

Глава 1. Сферические функции

Сферические функции были введены в связи с изучением решений уравнения Лапласа, и в частности с теорией потенциала. В §1 мы рассматриваем полиномы Лежандра, которые используются затем для построения шаровых и сферических функций в §2. Сферические функции являются весьма мощным аппаратом для решения многих задач математической физики.

Полиномы Лежандра

Производящая функция и полиномы Лежандра

Полиномы Лежандра тесно связаны с фундаментальным решением уравнения Лапласа , где R – расстояние от точки М до фиксированной точки М0. Пусть r и r0 – радиусы векторы точек М и М0, а — угол между ними. Очевидно можно записать

                            (1)

 

          

 

при

при  

,

производящая функция полиномов Лежандра.

Разложим функцию  в ряд по степеням :

                                   (2)

,

Коэффициенты  в разложение (2) являются полиномами n-й степени и называются полиномами Лежандра.

В силу теоремы Коши из формулы (2) следует, что

                            (3)

от , (перейдем в комплексную плоскость). Используя интегральную формулу Коши и производную

                                 (4)

Полагая , находим , ,

,                        (5)

где С1— любой контур, окружающий точку x=z. Подинтегральная функция имеет особенность, а именно полюс (n+1) порядка.

,

.                       (6)

Из формулы (6) непосредственно видно что:

1. Получили полином степени n;

2. Полином содержит степени x той же четности, что и номер n, так что

.                                    (7)

Просмотрим граничные условия:

x=1,

,

,

Формула (6) называется дифференциальной формулой для полиномов Лежандра или формулой Родрига. С учетом (7)

.

,

.                (8)

 

Рекуррентные формулы

Используя производящую функцию

,

и найдем частные производные по  и по

:

,

 

,                  (9)

 

,                       (9а)

Запишем левую часть формулы (9) в виде степенного ряда относительно , подставив в нее ряд (3) для  и ряд

.

.                 (10)

,

Возьмем производную по :

 

 m-1=n 1-a             m+1=n 2-a        m=1 3-a      m=0 4-ая         m+1=n 5-ая

 m=n+1 сумма           m=n-1 сумма    n=m сумма m=n сумма     m=n-1 сумма

 n=0,1,2                   n=2,3,4,             n=1,2          n=0                   n=1,2

 

Запишем коэффициенты при 0, 1,…, n.

, где n ≥2. (11)

Таким образом, выражение (11) представляет собой рекуррентное соотношение.

Домножим (9) на ,(10) на ( ) и вычтем

,                                        (12)

,

При любом m получаем m+1=n, n=1

,                           (13)

рекуррентная формула

,                   (14)

Продифференцируем по x соотношение (11):

,                     (15)

 

Уравнение Лежандра

Найдем дифференциальное уравнение, решением которого является . Для этого исключим Pn-1 и Pn-1  из (14) и (15). Подставляем (14) в (15):

,

,

,

.

Продифференцируем:

.

.                (16)

Соотношение (16) представляет собой уравнения Лежандра. Тем самым доказано что полиномы Лежандра являются собственными функциями, соответствующими собственным значениям , следующей задачи.

Найти такие значения λ, для которых на отрезке  существуют нетривиальное решение уравнение Лежандра

,                            (17)

с областью  с условием . Таким образом нетривиальное решение существует при

.

 

Ортогональность полиномов Лежандра и их норма

Докажем что полиномам Лежандра различных порядков ортогональны на отрезке . Согласно общей теореме присоединенные функции  образуют ортогональную систему. Вычислим норму  присоединенных функций. Попутно будет доказана их ортогональность.

,               (1)

,            (2)

где , . Домножим (1) на (x), а (2) на (x), а затем вычтем (1) из (2):

,

,                                 (3)

Доказать ортогональность если . Если , то полиномы Лежандра разных порядков ортогональны между собой:

.                        (4)

 

Норма полиномов Лежандра

Вычислим норму полиномов Лежандра

                 (5)

Применим рекуррентную формулу (11) (§1.1) дважды: сначала выразим из нее (предварительно заменив в (11) n+1 на n)  через  и , а затем  через  и . Учитывая ортогональность полиномов , , , получим:

                        (6)

Рекуррентная формула для нормы:

                             (7)

Полиномы Лежандра образуют замкнутую систему функций. Поэтому произвольная функция может быть разложена в ряд

,

который домножим на  и проинтегрируем:

.

Система ортогональных функций называют замкнутой если не существует непрерывных функции тождественно равных 0 и ортогональных ко всем функциям системы.

Система ортогональных функций  называется полной в (a,b) если любую непрерывную функцию можно аппроксимировать с любой степенью точности при помощи линейной комбинации .

Замкнутость есть условие полноты, а полнота есть следствие замкнутости.

Упражнения

1. Получить полиномы Лежандра, используя производящую функцию, для n=0,1,2.

2. Получить полиномы Лежандра, используя формулу Родрига, для n=0,1,2,3,4,5.

3. Получить полиномы Лежандра, используя рекуррентную формулу для коэффициентов, для n=0,1,2,3,4,5,6.

Ответ:

4. Построить и исследовать (найти точки перегибов, максимумов и минимумов) полиномов Лежандра для n=0,1,2,3,4,5.

5. Получить присоединенные функции Лежандра для n, m=0,1,2,3,4. Выразить данные функции через тригонометрические функции.

6. Получить сферические функции для l=0,1,2.

7. Показать, что сферические функции ортонормированны. Ограничиться l=0,1.

8. Выполнить визуализацию сферических функций.

Ответ:

 

Присоединенные функции Лежандра

Присоединенные функции

Рассмотрим следующую задачу:

Найдем собственные значения и собственные функции следующего уравнения

            (1)

-1<x<1 при условии ограниченности

                                      (2)

Будем искать решение в виде:

                                    (3)

Подставим (3) в (1), найдем

,

,

.        (4)

Это же уравнение получается для производной решения уравнения Лежандра (17) из §1, если продифференцировать m раз.

,     (4а)

,

Продифференцируем соотношение (4) n раз, тогда получим

 

,

,(5)

.                                            (6)

Нетривиальное и ограниченное решение  решении уравнения Лежандра существует при , где m>0. Решение Соотношение (6) является решением уравнения (3)

,

есть собственная функция исходной задачи (1) для собственных значений  , где m-целые числа (7). — присоединенная функция Лежандра

,

Если n=0, то

 при .

 

Норма присоединенной функции

Согласно общей теоремы присоединенные функции образуют ортогональную систему. Вычислим норму  и докажем ортогональность

(8)

Уменьшим n на 1:

      (9)

, (10)

Введем обозначение:

Подстановка обращается в нуль, а интеграл в силу (8) и (7) преобразуется к виду

,

,                  (11)

,                 (12)

Нетрудно показать, что

,

.

 

Сферические функции

Сферические функции

Сферические функции проще всего могут быть введены при решении уравнения Лапласа для шаровой области методом разделения переменных. Разделение переменных в уравнении Лапласа в сферических координатах:

,

,

где — угловая часть оператора Лапласа в сферических координатах.

,                                 (1)

.         (2)

Решение уравнения Лапласа:

,                                          (3)

,

.      (4)

Для определения  получаем уравнения

,                              (5)

где — константа разделения.

,                    (6)

Для определения R(r) получаем уравнение Эйлера:

,

. (6а)

Следствия:

1. Функция  должна быть ограничена на сфере любого радиуса.

2. Функция  должна в точках , , а также .

Ограниченное решение уравнения (6) обладающее непрерывными производными до второго порядка называются сферическими функциями. Решение задачи для  ищем также методом разделения переменных, полагая

.                                      (7)

,

Умножим на  и поделим на (7)

,

,   (8)

где m-константа разделения.

                                  (9)

Задача для  имеет решение лишь при целом m, и линейно независимыми решениями являются функции  и .

Функция  определяется из уравнения

,          (10)

                                          (11)

                 (12)

,                   (13)

решение (9).

Если потребовать выполнение условия (11)

,

m- любое число m=0,1,-1,2,-2…

,

      m=0,1,-1…  (14)

Выберем новую переменную и обозначая , получаем для  уравнение присоединенных функций (15)

подставляем все в (10)

.     (15)

Полученное уравнение является уравнением для присоединенных функций Лежандра

Потребуем чтобы функции были нормированными

                                (16)

, (17)

где .

               (18)

Уравнение (6) имеет решение (18) при собственных значениях . Найдем несколько сферических функций

Легко проверить, что сферические функции является ортонормированными, т.е. справедливо:

 

Кроме сферических функций используется понятие сферической гармоники которые определяется следующим образом:

число различных сферических функций n-го порядка  равно 2n+1. Линейная комбинация этих (2n+1) сферических функций

,

Решение уравнения имеет вид:

Специфика заключается в нахождении радиальной части волновой функции R(r).

,

,

,

.

,

есть внутренняя краевая задача, а

есть внешняя краевая задача.

 

Полиномы — это… Что такое Полиномы?

В математике, многочлены или полиномы от одной переменной — функции вида

F(x) = c_0 + c_1 x + \cdots + c_n x^n,

где ci фиксированные коэффициенты, а x — переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций.


Изучение полиномиальных уравнений и их решений составляло едва ли не главный объект «классической алгебры». С изучением многочленов связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля, отрицательных, а затем и комплексных чисел, а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в анализе.

Техническая простота вычислений, связанных с многочленами, по сравнению с более сложными классами функций, а также тот факт, что множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций на компактных подмножествах евклидова пространства (смотри аппроксимационная теорема Вейерштрасса), способствовали развитию методов разложения в ряды и полиномиальной интерполяции в математическом анализе.

Многочлены также играют ключевую роль в алгебраической геометрии, объектом которой являются множества, определённые как решения систем многочленов. Особые свойства преобразования коэффициентов при умножении многочленов используются в алгебраической геометрии, алгебре, теории узлов и других разделах математики для кодирования, или выражения многочленами свойств различных объектов.

Определение

Многочлен (или полином) от n переменных — есть конечная формальная сумма вида

\sum c_I x_1^{i_1}x_2^{i_2}...x_n^{i_n},

где I = (i1,i2,…,in) есть набор из целых неотрицательных чисел (называется мультииндекс), cI — число (называемое «коэффициент многочлена»), зависящее только от мультииндекса I.

В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида

c_0+c_1x^1+\cdots+c_nx^n

Коэффициенты многочлена обычно берутся из определённого коммутативного кольца R (чаще всего поля, например, поля вещественных или комплексных чисел). В этом случае, относительно операций сложения и умножения многочлены образуют кольцо (более того ассоциативно-коммутативную алгебру над кольцом R без делителей нуля) которое обозначается

R[x1,x2,…,xn].

Связанные определения

  • Многочлен вида c x_1^{i_1}x_2^{i_2}...x_n^{i_n} называется одночленом или мономом
    • Одночлен, соответствующий мультииндексу I=(0,\dots,\,0) называется свободным членом.
    • В случае, когда многочлен имеет всего два ненулевых члена, его называют двучленом или биномом,
    • В случае, когда многочлен имеет всего три ненулевых члена, его называют трёхчленом.
  • Полной степенью (ненулевого) одночлена c_I x_1^{i_1}x_2^{i_2}...x_n^{i_n} называется целое число | I | = i1 + i2 + … + in.
    • Степенью многочлена называется максимальная из степеней его одночленов, тождественный нуль не имеет степени
  • Множество мультииндексов I для которых коэффициенты cI ненулевые называется носителем многочлена, а его выпуклая оболочка многогранником Ньютона.

Делимость

Многочлен, который можно представить в виде произведения многочленов низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется приводимым (над данным полем), в противном случае — неприводимым. Неприводимые многочлены играют в кольце многочленов роль, сходную с ролью простых чисел в кольце целых чисел. Например, верна теорема: если произведение pq делится на неприводимый многочлен λ, то p или q делится на λ. Каждый многочлен, степени большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени).

Например, многочлен x4 + 2, неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на два множителя в поле вещественных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел.

Вообще, каждый многочлен от одного переменного x разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел — на множители первой степени (основная теорема алгебры).

Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать. Над любым полем для любого n > 2 существуют многочлен от n переменных, неприводимые в любом расширении этого поля. Такие многочлены называются абсолютно неприводимыми.

Полиномиальные функции

Пусть A есть алгебра над кольцом R. Произвольный многочлен p(x)\in R[x_1,x_2,\dots,x_n] определяет полиномиальную функцию

p_R:A\to A.

Чаще всего рассматривают случай A = R.

В случае если R есть поле вещественных или комплексных чисел (а также любое другое поле с бесконечным числом элементов) то функция f_p:R^n\to R полностью определяет многочлен p. Однако в общем случае это неверно, например: многочлены p_1(x)\equiv x и p_2(x)\equiv x^2 из \Z_2[x] определяют тождественно равные функции \Z_2\to\Z_2.

Свойства

Вариации и обобщения

  • Если в определении допустить также отрицательные степени, то полученный объект называется многочленом Лорана (см. ряд Лорана).
  • Квазимногочлен
  • Тригонометрический многочлен

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation. 2010.

ЛЕЖАНДРА УСЛОВИЕ — это… Что такое ЛЕЖАНДРА УСЛОВИЕ?


ЛЕЖАНДРА УСЛОВИЕ

— необходимое условие для решения простейшей задачи вариационного исчисления, предложенное А. Лежандром (A. Legendre, 1786): для того чтобы кривая у 0 (х). доставляла минимум функционалу

необходимо, чтобы во всех точках кривой у(х).вторая производная от подинтегральной функции по у’ была неотрицательна

Если уесть га-мерный вектор с координатами y1,. . ., у n, то Л. у. требует неотрицательности квадратичной формы

Для случая максимума функционала знак неравенства в Л. у. меняется на противоположный. Для вариационных задач на условный экстремум аналогом Л. у. является Клебша условие.

Л. у., так же как и Эйлера уравнение, является необходимым условием слабого экстремума. При нарушении Л. у. вторая вариация функционала не сохраняет свой знак и кривая у(х).не доставляет экстремум функционалу.

Если в Л. у. знак нестрогого неравенства заменен на знак строгого неравенства, то такое условие наз. усиленным условием Лежандра. Усиленное Л. у. в отличие от Л. у. не является необходимым. Усиленное Л. у. участвует в формулировке достаточных условий экстремума. Экстремаль, на к-рой выполняется усиленное Л. у., наз. неособой (неособенной) экстремалью. Такая экстремаль дважды непрерывно дифференцируема, и уравнение Эйлера для нее можно представить в виде обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка, разрешенного относительно старшей производной. Если на неособой экстремали выполняется усиленное Якоби условие, то можно построить поле экстремалей, окружающее данную экстремаль, что является первым шагом при исследовании достаточных условий экстремума.

Лит.:[1] Л а в р е н т ь е в М. А., Л ю с т е р н и к Л. А., Курс вариационного исчисления, 2 изд., М., 1950; [2] Блисс Г. А., Лекции по вариационному исчислению, пер. с англ., М., 1950. И. Б. Вапнярский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.

  • ЛЕЖАНДРА УРАВНЕНИЕ
  • ЛЕЖАНДРА ФУНКЦИИ

Смотреть что такое «ЛЕЖАНДРА УСЛОВИЕ» в других словарях:

  • КЛЕБША УСЛОВИЕ — необходимое условие оптимально сти в задаче вариационного исчисления на условный экстремум; установлено Р. Клебшем [1]. Если экстремаль x(t), x: . доставляет условный минимум функционалу в Болъца задаче: то согласно правилу множителей она… …   Математическая энциклопедия

  • Многочлены Лежандра — Многочлен Лежандра  многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов, на отрезке по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов… …   Википедия

  • Многочлен Лежандра — Многочлены Лежандра  определённая ортогональная система многочленов, на отрезке [ − 1,1] по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта. Названы по имени французского математика Адриен Мари… …   Википедия

  • Полином Лежандра — Многочлены Лежандра  определённая ортогональная система многочленов, на отрезке [ − 1,1] по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта. Названы по имени французского математика Адриен Мари… …   Википедия

  • Полиномы Лежандра — Многочлены Лежандра  определённая ортогональная система многочленов, на отрезке [ − 1,1] по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта. Названы по имени французского математика Адриен Мари… …   Википедия

  • Присоединённые многочлены Лежандра — Многочлены Лежандра  определённая ортогональная система многочленов, на отрезке [ − 1,1] по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта. Названы по имени французского математика Адриен Мари… …   Википедия

  • Функция Лежандра — Многочлены Лежандра  определённая ортогональная система многочленов, на отрезке [ − 1,1] по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта. Названы по имени французского математика Адриен Мари… …   Википедия

  • ЯКОБИ УСЛОВИЕ — необходимое условие оптимальности в задачах вариационного исчисления. Я. у. является необходимым условием неотрицательности 2 й вариации минимизируемого функционала в точке его минимума (равенство нулю 1 й вариации функционала обеспечивается… …   Математическая энциклопедия

  • СЛАБЫЙ ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ МИНИМУМ — минимальное значение , достигаемое функционалом J(у).на кривой , такое, что для всех кривых сравнения у(х), удовлетворяющих условию e близости 1 го порядка (1) на всем промежутке [x1, х 2]. Предполагается, что кривые удовлетворяют заданным… …   Математическая энциклопедия

  • ВЕЙЕРШТРАССА — ФУНКЦИЯ в классическом вариационном исчислении функция, выделяющая главную часть приращения функционала при варьировании экстремали при помощи локальной (игольчатой) вариации с заданным значением ее производной в фиксированной точке экстремали.… …   Математическая энциклопедия

LEGENDRE_POLYNOMIAL — многочлены Лежандра

LEGENDRE_POLYNOMIAL — полиномы Лежандра

LEGENDRE_POLYNOMIAL , библиотека MATLAB, которая вычисляет полином Лежандра и связанные с ним функции.

Многочлен Лежандра P (n, x) можно определить следующим образом:

        Р (0, х) = 1
        P (1, х) = х
        P (n, x) = (2 * n-1) / n * x * P (n-1, x) - (n-1) / n * P (n-2, x)
где n — целое неотрицательное число.

N нулей P (n, x) — это абсциссы, используемые для Гаусса-Лежандра. квадратура интеграла от функции F (X) с весовой функцией 1 на интервале [-1,1].

Полиномы Лежандра ортогональны относительно внутреннего произведения, определенного как интегрирование от -1 до 1:

        Интегральный (-1
    

     

      Лицензирование:
     


     

      Компьютерный код и файлы данных, описанные и доступные на этом
      веб-страницы распространяются под
      лицензия GNU LGPL.


     

      Языки:
     


     

        LEGENDRE_POLYNOMIAL  доступен в
      версия C и
      версия C ++ и
      версия FORTRAN90 и
      версия MATLAB.
     


     

      Связанные данные и программы:
     


     

      
      BERNSTEIN_POLYNOMIAL,
      библиотека MATLAB, которая
      вычисляет полиномы Бернштейна,
      полезен для равномерного приближения функций;
     


     

      
      CHEBYSHEV_POLYNOMIAL,
      библиотека MATLAB, которая
      рассматривает полиномы Чебышева T (i, x), U (i, x), V (i, x) и W (i, x).Предусмотрены функции для вычисления многочленов, определения их нулей,
      производят их полиномиальные коэффициенты, производят соответствующие квадратурные правила,
      проецировать другие функции на эти полиномиальные базисы и интегрировать
      двойные и тройные произведения многочленов.
     


     

      
      GEGENBAUER_POLYNOMIAL,
      библиотека MATLAB, которая
      вычисляет полином Гегенбауэра и связанные с ним функции.
     


     

      
      HERMITE_POLYNOMIAL,
      библиотека MATLAB, которая
      оценивает полином Эрмита физика, вероятностный полином Эрмита,
      функция Эрмита и связанные с ней функции.


     

      
      JACOBI_POLYNOMIAL,
      библиотека MATLAB, которая
      вычисляет полином Якоби и связанные с ним функции.
     


     

      
      LAGUERRE_POLYNOMIAL,
      библиотека MATLAB, которая
      вычисляет полином Лагерра, обобщенный полином Лагерра,
      и функция Лагерра.
     


     

      
      legendre_polynomial_test
     


     

      
      LEGENDRE_PRODUCT_POLYNOMIAL,
      библиотека MATLAB, которая
      определяет полиномы произведения Лежандра, создавая многомерное
      полином как произведение одномерных полиномов Лежандра.


     

      
      LEGENDRE_RULE,
      программа MATLAB, которая
      вычисляет одномерное квадратурное правило Гаусса-Лежандра.
     


     

      
      LEGENDRE_SHIFTED_POLYNOMIAL,
      библиотека MATLAB, которая
      вычисляет сдвинутый полином Лежандра с областью определения [0,1].
     


     

      
      LOBATTO_POLYNOMIAL,
      библиотека MATLAB, которая
      вычисляет полиномы Лобатто, аналогичные полиномам Лежандра
      за исключением того, что они равны нулю на обеих конечных точках.


     

      
      PCE_LEGENDRE,
      программа MATLAB, которая
      собирает системную матрицу двумерного стохастического уравнения в частных производных,
      использование разложения полиномального хаоса в терминах полиномов Лежандра;
     


     

      
      POLPAK,
      библиотека MATLAB, которая
      оценивает множество математических функций.
     


     

      
      TEST_VALUES,
      библиотека MATLAB, которая
      предоставляет тестовые значения различных математических функций.
     


     

      Ссылка:
     


     
    
         
  1. 
          Теодор Чихара, 
     Введение в ортогональные многочлены, 
     Gordon and Breach, 1978, 
     ISBN: 0677041500, 
     LC: QA404.5 C44.
         
    2. 
         
  2. 
          Уолтер Гаучи, Ортогональные многочлены 
    : вычисление и приближение, 
     Оксфорд, 2004 г., 
     ISBN: 0-19-850672-4, 
     LC: QA404.5 G3555.
         
    3. 
         
  3. 
          Фрэнк Олвер, Даниэль Лозье, Рональд Бойсверт, Чарльз Кларк, 
     Справочник NIST по математическим функциям, 
     Cambridge University Press, 2010, 
     ISBN: 978-0521192255, 
     LC: QA331.N57.
         
    4. 
         
  4. 
          Габор Сего, 
     ортогональных многочленов, 
     Американского математического общества, 1992, 
     ISBN: 0821810235, 
     LC: QA3.A5.v23.
         
    5. 
       

    

     

      Исходный код:
  • imtqlx.m, диагонализует симметричную трехдиагональную матрицу;
  • legendre_to_monomial_matrix.m, возвращает матрицу, которая преобразует полиномиальное разложение из Лежандра к мономиальному виду.
  • monomial_to_legendre_matrix.m, возвращает матрицу, которая преобразует полиномиальное разложение из одночлена в форму Лежандра.
  • p_exponential_product.m, экспоненциальные произведения для P (n, x).
  • p_integral.m, вычисляет мономиальный интеграл, связанный с P (n, x).
  • p_polynomial_coefficients.m, коэффициенты полиномов Лежандра P (n, x).
  • p_polynomial_plot.m, строит один или несколько полиномов Лежандра P (n, x).
  • p_polynomial_prime.м, вычисляет производную полиномов Лежандра P (n, x).
  • p_polynomial_prime2.m, вычисляет вторую производную полиномов Лежандра P (n, x).
  • p_polynomial_value.m, вычисляет полиномы Лежандра P (n, x).
  • p_polynomial_values.m, выбранные значения полиномов Лежандра P (n, x).
  • p_polynomial_zeros.м, нули функции Лежандра P (n, x).
  • p_power_product.m, степенные произведения для полинома Лежандра P (n, x).
  • p_quadrature_rule.m, квадратура для функции Лежандра P (n, x).
  • pm_polynomial_value.m, вычисляет полиномы Лежандра Pm (n, m, x).
  • pm_polynomial_values.m, возвращает значения полиномов Лежандра Pm (n, m, x).
  • pmn_polynomial_value.m, вычисляет нормализованные полиномы Лежандра Pmn (n, m, x).
  • pmns_polynomial_value.m, вычисляет сферические нормализованные полиномы Лежандра Pmns (n, m, x).
  • pn_pair_product.m, парные произведения для нормированного полинома Лежандра Pn (n, x).
  • pn_polynomial_coefficients.m, коэффициенты нормированных полиномов Лежандра Pn (n, x).
  • pn_polynomial_value.m, вычисляет нормализованные полиномы Лежандра Pn (n, x).
  • pn_polynomial_values.m, выбранные значения нормированных полиномов Лежандра Pn (n, x).
  • r8_factorial.m, вычисляет факториальную функцию;
  • r8_sign.m, возвращает знак R8.
  • r8mat_print.м, печатает R8MAT;
  • r8mat_print_some.m, печатает часть R8MAT;
  • r8vec_linspace.m, создает вектор-столбец линейно разнесенных значений.
  • r8vec_print.m, печатает R8VEC;
  • r8vec2_print.m, печатает пару R8VEC;
  • timestamp.m, печатает текущую дату YMDHMS как отметку времени.
Последняя редакция 13 февраля 2019 г. ,

LEGENDRE_POLYNOMIAL — многочлены Лежандра

LEGENDRE_POLYNOMIAL — полиномы Лежандра

LEGENDRE_POLYNOMIAL , код FORTRAN90, который вычисляет полином Лежандра и связанные с ним функции.

Многочлен Лежандра P (n, x) можно определить следующим образом:

        Р (0, х) = 1
        P (1, х) = х
        P (n, x) = (2 * n-1) / n * x * P (n-1, x) - (n-1) / n * P (n-2, x)
где n — целое неотрицательное число.

N нулей P (n, x) — это абсциссы, используемые для Гаусса-Лежандра. квадратура интеграла от функции F (X) с весовой функцией 1 на интервале [-1,1].

Полиномы Лежандра ортогональны относительно внутреннего произведения, определенного как интегрирование от -1 до 1:

        Интегральный (-1
    

     

      Лицензирование:
     


     

      Компьютерный код и файлы данных, описанные и доступные на этом
      веб-страницы распространяются под
      лицензия GNU LGPL.


     

      Языки:
     


     

        LEGENDRE_POLYNOMIAL  доступен в
      версия C и
      версия C ++ и
      версия FORTRAN90 и
      версия MATLAB и
      версия Python.
     


     

      Связанные данные и программы:
     


     

      
      BERNSTEIN_POLYNOMIAL,
      код FORTRAN90, который
      вычисляет полиномы Бернштейна,
      полезен для равномерного приближения функций;
     


     

      
      CHEBYSHEV_POLYNOMIAL,
      код FORTRAN90, который
      рассматривает полиномы Чебышева T (i, x), U (i, x), V (i, x) и W (i, x).Предусмотрены функции для вычисления многочленов, определения их нулей,
      производят их полиномиальные коэффициенты, производят соответствующие квадратурные правила,
      проецировать другие функции на эти полиномиальные базисы и интегрировать
      двойные и тройные произведения многочленов.
     


     

      
      GEGENBAUER_POLYNOMIAL,
      код FORTRAN90, который
      вычисляет полином Гегенбауэра и связанные с ним функции.
     


     

      
      HERMITE_POLYNOMIAL,
      код FORTRAN90, который
      оценивает полином Эрмита физика, вероятностный полином Эрмита,
      функция Эрмита и связанные с ней функции.


     

      
      JACOBI_POLYNOMIAL,
      код FORTRAN90, который
      вычисляет полином Якоби и связанные с ним функции.
     


     

      
      LAGUERRE_POLYNOMIAL,
      код FORTRAN90, который
      вычисляет полином Лагерра, обобщенный полином Лагерра,
      и функция Лагерра.
     


     

      
      legendre_polynomial_test
     


     

      
      LEGENDRE_PRODUCT_POLYNOMIAL,
      код FORTRAN90, который
      определяет полиномы произведения Лежандра, создавая многомерное
      полином как произведение одномерных полиномов Лежандра.


     

      
      LEGENDRE_RULE,
      код FORTRAN90, который
      вычисляет одномерное квадратурное правило Гаусса-Лежандра.
     


     

      
      LOBATTO_POLYNOMIAL,
      код FORTRAN90, который
      вычисляет полиномы Лобатто, аналогичные полиномам Лежандра
      за исключением того, что они равны нулю на обеих конечных точках.
     


     

      
      POLPAK,
      код FORTRAN90, который
      оценивает множество математических функций.
     


     

      
      TEST_VALUES,
      код FORTRAN90, который
      предоставляет тестовые значения различных математических функций.


     

      Ссылка:
     


     
    
         
  1. 
          Теодор Чихара, 
     Введение в ортогональные многочлены, 
     Гордон и Брич, 1978, 
     ISBN: 0677041500, 
     LC: QA404.5 C44.
         
    2. 
         
  2. 
          Уолтер Гаучи, Ортогональные многочлены 
    : вычисление и приближение, 
     Оксфорд, 2004 г., 
     ISBN: 0-19-850672-4, 
     LC: QA404.5 G3555.
         
    3. 
         
  3. 
          Фрэнк Олвер, Даниэль Лозье, Рональд Бойсверт, Чарльз Кларк, 
     Справочник NIST по математическим функциям, 
     Cambridge University Press, 2010, 
     ISBN: 978-0521192255, 
     LC: QA331.N57.
         
    4. 
         
  4. 
          Габор Сего, 
     Ортогональные многочлены, 
     Американское математическое общество, 1992, 
     ISBN: 0821810235, 
     LC: QA3.A5.v23.
         
    5. 
       

    

     

      Исходный код:
Последний раз редактировалось 25 июля 2020 г. ,Серия

Legendre (numpy.polynomial.legendre) — Руководство NumPy v1.20.dev0

Этот модуль предоставляет ряд объектов (в основном функций), полезных для имеют дело с серией Legendre, включая класс Legendre , который инкапсулирует обычные арифметические операции. (Главная Информация о том, как этот модуль представляет и работает с такими многочленами, находится в docstring для его «родительского» подпакета, numpy.polynomial ).

Классы

Legendre (coef [, домен, окно])

Класс серии Legendre.

Арифметика

legadd (c1, c2)

Добавьте одну серию Legendre к другой.

ножка (c1, c2)

Вычтите одну серию Лежандра из другой.

legmulx (в)

Умножьте ряд Лежандра на x.

легмул (c1, c2)

Умножить одну серию Лежандра на другую.

легдив (c1, c2)

Разделите одну серию Лежандра на другую.

legpow (c, pow [, maxpower])

Поднимите серию Legendre до уровня мощи.

legval (x, c [, тензор])

Оцените ряд Лежандра в точках x.

legval2d (x, y, c)

Оцените двумерный ряд Лежандра в точках (x, y).

legval3d (x, y, z, c)

Оцените трехмерный ряд Лежандра в точках (x, y, z).

leggrid2d (x, y, c)

Вычислите двумерный ряд Лежандра на декартовом произведении x и y.

leggrid3d (x, y, z, c)

Оцените трехмерный ряд Лежандра на декартовом произведении x, y и z.

Исчисление

ножка (c [, m, scl, ось])

Определите серию Legendre.

legint (c [, m, k, lbnd, scl, axis])

Интегрируйте серию Legendre.

Разные функции

ножка от корня (корень)

Создайте серию Лежандра с заданными корнями.

legroots (c)

Вычислить корни ряда Лежандра.

legvander (x, град)

Матрица псевдовандермонда заданной степени.

legvander2d (x, y, град)

Матрица псевдовандермонда заданных степеней.

legvander3d (x, y, z, град)

Матрица псевдовандермонда заданных степеней.

leggauss (град)

Квадратура Гаусса-Лежандра.

легковес (x)

Весовая функция многочленов Лежандра.

Legcompanion (c)

Вернуть масштабированную сопутствующую матрицу c.

legfit (x, y, deg [, rcond, full, w])

Наименьшее соответствие ряда Лежандра данным.

legtrim (c [, tol])

Удалите «маленькие» «замыкающие» коэффициенты полинома.

.Серия

Legendre (numpy.polynomial.legendre) — Руководство NumPy v1.19

Этот модуль предоставляет ряд объектов (в основном функций), полезных для имеют дело с серией Legendre, включая класс Legendre , который инкапсулирует обычные арифметические операции. (Главная Информация о том, как этот модуль представляет и работает с такими многочленами, находится в docstring для его «родительского» подпакета, numpy.polynomial ).

Классы

Legendre (coef [, домен, окно])

Класс серии Legendre.

Арифметика

legadd (c1, c2)

Добавьте одну серию Legendre к другой.

ножка (c1, c2)

Вычтите одну серию Лежандра из другой.

legmulx (в)

Умножьте ряд Лежандра на x.

легмул (c1, c2)

Умножить одну серию Лежандра на другую.

легдив (c1, c2)

Разделите одну серию Лежандра на другую.

legpow (c, pow [, maxpower])

Поднимите серию Legendre до уровня мощи.

legval (x, c [, тензор])

Оцените ряд Лежандра в точках x.

legval2d (x, y, c)

Оцените двумерный ряд Лежандра в точках (x, y).

legval3d (x, y, z, c)

Оцените трехмерный ряд Лежандра в точках (x, y, z).

leggrid2d (x, y, c)

Вычислите двумерный ряд Лежандра на декартовом произведении x и y.

leggrid3d (x, y, z, c)

Оцените трехмерный ряд Лежандра на декартовом произведении x, y и z.

Исчисление

ножка (c [, m, scl, ось])

Определите серию Legendre.

legint (c [, m, k, lbnd, scl, axis])

Интегрируйте серию Legendre.

Разные функции

ножка от корня (корень)

Создайте серию Лежандра с заданными корнями.

legroots (c)

Вычислить корни ряда Лежандра.

legvander (x, град)

Матрица псевдовандермонда заданной степени.

legvander2d (x, y, град)

Матрица псевдовандермонда заданных степеней.

legvander3d (x, y, z, град)

Матрица псевдовандермонда заданных степеней.

leggauss (град)

Квадратура Гаусса-Лежандра.

легковес (x)

Весовая функция многочленов Лежандра.

Legcompanion (c)

Вернуть масштабированную сопутствующую матрицу c.

legfit (x, y, deg [, rcond, full, w])

Наименьшее соответствие ряда Лежандра данным.

legtrim (c [, tol])

Удалите «маленькие» «замыкающие» коэффициенты полинома.

legline (выкл., Scl)

Серия Лежандра, график которой представляет собой прямую линию.

leg2poly (в)

Преобразует ряд Лежандра в полином.

.

No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *