Преобразование графиков
Репетиторы ❯ Математика ❯ Преобразование графиков
Автор: Валентин В., онлайн репетитор по математике
●
10.10.2011
●
Раздел: Математика
Мы знаем уже несколько «стандартных» функций, например, y = х2, у = f(х) и др. Теперь же рассмотрим варианты их преобразований.
Графики функций y = ах2, y = ах3.
Мы знаем, что графиком функции y = ах2 является парабола. Чтобы построить график функции y = ах2, нужно «растянуть» или «сжать» параболу y = х
Если а < 0, то график функции нужно еще симметрично отобразить относительно оси х.
Все полученные графики – так же, как и первоначальный график – называются параболами. При а > 0 ветви параболы направлены вверх, при а < 0 – вниз.
Аналогично строится и график функции y = ах3 – кубическая парабола.
График функции у = f(х – m) + n
Точкой отсчета для построения графика этой функции является построение графика функции у = f(х). Итак, для создания графика функции у = f(х – m) + n нужно:
1. Выполнить параллельный перенос плоскости, выбрав началом новой системы координат х´у´ точку
О (m; n).
2. В новой плоскости построить график функции у = f(х).
Полученный график и будет графиком заданной функции, а именно – у = f(х – m) + n.
График квадратичной функции.
Квадратичной мы называем функцию вида у = ах2
+ bх + c, где а, b и c – любые действительные числа иа ≠ 0.
Чтобы построить график функции у = ах2 + bх + c, нам необходимо:
1.
Произвести выделение полного квадрата квадратного трехчлена у = ах2 + bх + c, в результате которого мы получаем
ах2 + bх + c = а(х + b/2а)2 + 4ас – b2/4а.
2. Построим график полученной функции, т.е. у = а(х + b/2а)2 + 4ас – b2/4а.
Для этого нам нужно выполнить параллельный перенос плоскости, поместив в начало новой системы координат х´у´ точку О (-b/2а; 4ас – b2/4а), а также в плоскости х´у´ построить параболу – график функции
у´ = а (х´)2.
Прямая х = -b/2а получила название ось симметрии параболы, а точка О´ (-b/2а; 4ас – b2/4а) – вершина параболы.
Если а > 0, то ветви параболы будут направлены вверх, если а < 0 – вниз.
Построить график квадратичной функции можно несколькими способами.
Способ 1.
Отыскание координат вершины параболы по формулам:
х0 = -b/2а
у0 = 4ас – b2/4а.
Используя приведенные формулы, мы сможем получить координаты вершины нашей параболы и еще нескольких точек.
Способ 2.
Построение параболы по точкам с ординатой, равной свободному члену квадратного трехчлена
ах2 + bх + c. При построении графика этим способом нам нужно будет решить уравнение, чтобы найти координаты наших двух «опорных» точек. После мы сможем найти координаты вершины параболы и собственно через 3 точки построить параболу.
Способ 3.
Построение параболы по корням квадратного трехчлена. Для этого нам предстоит найти корни квадратного трехчлена х1 и х2. Далее мы определим координаты наших опорных точек и вершины. А после построим сам график.
График функции у = f(kх).
Рассмотрим случай, когда k > 0, k ≠ 1.
Сопоставляя нашу функцию с функцией у = f(х), приходим к выводу, что график функции у = f(kх) получается из графика функции у = f(х) сжатием с коэффициентом k к оси у.
Сжиматься и растягиваться могут и графики тригонометрических функций (например, у = m sin kx, у = m cos kx и др.).
Построение подобных графиков проходят в три стадии:
1. Строим график «простой», знакомой нам функции у = sin x.
2. Строим график функции у = sin kx.
3. Строим график функции у = m sin kx.
На практике же легче всего построить график для функции у = m sin kx сжатием или растяжением одной полуволны графика у = sin x, а затем построить весь график.
© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Остались вопросы?
Задайте свой вопрос и получите ответ от профессионального преподавателя.
Задать вопрос
Математика
Курсы по математике 10 класс
Математика
Курсы по математике 9 класс
Математика
Математика 11 класс
Математика
Курсы по геометрии 7 класс
Математика
Курсы по алгебре 7 класс
МатематикаАлгебра 8 класс
Математика
Курсы по геометрии 8 класс
Французский язык
Курсы французского языка для начинающих
Обратная связь ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение Как определить диапазон голоса — ваш вокал Как цель узнает о ваших желаниях прежде, чем вы начнете действовать. Целительная привычка Как самому избавиться от обидчивости Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам Тренинг уверенности в себе Вкуснейший «Салат из свеклы с чесноком» Натюрморт и его изобразительные возможности Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д. Как научиться брать на себя ответственность Зачем нужны границы в отношениях с детьми? Световозвращающие элементы на детской одежде Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия Как слышать голос Бога Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ) Глава 3. Завет мужчины с женщиной Оси и плоскости тела человека — Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т. Отёска стен и прирубка косяков — Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу. Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) — В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар. |
Постановка задачи: 1. 2. Построить два совмещенных графика f1(x) и f2(x), где f1(x)-f2(x)=f(x) на одной координатной плоскости. Найти и записать приближенные корни уравнения f(x)=0 с помощью трассировки. 3. Скопировать график функции f(x), на нем изменить стиль осей с ограничения на пересечение. 4. Найти точные корни уравнения f(x)=0, используя функцию root. Типовой пример: Задание 1. Построить график функции . Найти и записать приближенные корни уравнения f(x)=0 с помощью трассировки. 1. Выбираем на Панели инструментов графики (Graph) кнопку Координаты X-Y (X-Y-Plot) – появится пустой шаблон графика. 2. Вводим в метку оси y – функцию , а в метку оси x – неизвестную переменную x, нажимаем Enter – появится график функции. 3. Там, где функция пересекается с осью ox, там находятся корни уравнения. Отформатируем график для нахождения приближенных значений корней. Для этого: 3.1. щелкаем по графику левой кнопкой мыши, изменяем минимальные и максимальные пределы изменения по x (-5;5), по y (-3;3) и нажимаем Enter; 3.2. два раза щелкаем мышью по графику – появится диалоговое окно Formatting Currently Selected X-Y Axes. Окно содержит 4 корешка: Оси X-Y (X-Y Axes), Следы (Traces), Ярлыки (Labels), По умолчанию (Defaults). 3.3. в корешке Оси X-Y (X-Y Axes) расположены пункты для выбора форматирования осей графика: Мерн. линейка (Log Scale) – нумерует оси в логарифмической последовательности; Линии сетки (Grid Lines) – выводит вспомогательные линии сетки; Пронумеровать (Numbered) – выводит нумерацию осей; Автомасштаб (Autoscale) – устанавливает автоматический масштаб; Показать маркеры (Show Markers) – устанавливает режим показа меток; Авторешетка (Auto Grid) – устанавливает число вспомогательных линий сетки =2. Число клеток решетки (Number Of Grid) – установка числа вспомогательных линий сетки.
Стиль осей (Axes Style) – позволяет выбрать стиль изображения осей графика: Блочный (Boxed) – выводит график в рамке без осей; Скрещив. (Crossed) – выводит график с осями; Нет (None) – выводит график без осей и рамки. Равные веса (Equal Scale) – устанавливает одинаковый масштаб по оси x и y. Для нашего графика ставим галочки по каждой оси: Линии сетки (Grid Lines), Пронумеровать (Numbered), устанавливаем Число клеток решетки (Number of Grids) по оси x – 10, по оси y – 6, выбираем стиль осей — Блочный (Boxed). 3.4. в корешке Traces (Следы) находятся пункты для форматирования линий графика. Подпись (Legend Label) – условный номер линии графика; Символ (Symbol), Линия (Line), Цвет (Color), Тип (Type), Ширина (Weight) – устанавливают характеристики линии на графике. Скрыть аргументы (Hide Arguments) – убирает с экрана подписи осей x и y; Скрыть легенду (Hide Legend) – убирает с экрана подпись линии графика. Для нашего графика меняем Цвет (Color) на голубой (blue) и ширину (Weight) делаем =2. 4. С помощью трассировки находим приближенные корни уравнения. Для этого щелкаем правой кнопкой по графику, выбираем команду Трассировка (Trace). С появлением окна X-Y-Trace щелкаем по кривой левой кнопкой мыши в точке пересечения кривой графика и оси x – в окне появляются значения x,y, где x – приближенный корень уравнения. 5. Оформить задание 1 как показано на рис. 1. Рис. 1. График функции f(x)
Задание 2. Построить два совмещенных графика f1(x) и f2(x), где f1(x)-f2(x)=f(x) на одной координатной плоскости. Найти и записать приближенные корни уравнения f(x)=0 с помощью трассировки. 1. 2. Вводим в метку оси y — , затем ,, затем , а в метку оси x – неизвестную переменную x, нажимаем Enter – появится совмещенный график двух функций. 3. Там, где функции и пересекаются, там находятся корни уравнения. Отформатируем график аналогично, как в прошлом задании. С помощью трассировки найдем приближенные корни уравнения. 4. Оформить задание 2 как показано на рис. 2. Рис. 2. Совмещенный график функций
Задание 3. Скопировать график функции f(x), на нем изменить стиль осей с ограничения на пересечение. 1. Выделяем график функции , обведя вокруг него рамку. В меню Правка (Edit) выбираем команду Копировать (Copy). Устанавливаем курсор там, где будет располагаться копируемый график. 2. Два раза щелкаем мышью по графику – появится диалоговое окно Formatting Currently Selected X-Y Axes. В корешке Оси X-Y (X-Y Axes) галочку сменим с Блочный (Boxed) на Скрещив. (Crossed) 3. Оформить задание 3 как показано на рис. 3.
Рис. 3. График функции с осями
Задание 4. Найти точные корни уравнения f(x)=0, используя функцию root. Варианты заданий: Таблица 1
Контрольные вопросы: Уметь: Доверь свою работу ✍️ кандидату наук! Имя Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно — исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое Нажимая кнопку «Продолжить», я принимаю политику конфиденциальности |
Как компании прогнозируют привычки и манипулируют ими
Построить график функции f(x) согласно варианту из таблицы №1. Найти и записать приближенные корни уравнения f(x)=0 с помощью трассировки.
Разобьем функцию на две, перенеся в правую часть, получим . Построим на одном графике две функции y= и y= . Для этого выбираем кнопку X-Y-Plot – появится пустой шаблон графика.
Выбираем в меню Правка (Edit) команду Вставить (Paste).
ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов. Обратная связь…корней многочленов — MATLAB & Simulink
Корни многочленов
В этом примере показано несколько различных методов вычислить корни многочлена.
Числовые корни
Корни с использованием замены
Корни в определенном интервале
Символические корни
Numeric Roots
ROOT
корни полинома с одной переменной, представленного вектором
коэффициентов.
Например, создайте вектор для представления многочлена x2−x−6, затем вычислить корни.
р = [1 -1 -6]; г = корни (р)
г =
3
-2 По соглашению MATLAB ® возвращает корни в вектор-столбце.
Функция poly преобразует
корни обратно к полиномиальным коэффициентам. При работе с векторами poly и корни обратные функции, такие что poly(roots(p)) возвращает р (вверх
к ошибке округления, упорядочению и масштабированию).
р2 = поли(р)
р2 =
1 -1 -6 При работе с матрицей функция поли вычисляет характеристический полином матрицы. Корни
характеристический полином - это собственные значения матрицы. Следовательно, roots(poly(A)) и eig(A) возвращают
тот же ответ (с точностью до ошибки округления, порядка и масштабирования).
Корни с использованием замены
Open Live Script
Вы можете решать полиномиальные уравнения, включающие тригонометрические функции, упрощая уравнение с помощью подстановки. Полученный полином одной переменной уже не содержит никаких тригонометрических функций.
Например, найдите значения θ, которые решают уравнение
3cos2(θ)-sin(θ)+3=0.
Используйте тот факт, что cos2(θ)=1-sin2(θ), чтобы полностью выразить уравнение через синусоидальные функции:
-3sin2(θ)-sin(θ)+6=0.
Используйте замену x=sin(θ), чтобы выразить уравнение как простое полиномиальное уравнение:
-3x2-x+6=0.
Создайте вектор для представления многочлена.
р = [-3 -1 6];
Найдите корни многочлена.
r = корни(p)
r = 2×1
-1,5907
1,2573
Чтобы отменить замену, используйте θ=sin-1(x). Функция asin вычисляет арксинус.
тета = asin(r)
тета = 92 - sin(Z) + 3; f(тета)
анс = 2×1 комплекс 10 -14 × -0,0888 + 0,0647i 0,2665 + 0,0399i
Корни в определенном интервале
Открыть Live Script
Используйте функцию fzero для поиска корней многочлена в определенном интервале. Помимо прочего, этот метод подходит, если вы строите полином и хотите узнать значение определенного корня.
Например, создайте дескриптор функции для представления многочлена 3x7+4x6+2x5+4x4+x3+5x2. 92;
Постройте график функции на интервале [-2,1].
х = -2:0,1:1; график (х, р (х)) илим([-100 50]) сетка на задержитесь на
Судя по графику, полином имеет тривиальный корень 0 и еще один около -1,5 .
Используйте fzero , чтобы вычислить и построить корень, который находится около -1,5 .
Z = f0(p, -1,5)
Z = -1,6056
plot(Z,p(Z),'r*')
Символьные корни
Если у вас есть Symbolic Math Toolbox™, то есть дополнительные варианты символьного вычисления многочленов. Один из способов - использовать 92-х-6)
Ф = [ x + 2, x - 3]
См. раздел «Решение алгебраических уравнений» (Symbolic Math Toolbox) для получения дополнительной информации.
См. также
корни | поли | например
См. также
- Создание и вычисление многочленов
- Корни скалярных функций
- Интегрирование и дифференцирование многочленов
У вас есть модифицированная версия этого примера. Хотите открыть этот пример со своими правками?
Вы щелкнули ссылку, соответствующую этой команде MATLAB:
Запустите команду, введя ее в командном окне MATLAB.
Веб-браузеры не поддерживают команды MATLAB.
Выберите веб-сайт, чтобы получить переведенный контент, где он доступен, и ознакомиться с местными событиями и предложениями. В зависимости от вашего местоположения мы рекомендуем вам выбрать: .
Вы также можете выбрать веб-сайт из следующего списка:
Европа
Обратитесь в местный офис
Узнайте, как построить график функций квадратного корня
В этом видео мы собираемся построить график функций квадратного корня. После того, как вы закончите этот урок, просмотрите все наши уроки по алгебре 1 и практические задачи.
Графический калькулятор является очень важным инструментом для построения графиков функции квадратного корня. Без калькулятора просто найдите квадрат каждого числа и нанесите точки на координатную плоскость.
Соедините точки и не забудьте поставить стрелку, так как график продолжается. Имейте в виду, что квадратный корень из отрицательных чисел не существует.
Обратите внимание, что при вычитании числа из x под радикалом график сдвигается вправо на столько же единиц, а при добавлении числа к x под радикалом график сдвигается влево на столько же единиц. Кроме того, при добавлении числа вне корня график сдвигается вверх на столько же единиц, а при вычитании числа вне корня график сдвигается вниз на столько же единиц.
Примеры построения графика функций квадратного корня
Пример 1
Двигаемся влево на пробелы и вниз на .
Наш график будет
Пример 2
Мы будем двигаться вправо на пробелы и вверх на .
Наш график будет
Стенограмма видеоурока
Давайте рассмотрим, как построить график функции квадратного корня.
Начнем с самого простого.
Давайте посмотрим на это:
Если у нас есть , мы не можем получить квадратный корень из .
Не существует. Это воображаемое.
Итак, если тогда для .
То же самое, когда .
Когда , ,
если , ,
если , ,
и если , .
Давайте просто выберем числа, из которых мы можем извлечь квадратный корень.
Используем , ,
, ,
, ,
, ,
и , .
Теперь построим график.
Это будет выглядеть так. Выровняется, но не полностью.
На другой стороне графика не было бы. Потому что квадратного корня из отрицательных чисел не существует.
Итак, это базовая форма функции извлечения квадратного корня.
Давайте более сложную функцию.
Например:
Вы должны помнить, что когда вы что-то добавляете к функции, строка поднимается на это количество пробелов.
В этом случае он поднимется на три позиции вверх.
А если что-то вычесть из , то мы сдвинемся вправо на это число.
Итак, в нашем примере мы будем двигаться вправо по пробелам.
Если у нас есть эта функция:
этот будет двигаться влево на пробелы и вниз на .