Полярная система координат построение графиков: Построение графиков функций онлайн

Содержание

Графики в полярной системе координат MatLab

Урок 6. Обычная графика MATLAB
Построение графиков отрезками прямых
Графики в логарифмическом масштабе
Графики в полулогарифмическом масштабе
Столбцовые диаграммы
Построение гистограмм
Лестничные графики - команды stairs
Графики с зонами погрешности
График дискретных отсчетов функции
Графики в полярной системе координат
Угловые гистограммы
Графики векторов
График проекций векторов на плоскость
Контурные графики
Создание массивов данных для трехмерной графики
Графики поля градиентов quiver
Построение графиков поверхностей
Сетчатые 3D-графики с окраской
Сетчатые 3D-графики с проекциями
Построение поверхности столбцами
Построение поверхности с окраской
Построение поверхности и ее проекции
Построение освещенной поверхности
Средства управления подсветкой и обзором фигур
Построение графиков функций трех переменных
График трехмерной слоеной поверхности
Трехмерные контурные графики
Установка титульной надписи
Установка осевых надписей
Ввод текста в любое место графика
Позиционирование текста с помощью мыши

Вывод пояснений
Маркировка линий уровня на контурных графиках
Управление свойствами осей графиков
Включение и выключение сетки
Наложение графиков друг на друга
Разбиение графического окна
Изменение масштаба графика
Установка палитры цветов
Установка соответствия между палитрой цветов и масштабом осей
Окраска поверхностей
Установка палитры псевдоцветов
Создание закрашенного многоугольника
Окраска плоских многоугольников
Вывод шкалы цветов
Цветные плоские круговые диаграммы
Другие команды управления световыми эффектами
Окрашенные многоугольники в пространстве
Цветные объемные круговые диаграммы
Построение цилиндра
Построение сферы
Трехмерная графика с треугольными плоскостями
Что нового мы узнали?

В полярной системе координат любая точка представляется как конец радиус-вектора, исходящего из начала системы координат, имеющего длину RHO и угол ТНЕТА. Для построения графика функции RHO(THETA) используются приведенные ниже команды. Угол ТНЕТА обычно меняется от 0 до 2*pi. Для построения графиков функций в полярной системе координат используются команды типа polar(...):

polarCTHETA, RHO) — строит график в полярной системе координат, представляющий собой положение конца радиус-вектора с длиной RHO и углом ТНЕТА;

polarCTHETA,RHO.S) — аналогична предыдущей команде, но позволяет задавать стиль построения с помощью строковой константы S по аналогии с командой plot.

Рис. 6.12 демонстрирует результат выполнения команд:

» t=0:pi/50:2*pi; 

» polar(t,sin(5*t))

Рис. 6.12. График функции в полярной системе координат

Графики функций в полярных координатах могут иметь весьма разнообразный вид, порой напоминая такие объекты природы, как снежинки или кристаллики льда на стекле. Вы можете сами попробовать построить несколько таких графиков — многие получают от этого удовольствие.

 

Построение графиков полярных кривых в Visual Basic

Образовательные цели урока.

Сформировать понятие полярной системы координат

  • Закрепить на практике навыки использования графических методов Visual Basic
  • Изучение данной темы рекомендуется проводить после знакомства с графическими возможностями Visual Basic, изучения построения графиков функций в прямоугольной системе координат. Изложение материала сопровождается показом презентации (Презентация).

    1. Понятие полярной системы координат. (Слайд 1)

    Суть задания какой-либо системы координат на плоскости состоит в том, чтобы каждой точке плоскости поставить в соответствие пару действительных чисел, определяющих положение этой точки на плоскости. Например, в декартовой прямоугольной системе это координаты точки (x, y).

    Любая точка на плоскости может быть однозначно определена в различных системах координат. Выбор системы координат зависит от нескольких факторов, например, от способа задания начальных значений при решении задачи, от наглядности представления результата. В некоторых случаях вычисления удобнее проводить в системе координат, отличной от декартовой прямоугольной системы. Существует множество различных систем координат: косоугольная, цилиндрическая, сферическая, биполярная, полярная, прямоугольная и др.

    Одной из наиболее часто используемых наряду с декартовой является полярная система координат.

    Полярная система координат образуется полярным полюсом О и полярной осью, которая представляет луч, проведённый из полюса в направлении слева направо (Рис. 1).

    В полярной системе координат любой точке (например, т. А) соответствует единственная пара полярных координат А(r, f), где r – полярный радиус, f – полярный угол. Таким образом, по заданной паре полярных координат можно однозначно определить положение точки на плоскости.

    Полярный радиус r – отрезок, соединяющий полюс с заданной точкой А.

    Полярный угол f - угол между полярной осью и полярным радиусом. За положительное направление полярного угла f примем направление против часовой стрелки.

    Для перехода от полярных координат к декартовым (слайд 2) нужно совместить полярную и декартову прямоугольную сиcтемы таким образом, чтобы начала их координат совпадали, а полярная ось совпадала с положительным направлением оси абсцисс прямоугольной системы координат. (Рис. 2).

    Тогда получим формулы перехода от полярных координат (r, а) к декартовым (х, у):

    x = r*cos f

    у = r*sin f

    Эти уравнения называются параметрическими.

    Формулы обратного перехода от декартовых координат к полярным:

    r =

    f = arctg (y/x)

    2. Практическая работа. Построение графиков полярных кривых по параметрическим уравнениям

    Задание. (Слайд 3)

    Создать проект в среде Visual Basic для построения полярных кривых: кардиоиды, логарифмической спирали, Декартова листа, фигуры Лиссажу, k-лепестковой розы, эпициклоиды, заданных параметрическими уравнениями.

    Параметрические уравнения полярных кривых:

    1) Кардиоида

    a = 4

    r = a * (1 + Cos(f))

    x = r * Cos(f)

    y = r * Sin(f)

    f I [0, 2*p ]

    2) Логарифмическая спираль

    a = 0. 3)

    x = r * Cos(f)

    y = r * Sin(f)

    f I [0, 2*p ]

    4) Фигура Лиссажу

    r = 5

    x = r * Cos(3 * f)

    y = r * Sin(2 * f)

    f I [-p , p ]

    5) k-лепестковая роза

    При чётных значениях k получается 2*k-лепестковая роза, а при нечётных значениях – k-лепестковая роза.

    r = Sin(k * f)

    x = 10 * r * Cos(f)

    y = 10 * r * Sin(f)

    f I [-p ,p ]

    6) Эпициклоида

    x = (a + b) * Cos(f) - a * Cos((a + b) * f / a)

    y = (a + b) * Sin(f) - a * Sin((a + b) * f / a)

    f I [0, 2*p ]

    Значение b вводится с клавиатуры. Значение a примем равным a = b / 3.

    Решение.

    1. Разработка интерфейса проекта (Рис. 3). (Слайд 4)

    Для выбора типа полярной кривой создадим массив переключателей Option1, который разместим в контейнере Frame1. Для построения графика разместим на форме графическое окно Picture1. Для вывода названия графика и параметрических уравнений создадим метку Label2 и текстовое поле Text1. Для управления проектом создадим 3 командные кнопки Command1, Command2, Command3 (Пуск, Сброс, Выход).

    Интерфейс проекта представлен на рис. 3.

    Рис.3. Интерфейс проекта

    2. Для созданных элементов управления установим свойства, приведенные в таблице. (Слайды 5, 6)

    Свойства элементов управления

    Элемент управления Свойство Значение
    Frame1 Caption Выбор типа полярной кривой
    Option1(0) Caption кардиоида
    Option1(1) Caption логарифмическая спираль
    Option1(2) Caption декартов лист
    Option1(3) Caption k-лепестковая роза
    Option1(4) Caption фигура Лиссажу
    Option1(5) Caption
    эпициклоида
    Label3 Caption Построение полярных кривых
    Label1 Caption График
    Label2 Caption  
    Label1, Label2, Label3 Alignment 2 - center
    Text1 Text  
    Text1 Alignment 0 - left
    Picture1 FillStyle 0 - solid
    Command1 Caption Пуск
    Command2 Caption Выход
    Command3 Caption Сброс

    3. Описание переменных. (Слайд 7)

    x, y – координаты точки, f - угол, r – радиус, a, b, k, q - коэффициенты уравнений, z - переменная для хранения индекса выбранного переключателя, i – параметр цикла для задержки изображения, pi – число Пи.

    В разделе описаний опишем типы выбранных переменных.

    Dim z, k As Integer, f, pi, a, r, b, q As Single, i As Long, x, y As Single

    4. Разработка программного кода. (Слайды 8-13)

    Программный код проекта полностью приведён в Приложении 1.

    Создадим процедуру переключателя Option1_Click для выбора типа полярной кривой. Для этого нужно проанализировать значение свойства Value. У включенного переключателя Value=True. В переменной z запоминаем индекс выбранного переключателя.

    Фрагмент 1

    По кнопке Пуск в зависимости от значения z строим графики полярных кривых. Рассмотрим построение графиков на примере кардиоиды, фигуры Лиссажу и эпициклоиды. Графики остальных кривых вы построите самостоятельно.

    Фрагмент 2

    Графики полярных кривых и параметрические уравнения приведены на слайдах 14-18.

    Задания для самостоятельной работы. (Слайды 19-22)

    Фрагмент 3

    Литература

    1. Глушаков С.В., Мельников В.В., Сурядный А.С. Программирование в среде Windows. Visual Basic 6.0. М.: ООО “Издательство АСТ”, 2001.
    2. Браун С. Visual Basic. Учебный курс. – Спб.: Питер, 2002.
    3. Есипов А.С., Паныгина Н.Н., Громада М.И. Информатика. Задачник. – СПб: Наука и техника, 2001.
    4. Журнал “Информатика и образование”, № 2/2005.

    Использование excel для построения графиков функций заданных в параметрическом виде или в полярных координатах и графиков объемных функций цели урока

    Бут Людмила Александровна

    учитель информатики лицея №14 г.Жуковский

    Использование Excel для построения графиков функций, заданных в параметрическом виде или в полярных координатах и графиков объемных функций.

    Цели урока:

    Образовательная:

    • Научить учащихся применять современное программное обеспечение в решении нестандартных задач;

    • Сформировать представление учащихся о способах построения объемных изображений средствами Excel.

    Развивающая:

    • Продолжить развивать умения учащихся применять компьютер для решения конкретных задач из конкретной предметной области;

    • Развитие у школьников теоретического, творческого мышления, а также формирование операционного мышления, направленного на выбор оптимальных решений.

    Воспитательная:

    Задачи урока:

    • Воспитательная. Развитие познавательного интереса, воспитание информационной культуры.

    • Учебная. Изучить и закрепить основные навыки работы с электронными таблицами.

    • Развивающая. Развитие логического мышления, расширение кругозора.

    Тип урока: Комбинированный - урок формирования и закрепления умений и навыков практического использования MS Excel.

    План урока.

    1. Организационная часть.

    2. Повторение пройденного материала.

    3. Обобщение и систематизация понятий для выполнения самостоятельной работы.

    4. Самостоятельная работа.

    5. Подведение итогов.

    6. Домашнее задание.

    Ход урока.

    Вопросы для повторения:

    1. Что такое относительная и абсолютная адресация?

    2. Как протабулировать функцию, заданную в виде y=f(x)?

    3. Как построить график функции, используя Мастер диаграмм?

    На уроке мы рассмотрим особенности построения двух наиболее часто употребляемых в инженерной практике типов диаграмм – точечных (графиков) и поверхностных (или объемных).

    Построение графиков функций, заданных в параметрическом виде или в полярной системе координат.

    Параметрическое представление кривой на плоскости – это две функции, явно выражающие обе координаты x и y через значение некоторого производящего параметра:

    Параметрические линии по форме могут быть более разнообразными, чем линии, описываемые одним уравнением. На них не распространяется ограничение по многозначности, поэтому линии могут быть самопересекающимися.

    Для примера рассмотрим уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R.

    .

    Координаты точек окружности вычисляются по формулам:

    .

    Здесь центральный угол t является генерирующим параметром.

    Для построения полной окружности радиуса R=100 составим таблицу, в которой значение параметра t меняется с шагом 0,1 от 0 до 2π.

    Для построения графика выделим столбцы x и y таблицы и выберем тип диаграммы Точечная. Точечная диаграмма отображает взаимосвязь между числовыми значениями в нескольких рядах и представляет две группы чисел в виде одного ряда точек в координатах XY.

    Получим диаграмму:

    Полярные координаты и точки М на плоскости – это расстояние =ОМ от фиксированной точки О (полюса) до точки М и угол между лучами ОМ и ОР (полярная ось).

    Полярные координаты являются наиболее употребительными после декартовых. Это нелинейные координаты. При построении кривых, заданных в полярных координатах, полярные координаты переводят в декартовы. Если полюс имеет координаты (x0, y0), то формулы преобразования таковы:

    Для функций, заданных в полярных координатах формула имеет вид

    , где – полярный угол.

    Таблица должна содержать данные для построения кривой в полярной системе координат. Затем надо перевести данные из полярных координат в декартовы. Данные для построения точечного графика должны быть представлены в декартовой системе координат.

    Рассмотрим Архимедову спираль, ее уравнение в полярных координатах:

    ρ = aφ, где а — постоянная.

    Составим таблицу для a=2, значение полярного угла меняется с шагом 0,1 от 0 до 6π. Такой диапазон выбран для того, чтобы увидеть несколько витков спирали.

    Для построения графика выделим столбцы x и y таблицы и выберем тип диаграммы Точечная.

    Получим диаграмму:

    Задания для самостоятельной работы:

    Построить графики замечательных кривых:

    Астроида

    Кардиоида

    X=acost(1+cost)

    Y=asint(1+cost)

    или

    ρ=a (1+cosφ)

    n- лепестковая роза

    ρ= a sin

    или

    ρ = a cos mφ

    Лемниската Бернулли

    ρ2-a2cos(2φ)=0

    Элементы диаграммы можно видоизменять при помощи контекстного меню, вызываемого правой кнопкой мыши. Видоизменение, как правило, состоит в определении другого цвета для какого-то элемента, нового типа линии или маркера. Внести изменения можно, выбрав в контекстном меню первый пункт – Формат соответствующего объекта и определив нужные параметры.

    Построение графика объемной функции.

    Поверхности составляют широкое многообразие объектов трехмерного пространства. Инженерная деятельность человека связана непосредственно с конструированием, расчетом и, изготовлением различных поверхностей.

    Поверхность будем рассматривать как непрерывное множество точек, между координатами которых может быть установлена зависимость, определяемая уравнением вида F(x,y,z)=0.

    Рассмотрим зависимость, которая описывает сферу радиуса R.

    X2 +Y2+Z2=R2

    Выразим z:

    Поскольку z(x, y) является функцией двух переменных, то ее график будет объемным, т. к. по двум осям (x, y) будут откладываться значения аргументов, а по третьей (z) – вычисленные значения функции.

    Сначала нужно создать таблицу значений функции в заданных диапазонах аргументов.

    Если бы мы попытались сделать это известными способами, то нам потребовалось бы ввести большое множество значений аргументов, т. к. для каждого значения x пришлось бы ввести все значения диапазона y. При этом таблица имела бы очень большие размеры в длину или ширину. Однако можно построить таблицу по другому – в виде массива(матрицы): по строке отложить значения переменной x, а по столбцу – переменной y, а вычисленные значения функции – в ячейках на пересечении соответствующих значений аргументов. Это компактный способ представления данных.

    Рассмотрим пример такой таблицы для R=3.

    Значение квадрата радиуса вводится в ячейку B1.

    В ячейки A3:A15 введите числа от -3 до 3 с шагом 0,5.2). Для того, чтобы все значения x брались из строки 2, а все значения y из столбца A нужно использовать абсолютную адресацию. Замена относительных адресов в формуле на абсолютные производится с помощью клавиши F4, которая при выборе очередной ячейки при вводе формулы нажимается несколько раз до появления нужного вида адреса. Распространяя формулы на диапазон B3:O19, получим следующую таблицу( в ней удалены сообщения об ошибке в ячейках, где происходило извлечение квадратного корня из отрицательного числа).

    Будем использовать стандартную объемную поверхностную диаграмму.

    Поверхностные диаграммы отображают два или несколько рядов данных в виде поверхности.

    В отличие от остальных диаграмм, в этом случае Excel применяет различные цвета для выделения значений, а не рядов данных.

    Для построения графика выделим всю таблицу и выберем тип диаграммы Поверхность. Так как в таблице вычислены только положительные значения z , то на диаграмме будет изображена полусфера.

    Получим объемный график.

    Для видоизменения поверхностных диаграмм предоставляется больше возможностей. Вызвав через меню Диаграмма – Объемный вид диалоговое окно Формат трехмерной проекции, мы можем задать повороты в разных направлениях, перспективу, изменить высоту графика (задается в процентах от нормальной высоты), а также некоторые другие параметры.

    Задания для самостоятельной работы:

    Построить объемную диаграмму поверхностей второго порядка.

    Эллиптический параболоид

    Гиперболический параболоид

    Вещественный конус

    Однополостной гиперболоид

    Двуполостной гиперболоид

    Требования к выполнению заданий.

    Каждое задание выполняется на отдельном листе книги. Таблицы и диаграммы должны быть полностью оформлены. Файл сохранить в Личной папке.

    Полярная система координат, построение графика, примеры - смотреть онлайн видео урок бесплатно! Автор: alWEBra - Аналитическая геометрия


    Это видео посвящено вопросу о том, что такое полярная система координат, построение графика, примеры. Вы уже наверняка знаете, что такое прямоугольная декартова система координат на плоскости. На одном из уроков эта тема уже рассматривалась. Она часто используется при решении многих задач и позволяет установить взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и действительными числами. Но в некоторых случаях более эффективным является использование полярной системы координат. В этом видео уроке подробно рассказывается об этой системе. Вы узнаете, что такое полярная ось, полюс, полярный радиус, полярный угол, полярные координаты точки и многое другое. На приведенном примере вы узнаете, как построить график в полярной системе координат. Затем будет установлена связь между полярными и декартовыми координатами, т.е. по известным полярным координатам, при помощи формул, вычисляются координаты декартовой системы координат и наоборот. Во втором примере будет рассмотрена задача, в которой даны декартовы координаты точки, а требуется найти полярные координаты этой точки. Видео урок «Полярная система координат, построение графика, примеры» вы можете смотреть онлайн совершенно бесплатно. Удачи Вам!


    • Автор: alWEBra
    • Длительность: 6:06
    • Дата: 01.11.2013
    • Смотрели: 477
    • Рейтинг: 0.0/0



    Если у Вас есть качественные видео уроки, которых нет на нашем сайте, то Вы можете добавить их в нашу коллекцию. Для этого Вам необходимо загрузить их на видеохостинг (например, YouTube) и добавить код видео в форму добавления уроков. Возможность добавлять свои материалы доступна только для зарегистрированных пользователей.

    Построение графика в полярных координатах. Контрольные онлайн

    Построение графика в полярных координатах

    Дано уравнение кривой в полярной системе координат .
    Требуется:
       а) построить кривую по точкам, придавая j значения из промежутка  с шагом ;
       б) записать уравнение этой кривой в декартовой прямоугольной системе координат, согласованной с полярной, и определить тип этой кривой.
    Решение
       а) Составим таблицу значений функции.

    j

    0

    p/8

    p/4

    3p/8

    p/2

    5p/8

    3p/4

    7p/8

    p

    9p/8

    5p/8

    11p/8

    3p/2

    13p/8

    7p/4

    15p/8

    r

    3

    2,8

    2,32

    1,72

    1,5

    1,26

    1,11

    1,02

    1

    1,02

    1,11

    1,26

    1,5

    1,72

    2,32

    2,8

       По этим данным отметим точки на плоскости и, плавно соединяя соседние точки, построим линию.

    б) Перейдём к декартовой прямоугольной системе координат, пользуясь формулами , .
    Заданное уравнение примет вид .
    Преобразуем это уравнение: ,

    , , , .
    Выделив полные квадраты переменных  и , получим  или  .

       Это уравнение эллипса с центром в точке  и полуосями  и .

    III Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся Старт в науке

    ПОСТРОЕНИЕ НЕКОТОРЫХ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ, ЗАВИСИМОСТЬ КРИВЫХ ОТ КОЭФФИЦИЕНТОВ

    Веретенникова А.Л. 1

    1

    Текст работы размещён без изображений и формул.
    Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

    Введение

    Конечно же, каждый из нас слышал о таких понятиях как график функции, система координат, гипербола и т.п. Всё это является составляющими темы «Функции», с которой знакомимся мы в школе ещё в среднем звене.

    Функция - в математике соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу одного множества ставится в соответствие некоторый элемент из другого множества. Этот закон определяется уравнением , и на основе него строится график в плоской системе координат, задаваемой двумя осями X и Y. Двигаясь от 6 до 10 класса, мы усложняли уравнения и графики, вводили новые понятия, но никогда не выходили за рамки основного определения функции и принципа построения графиков. То есть нами не рассматривалась возможность построения, например, такой кривой как трехлепестковая полярная роза. Единственным, наверное, примером кривой (не функции) была окружность, которая встречалась нам как тригонометрии, так и при решении задания №18 с параметром в ЕГЭ. В 10-м классе на уроке информатики в рамках работы в табличном процессоре я столкнулся с построением графиков функций, и чтобы расширить область преподаваемого нам материала, заглянул за рамки заданных ограничений. В этом и заключается одна из целей, поставленных в данной работе - расширить знания по теме графики, попрактиковаться в области их построения. Таким образом, объектом моего исследования стали кривые II порядка - графики, в уравнениях которых нет такой строгой зависимости Y от X, как в функциях. Другим предметом моего исследования являются системы координат прямоугольная и полярная, а именно связь между декартовыми и полярными координатами.

    Вот главная цель работы: построить графики кривых II порядка в полярной системе координат, а также выяснить, как различаются их графики в зависимости от варьирования коэффициентов и параметров функций. Для достижения целей работы было поставлено несколько задач:

    • пополнить знания о стандартных (невырожденных) кривых II порядка: эллипс, параболу, гиперболу;

    • рассмотреть нестандартные кривые II порядка;

    • познакомиться с полярной системой координат и сопоставить с декартовой, уже изучавшейся в школе.

    Процесс решения каждой из задач был разбит на 2 этапа:

    • изучение и разбор теоретического материала, знакомство с новыми понятиями;

    • применение полученных знаний на практике, построение графиков.

    1.Исследование кривых второго порядка 1.1. Стандартные кривые II порядка

    Историческая справка: впервые кривые второго порядка изучались одним из учеников Платона. Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного, то получится конусная поверхность. Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур. Однако эти научные знания нашли применение лишь в XVII, когда стало известно, что планеты движутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит по параболической. Ещё позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости — по эллипсу, а при достижении второй космической скорости тело по параболе покинет поле притяжения Земли.

    Алгебраической кривой второго порядка называется кривая , уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид , где не все коэффициенты А, В и С равны одновременно нулю (иначе - прямая, т.е. алгебраическая кривая первого порядка). Кривые второго порядка делятся на вырожденные и невырожденные. Вырожденные кривые второго порядка это прямые и точки, которые задаются уравнением второй степени. Если уравнению второго порядка не удовлетворяет ни одна точка плоскости, то тоже говорят, что уравнение определяет вырожденную кривую (мнимую кривую второго порядка). Если же кривая невырожденная, то для неё найдётся такая декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение этой кривой имеет один из следующих трёх видов:

    Эллипс, гипербола, парабола

    Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина, большая, чем расстояние между фокусами. Постоянную сумму расстояний произвольной точки эллипса до фокусов принято обозначать через . Фокусы эллипса обозначают буквами и , расстояние между ними - через . По определению эллипса .

    Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, для каждой из которых абсолютное значение разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусам, одинаково и равно

    Параболой называется множество точек на плоскости, расстояния от которых до данной точки, называемой фокусом, и до данной прямой, называемой директрисой, равны. С гиперболой мы часто сталкиваемся в повседневной жизни. По параболистической траектории летит брошенный вверх камень, отскакивает мяч от пола, движутся планеты вокруг Солнца.

    1.2. Системы координат

    Система координат — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки. Знания обычного человека в большинстве случаев ограничиваются одной-двумя системами координат. На самом же деле их существует великое множество: прямоугольная, полярная, аффинная, сферическая, цилиндрическая и т.д. На одном из уроков алгебры мы затрагивали кое-какие из них, а в этом исследовании я решил сопоставить две: прямоугольную (ёще называющуюся декартовой) и полярную (как хорошо знакомую и в корне отличающуюся).

    1.2.1. Декартова система координат

    Прямоугольная, или Декартова, система координат - прямолинейная система координат на плоскости или в пространстве, обычно с взаимно перпендикулярными осями и одинаковыми масштабами по осям. Названа по имени Р Декарта. Это наиболее простая и поэтому часто используемая система координат как на плоскости, так и в пространстве.

    Историческая справка: Декарт впервые ввел координатную систему в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году. Она существенно отличалась от общепринятой в наши дни. Он использовал косоугольную систему координат на плоскости, рассматривая кривую относительно некоторой прямой с фиксированной системой отсчета. Положение точек кривой задавалось с помощью системы параллельных отрезков, наклонных или перпендикулярных к исходной прямой. Декарт не вводил второй координатной оси, не фиксировал направления отсчета от начала координат. Только в 18 в. сформировалось современное понимание координатной системы, получившее имя Декарта.

    Данная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат OX и OY. Эти оси пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения одинаковы для обеих осей. Положительное направление осей (в правосторонней системе координат) выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси OY. Четыре угла - четверти (I, II, III, IV) - образованные осями координат OX и OY, называются координатными углами.

    1.2.2. Полярная система координат

    Полярная система координат — двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой, декартовой или прямоугольной системе координат, такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений.

    Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч, называется началом координат или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначается r) соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата, также называется полярным углом или азимутом и обозначается , равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку.

    Определённая таким образом радиальная координата может принимать значения от нуля до бесконечности, а угловая координата изменяется в пределах от 0° до 360°. Однако, для удобства область значений полярной координаты можно расширить за пределы полного угла, а также разрешить ей принимать отрицательные значения, что отвечает повороту полярной оси по часовой стрелке.

    1.2.3. Связь между декартовыми и полярными координатами

    Пару полярных координат и можно перевести в Декартовы координаты x и y путём применения тригонометрических функций синуса и косинуса:

    в то время как две декартовы координаты x и y могут быть переведены в полярную координату :

    (по теореме Пифагора).

    1.3. Нестандартные кривые второго порядка

    Просмотрев этот раздел, неосведомлённый человек может подумать, что часть нестандартных кривых второго порядка можно спокойно отнести к стандартным, другая же часть не имеет с ними ничего общего. Некоторые из них действительно представляют собой красивые витиеватые узоры, но некоторые выглядят как-то слишком просто, без изысков. Конечно, такое мнение имеет место существовать. Но ведь дело в степени и области применения кривых: одни встречаются постоянно, другие - только в узких специализированных целях - и в сложности уравнения. Хотелось бы в этом разделе рассмотреть наиболее интересные кривые: спираль Архимеда, улитка Паскаля, Розы Гранди. В разделе «Кривые II порядка в полярной системе координат» я перевел графики в другую полярную систему координат и построил их с помощью табличного процессора.

    Кривые второго порядка в полярной системе координат

    Эта часть является самой главной в моей работе, так как в ней описывается построение графиков в полярной системе координат в табличном процессоре MSExcel 2007. Выполняя построения мы старались акцентировать внимание на красоте математики, на том насколько все гениальное просто, ведь математика это предметная область, в которой все для жизни.

    Полярная роза (Розы Гранди)

    Полярная роза — известная математическая кривая, похожая на цветок с лепестками. Она может быть определена простым уравнением в полярных координатах: ,

    для произвольной постоянной (включая 0). Если - целое число, то это уравнение будет определять розу с лепестками для нечётных, либо с лепестками для чётных . Если - рациональное, но не целое, график, заданный уравнением, образует фигуру, подобную розе, но лепестки будут перекрываться. Розы с 2, 6, 10, 14 и т. д. лепестками этим уравнением определить невозможно. Переменная определяет длину лепестков.

    Если считать, что радиус не может быть отрицательным, то при любом натуральном мы будем иметь - лепестковую розу. Таким образом, уравнение будет определять розу с двумя лепестками. С геометрической точки зрения радиус - это расстояние от полюса до точки и он не может быть отрицательным.

    - трехлепестковая роза

    - клевер

     
         

    - космея

     

    Два графика в одной системе

         

    Улитка Паскаля

    Улитка Паскаля ― плоская алгебраическая кривая 4-го порядка. Названа по имени Этьена Паскаля (отца Блеза Паскаля), впервые рассмотревшего её.

    Уравнение в полярных координатах:

    Здесь — диаметр исходной окружности, а — расстояние, на которое смещается точка вдоль радиус-вектора.

    В зависимости от диапазона получаются следующие графики

         

    Спираль Архимеда

    Архимедова спираль названа в честь её изобретателя, древнегреческого математика Архимеда. Эту спираль можно определить с помощью простого полярного уравнения:

    Изменения параметра приводят к повороту спирали, а параметра - расстояния между витками, которое является константой для конкретной спирали. Спираль Архимеда имеет две ветви, одну для >0, а другую для

    Просмотров работы: 602

    Лепестковая диаграмма в Excel в полярной системе координат

    Лепестковая диаграмма по внешнему виду напоминает паутину или звезду. Достаточно специфическое изображение, позволяющее отображать данные каждой категории вдоль отдельной оси. Каждая ось начинается в центре рисунка и заканчивается на внешнем круге.

    Что показывает лепестковая диаграмма

    Лепестковая диаграмма – разновидность круговой, которая отлично подходит для представления данных, сгруппированных по определенному признаку (по годам, месяцам, категории товаров и т.п.).

    В каких ситуациях полезна именно лепестковая диаграмма:

    • нужна максимальная наглядность;
    • необходимо проиллюстрировать изменчивость показателей сразу по нескольким направлениям;
    • важно показать на одном графике зависимость переменных величин от набора стабильных значений.

    График паутинообразного типа напоминает по форме колесо. Каждый набор переменных отображается вдоль отдельной оси-спицы. Построение полярной кривой лепестковыми диаграммами выполняется очень просто. Вся графическая область этого типа диаграмм имеет полярную систему координат.

    

    Как построить лепестковую диаграмму в Excel

    1. На пустом листе создаем таблицу с данными. Или запускаем книгу, где хранится готовая информация для диаграммы лепесткового типа. Будьте внимательны: независимые переменные (причины) находятся в строках. Зависимые (воздействия) – в столбцах. Данные имеют одинаковый формат.
    2. Выделяем данные, которые нужно отобразить на диаграмме. Переходим на вкладку «Вставка» в группу «Диаграммы». Лепестковые находятся в «Других диаграммах». Для примера выберем подтип «заполненной».
    3. После нажатия ОК появится рисунок. Чтобы изменить цвет заливки, стиль, размер построенной диаграммы, используйте вкладки «Макет», «Формат», «Конструктор». В примере – объемная диаграмма лепесткового типа.

    * При выделении ячеек с данными для включения в график названия тоже можно выделять. Excel распознает их и включает в подписи к секторам.

    В примере получился такой рисунок, т.к. в таблице только один столбец с переменными значениями. Возьмем для построения диаграммы лепесткового типа данные из другого диапазона:

    Добавились столбцы с переменными. Их нужно включить в диаграмму. Для этого щелкаем правой кнопкой мыши по области построения и нажимаем «Выбрать данные». В открывшемся диалоговом окне добавляем элементы легенды.

    Получаем такой рисунок:

    * Чтобы не перегружать рисунок, количество столбцов с данными не должно быть больше семи.

    Построение графика в полярной системе координат с помощью Excel

    В разных областях науки и техники существуют декартовые координаты и полярная система координат. Примеры знаменитых кривых в полярных координатах – уравнение кардиоиды, архимедова спираль, уравнение розы и др.

    Инструмент «Лепестковая диаграмма» позволяет легко и быстро строить графики в полярной системе координат:

    1. для каждой категории предусмотрена отдельная ось, а все оси выходят из одной точки – центра;
    2. значение ряда данных – расстояние от центра до маркера – величина радиуса;
    3. категория – угловая координата точки – наклон радиуса.

    Известны следующие значения точек:

    π /8π /6π /4π /33π/85π/12π/27 π/12
    5 π/84 π/63 π/45 π/67 π*811 π/12π

    Уравнение функции:

    r = 3 * sin (6 * φ)/

    Заполним таблицу данных в Excel. Программа понимает число π и автоматически рассчитывает синусы.

    Формулы для заполнения первого столбца берем из таблицы значений точек:

    В соседнем столбце запишем формулу, по которой Excel будет считать значение функции r:

    Выделим найденные значения функции. Перейдем на вкладку «Вставка». Подтип лепестковой диаграммы – «Лепестковая с маркерами». Получим в результате вот такой график в системе полярных координат:

    На одной графической области в полярных координатах с помощью диаграммы лепесткового типа можно построить два и более графика.

    10.3: Полярные координаты - математика LibreTexts

    На расстоянии более \ (12 \) километров от порта парусник попадает в непогоду, и его уносит с курса ветром с узлом \ (16 \) узлов (см. Рисунок \ (\ PageIndex {1}) \)). Как моряк может указать береговой охране свое местонахождение? В этом разделе мы исследуем метод представления местоположения, который отличается от стандартной координатной сетки.

    Построение точек с использованием полярных координат

    Когда мы думаем о нанесении точек на плоскость, мы обычно думаем о прямоугольных координатах \ ((x, y) \) в декартовой координатной плоскости .Однако есть и другие способы записи пары координат и других типов систем сеток. В этом разделе мы познакомимся с полярными координатами, которые представляют собой точки, помеченные \ ((r, \ theta) \) и нанесенные на полярную сетку. Полярная сетка представлена ​​в виде серии концентрических окружностей, расходящихся от полюса или начала координатной плоскости.

    Полярная сетка масштабируется как единичный круг с положительной осью \ (x \) , которая теперь рассматривается как полярная ось, а начало координат - как полюс.Первая координата \ (r \) - это радиус или длина направленного отрезка прямой от полюса. Угол \ (\ theta \), измеренный в радианах, указывает направление \ (r \). Мы перемещаемся против часовой стрелки от полярной оси на угол \ (\ theta \) и измеряем направленный отрезок длиной \ (r \) в направлении \ (\ theta \). Несмотря на то, что мы сначала измеряем \ (\ theta \), а затем \ (r \), полярная точка сначала записывается с \ (r \) - координатой. Например, чтобы построить точку \ (\ left (2, \ dfrac {\ pi} {4} \ right) \), мы переместим \ (\ dfrac {\ pi} {4} \) единицы в направлении против часовой стрелки. а затем отрезок \ (2 \) от полюса.Эта точка нанесена на сетку на рисунке \ (\ PageIndex {2} \).

    Рисунок \ (\ PageIndex {2} \)

    Пример \ (\ PageIndex {1} \): нанесение точки на полярную сетку

    Постройте точку \ (\ left (3, \ dfrac {\ pi} {2} \ right) \) на полярной сетке.

    Решение

    Угол \ (\ dfrac {\ pi} {2} \) определяется путем поворота против часовой стрелки на \ (90 ° \) от полярной оси. Точка расположена на расстоянии \ (3 \) единиц от полюса в направлении \ (\ dfrac {\ pi} {2} \), как показано на рисунке \ (\ PageIndex {3} \).

    Рисунок \ (\ PageIndex {3} \)

    Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

    Постройте точку \ (\ left (2, \ dfrac {\ pi} {3} \ right) \) в полярной сетке.

    Ответ
    Рисунок \ (\ PageIndex {4} \)

    Пример \ (\ PageIndex {2} \): нанесение точки в полярной системе координат с отрицательным компонентом

    Постройте точку \ (\ left (−2, \ dfrac {\ pi} {6} \ right) \) на полярной сетке.

    Решение

    Мы знаем, что \ (\ dfrac {\ pi} {6} \) находится в первом квадранте.Однако \ (r = −2 \). Мы можем подойти к построению точки с отрицательным \ (r \) двумя способами:

    1. Постройте точку \ (\ left (2, \ dfrac {\ pi} {6} \ right) \), перемещая \ (\ dfrac {\ pi} {6} \) против часовой стрелки и продолжая направленную линию сегмент \ (2 \) единиц в первый квадрант. Затем проведите направленный отрезок назад через полюс и продолжите \ (2 \) единиц в третий квадрант;
    2. Переместите \ (\ dfrac {\ pi} {6} \) против часовой стрелки и проведите направленный отрезок линии от полюсов \ (2 \) единиц в отрицательном направлении в третий квадрант.

    См. Рисунок \ (\ PageIndex {5a} \). Сравните это с графиком полярной координаты \ ((2, π6) \), показанным на рисунке \ (\ PageIndex {5b} \).

    Рисунок \ (\ PageIndex {5} \)

    Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

    Постройте точки \ (\ left (3, - \ dfrac {\ pi} {6} \ right) \) и \ (\ left (2, \ dfrac {9 \ pi} {4} \ right) \) на та же полярная сетка.

    Ответ
    Рисунок \ (\ PageIndex {6} \)

    Преобразование полярных координат в прямоугольные

    Когда дан набор полярных координат , нам может потребоваться преобразовать их в прямоугольные координаты.Для этого мы можем вспомнить отношения, существующие между переменными \ (x \), \ (y \), \ (r \) и \ (\ theta \).

    \ (\ cos \ theta = \ dfrac {x} {r} \ rightarrow x = r \ cos \ theta \)

    \ (\ sin \ theta = \ dfrac {y} {r} \ rightarrow y = r \ sin \ theta \)

    При падении перпендикуляра из точки на плоскости к оси x - образуется прямоугольный треугольник, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {7} \). Простой способ запомнить приведенные выше уравнения - представить \ (\ cos \ theta \) как смежную сторону над гипотенузой, а \ (\ sin \ theta \) как противоположную сторону над гипотенузой.

    Рисунок \ (\ PageIndex {7} \)

    ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИЗ ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТ В ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ

    Чтобы преобразовать полярные координаты \ ((r, \ theta) \) в прямоугольные координаты \ ((x, y) \), пусть

    \ [\ cos \ theta = \ dfrac {x} {r} \ rightarrow x = r \ cos \ theta \]

    \ [\ sin \ theta = \ dfrac {y} {r} \ rightarrow y = r \ sin \ theta \]

    Как: преобразовать заданные полярные координаты в прямоугольные координаты.

    1. Учитывая полярную координату \ ((r, \ theta) \), напишите \ (x = r \ cos \ theta \) и \ (y = r \ sin \ theta \).
    2. Оценить \ (\ cos \ theta \) и \ (\ sin \ theta \).
    3. Умножьте \ (\ cos \ theta \) на \ (r \), чтобы найти координату \ (x \) - прямоугольной формы.
    4. Умножьте \ (\ sin \ theta \) на \ (r \), чтобы найти координату \ (y \) - прямоугольной формы.

    Пример \ (\ PageIndex {3A} \): запись полярных координат в виде прямоугольных координат

    Запишите полярные координаты \ (\ left (3, \ dfrac {\ pi} {2} \ right) \) в виде прямоугольных координат.

    Решение

    Используйте эквивалентные отношения.

    \ [\ begin {align *} x & = r \ cos \ theta \\ x & = 3 \ cos \ dfrac {\ pi} {2} \\ & = 0 \\ y & = r \ sin \ theta \\ y & = 3 \ sin \ dfrac {\ pi} {2} \\ & = 3 \ end {align *} \]

    Прямоугольные координаты \ ((0,3) \). См. Рисунок \ (\ PageIndex {8} \).

    Рисунок \ (\ PageIndex {8} \)

    Пример \ (\ PageIndex {3B} \): запись полярных координат в виде прямоугольных координат

    Запишите полярные координаты \ ((- 2,0) \) в виде прямоугольных координат.

    Решение

    См. Рисунок \ (\ PageIndex {9} \). Записав полярные координаты в виде прямоугольников, мы получим

    \ [\ begin {align *} x & = r \ cos \ theta \\ x & = -2 \ cos (0) \\ & = -2 \\ y & = r \ sin \ theta \\ y & = -2 \ sin (0) \\ & = 0 \ end {align *} \]

    Прямоугольные координаты также равны \ ((- 2,0) \).

    Рисунок \ (\ PageIndex {9} \)

    Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

    Запишите полярные координаты \ (\ left (−1, \ dfrac {2 \ pi} {3} \ right) \) как прямоугольные координаты.

    Ответ

    \ ((x, y) = \ left (\ dfrac {1} {2}, - \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} \ right) \)

    Преобразование прямоугольных координат в полярные координаты

    Чтобы преобразовать прямоугольные координаты в полярные, мы будем использовать два других знакомых отношения. Однако при таком преобразовании мы должны знать, что набор прямоугольных координат даст более одной полярной точки.

    ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИЗ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ В ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ

    Преобразование прямоугольных координат в полярные требует использования одного или нескольких соотношений, показанных на рисунке \ (\ PageIndex {10} \).2 \)

    \ (\ tan \ theta = \ dfrac {y} {x} \)

    Рисунок \ (\ PageIndex {10} \)

    Пример \ (\ PageIndex {4} \): запись прямоугольных координат как полярных координат

    Преобразует прямоугольные координаты \ ((3,3) \) в полярные координаты. 2} \).2} \\ r & = \ sqrt {9 + 9} \\ r & = \ sqrt {18} \\ & = 3 \ sqrt {2} \ end {align *} \]

    Итак, \ (r = 3 \ sqrt {2} \) и \ (\ theta = \ dfrac {\ pi} {4} \), что дает нам полярную точку \ ((3 \ sqrt {2}, \ dfrac {\ pi} {4}) \). См. Рисунок \ (\ PageIndex {11} \).

    Рисунок \ (\ PageIndex {11} \)

    Анализ

    Есть другие наборы полярных координат, которые будут такими же, как наше первое решение. Например, точки \ (\ left (−3 \ sqrt {2}, \ dfrac {5 \ pi} {4} \ right) \) и \ (\ left (3 \ sqrt {2}, - \ dfrac { 7 \ pi} {4} \ right) \) будет совпадать с исходным решением \ (\ left (3 \ sqrt {2}, \ dfrac {\ pi} {4} \ right) \).Точка \ (\ left (−3 \ sqrt {2}, \ dfrac {5 \ pi} {4} \ right) \) указывает на дальнейшее движение против часовой стрелки на \ (\ pi \), что прямо противоположно \ (\ dfrac {\ pi} {4} \). Радиус выражается как \ (- 3 \ sqrt {2} \). Однако угол \ (\ dfrac {5 \ pi} {4} \) расположен в третьем квадранте, и, поскольку \ (r \) отрицателен, мы продолжаем направленный отрезок прямой в противоположном направлении, в первый квадрант. . Это та же точка, что и \ (\ left (3 \ sqrt {2}, \ dfrac {\ pi} {4} \ right) \). Точка \ (\ left (3 \ sqrt {2}, - \ dfrac {7 \ pi} {4} \ right) \) перемещается дальше по часовой стрелке на \ (- \ dfrac {7 \ pi} {4} \ ) из \ (\ dfrac {\ pi} {4} \).Радиус \ (3 \ sqrt {2} \) такой же.

    Преобразование уравнений между полярной и прямоугольной формами

    Теперь мы можем преобразовывать координаты между полярной и прямоугольной формой. Преобразование уравнений может быть более трудным, но может быть полезно иметь возможность преобразовывать между двумя формами. Поскольку существует ряд полярных уравнений, которые нельзя четко выразить в декартовой форме, и наоборот, мы можем использовать те же процедуры, которые мы использовали для преобразования точек между системами координат.Затем мы можем использовать графический калькулятор для построения графика прямоугольной или полярной формы уравнения.

    Как: для уравнения в полярной форме построить его график с помощью графического калькулятора

    1. Измените MODE на POL , представляя полярную форму.
    2. Нажмите кнопку Y = , чтобы открыть экран, позволяющий ввести шесть уравнений: \ (r_1 \), \ (r_2 \), ..., \ (r_6 \).
    3. Введите полярное уравнение, установите равным \ (r \).2 = 6y \) (b) полярная форма \ (r = 6 \ sin \ theta \)

      Декартово или прямоугольное уравнение наносится на прямоугольную сетку, а полярное уравнение наносится на полярную сетку. Понятно, что графики идентичны.

      Упражнение \ (\ PageIndex {4A} \): переписывание декартова уравнения в полярной форме

      Перепишем декартово уравнение \ (y = 3x + 2 \) как полярное уравнение.

      Ответ

      Мы будем использовать отношения \ (x = r \ cos \ theta \) и \ (y = r \ sin \ theta \).2 \) в полярной форме.

      Ответ

      \ (r = \ sqrt {3} \)

      Идентификация и графическое отображение полярных уравнений путем преобразования в прямоугольные уравнения

      Мы научились преобразовывать прямоугольные координаты в полярные, и мы увидели, что точки действительно совпадают. Мы также преобразовали полярные уравнения в прямоугольные и наоборот. Теперь мы продемонстрируем, что их графики, нарисованные на разных сетках, идентичны.

      Пример \ (\ PageIndex {6A} \): построение графика полярного уравнения путем преобразования в прямоугольное уравнение

      Преобразуйте полярное уравнение \ (r = 2 \ sec \ theta \) в прямоугольное уравнение и начертите соответствующий график.

      Решение

      Преобразование

      \ [\ begin {align *} r & = 2 \ sec \ theta \\ r & = \ dfrac {2} {\ cos \ theta} \\ r \ cos \ theta & = 2 \\ x & = 2 \ конец {выровнять *} \]

      Обратите внимание, что уравнение \ (r = 2 \ sec \ theta \), нарисованное на полярной сетке, явно совпадает с вертикальной линией \ (x = 2 \), нарисованной на прямоугольной сетке (см. Рисунок \ (\ PageIndex {14) } \)).Так же, как \ (x = c \) является стандартной формой для вертикальной линии в прямоугольной форме, \ (r = c \ sec \ theta \) является стандартной формой для вертикальной линии в полярной форме.

      Рисунок \ (\ PageIndex {14} \): (a) Полярная сетка (b) Прямоугольная система координат

      Аналогичное обсуждение продемонстрирует, что график функции \ (r = 2 \ csc \ theta \) будет горизонтальная линия \ (y = 2 \). Фактически, \ (r = c \ csc \ theta \) - это стандартная форма горизонтальной линии в полярной форме, соответствующая прямоугольной форме \ (y = c \).2} \ end {align *} \]

      Когда все наше уравнение было изменено с \ (r \) и \ (\ theta \) на \ (x \) и \ (y \), мы можем остановиться, если вас не попросят решить для \ (y \) или упростить . См. Рисунок \ (\ PageIndex {15} \).

      Рисунок \ (\ PageIndex {15} \)

      Форма «песочных часов» на графике называется гиперболой . Гиперболы имеют много интересных геометрических особенностей и приложений, которые мы исследуем далее в Аналитической геометрии.

      Анализ

      В этом примере правая часть уравнения может быть расширена, а уравнение еще более упрощено, как показано выше.2 = 1 \)

      Пример \ (\ PageIndex {7} \): переписывание полярного уравнения в декартовой форме

      Перепишите полярное уравнение \ (r = \ sin (2 \ theta) \) в декартовой форме.

      Решение

      \ [\ begin {align} r & = \ sin (2 \ theta) && \ text {Используйте тождество двойного угла для синуса.} \\ [4pt] r & = 2 \ sin \ theta \ cos \ theta && \ текст {Используйте} \ cos \ theta = \ dfrac {x} {r} \ text {и} \ sin \ theta = \ dfrac {y} {r}. \\ r & = 2 \ left (\ dfrac {x} {r} \ right) \ left (\ dfrac {y} {r} \ right) && \ text {Упростите.2 [-2,47, 2,53, -0,36, 2,14]}

      На этом графике каждое значение по оси # x # связано с точкой на оси # y #. При # x = 2 #, # y = 4 #. Запишем координаты как: # (2,4) #. Когда мы записываем координаты в форме # (x, y) #, мы называем их декартовыми координатами .

      В полярных координатах мы записываем координаты точки в форме # (r, theta) #, где # r # - это расстояние непосредственно между точкой и началом координат, а # theta # - угол между положительным # x #. ось и эту линию.(-1) (y / x) #

      Чтобы преобразовать обратно в декартово:

      # x = rcostheta #
      # y = rsintheta #

      Таким образом, полярный график - это довольно простой график, на котором функция была написана в полярной форме (т.е. функция, которая связывает # r # с # theta # как приложение к функции, которая связывает # y # с # x #).

      Действительно ли вы хотите использовать полярные координаты, зависит от ситуации. Если график имеет некоторую форму круговой симметрии, то, возможно, полярная диаграмма может быть лучше декартовой.

      Примеры полярных графиков:

      Это эллипс с уравнением:

      #r (тета) = 0.sqrt (тета) #

      Как вы понимаете, с этим было бы значительно труднее работать в декартовом языке.

      Но в любом случае, это общая идея полярного сюжета.

      Calculus - Попытка построить эти точки в полярной системе координат

      Я не решаюсь написать даже частичный ответ, так как без картинок он будет безнадежно неадекватным. Возможно, кто-то с навыками рисования даст ответ, и этот ответ станет устаревшим.

      Вам действительно нужен живой человек, чтобы показать вам, что происходит.Или, как слабый второй лучший, погуглите "Полярные координаты". Несколько записей вниз, есть пара видео. Не слишком впечатляюще, но лучше, чем ничего.

      Но вот частичный ответ на ваш вопрос.

      Прямоугольная система координат, с которой вы знакомы, представляет собой «схему адресации» для точек на плоскости. Полярная система координат - это совершенно другая схема адресации.

      Пусть $ O $ - начало координат. Нарисуйте обычные оси, но сконцентрируйтесь на положительной оси $ x $.Адрес точки $ P $ в полярной системе координат - это упорядоченная пара $ (r, \ theta) $, где $ r $ - расстояние от $ O $ до $ P $, а $ \ theta $ - угол через которую вы должны повернуть положительную ось $ x $ против часовой стрелки, чтобы она упала вдоль линии $ OP $.

      Пример: Пусть $ P $ имеет полярные координаты $ (4, \ pi / 6) $. Итак, нам нужно повернуть положительную ось $ x $ на $ 30 $ градусов и выйти наружу на расстояние $ 4 $ от начала координат. Я надеюсь, что вы сможете вычислить, используя базовые элементы прямоугольного треугольника, и увидите, что $ P $ имеет прямоугольные координаты $ (2 \ sqrt {3}, 2) $.

      Вам следует немного попрактиковаться, переходя с полярных координат на прямоугольные и наоборот. В вашем тексте будет много упражнений.

      Рисование $ r = 2 + \ sin \ theta $: Точки на этой кривой - это все точки с полярным адресом $ (r, \ theta) $ и такими, что $ r = 2 + \ sin \ theta $.

      Читая ниже, , пожалуйста, нарисуйте.

      Начнем с $ \ theta = 0 $. Таким образом, мы вообще не повернулись от положительной оси $ x $.И мы хотим, чтобы расстояние от начала координат было $ 2 + \ sin (0) $. Так мы получаем точку с прямоугольными координатами $ (2,0) $.

      Теперь возьмем $ \ theta = \ pi / 6 $. Итак, $ 2 + \ sin \ theta = 2.5 $. Теперь наша точка $ P $ находится на расстоянии $ 2,5 $ от начала координат, а $ PO $ составляет угол $ 30 $ градусов с положительной осью $ x $.

      Продолжайте таким же образом, нанося точки. Но это , а не , как мне кажется. Я бы представил, что $ \ theta $ растет, то есть угол с положительной осью $ x $ растет, поэтому мой карандаш движется против часовой стрелки.Затем $ 2 + \ sin \ theta $, расстояние от начала координат, увеличивается, по крайней мере, на некоторое время. Он увеличивается до тех пор, пока $ \ theta $ достигает $ \ pi / 2 $, когда $ r = 3 $. Таким образом, точка с прямоугольными координатами $ (0,3) $ находится на кривой. Чтобы добраться от $ \ theta = 0 $ до $ \ theta = \ pi / 2 $, нарисуйте кривую, которая начинается на расстоянии $ 2 $ от начала координат и по мере движения против часовой стрелки становится все дальше и дальше от начала координат до расстояния достигает $ 3 $ при достижении положительной оси $ y $.

      Продолжим мимо $ \ pi / 2 $.Теперь $ \ sin \ theta $ уменьшается и достигает $ 0 $ при $ \ theta = pi $. Если вы продолжите движение против часовой стрелки, $ r $ сжимается, пока не достигнет $ 2 $ в точке $ \ theta = \ pi $. Оказываемся в точке с прямоугольными координатами (-2,0) $.

      Продолжайте движение за $ \ pi $. Теперь $ \ sin \ theta $ отрицательно и становится все более отрицательным. Итак, $ r $ опускается ниже $ 2 $ и достигает $ 1 $ при $ \ theta = 3 \ pi / 2 $. Мы достигли точки с прямоугольными координатами $ (0, -1) $.

      Теперь перейдите от $ \ theta = 3 \ pi / 2 $ к $ \ theta = 2 \ pi $.Вы должны быть в состоянии соединиться с первой точкой, которую мы нарисовали на кривой.

      После всего этого мы получаем то, что выглядит как перевернутое сердце на День святого Валентина или, для менее романтичных людей, как сидящий толстый остроконечный мужчина.

      Рисование $ r = 5 \ sin \ theta $: К сожалению, здесь есть сложности. Есть два соглашения о том, что делать с отрицательными $ r $. Согласно соглашению $ 1 $ отрицательное значение $ r $ не имеет смысла. В соглашении $ 2 $ говорится, что, например, для построения точки с полярными координатами $ (- 8, \ theta) $ вы представляете, как строите график $ (8, \ theta) $ и отражаете результат через начало координат или, что то же самое, вращаете на $ 180. $ градусов.Я не знаю, какое соглашение используется в вашем курсе / книге.

      Представьте, что вы строите график $ r = 5 \ sin \ theta $ с использованием условного обозначения $ 1 $. Начните с $ \ theta = 0 $. Тогда $ r = 0 $, значит, мы находимся в начале координат. Теперь пусть $ \ theta $ растет в сторону $ \ theta = \ pi / 2 $. По мере роста $ \ theta $ растет $ \ sin \ theta $, поэтому по мере увеличения нашего угла с положительной осью $ x $ наше расстояние от начала координат увеличивается, пока при $ \ theta = \ pi / 2 $ расстояние не достигнет $ 5. $, и мы получаем (0,5) $. Теперь пусть $ \ theta $ увеличивается с $ \ pi / 2 $ до $ \ pi $. Наше расстояние от начала координат уменьшается и достигает $ 0 $ в $ \ theta = \ pi $, поэтому мы соединяемся с нашей начальной точкой.Когда мы проходим мимо $ \ pi $, $ \ sin \ theta $ становится отрицательным, и по соглашению $ 1 $ мы не получаем кривой.

      Если вместо этого мы используем Соглашение $ 2 $, при переходе от $ \ pi $ к $ 2 \ pi $, мы снова обведем кривую (вспомните про отражение через начало координат). Таким образом, визуально два разных соглашения дают кривые, которые выглядят одинаково. То, что , а не , всегда будет правдой.

      Площадь: Я этого делать не буду. Но при тщательном рисовании вы сможете определить регион, о котором идет речь.И вы были правы, считая важными точки пересечения. Вы правильно нашли соответствующий $ \ theta $.

      Знакомство с полярными координатами

      В каком-то смысле может показаться странным, что первый способ, которым нас учат представлять положение объектов в математике, - это использование декартовых координат, когда этот метод определения местоположения не самый естественный или самый удобный. Для начала вы должны использовать как отрицательные, так и положительные числа для описания всех точек на плоскости, и вы должны создать сетку (оси колодцев) для использования в качестве Справка.

      Когда вы спросите ребенка, где он оставил свой мяч, он скажет «прямо там» и укажет. Они описывают (хотя и очень грубо) расстояние «просто» и направление «туда» (поддерживается или кивок головы.) Когда вы спрашиваете кого-то, где находится их город, они часто говорят что-то вроде «примерно в 30 милях к северу от Лондона». Опять же расстояние и направление. Не очень часто кто-то дает широту и долготу своего города!


      Таким образом, использование расстояния и направления как средства описания положения гораздо более естественно, чем использование двух расстояний на сетке.Этот способ определения местоположения используется в полярных координатах и ​​пеленгах.

      Полярные координаты точки описывают ее положение в терминах расстояния от фиксированной точки (исходной точки) и угла, измеряемого от фиксированного направления, которое, что интересно, не является «северным» (или верхним на странице), а «восток» (вправо). Это в направлении $ Ox $ на декартовой оси.

      Итак:

      На плоскости мы выбираем фиксированную точку $ O $, известную как «полюс».

      Затем мы выбираем ось $ Ox $, проходящую через полюс, и называем ее «полярной осью».

      Теперь нам нужен способ описания этих моментов, который был бы эффективным и понятным для всех.

      Мы говорим, что $ (r, \ theta) $ - полярные координаты точки $ P $, где $ r $ - расстояние $ P $ от начала координат $ O $ и $ \ theta $ угол между $ O x $ и $ OP $.

      Вот несколько точек на плоскости и список из пяти наборов полярных координат. Можете сопоставить точки с их координатами (ответы в конце статьи). Я добавил несколько кругов, чтобы помочь с расстояниями.c \ end {eqnarray} $$

      Если посмотреть на одну из наших точек в списке выше, $ (90,90) $ будет $ (90, \ frac {\ pi} {2}) $, если угол измеряется в радианах.

      Можете ли вы записать каждую из указанных выше пар полярных координат в радианах? (Ответы в конце статьи). c $.... под углом и все равно будут указывать в том же направлении! В приведенном выше примере общие координаты для $ A $ будут $ (90,2n \ pi + \ frac {\ pi} {2}) $, где $ n $ - целое число.

      Это также означает, что полярные координаты полюса $ O $ равны $ (0, \ theta) $, где $ \ theta $ может быть любым углом.

      Связь между полярными и декартовыми координатами

      Представьте себе точку $ P $, имеющую полярные координаты $ (r, \ theta) $. Давайте попробуем использовать эту информацию, чтобы дать декартовы координаты $ P $. Мы можем опустить перпендикуляр из точки $ P $ в точку $ Ox $, пересекающуюся с $ Ox $ в точке $ Q $.Длины $ OQ $ и $ OP $ представляют координаты $ x $ и $ y $ в декартовой форме, поэтому нам просто нужно найти эти два расстояния.

      $$ \ begin {eqnarray} PQ & = & r \ sin \ theta \\ OQ & = & r \ cos \ theta \ end {eqnarray} $$

      Следовательно, декартовы координаты $ P $ равны $ (r \ sin \ theta, r \ cos \ theta) $

      Теперь давайте работать по-другому:

      Начнем с декартовой системы координат.

      Мы возьмем декартовы координаты $ P $ как $ (x, y) $.в) $ !!

      Используя знаки $ \ sin \ theta $ и $ \ cos \ theta $, вы можете быть уверены, что угол находится в правильном квадранте.

      Итак, давайте закончим, используя эту систему координат. Было бы хорошо попробовать некоторые уравнения и посмотреть на их графики (полярные диаграммы).

      Давайте рассмотрим несколько примеров:

      Рассмотрим график:

      $ r = \ theta $

      Он имеет форму спирали (каждая точка перемещается из центра по мере увеличения угла).

      На диаграмме ниже показаны графики $ r = a \ theta $ для различных значений $ a $. Можете ли вы понять, что это такое?

      Теперь ваша очередь.Графический калькулятор или графический пакет были бы очень полезны!

      Как будет выглядеть серия графиков

      $ r = 1, r = 2, r = 3, $ ...?

      Как насчет $ r = 2a (1 + \ cos \ theta) $ для разных значений $ a $? Эти графики, кстати, называют кардиоидами.

      Ответы:

      $$ \ begin {eqnarray} \ mbox {D} \ rightarrow (60,0) \\ \ mbox {E} \ rightarrow (30, 270) \\ \ mbox {C} \ rightarrow (120 , 225) \\ \ mbox {A} \ rightarrow (90, 90) \\ \ mbox {F} \ rightarrow (60,60) \\ \ mbox {B} \ rightarrow (120, 180) \ end {eqnarray} $$ И $$ \ begin {eqnarray} (60,0) \ rightarrow (60,0) \\ (30, 270) \ rightarrow (30, \ frac {3 \ pi} {2}) \\ (120, 225) \ rightarrow (120, \ frac {5 \ pi} {4}) \\ (90, 90) \ rightarrow (90, \ frac {\ pi} {2}) \\ (60,60) \ rightarrow (60, \ frac {\ pi} {3}) \\ (120, 180) \ rightarrow (120, \ pi) \ end {eqnarray} $$

      Сожмите его, чтобы сделать веер вокруг точки, или.. . .

      . . . . как использовать график xy для визуализации полярного графика

      Когда вы пытаетесь представить, как будет выглядеть полярный график функции, иногда может быть полезно сначала взглянуть на декартов (xy) график для этой функции, используя значения от $ 0 $ до $ 2 \ pi $ (от $ 0 $ до $ 360 $). градусов), а затем представьте, что график превратился в веер.

      Изобразите ось x, втянутую в точку, а значения функции развернуты вокруг нее.

      Например: $ y = 5 \ sin 2x $ выглядит как декартово график.

      Но как полярный график $ r = 5 \ sin 2 \ theta $:

      В интервале от $ 0 $ до $ 2 \ pi $ граф $ \ sin 2x $ имеет $ 4 $ областей

      В области $ 1 $ функция возрастает до максимального значения $ 5 $, а затем симметрично возвращается к нулю.

      В области $ 2 $ функция падает до минимального значения $ -5 $, а затем снова возвращается к нулю.

      Обратите внимание на положение области $ 2 $ на полярном графике: когда $ \ theta $ перемещает второй квадрант $ \ pi / 2 $ в $ \ pi $, все значения r отрицательны, проецируя каждую точку графика назад в четвертый квадрант. .

      Область $ 3 $ проста, как область $ 1 $, тогда как область $ 4 $, как область $ 2 $, также имеет отрицательные значения $ r $ и, следовательно, находится во втором квадранте.

      Теперь попробуйте $ r = 5 + 5 \ sin 2 \ theta $:

      Сначала нарисуйте график xy, затем растяните его, чтобы получился веер вокруг точки. После того, как вы нарисуете полярный график, используйте графический калькулятор или графопостроитель, чтобы подтвердить свой рисунок.

      Придумайте свои собственные функции для игры. Например, предположим, что я придерживаюсь формы $ r = A + 5 \ sin 2 \ theta $, $ A $ изначально было $ 0 $, а затем $ 5 $. Как изменение значений $ A $ повлияет на появление полярного графика?

      Удачи.

      Дженнифер Пигготт и Грэм Браун

      Полярные координаты, уравнения и графики - она ​​любит математику

      Этот раздел охватывает:

      Обратите внимание, что мы говорим о преобразовании назад и вперед из полярной комплексной формы в прямоугольную комплексную форму здесь, в тригонометрии и комплексной плоскости раздел.

      До сих пор мы построили точки, используя прямоугольную (или декартовую ) координаты , поскольку точки с тех пор, как мы движемся вперед и назад \ (x \) единиц, и вверх и вниз \ (y \) единицы измерения.

      В Полярной системе координат мы обходим начало координат или полюс на определенное расстояние и на определенный угол от положительной оси \ (x \) - оси:

      Упорядоченные пары, называемые полярными координатами , имеют форму \ (\ left ({r, \ theta} \ right) \), где \ (r \) - количество единиц от начала координат или полюса ( если \ (r> 0 \)), как радиус круга, а \ (\ theta \) - угол (в градусах или радианах), образованный лучом на положительном \ (x \) - ось ( полярная ось ), движущаяся против часовой стрелки .Если \ (r <0 \), точка равна единицам (например, радиусу) в направлении , противоположном (через начало координат или полюс) угла \ (\ theta \). Если \ (\ theta <0 \), вы двигаетесь по часовой стрелке с углом, начиная с положительной оси \ (x \) - .

      Чтобы построить точку, вы обычно сначала делаете круг вокруг положительной оси \ (x \) - \ (\ theta \) градусов, а затем выходите из начала координат или полюса \ (r \) единиц (если \ (r \) отрицательно, пойти другим путем ( 180 ° ) \ (r \) единиц).

      Вот полярный график с некоторыми точками. Обратите внимание, что мы обычно считаем с шагом 15 ° или \ (\ displaystyle \ frac {\ pi} {{12}} \).

      Для точки \ (\ left ({r, \ theta} \ right) \) вы видите, как вы всегда идете против часовой стрелки (или по часовой стрелке , если у вас отрицательный угол ) до тех пор, пока вы не достигнете желаемого угла, а затем от центра \ (r \) единиц, если \ (r \) - положительное значение ? Если \ (r \) равно отрицательному , вы идете в направлении , противоположном от угловых единиц \ (r \).\ circ} \ right) \) (сделать оба отрицательными). (Помните, что 240 ° и –120 ° , и 60 ° и –240 ° - это углы со-терминала ). Чтобы получить их, если первое число (\ (r \)) отрицательное, вы хотите пойти в противоположном направлении, а если угол отрицательный, вы хотите идти по часовой стрелке, а не против часовой стрелки от положительного \ (x \) - ось.

      <

      Возможно, вам будет предложено преобразовать координаты между полярной формой и прямоугольной формой .

      Преобразование полярных координат в прямоугольные

      Давайте сначала преобразуем полярные координаты в прямоугольные ; для этого мы используем следующие формулы, как мы видим на графике:

      Это преобразование довольно прямолинейно:

      \ (\ begin {array} {l} x \, \, = \, \, r \, \ cos \, \ theta \\ y \, \, = \, \, r \, \ sin \, \ theta \ end {array} \)

      Преобразование прямоугольных координат в полярные

      Преобразование от прямоугольных координат до полярных координат может быть немного сложнее, поскольку нам нужно проверить квадрант прямоугольной точки, чтобы получить правильный угол; квадранты должны совпадать.Функция {{-1}}} \) на калькуляторе возвращает ответы только в интервале \ (\ displaystyle \ left ({- \ frac {\ pi} {2}, \, \, \ frac {\ pi} { 2}} \ right) \)):

      Обратите внимание, что может быть несколько «ответов» при преобразовании из прямоугольного в полярный , поскольку полярные точки могут быть представлены разными способами (концевые углы, положительные или отрицательный «\ (r \)» и т. д.). Таким образом, обычно проще преобразовать полярное изображение в прямоугольное.

      Примеры

      Вот несколько примеров двустороннего преобразования; обратите внимание, вас могут попросить преобразовать обратно в полярные значения в градус, или радиан. Для обратного преобразования в полярное значение убедитесь, что ответы находятся в диапазоне от 0 до 360 ° для градусов или от 0 до \ (2 \ pi \) для радианов. (И снова обратите внимание, что при обратном преобразовании в полярные координаты мы не всегда можем получить такое же представление, как полярная точка, с которой мы начали. {{- 1}}} \ left ({\ frac {3} {0}} \ right) = \ frac {\ pi} {2} \ text {(мы хотим, чтобы загар был} \\\ text {undefined, между 1-м и 2-м квадрантами)} \ end {массив} \)

      \ (\ displaystyle \ left ({3, \ frac {\ pi} {2}} \ right), \ text {то же самое, что и} \ left ({3, - \ frac { {3 \ pi}} {2}} \ right) \)

      Здесь мы переходим от прямоугольного к полярному и мы не можем получить угол от единичной окружности.{{-1}}} \ left ({\ frac {5} {{- 1}}} \ right) = - 1,373+ \ pi = 1,768 \ text {(2-й квадрант)} \)

      \ (\ displaystyle \ left ({\ sqrt {{26}}, 1.768} \ right) \)

      Обратите внимание, что вы также можете использовать « 2 nd APPS (ANGLE) » на графическом калькуляторе , чтобы сделайте эти преобразования, но вы не получите ответов с корнями в них (вы получите десятичные дроби, которые не являются «точными»). И вам нужно решить для \ (x \) и \ (y \) или \ (r \) и \ (\ theta \) отдельно, и использовать «, » над 7 для запятой. .

      Убедитесь, что у вас есть калькулятор: ГРАДУС, или РАДИАНЫ РЕЖИМЕ ), в зависимости от того, с чем вы работаете.

      Я считаю, что рисование полярных графиков представляет собой комбинацию части с запоминанием и части знания, как создавать полярные t -диаграммы .

      Во-первых, вот таблица некоторых наиболее распространенных полярных графиков . Я включил диаграммы t как в градусах, так и в радианах.

      (Обратите внимание, что вы также можете поместить их в свой графический калькулятор , например, с радианами : РЕЖИМ: РАДИАН, ПОЛЯРНЫЙ и ОКНО: θ = [0, 2 π ], θstep = π /12 или π /6, X = [–10, 10], Y = [–6, 6] , а затем, используя « Y = », чтобы ввести уравнение, или просто поместите на график и используйте ZOOM ZTRIG (опция 7 ). {2}} \).

      Обратите внимание, что \ (r = -5 \) приведет к тому же графику.

      \ (r \) θ °
      5 0 0
      5 \ (\ displaystyle \ frac {\ pi} {2} \
      5 \ (\ pi \) 180
      5 \ (\ displaystyle \ frac {{3 \ pi}} {2} \) 270
      5 \ (2 \ pi \) 360

      Смещенная окружность

      \ (r = 4 \ cos \ theta \)

      Окружность симметрична с \ (x \) - осью диаметром 4 .

      Если отрицательное значение (например, \ (r = -4 \ cos \ theta \)), отразите по оси \ (y \) - так, чтобы она находилась слева.

      \ (r \) θ °
      4 0 0
      \ (2 \ sqrt {2} \ приблизительно 2,8 \) \ (\ displaystyle \ frac {\ pi} {4} \) 45
      0 \ (\ displaystyle \ frac {\ pi} {2} \) 90
      \ (- 2 \ sqrt {2} \ приблизительно -2.8 \) \ (\ displaystyle \ frac {{3 \ pi}} {4} \) 135
      –4 \ (\ pi \) 180

      Смещенная окружность

      \ (r = -6 \ sin \ theta \)

      Окружность, симметричная оси \ (y \) с диаметром 6 .

      Так как это отрицательное значение , отразите по оси \ (x \), чтобы он оказался внизу.

      (положительное значение будет выше оси \ (x \)).

      \ (r \) θ °
      0 0 0
      \ (- 3 \ sqrt {2} \ приблизительно -4,2 \) \ \ displaystyle \ frac {\ pi} {4} \) 45
      –6 \ (\ displaystyle \ frac {\ pi} {2} \) 90
      \ (- 3 \ sqrt {2 } \ приблизительно -4,2 \) \ (\ displaystyle \ frac {{3 \ pi}} {4} \) 135
      0 \ (\ pi \) 180

      Вот несколько полярных уравнений, которые приводят к линии :

      Тип полярной функции T-Chart Graph

      021 Line \ (\ displaystyle \ theta = \ frac {\ pi} {4} \)

      Примечание. В уравнении нет символа «\ (r \)»; просто нарисуйте линию в \ (\ displaystyle \ frac {\ pi} {4} \).Эти графики всегда проходят через полюс (центр).

      Обратите внимание, что \ (\ displaystyle \ theta = \ frac {{5 \ pi}} {4} \) и \ (\ displaystyle \ theta = - \ frac {{3 \ pi}} {4} \) даст такой же график.

      \ (r \) θ °
      n / a \ (\ displaystyle \ frac {\ pi} {4} \) 45
      n / a \ (\ displaystyle \ frac {\ pi} {4} \) 45
      n / a \ (\ displaystyle \ frac {\ pi} {4} \) 45

      н / д = не применимо; может быть чем угодно

      Вертикальная линия

      \ (r = 3 \ sec \ theta \)

      Я помню, что эта линия вертикальная, так как она такая же, как \ (r \ cos \ тета = 3 \).

      Это то же самое, что \ (x = 3 \) в прямоугольной форме, которая представляет собой вертикальную линию .

      Если отрицательное значение (например, \ (r = -3 \ sec \ theta \)), отразите по оси \ (y \) - так, чтобы она находилась слева.

      \ (r \) θ °
      3 0 0
      \ (\ приблизительно 4,2 \) \ (\ displaystyle} \ frac {\ displaystyle} \ frac {\ displaystyle} \ frac {\ displaystyle} \ frac {\ displaystyle} \ frac {\ displaystyle} \ frac {\ displaystyle} \ frac {\ displaystyle} \ frac {\ displaystyle} {4} \) 45
      и \ (\ displaystyle \ frac {\ pi} {2} \) 90
      \ (\ около 4.2 \) \ (\ displaystyle \ frac {{3 \ pi}} {4} \) 135
      –3 \ (\ pi \) 180

      und = undefined

      Горизонтальная линия

      \ (r = -4 \ csc \ theta \)

      Я помню, что эта линия горизонтальная, поскольку она такая же, как \ (r \ sin \ theta = - 4 \). Это то же самое, что \ (y = -4 \) в прямоугольной форме, которая представляет собой горизонтальную линию .

      Так как это отрицательное значение , отразите по оси \ (x \), чтобы он оказался внизу.

      (положительное значение будет выше оси \ (x \)).

      \ (r \) θ °
      und 0 0
      \ (\ приблизительно -5,7 \) \ (\ display \ pi \ frac } {4} \) 45
      –4 \ (\ displaystyle \ frac {\ pi} {2} \) 90
      \ (\ приблизительно -5.7 \) \ (\ displaystyle \ frac {{3 \ pi}} {4} \) 135
      и \ (\ pi \) 180

      Вот графики, которые мы называем Cardioids и Limacons . Они имеют вид \ (r = a + b \ cos \ theta \) или \ (r = a + b \ sin \ theta \).

      Примечание : В отличие от своих прямоугольных эквивалентов, \ (r = a \ pm b \ cos \ theta \) и \ (r = -a \ pm b \ cos \ theta \) (то же самое с \ (r = a \ pm b \ sin \ theta \) и \ (r = -a \ pm b \ sin \ theta \)) - это один и тот же полярный граф! Попробуй!

      Во-первых, Кардиоиды (сердца) ; обратите внимание, что эти и Limecon «петли» касаются полюса (исходной точки) , в то время как Limecon «фасоль» не касаются:

      Тип полярной функции T-Chart График

      Кардиоидный или Сердце

      \ (\ begin {array} {l} r = a + b \ cos \ theta, \, \, \, a = b \ \ r = a + b \ sin \ theta, \, \, \, a = b \ end {array} \)

      \ (r = 3 + 3 \ cos \ theta \)

      Примечание: Я помню, что когда \ (a = b \), все в гармонии, как сердце.

      Сердце выходит на \ (3 + 3 = 6 \) по оси \ (x \) - и ударяется о 3 и –3 по \ (y \).

      Если cos равен отрицательным (например, \ (r = 3-3 \ cos \ theta \)), отразите по оси \ (y \) - так, чтобы она находилась слева.

      \ (r \) θ °
      6 0 0
      3 \ (\ displaystyle \ frac {\ pi} {2} \
      0 \ (\ pi \) 180
      3 \ (\ displaystyle \ frac {{3 \ pi}} {2} \) 270

      Обратите внимание, что \ (r = -3 + 3 \ cos \ theta \) будет такой же график.

      Кардиоид или Сердце

      \ (\ begin {array} {l} r = a + b \ cos \ theta, \, \, \, a = b \\ r = a + b \ sin \ theta, \, \, \, a = b \ end {array} \)

      \ (r = 4-4 \ sin \ theta \)

      Примечание: я помню, что когда \ (a = b \), вещи находятся в гармонии, как сердце.

      Сердце выходит на \ (4 + 4 = 8 \) по оси \ (y \) - и достигает 4 и –4 на \ (x \).

      Так как sin - это отрицательное значение , отразите по оси \ (x \) так, чтобы она находилась «внизу».(Положительное значение будет выше оси \ (x \)).

      \ (r \) θ °
      4 0 0
      0 \ (\ displaystyle \ frac {\ pi} {2} \
      4 \ (\ pi \) 180
      8 \ (\ displaystyle \ frac {{3 \ pi}} {2} \) 270

      Обратите внимание, что \ (r = -4-4 \ sin \ theta \) будет такой же график.

      Вот Limacons :

      38

      \ (\ begin {array} {l} r = a + b \ cos \ theta, \, \, \, a

      \ (r = 3-5 \ cos \ theta \)

      Примечание: я помню, что когда \ (a \) на меньше , чем \ (b \) (\ (a (совпадение l ).

      Лимакон выходит на \ (3 + 5 = 8 \) на отрицательной оси \ (x \) и достигает 3 и –3 на оси \ (y \) -. Он также попадает в цикл \ (5-3 = 2 \).

      Поскольку cos равен отрицательному значению , отразите по оси \ (y \), чтобы он находился слева. (Позитив будет на правой стороне).

      Тип полярной функции T-Chart График
      \ (r \) θ °
      –2 0 0
      3 \ (\ displaystyle \ frac {\) \ pi} {2} 90
      8 \ (\ pi \) 180
      3 \ (\ displaystyle \ frac {{3 \ pi}} {2} \) 270

      Обратите внимание, что \ (r = -3-5 \ cos \ theta \) составит такой же график.

      Лимакон (Бин)

      \ (\ begin {array} {l} r = a + b \ cos \ theta, \, \, \, a> b \\ r = a + b \ sin \ theta, \, \, \, a> b \ end {array} \)

      \ (r = 4 + 3 \ sin \ theta \)

      Примечание: я помню что когда b является наименьшим, это « b ean».

      Бин поднимается до \ (4 + 3 = 7 \) по оси \ (y \) - и достигает 4 и –4 по \ (x \).Он также попадает в \ (4-3 = 1 \) по отрицательной оси \ (y \).

      Если sin отрицательное значение (например, \ (r = 4-3 \ sin \ theta \)), отразите по оси \ (x \), чтобы она находилась внизу.

      \ (r \) θ °
      4 0 0
      7 \ (\ displaystyle \ frac {\ pi} {2} \
      4 \ (\ pi \) 180
      1 \ (\ displaystyle \ frac {{3 \ pi}} {2} \) 270

      Обратите внимание, что \ (r = -4 + 3 \ sin \ theta \) будет такой же график.

      Графики Розы образуют «лепестки» и имеют форму \ (r = a \ cos \ left ({b \ theta} \ right) \) или \ (r = a \ sin \ left ({b \ theta} \ right) \). Обратите внимание: поскольку у нас есть начальная точка для этих графиков и расстояние между лепестками, диаграмма t не очень полезна. (В диаграммах t я сделал угол \ (\ Delta \) таким же, как расстояние между лепестками).

      Начнем с cos Rose графики:

      Тип полярной функции T-Chart Graph

      (Rose \ boldsymbol {b} \) ”равно , даже )

      \ (r = a \ cos \ left ({b \ theta} \ right), \, \, r = a \ sin \ left ({b \ theta} \ right) \)

      \ (r = 7 \ cos \ left ({4 \ theta} \ right) \)

      Поскольку \ (b \) ( 4 ) равно даже , мы иметь лепестки \ (2b \), или 8 лепестков .

      При положительном значении cos, они начинаются с положительного \ (\ boldsymbol {x} \) -оси , и они равны \ (\ displaystyle \ frac {{360}} {8} \), или 45 ° друг от друга, против часовой стрелки.

      Длина каждого лепестка равна \ (a \) ( 7 ).

      \ (r \) θ °
      7 0 0
      –7 \ (\ displaystyle \ frac {\ pi} {4} 45
      7 \ (\ displaystyle \ frac {\ pi} {2} \) 90
      –7 \ (\ displaystyle \ frac {{3 \ pi}} {4} \) 135
      7 \ (\ pi \) 180
      –7 \ (\ displaystyle \ frac {{5 \ pi}} {4} \) 225
      7 \ (\ Displaystyle \ frac {{3 \ pi}} {2} \) 270
      –7 \ (\ displaystyle \ frac {{7 \ pi}} {4} \) 315

      Роза («\ (\ boldsymbol {b} \)» - это нечетный )

      \ (r = a \ cos \ left ({b \ theta} \ right), \, \ , r = a \ sin \ left ({b \ theta} \ right) \)

      \ (r = -6 \ cos \ left ({5 \ theta} \ right) \ )

      Поскольку \ (b \) ( 5 ) - это нечетное , у нас есть \ (b \) лепестки, или 5 лепестков (мы не умножаем на 2 ).

      С отрицательным cos, они начинаются с отрицательного положительного \ (\ boldsymbol {x} \) -оси (отражаются над \ (\ boldsymbol {y} \) -осью ) и \ (\ displaystyle \ frac {{360}} {5} \), или 72 ° друг от друга против часовой стрелки. (Обратите внимание, что, поскольку диаграмма t начинается на положительной оси \ (\ boldsymbol {x} \), \ (r \) на диаграмме отрицательны).

      Длина каждого лепестка равна \ (a \) ( 6 ).

      \ (r \) θ °
      –6 0 0
      –6 \ (\ displaystyle \ frac {2 \ pi}} 5} \) 72
      –6 \ (\ displaystyle \ frac {{4 \ pi}} {5} \) 144
      –6 \ (\ displaystyle \ frac {{6 \ pi}} {5} \) 216
      –6 \ (\ displaystyle \ frac {{8 \ pi}} {5} \) 288

      А вот some sin Rose графики:

      Тип полярной функции T-Chart Graph

      Rose (“\ (\ boldsymbol ) ”Равно , даже )

      \ (r = a \ cos \ left ({b \ theta} \ right), \, \, r = a \ sin \ left ({b \ theta} \ right) \)

      \ (r = 8 \ sin \ left ({4 \ thet a} \ right) \)

      Поскольку \ (b \) ( 4 ) равно , даже , у нас есть лепестки \ (2b \), или 8 лепестков .

      При положительном sin, они начинаются в \ (\ displaystyle \ frac {{90}} {b} = \ frac {{90}} {4} = 22,5 \) градусах от положительного \ ( \ boldsymbol {x} \) - ось (запомните это), и они находятся \ (\ displaystyle \ frac {{360}} {8} \), или , 45 ° друг от друга, против часовой стрелки.

      Длина каждого лепестка равна \ (a \) ( 8 ).

      \ (r \) θ °
      0 0 0
      8 \ (\ displaystyle \ frac {\ pi} {8} \ frac {\ pi} {8} \ .5
      –8 \ (\ displaystyle \ frac {3 \ pi} {8} \) 67,5
      8 \ (\ displaystyle \ frac {{5 \ pi}} {8} \ ) 112,5
      –8 \ (\ displaystyle \ frac {{7 \ pi}} {8} \) 157,5
      8 \ (\ displaystyle \ frac {{9 \ pi}} { 8} \) 202,5 ​​
      –8 \ (\ displaystyle \ frac {{11 \ pi}} {8} \) 247,5
      8 \ (\ displaystyle \ frac {{13 \ pi }} {8} \) 292.5
      –8 \ (\ displaystyle \ frac {{15 \ pi}} {8} \) 337,5

      Роза («\ (\ boldsymbol {b } \) ”Равно нечетное )

      \ (r = a \ cos \ left ({b \ theta} \ right), \, \, r = a \ sin \ left ({b \ theta} \ right) \)

      \ (r = -6 \ cos \ left ({5 \ theta} \ right) \)

      Поскольку \ (b \) ( 5 ) равно нечетному , мы имеем \ (b \) лепестки, или 5 лепестков (на 2 не умножаем).

      При отрицательном sin они начинаются с \ (\ displaystyle \ frac {{90}} {b} = \ frac {{90}} {5} = 18 \) градусов на вниз на от положительного \ (\ boldsymbol {x} \) - ось (отражение над \ (x \) - осью) и \ (\ displaystyle \ frac {{360}} {5} \), или 72 ° друг от друга против часовой стрелки. (Обратите внимание, что, поскольку диаграмма t начинается на положительной оси \ (x \), \ (r \) на диаграмме отрицательны).

      Длина каждого лепестка равна \ (a \) ( 6 ).

      \ (r \) θ °
      0 0 0
      –6 \ (\ displaystyle \ frac {{\ pi}} {10} \ pi}} {10} \) 18
      –6 \ (\ displaystyle \ frac {{\ pi}} {2} \) 90
      –6 \ (\ displaystyle \ frac {{9 \ pi}} {10} \) 162
      –6 \ (\ displaystyle \ frac {{13 \ pi}} {10} \) 234
      –6 \ (\ displaystyle \ frac {{17 \ pi}} {10} \) 306

      Примечание: для диаграммы роза вас могут попросить назвать порядок , в котором нарисованы лепестки .Один из способов сделать это - использовать угловые измерения \ (\ displaystyle 0, \, \ frac {\ pi} {4}, \, \ frac {{3 \ pi}} {4}, \, \ frac {{ 5 \ pi}} {4}, \, \ frac {{7 \ pi}} {4} \), решите относительно \ (r \) и соблюдайте порядок лепестков. Вы также можете использовать графический калькулятор , как показано выше, но уменьшите θstep , чтобы замедлить построение графика.

      Примечание: вы также можете увидеть комбинацию розы и лимакона в форме \ (r = a + b \ cos \ left ({k \ theta} \ right), \, \, r = a + b \ sin \ left ({k \ theta} \ right), \, \, k> 1 \).В этих случаях вы можете увидеть графики, которые не пересекаются в начале координат; попробуйте их на своем калькуляторе!

      Вот еще пара полярных графиков ( Спирали и Лемнискаты ), которые вы можете увидеть:

      Тип полярной функции T-Chart График

      Спираль

      \ (r = a \ theta \)

      \ (r = 2 \ theta \)

      При заполнении диаграммы t используйте радианы. {2}} \ sin \ left ({2 \ theta} \ right)}} = \ sqrt {{49 \ sin \ left ({2 \ theta} \ right)} } \)

      При sin график идет \ (\ displaystyle \ frac {\ pi} {4} \).

      График имеет 2 лепестка, а длина каждого лепестка равна \ (a \) ( 7 ).

      \ (r \) θ °
      0 0 0
      7 \ (\ displaystyle \ frac {\ pi) 45} {4} \
      7 \ (\ displaystyle \ frac {5 \ pi} {4} \) 180
      0 \ (\ displaystyle \ frac {{3 \ pi}} {2} \) 270

      Вас могут попросить получить уравнение для полярной функции из графика:

      21 Получить полярное уравнение 909 из графика 24
      График
      . Мы видим, что график представляет собой паттерн Rose с нечетным числом лепестков , поэтому нам не нужно делить количество лепестков на 2 , чтобы получить \ (b \) в полярном графике роза. формула \ (r = a \ cos \ left ({b \ theta} \ right) \) или \ (r = a \ sin \ left ({b \ theta} \ right) \).

      Мы также видим, что лепестки имеют длину 4 единиц (\ (a \)) и не начинаются на оси \ (x \), поэтому мы имеем \ (r = 4 \ sin \ left ( {5 \ theta} \ right) \) или \ (r = a \ sin \ left ({b \ theta} \ right) \).

      Лепестки 5 и sin должны начинаться на \ (\ displaystyle \ frac {{90}} {b} = \ frac {{90}} {5} = 18 \) градусов вверх от положительная \ (x \) - ось; поскольку они начинаются с 18 градусов на ниже (отраженных) по оси \ (x \), график должен быть \ (r = -4 \ sin \ left ({5 \ theta} \ right) \) .

      График - это Bean ( Limacon - без петли), а не кардиоида или сердце, поскольку он не проходит через начало координат. \ circ \)

      Вот другие типы вопросов, которые могут возникнуть при изучении полярных графиков:

      Вопрос по полярному уравнению Решение
      Для полярного графика роз \ (5 \ sin \ left ({10 \ theta} \ right) \):

      Найдите длину каждого лепестка, количество лепестков, расстояние между каждым лепестком и кончик лепестка 1 st в квадранте I.\ circ} \ right) \), мы можем найти \ (a \): \ (\ displaystyle r = a \ theta; \, \, 6 = a60; \, \, a = \ frac {1} {{ 10}} \). Таким образом, полярное уравнение имеет вид \ (\ displaystyle r = \ frac {1} {{10}} \ theta \) или \ (\ displaystyle r = \ frac {\ theta} {{10}} \).

      Может ли роза иметь 14 лепестков? Объясните, почему да или почему нет. Нет. Так как для розы, если количество педалей четное, у вас будет вдвое больше лепестков. Если количество лепестков нечетное, у вас ровно столько же лепестков.Поскольку дважды 7 равно 14 , а 7 нечетно, этого не может произойти.
      Изобразите прямоугольное уравнение и полярное уравнение \ (r = -6 \ cos \ left ({5 \ theta} \ right) \). Мы узнали из раздела Преобразования триггерных функций , что прямоугольный граф в форме \ (y = a \ cos b \ left ({xc} \ right) + d \) имеет амплитуду \ (\ left | a \ right | \) (и переворачивается по оси \ (x \) - есть отрицательное значение), имеет период \ (\ displaystyle \ frac {{2 \ pi}} {b} \), горизонтальный сдвиг \ (c \) и вертикальный сдвиг \ (d \).{2}} \ theta = 1 \ end {array} \)

      Вот несколько примеров; обратите внимание, что мы хотим найти \ (r \) , если сможем ; в случае квадратиков или более высоких степеней, это может включать перемещение всего в одну сторону и факторинг. {2}} \ left (1 \ right) = 49 \\\ подчеркивание {{r = \ pm 7}} \ end {array} \)

      \ (y = -x \ )

      \ (\ begin {array} {c} r \ sin \ theta = -r \ cos \ theta \\ r \ sin \ theta + r \ cos \ theta = 0 \\ r \ left ({\ sin \ theta + \ cos \ theta} \ right) = 0 \ end {array} \) \ (\ displaystyle \ begin {array} {c} \ xcancel {{r = 0}} \, \, \, \, \ , \ text {или} \, \, \, \, \ sin \ theta = - \ cos \ theta \\\, \ tan \ theta = -1 \\\, \ underline {{\ theta = \ frac {{{\ theta = \ frac {{ 3 \ pi}} {4}}} \ end {array} \)

      Чтобы преобразовать полярные уравнения в прямоугольные уравнения , мы хотим избавиться от \ (r \) ' s и \ (\ theta \) и в ответе есть только \ (x \) и / или \ (y \).{2}}}}}} \)

      Вот несколько примеров. Обратите внимание, что иногда нас могут попросить Заполнить квадрат , чтобы получить уравнение в форме круга; мы узнали, как это сделать, в разделах «Квадратичное разложение на множители » и «Завершение квадрата » здесь. {2}} = \ frac {{13}} {4}}} \ end {array} \)

      Чтобы найти целое точки сечения для наборов полярных кривых, полезно рисовать кривые, а также решать их алгебраически. Чтобы решить алгебраически, мы просто собираем \ (r \) вместе и решаем для \ (\ theta \).

      Обратите внимание, что после того, как мы решаем одну переменную (например, \ (\ theta \)), мы должны включить ее обратно в любое уравнение, чтобы получить другую координату (например, \ (r \)).

      Мы также должны быть осторожны, поскольку есть точки « фантом, » или « неуловимые, », обычно на полюсе. Причина, по которой эти точки являются «фантомами», заключается в том, что, хотя мы не обязательно получаем их алгебраически, мы можем увидеть их на графике.Это потому, что с «\ (r \)», равным 0 , \ (\ theta \) действительно может быть чем угодно, поскольку мы не уходим на какое-либо расстояние.

      Мы также увидим фантомные точки, когда одно из уравнений является «\ (r = \) константой», поскольку другой способ записать это - «\ (r = \) отрицательное значение этой константы».

      Обратите внимание, что с «фантомными» точками оба уравнения не должны работать; Я знаю, это странно. Чтобы получить все эти неуловимые точки, вы вводите значение r в обе кривые, чтобы увидеть, какие дополнительные точки вы получите.

      Найдите точки пересечения следующих наборов полярных кривых (алгебраически), а также нарисуйте эскиз. Найдите пересечения, когда \ (\ theta \) находится между 0 и \ (\ boldsymbol {2 \ pi} \).

      Полярные уравнения Точки пересечения График
      \ (\ begin {array} {l} r = - \ sin \ theta \ text {} \\ r = \ соз \ тета \ конец {массив} \) \ (\ Displaystyle \ begin {array} {c} - \ sin \ theta = \ cos \ theta; \, \, \, \, \, \, \ tan \ theta = -1 \\\ theta = \ frac {{3 \ pi}} {4} \, \, \ left ({r = \ cos \ left ({\ frac {{3 \ pi}}} {4 }} \ right) = - \ frac {{\ sqrt {2}}} {2}} \ right) \ text {(duplicate)}, \, \, \, \, \ frac {{7 \ pi}} {4} \, \, \ left ({r = \ frac {{\ sqrt {2}}} {2}} \ right) \\\ underline {{\ left ({\ frac {{\ sqrt {2}) }} {2}, \ frac {{7 \ pi}} {4}} \ right), \, \, \ left ({0,0} \ right) \ text {(«фантомная» точка)}}} \ end {array} \)
      \ (\ begin {array} {l} r = \ cos \ theta \\ r = \ cos 2 \ theta \ end {array} \) \ (\ displaystyle \ begin {array} {c} \ cos \ theta = \ cos 2 \ theta \\\ cos \ theta = 2 {{\ cos} ^ {2}} \ theta -1 \, \, \ text {(идентичность )} \\ 2 {{\ cos} ^ {2}} \ theta - \ cos \ theta -1 = 0; \, \, \, \, \, \, \ left ({2 \ cos +1} \ верно ) \ left ({\ cos \ theta -1} \ right) = 0 \\\ cos \ theta = - \ frac {1} {2} \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \ cos \ theta = 1 \\\ theta = \ frac {{2 \ pi}} {3} \, \, \ left ({r = \ cos \ left ({\ frac {{2 \ pi}) } {3}} \ right) = - \ frac {1} {2}} \ right), \, \, \ frac {{4 \ pi}} {3} \, \, \ left ({r = - \ frac {1} {2}} \ right), \, \, \, \ theta = 0 \, \, \ left ({r = 1} \ right) \\\ подчеркивание {{\ left ({- \ frac {1} {2}, \ frac {{2 \ pi}} {3}} \ right), \, \, \ left ({- \ frac {1} {2}, \ frac {{4 \ pi }} {3}} \ right), \, \, \, \ left ({1,0} \ right), \, \, \ left ({0,0} \ right) \ text {(«фантом» точка)}}} \ end {array} \)
      \ (\ begin {array} {c} r = 3 \\ r = -6 \ sin \ theta \ end {array} \)

      \ (\ Displaystyle \ begin {array} {c} -6 \ sin \ theta = 3; \, \, \, \, \, \, \ sin \ theta = - \ frac {1} {2} \\ \ theta = \ frac {{7 \ pi}} {6} \, \, \ left ({r = 3} \ right), \, \, \, \, \ frac {{11 \ pi}} {6 } \, \, \ left ({r = 3} \ right) \\\\\ text {"Фантомные" точки: используйте} \, \, r = -3 \ text {, так как это} \! \! ' \! \! \ text {s тот же круг} \\\ text {as} \, \, r = 3.\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, - 3 = -6 \ sin \ theta; \, \, \, \, \ theta = \ frac {\ pi} {6}, \, \, \ frac {{5 \ pi}} {6}, \\\ text {поэтому "фантомными точками" являются} \, \, \ left ({-3, \ frac {\ pi} {6}} \ right), \, \, \ left ({-3, \ frac {{5 \ pi}} {6}} \ right). \\\ underline {{\ left ( {3, \ frac {{7 \ pi}} {6}} \ right), \, \, \ left ({3, \ frac {{11 \ pi}} {6}} \ right), \, \ , \ left ({-3, \ frac {\ pi} {6}} \ right) \, \, \, \ left ({-3, \ frac {{5 \ pi}} {6}} \ right) }} \ end {array} \)

      \ (\ begin {array} {l} r = \ sin 2 \ theta \\ r = \ cos \ theta \ end {array} \) \ (\ Displaystyle \ begin {array} {c} \ sin 2 \ theta = \ cos \ theta \\ 2 \ sin \ theta \ cos \ theta \, \, \ text {(identity)} = \ cos \ theta \ \ 2 \ sin \ cos \ theta - \ cos \ theta = 0; \, \, \, \ cos \ theta \ left ({2 \ sin \ theta -1} \ right) = 0 \\\ cos \ theta = 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ sin \ theta = \ frac {1} {2} \\\ theta = \ frac {\ pi} {2} \, \, \ left ({r = \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {2}} \ right) = 0} \ right), \, \, \, \, \ frac {{3 \ pi} } {2} \, \, \ left ({r = 0} \ right) \, \, \, \ text {(duplicate)}, \, \\\ theta = \ frac {\ pi} {6} \ , \, \ left ({r = \ frac {{\ sqrt {3}}} {2}} \ right), \, \, \, \, \ frac {{5 \ pi}} {6} \, \, \ left ({r = - \ frac {{\ sqrt {3}}} {2}} \ right) \\\ подчеркивание {{\ left ({0, \ frac {\ pi} {2}} \ right), \, \, \, \ left ({\ frac {{\ sqrt {3}}} {2}, \ frac {\ pi} {6}} \ right), \, \, \ left ({- \ frac {{\ sqrt {3}}) } {2}, \ frac {{5 \ pi}} {6}} \ right)}} \ end {array} \)

      Также было бы полезно знать последовательность, в которой построены полярные графики; другими словами, от 0 до \ (2 \ pi \), какие части графиков рисуются раньше других графиков.(Проверьте это на графическом калькуляторе, где вы это увидите!)

      Вы можете использовать t-диаграмму или установить полярное уравнение на 0 , если график пересекает полюс, и контрольные точки между ними. Вот несколько примеров:

      Проблема и решение T-Chart Graph
      Внутренний цикл для \ (2 + 4 \ cos \ theta \) между какими двумя значениями \ (\ theta \) образовалось?

      Решение:

      Найдите два случая, когда \ (r = 0 \), поскольку это до и после , график рисует свой внутренний цикл:

      \ (\ displaystyle 0 = 2 + 4 \ соз \ тета; \, \, \, \, \, \ соз \ тета = - \ гидроразрыва {1} {2} \)

      \ (\ displaystyle \ theta = \ frac {{2 \ pi}} { 3}; \, \, \, \, \, \ theta = \ frac {{4 \ pi}} {3} \)

      Поскольку конец внутреннего цикла находится в \ (\ left ({-2, \ pi} \ right) \) (то же самое, что \ (\ displaystyle \ left ({2,0 {} ^ \ circ} \ right) \)), и это находится между \ (\ displaystyle \ frac {{2 \ pi }} {3} \) и \ (\ displaystyle \ frac {{4 \ pi}} {3} \), внутренний цикл формируется, когда

      \ (\ displaystyle \ frac {{2 \ pi}} {3 } <\ theta <\ frac {{4 \ pi}} {3} \)

      2
      r θ °
      6 0 0
      \ (\ displaystyle \ frac {\ pi} {2} \) 90
      0 90 924 \ (\ displaystyle \ frac {{2 \ pi}} {3} \) 120
      –2 \ (\ pi \) 180
      0 \ (\ displaystyle \ frac { {4 \ pi}} {3} \) 240
      2 \ (\ displaystyle \ frac {{3 \ pi}} {2} \) 270
      Крайний левый лепесток для \ (\ cos 2 \ theta \) нарисован между какими двумя значениями \ (\ theta \)? В каком порядке нарисованы лепестки?

      Решение:

      С этой задачей мы можем создать следующую диаграмму t и увидеть последовательность нарисованных лепестков.{2}} \ theta -1 \, \, \, \ text {(identity)} \, \, \, \, \, \ end {array} \)

      \ (\ displaystyle \ text {cos} \ theta \, \, \ text {=} \, \, \ pm \ sqrt {{\ frac {1} {2}}} = \ pm \ frac {{\ sqrt {2}}} {2} \)

      \ (\ Displaystyle \ theta = \ frac {\ pi} {4}; \, \, \, \, \, \ theta = \ frac {{3 \ pi}} {4}; \, \, \, \, \, \ theta = \ frac {{5 \ pi}} {4}; \, \, \, \, \, \ theta = \ frac {{7 \ pi}} {4} \)

      Таким образом, крайний левый лепесток ( 3 rd ) образуется, когда

      \ (\ displaystyle \ frac {{3 \ pi}} {4} <\ theta <\ frac {{5 \ pi}} {4 } \)

      r θ °
      1 0 0
      0 \ (\ displaystyle \ frac \) 45
      –1 \ (\ displaystyle \ frac {\ pi} {2} \) 90
      0 \ (\ displaystyle \ frac {{3 \ pi}} {4} \) 135
      1 \ (\ displaystyle \ pi \) 180
      0 \ (\ displaystyle \ frac {{5 \ pi}} {4} \) 225
      –1 \ (\ displaystyle \ frac {{3 \ pi}} {2} \) 270
      0 \ (\ displaystyle \ frac {{7 \ pi}} {4} \) 315

      Изучите эти правила , и практика, практика, практика!


      Нажмите «Отправить» (стрелка справа от проблемы), чтобы решить эту проблему.Вы также можете ввести больше проблем или щелкнуть 3 точки в правом верхнем углу, чтобы просмотреть, например, проблемы.

      Если вы нажмете «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», вы перейдете на сайт Mathway , где вы можете зарегистрироваться для получения полной версии (шаги включены) программного обеспечения. Вы даже можете получить рабочие листы по математике.

      Вы также можете перейти на сайт Mathway здесь, где вы можете зарегистрироваться, или просто использовать программное обеспечение бесплатно без подробных решений.Есть даже приложение Mathway для вашего мобильного устройства. Наслаждаться!

      На тригонометрию и комплексную плоскость - готово!

      Построение полярных кривых в Python

      Точка в полярных координатах представлена ​​как ( r , theta ). Здесь r, - это расстояние от начала координат, а тета, - угол, под которым необходимо измерить r от начала координат. Любая математическая функция в декартовой системе координат также может быть построена с использованием полярных координат.

      Необходимые модули
      • Matplotlib : Matplotlib - это комплексная библиотека Python для создания статических и интерактивных графиков и визуализаций. Чтобы установить этот модуль, введите следующую команду в терминале.
       pip install matplotlib
       
      • Numpy : Numpy - это основная библиотека для вычислений массивов в Python. Чтобы установить этот модуль, введите в терминале следующую команду.
       pip install numpy
       
      • math: math - это встроенный модуль, используемый для выполнения различных математических задач.

      Модуль matplotlib.pyplot содержит функцию polar () , которую можно использовать для построения кривых в полярных координатах.

      Синтаксис : matplotlib.pyplot.polar (theta, r, ** kwargs)

      Параметры :

      • theta - угол
      • r - расстояние

      Подход:


      В каждом из приведенных ниже примеров:

      • Создается список значений в радианах.Эти значения охватывают область определения соответствующей функции.
      • Для каждого значения в радианах, тета, соответствующее значение r вычисляется в соответствии с определенной формулой для каждой кривой.

      1. Окружность: Окружность - это форма, состоящая из всех точек на плоскости, которые находятся на заданном расстоянии (радиусе) от данной точки, центра. Следовательно, r - это постоянное значение , равное радиусу .

      Пример:

      Python3

      3 9352 9352

      9352 9352 9352 9352 9352 9352

      9352 9352 9352 9352 9352 9352 9352 9352 935

      rads = np.arange ( 0 , ( 2 * np.pi), 0,01 ) 9352 9352 рад дюйм рад:

      plt.полярный (рад, r, 'g.' )

      plt.show ()

      import numpy as np

      import matplotlib.pyplot as plt

      plt.axes (выступ = 'полярный' )

      Выход:

      2. эллипс - это геометрическое место точки, движущейся в плоскости, так что сумма расстояний от нее до двух других точек (фокусов) постоянна. Здесь r определяется как:


      Где,

      • a = длина большой полуоси
      • b = длина малой полуоси

      Пример:

      Python3

      import numpy as np

      import matplotlib.pyplot as plt

      import math

      plt.axes (проекция = 'полярный'

      00 00 00 00 00 9352 = 4

      b = 3

      rads =. np.arange ( 0 np.arange) ( 0 pi), 0,01 )

      для рад дюйм рад:

      r 935 935 935 935 935 935 935 935 935 935 935 935 935 935 935 935 935 935 935 / math.sqrt ((a * np.sin (rad)) * * 2 + (b * np.cos (rad)) * * 2 )

      plt.полярный (рад, r, 'g.' )

      plt.show ()

      Выход:

      3. Card кардиоида - это геометрическое место точки на окружности круга, когда она катится вокруг другого идентичного круга. Здесь r определяется как:

      Где a = длина оси кардиоиды

      Пример:

      Python3



      :

      4.Спираль Архимеда: Спираль Архимеда - это геометрическое место точки, равномерно движущейся по прямой линии, которая сама равномерно вращается вокруг одной из своих конечных точек. Здесь r определяется как:

      Пример:

      Python3

      import numpy 00 numpy как np 9352 import matplotlib.pyplot as plt

      import math

      plt.axes (проекция = 'полярный'

      00
      00 00 9352 9352 = 4

      rads = np.arange ( 0 , ( 2 * np.pi), 03501 )

      для рад в рад:

      r = a 935 935 935 935 935 935 935 935 935 935 cos (рад))

      plt.polar (rad, r, 'g.' )

      plt.show ()

      import numpy as np

      import matplotlib3 00 00 00 00 00 00 9352

      plt.оси (выступ = 'полярный' )

      рад = np.arange ( 0 , 2 0,001 )

      для рад в рад:

      r = 3полярный (рад, r, 'g.' )

      plt.show ()

      Выход:

      Кривая Rhodonea или Rose представляет собой синусоиду в форме розы, нанесенную в полярных координатах. Здесь r определяется как:


      Где,

      • a = длина лепестков
      • n = количество лепестков

      Пример:

      Python3

      21

      import numpy as np

      import matplotlib.pyplot as plt

      plt.axes (выступ = 'полярный' )

      9352 9352

      2 9352 9352 9352 9352 9352 9352 9352 9352 9352 n = 6

      rads = np.arange ( 0 , 2 * np.pi, 0,001 )

      для рад в рад:

      r (n = = a * = a = a = a * рад)

      plt.polar (рад, r, 'g.' )

      12 plt.show ()

      513

      513 9000 Вывод:

      Внимание компьютерщик! Укрепите свои основы с помощью курса Python Programming Foundation и изучите основы.

      Для начала подготовьтесь к собеседованию. Расширьте свои концепции структур данных с помощью курса Python DS . И чтобы начать свое путешествие по машинному обучению, присоединитесь к курсу Машинное обучение - базовый уровень


      Постройте линию в полярных координатах

      Цвет заливки маркера, заданный как 'auto' , триплет RGB, шестнадцатеричный код цвета, название цвета или краткое название. Вариант 'auto' использует тот же цвет, что и свойство Color родительских осей.Если вы указываете 'auto' , и поле графика осей невидимо, маркер заполняется цвет - это цвет фигуры.

      Для пользовательского цвета укажите триплет RGB или шестнадцатеричный цветовой код.

      • Триплет RGB - это трехэлементный вектор-строка, элементы которого укажите интенсивность красного, зеленого и синего компоненты цвета. Интенсивности должны быть в диапазон [0,1] ; например, [0.4 0,6 0,7] .

      • Шестнадцатеричный цветовой код - это вектор символов или строка. скаляр, который начинается с хеш-символа ( # ) за которыми следуют три или шесть шестнадцатеричных цифр, которые могут варьироваться с 0 на F . В значения не чувствительны к регистру.Таким образом, цветовые коды '# FF8800' , '# ff8800' , '# F80' и '# f80' эквивалентны.

      Вы также можете указать некоторые общие цвета по имени. В этой таблице перечислены названные цвета параметры, эквивалентные триплеты RGB и шестнадцатеричные цветовые коды.

      FF924

      13

      9

      9909 'w'
      Название цвета Краткое название Триплет RGB Шестнадцатеричный код цвета Внешний вид

      59 красный [1 0 0]

      '# FF0000'

      'зеленый' 'g' [0 1 0] 0021FF13

      4 909

      'синий' 'b' [0 0 1] '# 0000FF'

      49000

      49000 голубой

      'c' [0 1 1] '# 00FFFF'

      'пурпурный' 9 9 9 909 1] '# FF00FF'

      'желтый' 'y' [1 1 0] FF
      'чёрный' 'k' [0 0 0] '# 000000'

      [1 1 1] '#FFFFFF'

      'нет' Неприменимо 9024 Неприменимо 4 o цвет

      Вот триплеты RGB и шестнадцатеричные цветовые коды для цветов по умолчанию, которые MATLAB использует во многих типах графиков.

      Триплет RGB Шестнадцатеричный код цвета Внешний вид
      [0 0,4470 0,7410] 909 '24 9352 9352 9 [0,8500 0,3250 0,0980] '# D95319'

      [0,9290 0,6940 0,1250] '# EDB120' 13 4 0
      4 '# EDB120' 13 04940 0,1840 0,5560] 9359
      '# 7E2F8E'

      [0,4660 0,6740 0,1880] '# 77AC30' 3 '# 77AC30' 134 '# 4DBEEE'

      [0,6350 0,0780 0,1840] '# A2142F'

      955 .

      Добавить комментарий

      Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

      © 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»

      Карта сайта