Симметричную монету бросают дважды найдите вероятность того что орел: в случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды.найдите вероятность того,что орёл

Содержание

Монету бросают два раза. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды

Формулировка задачи: В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл (решка) не выпадет ни разу (выпадет ровно/хотя бы 1, 2 раза).

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 10 (Классическое определение вероятности).

Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примерах.

Пример задачи 1:

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл не выпадет ни разу.

ОО ОР РО РР

Всего таких комбинаций получилось 4. Нас интересуют только те из них, в которых нет ни одного орла. Такая комбинация всего одна (РР).

P = 1 / 4 = 0.25

Ответ: 0.25

Пример задачи 2:

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Рассмотрим все возможные комбинации, которые могут выпасть, если монету бросают дважды. Для удобства будем обозначать орла буквой О, а решку – буквой Р:

ОО ОР РО РР

Всего таких комбинаций получилось 4. Нас интересуют только те из них, в которых орел выпадает ровно 2 раза. Такая комбинация всего одна (ОО).

P = 1 / 4 = 0.25

Ответ: 0.25

Пример задачи 3:

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз.

Рассмотрим все возможные комбинации, которые могут выпасть, если монету бросают дважды. Для удобства будем обозначать орла буквой О, а решку – буквой Р:

ОО ОР РО РР

Всего таких комбинаций получилось 4. Нас интересуют только те из них, в которых орел выпал ровно 1 раз. Таких комбинаций всего две (ОР и РО).

Ответ: 0.5

Пример задачи 4:

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет хотя бы один раз.

Рассмотрим все возможные комбинации, которые могут выпасть, если монету бросают дважды. Для удобства будем обозначать орла буквой О, а решку – буквой Р:

ОО ОР РО РР

Всего таких комбинаций получилось 4. Нас интересуют только те из них, в которых орел выпадет хотя бы 1 раз. Таких комбинаций всего три (ОО, ОР и РО).

P = 3 / 4 = 0.75

Задачи на подбрасывание монет считаются довольно сложными. И перед тем как решать их, требуется небольшое пояснение. Задумайтесь, любая задача по теории вероятностей в итоге сводится к стандартной формуле:

где p - искомая вероятность, k - число устраивающих нас событий, n - общее число возможных событий.

Большинство задач B6 решаются по этой формуле буквально в одну строчку - достаточно прочитать условие. Но в случае с подбрасыванием монет эта формула бесполезна, поскольку из текста таких задач вообще не понятно, чему равны числа k и n . В этом и состоит вся сложность.

Тем не менее, существует как минимум два принципиально различных метода решения:

  1. Метод перебора комбинаций - стандартный алгоритм. Выписываются все комбинации орлов и решек, после чего выбираются нужные;
  2. Специальная формула вероятности - стандартное определение вероятности, специально переписанное так, чтобы было удобно работать с монетами.

Для решения задачи B6 надо знать оба метода. К сожалению, в школах изучают только первый. Не будем повторять школьных ошибок. Итак, поехали!

Метод перебора комбинаций

Этот метод еще называется «решение напролом». Состоит из трех шагов:

  1. Выписываем все возможные комбинации орлов и решек. Например: ОР, РО, ОО, РР. Число таких комбинаций - это n ;
  2. Среди полученных комбинаций отмечаем те, которые требуются по условию задачи. Считаем отмеченные комбинации - получаем число k ;
  3. Осталось найти вероятность: p = k : n .

К сожалению, этот способ работает лишь для малого количества бросков. Потому что с каждым новым броском число комбинаций удваивается. Например, для 2 монет придется выписать всего 4 комбинации. Для 3 монет их уже 8, а для 4 - 16, и вероятность ошибки приближается к 100%. Взгляните на примеры - и сами все поймете:

Задача. В случайном эксперименте симметричную монету бросают 2 раза. Найдите вероятность того, что орлов и решек выпадет одинаковое количество.

Итак, монету бросают два раза. Выпишем все возможные комбинации (O - орел, P - решка):

Итого n = 4 варианта. Теперь выпишем те варианты, которые подходят по условию задачи:

Таких вариантов оказалось k = 2. Находим вероятность:

Задача. Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.

Снова выписываем все возможные комбинации орлов и решек:

OOOO OOOP OOPO OOPP OPOO OPOP OPPO OPPP
POOO POOP POPO POPP PPOO PPOP PPPO PPPP

Всего получилось n = 16 вариантов. Вроде, ничего не забыл. Из этих вариантов нас устраивает лишь комбинация «OOOO», в которой вообще нет решек. Следовательно, k = 1. Осталось найти вероятность:

Как видите, в последней задаче пришлось выписывать 16 вариантов. Вы уверены, что сможете выписать их без единой ошибки? Лично я - не уверен. Поэтому давайте рассмотрим второй способ решения.

Специальная формула вероятности

Итак, в задачах с монетами есть собственная формула вероятности. Она настолько простая и важная, что я решил оформить ее в виде теоремы. Взгляните:

Теорема. Пусть монету бросают n раз. Тогда вероятность того, что орел выпадет ровно k раз, можно найти по формуле:

Где C n k - число сочетаний из n элементов по k , которое считается по формуле:

Таким образом, для решения задачи с монетами нужны два числа: число бросков и число орлов. Чаще всего эти числа даны прямо в тексте задачи. Более того, не имеет значения, что именно считать: решки или орлы. Ответ получится один и тот же.

На первый взгляд, теорема кажется слишком громоздкой. Но стоит чуть-чуть потренироваться - и вам уже не захочется возвращаться к стандартному алгоритму, описанному выше.

Задача. Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно три раза.

По условию задачи, всего бросков было n = 4. Требуемое число орлов: k = 3. Подставляем n и k в формулу:

Задача. Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.

Снова выписываем числа n и k . Поскольку монету бросают 3 раза, n = 3. А поскольку решек быть не должно, k = 0. Осталось подставить числа n и k в формулу:

Напомню, что 0! = 1 по определению. Поэтому C 3 0 = 1.

Задача. В случайном эксперименте симметричную монету бросают 4 раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет больше раз, чем решка.

Чтобы орлов было больше, чем решек, они должны выпасть либо 3 раза (тогда решек будет 1), либо 4 (тогда решек вообще не будет). Найдем вероятность каждого из этих событий.

Пусть p 1 - вероятность того, что орел выпадет 3 раза. Тогда n = 4, k = 3. Имеем:

Теперь найдем p 2 - вероятность того, что орел выпадет все 4 раза. В этом случае n = 4, k = 4. Имеем:

Чтобы получить ответ, осталось сложить вероятности p 1 и p 2 . Помните: складывать вероятности можно только для взаимоисключающих событий. Имеем:

p = p 1 + p 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125

Ответ: 0,25. 34. Решение. Всего 4 варианта: о; о о; р р; р р; о. Благоприятных 1: о; р. Вероятность равна 1/4 = 0,25. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что наступит исход ОР (в первый раз выпадает орёл, во второй – решка).

Слайд 35 из презентации «Решение заданий В6» . Размер архива с презентацией 1329 КБ.

Математика 11 класс

краткое содержание других презентаций

«Решение заданий В6» - Купленная сумка. Вероятность произведения независимых событий. Частота рождения девочек. Исход. Жребий. Возможность выиграть. Участник. Качественные тарелки. Иностранный язык. Команда. Ситуация. Искомая вероятность. Человек. Комбинации. Кофе. Батарейка. События. Магазин. Вопрос по ботанике. Механические часы. Карточки с номерами групп. Вероятность уцелеть. Насос. Пристрелянный револьвер. Спортсмен.

«Подготовка к экзамену по математике» - Информационно-методическое пространство учителей математики. Сборник к ЕГЭ по математике. Решение большого количества задач из «Банка заданий». Рекомендации выпускникам по подготовке к ЕГЭ. Из опыта подготовки к итоговой аттестации немотивированных учащихся. Рабочие тетради по математике B1-B12, С1 – С6 к ЕГЭ 2011. Результаты ЕГЭ. Информационная поддержка Единого государственного экзамена. Учебно-тренировочные тесты к ЕГЭ 2011 по математике.

«Решение текстовых задач по математике» - В разделе прототипов блока B12 всего 82 прототипа задач. Задачи на движение. Движение объектов навстречу друг к другу. Бригада маляров красит забор длиной 240 метров. Задачи на работу. Прототип задания B12. Задачи на работу и производительность. Четыре рубашки дешевле куртки на 8%. Задачи на «концентрацию, смесей и сплавов». Общие подходы к решению задач. Движение велосипедистов и автомобилистов. Движение лодки по течению и против течения.

«Варианты заданий ЕГЭ по математике» - Корни иррациональны. Сюжетные задачи. Укажите график функции, заданной формулой. Простейшие виды уравнений и неравенств. Анализ содержания заданий по математике ЕГЭ. Геометрические фигуры и их свойства. Задания второй и третьей части (форма В и С). Студенческая бригада. Значение выражения. Найдите значение выражения. Сколько корней имеет уравнение. Структура работы по математике. Основные содержательные темы по математике.

«Структура ЕГЭ по математике» - Тренировочные работы. Структура КИМ ЕГЭ. Пример КИМ ЕГЭ по математике 2012. Советы психолога. Типовые экзаменационные варианты. ЕГЭ-2012 математика. Полезные приемы. Бланки ответов. Шкалирование. Оценка работ ЕГЭ по математике. Рекомендации по заучиванию материала. Изменения в ЕГЭ по математике 2012. Структура варианта КИМ. Типовые тестовые задания. Алгебра.

«Задание B1 в ЕГЭ по математике» - Флакон шампуня. Подготовка к ЕГЭ по математике. Содержание задания. Проверяемые требования. Теплоход. Реальные числовые данные. Лимонная кислота. Спасательная шлюпка. Задания для самостоятельного решения. Лимонная кислота продается в пакетиках. Памятка ученику. Наибольшее число. Прототип задания.

Условие

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что во второй раз выпадет то же, что и в первый.

Решение

  1. Данную задачу будем решать по формуле:

Где Р(А) – вероятность события А, m – число благоприятствующих исходов этому событию, n – общее число всевозможных исходов.

  1. Применим данную теорию к нашей задаче:

А – событие, когда во второй раз выпадет то же, что и в первый;

Р(А) – вероятность того, что во второй раз выпадет то же, что и в первый.

  1. Определим m и n:

m — число благоприятствующих этому событию исходов, то есть число исходов, когда во второй раз выпадет то же, что и в первый. В эксперименте бросают монету дважды, которая имеет 2 стороны: решка (Р) и орел (О). Нам необходимо, чтобы во второй раз выпадет то же, что и в первый, а это возможно тогда, когда выпадут следующее комбинации: ОО или РР, то есть получается, что

m = 2, так как возможно 2 варианта, когда во второй раз выпадет то же, что и в первый;

n – общее число всевозможных исходов, то есть для определения n нам необходимо найти количество всех возможных комбинаций, которые могут выпасть при бросании монеты дважды. Кидая первый раз монету может выпасть либо решка, либо орел, то есть возможно два варианта. При бросании второй раз монету возможны точно такие же варианты. Получается, что

Понравилась статья? Поделись с друзьями:

Facebook

Twitter

Мой мир

Вконтакте

Google+

Самое интересное:

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды – как решать

Формулировка задачи: В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл (решка) не выпадет ни разу (выпадет ровно/хотя бы 1, 2 раза).

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 10 (Классическое определение вероятности).

Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примерах.

Пример задачи 1:

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл не выпадет ни разу.

Решение:

Рассмотрим все возможные комбинации, которые могут выпасть, если монету бросают дважды. Для удобства будем обозначать орла буквой О, а решку – буквой Р:

Всего таких комбинаций получилось 4. Нас интересуют только те из них, в которых нет ни одного орла. Такая комбинация всего одна (РР).

Осталось лишь подсчитать вероятность выпадения этой комбинации. Для этого нужно поделить количество интересующих нас комбинаций на количество всех возможных комбинаций:

Ответ: 0.25

Пример задачи 2:

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Решение:

Рассмотрим все возможные комбинации, которые могут выпасть, если монету бросают дважды. Для удобства будем обозначать орла буквой О, а решку – буквой Р:

Всего таких комбинаций получилось 4. Нас интересуют только те из них, в которых орел выпадает ровно 2 раза. Такая комбинация всего одна (ОО).

Осталось лишь подсчитать вероятность выпадения этой комбинации. Для этого нужно поделить количество интересующих нас комбинаций на количество всех возможных комбинаций:

Ответ: 0.25

Пример задачи 3:

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз.

Решение:

Рассмотрим все возможные комбинации, которые могут выпасть, если монету бросают дважды. Для удобства будем обозначать орла буквой О, а решку – буквой Р:

Всего таких комбинаций получилось 4. Нас интересуют только те из них, в которых орел выпал ровно 1 раз. Таких комбинаций всего две (ОР и РО).

Осталось лишь подсчитать вероятность выпадения этой комбинаций. Для этого нужно поделить количество интересующих нас комбинаций на количество всех возможных комбинаций:

Ответ: 0.5

Пример задачи 4:

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет хотя бы один раз.

Решение:

Рассмотрим все возможные комбинации, которые могут выпасть, если монету бросают дважды. Для удобства будем обозначать орла буквой О, а решку – буквой Р:

Всего таких комбинаций получилось 4. Нас интересуют только те из них, в которых орел выпадет хотя бы 1 раз. Таких комбинаций всего три (ОО, ОР и РО).

Осталось лишь подсчитать вероятность выпадения этой комбинаций. Для этого нужно поделить количество интересующих нас комбинаций на количество всех возможных комбинаций:

Ответ: 0.75

Монету бросают два раза. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Специальная формула вероятности

Формулировка задачи: В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл (решка) не выпадет ни разу (выпадет ровно/хотя бы 1, 2 раза).

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 10 (Классическое определение вероятности).

Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примерах.

Пример задачи 1:

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл не выпадет ни разу.

ОО ОР РО РР

Всего таких комбинаций получилось 4. Нас интересуют только те из них, в которых нет ни одного орла. Такая комбинация всего одна (РР).

P = 1 / 4 = 0.25

Ответ: 0.25

Пример задачи 2:

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Рассмотрим все возможные комбинации, которые могут выпасть, если монету бросают дважды. Для удобства будем обозначать орла буквой О, а решку – буквой Р:

ОО ОР РО РР

Всего таких комбинаций получилось 4. Нас интересуют только те из них, в которых орел выпадает ровно 2 раза. Такая комбинация всего одна (ОО).

P = 1 / 4 = 0.25

Ответ: 0.25

Пример задачи 3:

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз.

Рассмотрим все возможные комбинации, которые могут выпасть, если монету бросают дважды. Для удобства будем обозначать орла буквой О, а решку – буквой Р:

ОО ОР РО РР

Всего таких комбинаций получилось 4. Нас интересуют только те из них, в которых орел выпал ровно 1 раз. Таких комбинаций всего две (ОР и РО).

Ответ: 0.5

Пример задачи 4:

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет хотя бы один раз.

Рассмотрим все возможные комбинации, которые могут выпасть, если монету бросают дважды. Для удобства будем обозначать орла буквой О, а решку – буквой Р:

ОО ОР РО РР

Всего таких комбинаций получилось 4. Нас интересуют только те из них, в которых орел выпадет хотя бы 1 раз. Таких комбинаций всего три (ОО, ОР и РО).

P = 3 / 4 = 0.75

Ответ: 0,25. 34. Решение. Всего 4 варианта: о; о о; р р; р р; о. Благоприятных 1: о; р. Вероятность равна 1/4 = 0,25. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что наступит исход ОР (в первый раз выпадает орёл, во второй – решка).

Слайд 35 из презентации «Решение заданий В6» . Размер архива с презентацией 1329 КБ.

Математика 11 класс

краткое содержание других презентаций

«Решение заданий В6» - Купленная сумка. Вероятность произведения независимых событий. Частота рождения девочек. Исход. Жребий. Возможность выиграть. Участник. Качественные тарелки. Иностранный язык. Команда. Ситуация. Искомая вероятность. Человек. Комбинации. Кофе. Батарейка. События. Магазин. Вопрос по ботанике. Механические часы. Карточки с номерами групп. Вероятность уцелеть. Насос. Пристрелянный револьвер. Спортсмен.

«Подготовка к экзамену по математике» - Информационно-методическое пространство учителей математики. Сборник к ЕГЭ по математике. Решение большого количества задач из «Банка заданий». Рекомендации выпускникам по подготовке к ЕГЭ. Из опыта подготовки к итоговой аттестации немотивированных учащихся. Рабочие тетради по математике B1-B12, С1 – С6 к ЕГЭ 2011. Результаты ЕГЭ. Информационная поддержка Единого государственного экзамена. Учебно-тренировочные тесты к ЕГЭ 2011 по математике.

«Решение текстовых задач по математике» - В разделе прототипов блока B12 всего 82 прототипа задач. Задачи на движение. Движение объектов навстречу друг к другу. Бригада маляров красит забор длиной 240 метров. Задачи на работу. Прототип задания B12. Задачи на работу и производительность. Четыре рубашки дешевле куртки на 8%. Задачи на «концентрацию, смесей и сплавов». Общие подходы к решению задач. Движение велосипедистов и автомобилистов. Движение лодки по течению и против течения.

«Варианты заданий ЕГЭ по математике» - Корни иррациональны. Сюжетные задачи. Укажите график функции, заданной формулой. Простейшие виды уравнений и неравенств. Анализ содержания заданий по математике ЕГЭ. Геометрические фигуры и их свойства. Задания второй и третьей части (форма В и С). Студенческая бригада. Значение выражения. Найдите значение выражения. Сколько корней имеет уравнение. Структура работы по математике. Основные содержательные темы по математике.

«Структура ЕГЭ по математике» - Тренировочные работы. Структура КИМ ЕГЭ. Пример КИМ ЕГЭ по математике 2012. Советы психолога. Типовые экзаменационные варианты. ЕГЭ-2012 математика. Полезные приемы. Бланки ответов. Шкалирование. Оценка работ ЕГЭ по математике. Рекомендации по заучиванию материала. Изменения в ЕГЭ по математике 2012. Структура варианта КИМ. Типовые тестовые задания. Алгебра.

«Задание B1 в ЕГЭ по математике» - Флакон шампуня. Подготовка к ЕГЭ по математике. Содержание задания. Проверяемые требования. Теплоход. Реальные числовые данные. Лимонная кислота. Спасательная шлюпка. Задания для самостоятельного решения. Лимонная кислота продается в пакетиках. Памятка ученику. Наибольшее число. Прототип задания.

Условие

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что во второй раз выпадет то же, что и в первый.

Решение

  1. Данную задачу будем решать по формуле:

Где Р(А) – вероятность события А, m – число благоприятствующих исходов этому событию, n – общее число всевозможных исходов.

  1. Применим данную теорию к нашей задаче:

А – событие, когда во второй раз выпадет то же, что и в первый;

Р(А) – вероятность того, что во второй раз выпадет то же, что и в первый.

  1. Определим m и n:

m — число благоприятствующих этому событию исходов, то есть число исходов, когда во второй раз выпадет то же, что и в первый. В эксперименте бросают монету дважды, которая имеет 2 стороны: решка (Р) и орел (О). Нам необходимо, чтобы во второй раз выпадет то же, что и в первый, а это возможно тогда, когда выпадут следующее комбинации: ОО или РР, то есть получается, что

m = 2, так как возможно 2 варианта, когда во второй раз выпадет то же, что и в первый;

n – общее число всевозможных исходов, то есть для определения n нам необходимо найти количество всех возможных комбинаций, которые могут выпасть при бросании монеты дважды. Кидая первый раз монету может выпасть либо решка, либо орел, то есть возможно два варианта. При бросании второй раз монету возможны точно такие же варианты. Получается, что

найдите вероятность

 

 

Реальная математика

 

Задача 19 (ОГЭ — 2015, Ященко И.В.)

 

Оля, Денис, Витя, Артур и Рита бросили жребий - кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должна будет Рита.

 

Решение

Всего начинать игру могут 5 человек.

P = 1/5 = 0,2.

 

Ответ : 0,2.

 

Задача 19 (ОГЭ — 2015, Ященко И.В.)

 

В кармане у Миши было четыре конфеты - "Грильяж", "Маска", "Белочка" и "Красная шапочка", а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил одну конфету. Найдите вероятность того, что потеряась конфета "Маска".

 

Решение

Всего вариантов - 4.

Вероятность того, что Миша выронил конфету "Маска" равна

P = 1/4 = 0,25.

 

Ответ: 0,25.

 

Задача 19 (ОГЭ — 2015, Ященко И.В.)

 

Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало число очков, не меньшее, чем 3?

 

Решение

Всего различных вариантов выпадания очков на кубике - 6.

Число очков, не меньшее, чем 3, может быть: 3,4,5,6 - то есть 4 варианта.

Значит вероятность равна P = 4/6 = 2/3.

 

Ответ: 2/3.

 

 

Задача 19 (ОГЭ — 2015, Ященко И.В.)

 

Бабушка решила дать внуку Илюше на дорогу какой-нибудь случайно выбранный фрукт. У нее было 3 зеленых яблока , 3 зеленые груши и 2 желтых банана. Найдите вероятность того, что Илюша получит от бабушки фрукт зеленого цвета.

 

Решение

3+3+2 = 8 - всего фруктов. Из них зеленых - 6 (3 яблока и 3 груши).

Тогда вероятность того, что Илюша получит от бабушки фрукт зеленого цвета, равна

P = 6/8 =3/4 = 0,75.

 

Ответ: 0,75.

 

Задача 19 (ОГЭ — 2015, Ященко И.В.)

 

Игральную кость бросают два раза. Найдите вероятность того, что оба раза выпало число, большее 3.

 

Решение

6*6 = 36 - всего вариантов выпадения чисел при двух бросках игральной кости.

Нам подходят варианты:

4 4

4 5

4 6

5 4

5 5

5 6

6 4

6 5

6 6

Всего таких вариантов - 9.

Значит вероятность того, что оба раза выпало число, большее 3, равна

P = 9/36 = 1/4 = 0,25.

 

Ответ: 0,25.

 

Задача 19 (ОГЭ — 2015, Ященко И.В.)

 

Игральную кость (кубик) бросают 2 раза. Найдите вероятность того, что один раз выпало число, большее 3, а другой раз - меньшее 3.

 

Решение

Всего вариантов : 6*6 = 36.

Нам подходят следующие исходы:

4 1

4 2

5 1

5 2

6 1

6 2

1 4

1 5

1 6

2 4

2 5

2 6

Всего - 12 вариантов.

Значит искомая вероятность равна

P = 12/36 = 1/3.

 

Ответ: 1/3.

 

Задача 19 (ОГЭ — 2015, Ященко И.В.)

 

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

 

Решение

Возможные варианты:

ОР

РО

ОО

РР

Всего - 4 варианта. Из них орел выпадет ровно 1 раз в двух вариантах (ОР и РО).

Искомая вероятность равна

P = 2/4 = 0,5.

 

Ответ: 0,5.

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Определение вероятности в задачах про монету и игральную кость

› вернуться в Часть 1

В теории вероятностей существует группа задач, для решения которых достаточно знать классическое определение вероятности и наглядно представлять предлагаемую ситуацию. Такими задачами является большинство задач с подбрасыванием монеты и задачи с бросанием игрального кубика. Напомним классическое определение вероятности.

Вероятность события А (объективная возможность наступления события в числовом выражении) равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов: Р(А)=m/n, где:

  • m – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события А;
  • n – общее число всех возможных элементарных исходов испытания.

Число возможных элементарных исходов испытания и число благоприятных исходов в рассматриваемых задачах удобно определять перебором всех возможных вариантов (комбинаций) и непосредственным подсчетом.

Определение вероятности в задачах про монету

Задача 1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 1 раз.

Решение.
Возможные варианты двух бросаний монеты (все возможные комбинации орлов и решек) представим в виде таблицы:

№ варианта 1-й бросок 2-й бросок
1 Орел Орел
2 Орел Решка
3 Решка Орел
4 Решка Решка

Из таблицы видим, что число возможных элементарных исходов n=4. Благоприятные исходы события А = {орел выпадает 1 раз} соответствуют варианту №2 и №3 эксперимента, таких вариантов два m=2.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=2/4=0,5

Задача 2. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

Решение. Поскольку монету бросают дважды, то, как и в задаче 1, число возможных элементарных исходов n=4. Благоприятные исходы события А = {орел не выпадет ни разу} соответствуют варианту №4 эксперимента (см. таблицу в задаче 1). Такой вариант один, значит m=1.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=1/4=0,25

Задача 3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 2 раза.

Решение. Возможные варианты трех бросаний монеты (все возможные комбинации орлов и решек) представим в виде таблицы:

№ варианта 1-й бросок 2-й бросок 3-й бросок
1 Орел Орел Орел
2 Орел Решка Решка
3 Решка Орел Решка
4 Решка Решка Орел
5 Орел Орел Решка
6 Орел Решка Орел
7 Решка Орел Орел
8 Решка Решка Решка

Из таблицы видим, что число возможных элементарных исходов n=8. Благоприятные исходы события А = {орел выпадает 2 раза} соответствуют вариантам №5, 6 и 7 эксперимента. Таких вариантов три, значит m=3.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=3/8=0,375

Задача 4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 3 раза.

Решение. Возможные варианты четырех бросаний монеты (все возможные комбинации орлов и решек) представим в виде таблицы:

№ варианта 1-й бросок 2-й бросок 3-й бросок 4-й бросок № варианта 1-й бросок 2-й бросок 3-й бросок 4-й бросок
1 Орел Орел Орел Орел 9 Решка Орел Решка Орел
2 Орел Решка Решка Решка 10 Орел Решка Орел Решка
3 Решка Орел Решка Решка 11 Орел Решка Решка Орел
4 Решка Решка Орел Решка 12 Орел Орел Орел Решка
5 Решка Решка Решка Орел 13 Решка Орел Орел Орел
6 Орел Орел Решка Решка 14 Орел Решка Орел Орел
7 Решка Орел Орел Решка 15 Орел Орел Решка Орел
8 Решка Решка Орел Орел 16 Решка Решка Решка Решка

Из таблицы видим, что число возможных элементарных исходов n=16. Благоприятные исходы события А = {орел выпадет 3 раза} соответствуют вариантам №12, 13, 14 и 15 эксперимента, значит m=4.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=4/16=0,25

Определение вероятности в задачах про игральную кость

Задача 5. Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (правильной кости) выпадет более 3 очков.

Решение. При бросании игрального кубика (правильной кости) может выпасть любая из шести его граней, т.е. произойти любое из элементарных событий - выпадение от 1 до 6 точек (очков). Значит число возможных элементарных исходов n=6.
Событие А = {выпало более 3 очков} означает, что выпало 4, 5 или 6 точек (очков). Значит число благоприятных исходов m=3.
Вероятность события Р(А)=m/n=3/6=0,5

Задача 6. Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика выпало число очков, не большее 4. Результат округлите до тысячных.

Решение. При бросании игрального кубика может выпасть любая из шести его граней, т.е. произойти любое из элементарных событий - выпадение от 1 до 6 точек (очков). Значит число возможных элементарных исходов n=6.
Событие А = {выпало не более 4 очков} означает, что выпало 4, 3, 2 или 1 точка (очко). Значит число благоприятных исходов m=4.
Вероятность события Р(А)=m/n=4/6=0,6666…≈0,667

Задача 7. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпало число, меньшее 4.

Решение. Так как игральную кость (игральный кубик) бросают дважды, то будем рассуждать следующим образом: если на первом кубике выпало одно очко, то на втором может выпасть 1, 2, 3, 4, 5, 6. Получаем пары (1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) и так с каждой гранью. Все случаи представим в виде таблицы из 6-ти строк и 6-ти столбцов:

1; 1 2; 1 3; 1 4; 1 5; 1 6; 1
1; 2 2; 2 3; 2 4; 2 5; 2 6; 2
1; 3 2; 3 3; 3 4; 3 5; 3 6; 3
1; 4 2; 4 3; 4 4; 4 5; 4 6; 4
1; 5 2; 5 3; 5 4; 5 5; 5 6; 5
1; 6 2; 6 3; 6 4; 6 5; 6 6; 6

Из таблицы видим, что число возможных элементарных исходов n=6*6=36.
Благоприятные исходы события А = {оба раза выпало число, меньшее 4} (они выделены жирным) подсчитаем и получим m=9.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=9/36=0,25

Задача 8. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что наибольшее из двух выпавших чисел равно 5. Ответ округлите до тысячных.

Решение. Все возможные исходы двух бросаний игральной кости представим в таблице:

1; 1 2; 1 3; 1 4; 1 5; 1 6; 1
1; 2 2; 2 3; 2 4; 2 5; 2 6; 2
1; 3 2; 3 3; 3 4; 3 5; 3 6; 3
1; 4 2; 4 3; 4 4; 4 5; 4 6; 4
1; 5 2; 5 3; 5 4; 5 5; 5 6; 5
1; 6 2; 6 3; 6 4; 6 5; 6 6; 6

Из таблицы видим, что число возможных элементарных исходов n=6*6=36.
Благоприятные исходы события А = {наибольшее из двух выпавших чисел равно 5} (они выделены жирным) подсчитаем и получим m=8.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=8/36=0,2222…≈0,222

Задача 9. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало число, меньшее 4.

Решение. Все возможные исходы двух бросаний игральной кости представим в таблице:

1; 1 2; 1 3; 1 4; 1 5; 1 6; 1
1; 2 2; 2 3; 2 4; 2 5; 2 6; 2
1; 3 2; 3 3; 3 4; 3 5; 3 6; 3
1; 4 2; 4 3; 4 4; 4 5; 4 6; 4
1; 5 2; 5 3; 5 4; 5 5; 5 6; 5
1; 6 2; 6 3; 6 4; 6 5; 6 6; 6

Из таблицы видим, что число возможных элементарных исходов n=6*6=36.
Фраза «хотя бы раз выпало число, меньшее 4» означает «число меньшее 4 выпало один раз или два раза», тогда число благоприятных исходов события А = {хотя бы раз выпало число, меньшее 4} (они выделены жирным) m=27.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=27/36=0,75

Другие статьи по данной теме:

Список использованных источников

  1. Алимов А.Ш., Колягин Ю.М., Ткачева М.В. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Базовый и углубленный уровни / Учебник. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 2016;
  2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / М. - "Высшая школа", 2004;
  3. Лисьев В.П. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие/ Московский государственный университет экономики, статистики и информатики. – М., 2006;
  4. Семёнычев В. К. Теория вероятности и математическая статистика: Лекции /Самара, 2007;
  5. Теория вероятностей: контрольные работы и метод. указания для студентов / сост. Л.В. Рудная и др. / УрГЭУ - Екатеринбург, 2008;
  6. Яковлев И. В. Комбинаторика-олимпиаднику - MathUs.ru.

Способы решения задач по теории вероятностей ЕГЭ по математике базового уровня

Раздел «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» в материалах открытого банка заданий ФИПИ по математике ЕГЭ базового уровня содержит 392 задачи на сорока страницах. В статье выделены несколько типов задач по различным темам курса теории вероятностей и предложены способы их решения. Каждый тип задач сопровождают минимально необходимые теоретические сведения. Формулировки задач скопированы с сайта ФИПИ.

1. Задачи на применение классической формулы определения вероятности события

Вероятностью события А называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу: .

Задача 1.1. На семинар приехали 6 учёных из Норвегии, 5 из России и 9 из Испании. Каждый учёный подготовил один доклад. Порядок докладов определяется случайным образом. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад учёного из России.

Решение. Число благоприятных исходов –это и есть число участников семинара из России. Их пятеро. Общее число исходов 6+5+9=20, -это количество учёных, участвующих в семинаре. Итак, искомая вероятность равна .

Замечание: решительно всё равно, каким по счёту, восьмым, как в условии задачи, или первым, вторым, третьим, …, двадцатым будет выступать российский докладчик. Искомая вероятность зависит только от количества российских учёных и общего количества участников.

Ответ: 0,25.

Задача 1.2. В кармане у Дани было пять конфет — «Ласточка», «Взлётная», «Василёк», «Грильяж» и «Гусиные лапки», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Даня случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что упала конфета «Взлётная».

Решение. Конфета «Взлётная» - одна, всего конфет – 5. Вероятность того, что выпала именно она, равна

Ответ: 0,2.

Задача 1.3. На борту самолёта 26 мест рядом с запасными выходами и 10 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир Д. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру Д. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.

Решение: Удобных для пассажира Д. мест 26+10=36. Общее число мест для пассажиров -300. Значит, искомая вероятность равна

Задача 1.4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Решение. Перечислим все возможные исходы (их 4) при двух бросаниях монеты:

N исходов

Первое бросание

Второе бросание

 1

Решка

Решка

2

Орёл

Орёл

3

Орёл

Решка

4

Решка

Орёл

Видно из таблицы, что интересующему нас событию (ровно двум появлениям орла) благоприятствует исход с номером 2. Он единственный, а возможных исходов в нашем случае – 4. Стало быть, искомая вероятность равна

Ответ: 0,25.

Задача 1.5. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз.

Решение: Ровно один раз орёл выпадает в исходах под номерами 2 и 3 (см. таблицу к задаче 1.4). Отношение числа благоприятных исходов (2) к общему числу всех равновозможных исходов (4) определяет вероятность интересующего нас события:

Ответ: 0,5.

Задача 1.6. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет хотя бы один раз.

Событие «орёл выпадет хотя бы один раз» означает, что орёл появится либо один раз (первым или вторым), либо оба раза, что возможно при реализации исходов 2,3,4. Благоприятных исходов, таким образом, три, при общем количестве возможных – четырёх. Вероятность, согласно классической формуле, равна

Ответ: 0,75.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Задача 1.7. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Решение: Орёл выпадает оба раза – один исход при двух бросаниях математической монеты из четырёх возможных. Значит, вероятность равна .

Ответ: 0,25.

Задача 1.8. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что во второй раз выпадет то же, что и в первый.

Решение: Формулировка «во второй раз выпадет то же, что и в первый» означает, что могут выпасть подряд два орла, либо выпадают две решки подряд, что соответствует исходам 1 и 2 в таблице к задаче 1.4. При общем количестве (их 4) равновозможных исходов  вычисляем вероятность .

Ответ: 0,5.

Задача 1.9. Найдите вероятность того, что случайно выбранное трёхзначное число делится на 25.

Решение: Найдем количество трёхзначных чисел. Первое из них -100. Последнее -999. Значит, их всего 999-100+1=900. Определяем количество чисел, кратных 25. Первое из них – 100. Последнее – 975. Таких чисел  По классической формуле вычисляем вероятность .

Ответ: 0,04.

Задача 1.10. Найдите вероятность того, что случайно выбранное трёхзначное число делится на 33.

Решение: Как и в задаче 1.10, общее число всех равновозможных исходов 900. Первое трёхзначное число, кратное 33, это - 132. Последнее из них – 990. Таким образом, благоприятных исходов, т.е. трёхзначных чисел, кратных 33, всего

Ответ: 0,03.

Задача 1.11. В коробке вперемешку лежат чайные пакетики с чёрным и зелёным чаем, одинаковые на вид, причём пакетиков с чёрным чаем в 4 раза больше, чем пакетиков с зелёным. Найдите вероятность того, что случайно выбранный из этой коробки пакетик окажется пакетиком с зелёным чаем.

Решение: Примем количество пакетиков с зелёным чаем за х, тогда количество пакетиков с чёрным чаем будет равно 4х, и общее количество пакетиков с чаем определится как х+4х=5х (пакетиков). Вероятность того, что случайно выбранный из этой коробки пакетик окажется пакетиком с зелёным чаем, согласно классической формуле, определяется отношением

Ответ: 0,2.

Задача 1.12. На олимпиаде по русскому языку участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 130 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было 400 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

Решение: Найдём количество человек, писавших олимпиаду в запасной аудитории: 400-(130+130) =140. Значит, искомая вероятность равна .

Ответ: 0,35.

Задача 1.13. В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают шестерых человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?

Решение: Для туриста Д., входящего в состав группы, для похода  в магазин есть 6 благоприятных исходов. Общее число всех равновозможных исходов – количество туристов в группе (их 8 по условию задачи). Итак Р(А)= 

Ответ: 0,75.

Задача 1.14. Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 50 докладов: в первый день — 18 докладов, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется случайным образом. Какова вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Решение: Последний день конференции – третий. Количество докладов, запланированных во второй, а также и в третий день конференции:  Это и есть число благоприятных для профессора М. исходов. Вычисляем вероятность выступления докладчика в третий день: .

Ответ: 0,32.

Задача 1.15. На экзамене будет 50 билетов, Оскар не выучил 7 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Решение: Невелик у Оскара шанс получить выученный билет: .

Ответ: 0,14.

Задача 1.16. В фирме такси в наличии 12 легковых автомобилей: 3 из них чёрного цвета с жёлтыми надписями на боках, остальные — жёлтого цвета с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.

Решение: Жёлтых с чёрными надписями машин -9. Разделив их на общее число машин фирмы (12), получаем:

Ответ: 0,75.

2. Задачи на нахождение вероятности противоположного события

Определение. Противоположными событиями называют два несовместных события, образующих полную группу.

Два события называются несовместными, если они не могут появиться одновременно в результате однократного опыта. События образуют полную группу, если в результате опыта одно из событий обязательно произойдёт. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, т.е. . Здесь - вероятность события, противоположного событию А.

Задача 2.1. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо или вовсе не пишет, равна 0,21. Покупатель, не глядя, берёт одну шариковую ручку из коробки. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

Решение. Событие А – новая шариковая ручка пишет плохо или вовсе не пишет. Событие  - ручка пишет хорошо. Эти события – противоположные. Р(А)=0,21. Р(

Ответ: 0,79.

Задача 2.2. В среднем из 140 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекает. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решение: Событие А - насос подтекает, событие – насос не подтекает.

Ответ: 0,95.

Задача 2.3. Из 600 луковиц тюльпанов в среднем 48 не прорастают. Какова вероятность того, что случайно выбранная и посаженная луковица прорастёт?

Решение. Событие – «случайно выбранная и посаженная луковица прорастёт» противоположно событию «что случайно выбранная и посаженная луковица не прорастёт». Поэтому .

Ответ: 0,92.

3. Задачи на применение теоремы сложения вероятностей для несовместных событий

Суммой (А+В) двух событий А и В  называют событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий А или В.

Сложение вероятностей используется тогда, когда нужно вычислить вероятность суммы случайных событий.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность того, что произойдёт одно из двух несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий: .

Задача 3.1. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,35. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение: событие А – достанется вопрос по теме «Вписанная окружность», событие В – достанется вопрос по теме «Внешние углы», тогда событие А+В - на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Учитывая, что «Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет», применяем теорему сложения вероятностей для двух несовместных событий: P(А+В) = 0,35+0,25 = 0,6.

Ответ: 0,6.

Задача 3.2. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,3. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение: Как и при решении задачи 3.1, применяем теорему сложения вероятностей для двух несовместных событий: P(А+В) = 0,3+0,25 = 0,55.

Ответ: 0,55.

Симметричная монета вероятность выпадения одной стороны

Карта сайта » Статьи и справки » Симметричную монету бросают

 

В качестве предисловия.
Все знают, что монета имеет две стороны - орёл и решку. Нумизматы считают, что монета имеет три стороны - аверс, реверс и гурт.
И среди тех, и среди других, мало кто знает, что такое симметричная монета. Зато об этом знают (ну, или должны знать :), те, кто готовится сдавать ЕГЭ.
В общем, в этой статье речь пойдёт о необычной монете, которая, к нумизматике никакого отношения не имеет, но, при этом, является самой популярной монетой среди школьников.

Итак.
Симметричная монета - это воображаемая математически идеальная монета без размера, веса, диаметра и пр. Как следствие, гурта у такой монеты тоже нет, то есть вот она-то действительно имеет только две стороны. Главное свойство симметричной монеты в том, что при таких условиях вероятность выпадения орла или решки абсолютно одинакова. А придумали симметричную монету для проведения мысленных экспериментов.
Самая популярная задача с симметричной монетой звучит так - "В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды (трижды, четырежды и т.д.). Требуется определить вероятность того, что одна из сторон выпадет определённое количество раз.

 

Решение задачи с симметричной монетой

Понятно, что в результате броска монета упадёт либо орлом, либо решкой. Сколько раз - зависит от того, сколько бросков совершить. Вероятность выпадения орла или решки вычисляется делением количества удовлетворяющих условию исходов на общее количество возможных исходов.

 

В случайном эксперименте симметричную монету бросают один раз

Здесь всё просто. Выпадет либо орёл, либо решка. Т.е. имеем два возможных исхода, один из которых нас удовлетворяет - 1/2=50%

 

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды

За два броска могут выпасть:
два орла
две решки
орёл, затем решка
решка, затем орёл
Т.е. возможны всего четыре варианта. Задачи с более, чем одним броском, проще всего решать составлением таблицы возможных вариантов. Для простоты, обозначим орла цифрой "0", а решку цифрой "1". Тогда таблица возможных исходов будет выглядеть так:
00
01
10
11
Если, например, нужно найти вероятность того, что орёл выпадет один раз, требуется просто подсчитать количество подходящих вариантов в таблице - т.е. тех строк, где орёл встречается один раз. Таких строк две. Значит, вероятность выпадения одного орла в двух бросках симметричной монеты равна 2/4=50%
Вероятность того, что орёл в двух бросках выпадет дважды равна 1/4=25%

 

 

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды

Составляем таблицу вариантов:
000
001
010
011
100
101
110
111
Те, кто знаком с двоичным исчислением, понимают, к чему мы пришли. 🙂 Да, это двоичные цифры от "0" до "7". Так проще не запутаться с вариантами.
Решим задачу из предыдущего пункта - вычислим вероятность того, что орёл выпадет один раз. Строк, где "0" встречается один раз имеется три. Значит, вероятность выпадения одного орла в трёх бросках симметричной монеты равна 3/8=37,5%
Вероятность того, что орёл в трёх бросках выпадет дважды равна 3/8=37,5%, т.е. абсолютно такая же.
Вероятность того, что орёл в трёх бросках выпадет трижды равна 1/8=12,5%.

 

В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды

Составляем таблицу вариантов:
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Вероятность того, что орёл выпадет один раз. Строк, где "0" встречается один раз имеется всего три, так же, как и в случае трёх бросков. Но, вариантов уже шестнадцать. Значит, вероятность выпадения одного орла в четырёх бросках симметричной монеты равна 3/16=18,75%
Вероятность того, что орёл в трёх бросках выпадет дважды равна 6/8=75%,.
Вероятность того, что орёл в трёх бросках выпадет трижды равна 4/8=50%.

 

В случайном эксперименте симметричную монету более четырёх раз

С увеличением количества бросков, принцип решения задачи совершенно не меняется - только, в соответствующей прогрессии, увеличивается количество вариантов. Принцип тот же - составляем таблицу вариантов и подсчитываем количество требуемых результатов.

 

 

Поиск по сайту:

 

 

 

 

 

 

©2001

Введение в вероятность | EquiSeq

Введение в вероятность

Вы можете понять вероятность, подумав о подбрасывании монеты.

Вероятность - это область математики, которая занимается вычислением вероятности наступления определенного события.

Вероятность события выражается числом от нуля (событие никогда не произойдет) до единицы (событие обязательно). Например, вероятность выпадения орла при подбрасывании справедливой монеты равна ½ или 0.5. Вероятность события также может быть выражена в процентах (например, вероятность выпадения орлов при подбрасывании справедливой монеты составляет 50%) или в виде шансов (например, вероятность выпадения орлов при подбрасывании справедливой монеты. составляет 1: 1).

Один бросок монеты - это событие (также называемое испытанием), которое не связано с другими событиями и не зависит от них. Когда монета подбрасывается дважды, монета не запоминает, выпала ли она орел или решка в первый раз, поэтому второй бросок монеты не зависит. Вероятность выпадения орла при первом подбрасывании составляет 50%, как и при всех последующих подбрасываниях монеты.

Два исхода подбрасывания монеты - орел или решка. Для любого отдельного подбрасывания монеты результат будет либо орлом, либо решкой. Таким образом, два исхода (орел или решка) исключают друг друга; Если монета выпадает орлом при одном броске, она не может выпасть решкой при одном броске.

Есть два полезных правила для расчета вероятности событий, более сложных, чем подбрасывание одной монеты.

Первое - это Правило продукта. В нем говорится, что вероятность возникновения двух независимых событий является произведением их индивидуальных вероятностей.Вероятность выпадения двух орлов при двух подбрасывании монеты составляет 0,5 х 0,5 или 0,25.

Визуальное представление подбрасывания двух монет.

Правило продукта очевидно из визуального представления всех возможных результатов подбрасывания двух монет, показанного выше. Вероятность выпадения орла при подбрасывании монеты - 0,5. Если мы рассмотрим все возможные исходы подбрасывания двух монет, как показано, есть только один исход из четырех, в котором обе монеты выпали орлом, поэтому вероятность выпадения орла на обеих монетах равна 0.25.

Второе полезное правило - это правило суммы. Это означает, что вероятность возникновения двух взаимоисключающих событий является суммой их индивидуальных вероятностей. Как видно из рисунка, вероятность выпадения одной головы и одной решки при подбрасывании двух монет составляет 0,5. Это может произойти двумя разными способами. Первая монета может выпадать орлом, а вторая монета может выпадать решкой, или первая монета может выпадать решкой, а вторая монета может выпадать решкой.В любом отдельном исследовании невозможно, чтобы оба этих исхода произошли, поэтому они исключают друг друга.

Есть четыре возможных взаимоисключающих результата при подбрасывании двух монет, как показано, каждый с вероятностью 0,25. Сумма вероятностей двух из этих исходов (орла, решки или решки, орла) составляет 0,25 + 0,25 или 0,5.

Вероятность относится как к разведению лошадей, так и к подбрасыванию монет.

Основные правила вероятности применимы и к коневодству.У лошадей есть по две копии каждого из своих генов. Лошадь, гетерозиготная по мутации, вызывающей HYPP, имеет генотип n / H. Когда эта лошадь производит гаметы (сперму или яйцеклетку), в гамете есть только одна копия каждого гена. Существует 50% шанс, что гамета имеет аллель n, и 50% шанс, что гамета имеет аллель H.

Процесс оплодотворения подобен подбрасыванию двух монет. Если жеребец n / H повязан с кобылой n / H, вероятность того, что жеребенок будет n / n, равна 0.25, в то время как шанс, что жеребенок будет n / H, равен 0,5. Правило суммы и Правило продукта применяются к коневодству так же, как и к подбрасыванию монет.

При подбрасывании справедливой монеты дважды найдите вероятность математики класса 12 CBSE

Подсказка:
Здесь нам нужно найти вероятность выпадения двух орлов при двукратном подбрасывании справедливой монеты. Сначала мы напишем образец пространства со всеми возможными результатами. Затем найдите количество результатов в пространстве выборки, где получены две головы.Наконец, мы воспользуемся формулой вероятности, чтобы получить требуемую вероятность.
Используемая формула: Вероятность события определяется как \ [P \ left (E \ right) = \ dfrac {{{\ text {Количество благоприятных исходов}}}} {{{\ text {Количество общих исходов} }}} \].

Полное пошаговое решение:
Вероятность события - это вероятность того, что событие произойдет.
Мы начнем решать вопрос с записи пробела, когда честная монета подбрасывается дважды.
Мы знаем, что когда монета подбрасывается один раз, есть только два исхода: орел или решка.
Следовательно, когда монета подбрасывается дважды, возможны следующие результаты: \ [{\ text {HH, HT, TH, TT}} \], где \ [{\ text {H}} \] представляет собой орёл, а \ [{ \ text {T}} \] представляет собой хвосты. Здесь первая буква обозначает результат первого броска, а вторая буква означает результат второго броска.
Таким образом, пробелом является \ [S = \ left \ {{{\ text {HH, HT, TH, TT}}} \ right \} \].
Поскольку существует четыре возможных исхода в пространстве выборки, следовательно, общее количество исходов равно 4.
Далее мы найдем, сколько раз выпадало 2 орла, когда честная монета была подброшена дважды.
Мы можем заметить, что две головы появляются только в результате \ [{\ text {HH}} \] в пробном пространстве \ [S = \ left \ {{{\ text {HH, HT, TH, TT}}} \верно\}\].
Таким образом, количество благоприятных исходов равно 1.
Теперь нам нужно найти вероятность того, что выпадут две орла, когда честная монета подброшена дважды.
Затем мы знаем, что вероятность события \ [E \] определяется выражением \ [P \ left (E \ right) = \ dfrac {{{\ text {Количество благоприятных исходов}}}} {{{\ text {Общее количество результатов}}}} \].
Пусть \ [E \] означает выпадение двух орлов, когда честная монета подбрасывается дважды.
Подставив 1 для количества благоприятных исходов и 4 для общего количества исходов, мы получим
\ [P \ left (E \ right) = \ dfrac {1} {4} \]

\ [\ следовательно \ ] Вероятность выпадения двух орлов при двукратном подбрасывании справедливой монеты составляет
\ [\ dfrac {1} {4} \] или \ [0.25 \].

Примечание:
Мы также можем решить эту проблему, используя тот факт, что результат первого подбрасывания монеты не влияет на результат второго подбрасывания монеты. Это означает, что первая и вторая подбрасывание являются независимыми событиями.
Мы знаем, что когда подбрасывается честная монета, есть только два исхода: орел или решка.
Пусть \ [{\ text {H}} \] представляет головы, а \ [{\ text {T}} \] представляет хвосты.
Вероятность выпадения орла при первом подбрасывании монеты равна
\ [P \ left (H \ right) = \ dfrac {1} {2} \]
Аналогичным образом вероятность выпадения орла при втором броске. монеты составляет
\ [P \ left (H \ right) = \ dfrac {1} {2} \]
Поскольку первая и вторая подбрасывание являются независимыми событиями, мы можем вычислить вероятность выпадения двух орлов при двух подбрасываниях монеты путем умножения вероятности выпадения орла при первом подбрасывании монеты и вероятности выпадения орла при втором подбрасывании монеты.
Пусть \ [E \] означает выпадение двух орлов, когда честная монета подбрасывается дважды.
Таким образом, получаем
\ [\ begin {array} {l} P \ left (E \ right) = \ dfrac {1} {2} \ times \ dfrac {1} {2} \\ = \ dfrac {1 } {4} \ end {array} \]
\ [\ следовательно \] Вероятность выпадения двух орлов при двукратном подбрасывании справедливой монеты равна \ [\ dfrac {1} {4} \] или \ [0.25 \] .

Расмус - математика, вероятностный урок 2

Расмус - математика, вероятностный урок 2
2004 Rasmus ehf

Вероятность

Печать

Урок 2


Повторные вероятностные эксперименты:

Когда вы подбрасываете монету, есть два возможных результаты: «орел» или «решка».Каждый из этих исходов одинаково вероятен, поскольку На монете 1 "голова" и 1 "хвост".

Сумма возможных результаты всегда = 100%


Пример 1

Если монету подбросить дважды, то какой вероятность выпадения орлов в обоих случаях?

Древовидная диаграмма - это один из способов показать все возможные исходы.

Для расчета вероятности получение голов в обоих бросках
умножьте возможные результаты

Результат - вероятность выпадения орла дважды подряд.

Другие возможные исходы: рассчитывается аналогично.

Сумма возможных исходов:

Вы можете найти вероятность получить "орел" в одном броске и "решка" в другом, добавив вероятности:

(H и T) =

+ (Т и Н) =

или


Пример 2

На Стефане сфолили в баскетбольном матче игре и был назначен двумя штрафными бросками.Его средний результат по пенальти составляет 70%. Что вероятность, что он забьет по обоим выстрелам?

Дерево вероятностей можно использовать для найти ответ.

вероятность

или

вероятность

или

что он сделает корзину дважды подряд. что он не сделает корзину дважды подряд.

Кому проверьте, верен ли расчет, вы можете сложить сумму возможных результат после второй попытки:


Попрактикуйтесь в этих методах, а затем пройдите тест 2 на Вероятность. Не забудьте использовать Контрольный список, чтобы отслеживать свою работу.

Какова вероятность того, что в последовательности подбрасываний монеты никогда не будет вдвое больше орлов, чем решек?

Вот еще одно решение, следуя подсказке Росс Милликен:

Пусть $ n = H − 2T $ (H = решка, T = решка).На каждом шаге $ n: = n + 1 $ или $ n: = n-2 $ с вероятностью 1/2. Игра начинается с $ n = 0 $ и останавливается, когда $ n = 0 $.

Для любой итерации (после начальной) пусть $ P (n) $ будет вероятностью того, что игра в конечном итоге остановится, учитывая текущее значение $ n $ (и учитывая, что событие еще не произошло). Понятно, что $ P (n) $ не зависит от времени. Тогда имеет место следующая рекуррентность:

$$ P (n) = \ гидроразрыва {P (n + 1) + P (n-2)} {2} \ ;, \; \; n \ ne 0 $$

с $ P (0) = 1 $. Мы также знаем (не так ли?), Что $ P (- \ infty) = 0 $ (но мы еще не знаем $ P (+ \ infty) $)

Решение этого разностного уравнения (я избавлю вас от подробностей, просто обычная процедура линейного разностного уравнения в двух областях с указанными выше граничными условиями) дает:

$$ P (n) = \ left \ { \ begin {array} {ll} \ phi ^ {- n} & \ mbox {if} n \ le 0 \\ 1 + B \, [(- \ phi) ^ n -1] & \ mbox {if} n \ ge 0 \ end {массив} \верно.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *