ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y cos2x: ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=cos2x

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

Y cos 2x Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ. Ѐункция y=cos t, Π΅Ρ‘ основныС свойства ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ

Π£Ρ€ΠΎΠΊ ΠΈ прСзСнтация Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ: «Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡ y=cos(x). ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ»

Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹
Π£Π²Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ, Π½Π΅ Π·Π°Π±Ρ‹Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ свои ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΈ, ΠΎΡ‚Π·Ρ‹Π²Ρ‹, поТСлания. ВсС ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ‹ антивирусной ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠΎΠΉ.

ΠžΠ±ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ пособия ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π½Π°ΠΆΠ΅Ρ€Ρ‹ Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π½Π΅Ρ‚-ΠΌΠ°Π³Π°Π·ΠΈΠ½Π΅ «Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»» для 10 класса
АлгСбраичСскиС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ с ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°ΠΌΠΈ, 9–11 классы
ΠŸΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ½Π°Ρ срСда «1Π‘: ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ конструктор 6.1»

Π§Ρ‚ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ:
1. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.
2. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
3. Бвойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Y=cos(X).
4. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косинуса Ρƒ=cos(x)

РСбята, ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ познакомились с Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Y=sin(X).

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ вспомним ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈΠ· Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» привидСния : sin(X + Ο€/2) = cos(X).

Благодаря этой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ sin(X + Ο€/2) ΠΈ cos(X) тоТдСствСнны, ΠΈ ΠΈΡ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ sin(X + Ο€/2) получаСтся ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ sin(X) ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ пСрСносом Π½Π° Ο€/2 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† Π²Π»Π΅Π²ΠΎ. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Y=cos(X).

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Y=cos(X) Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ синусоидой.

Бвойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ cos(x)

    Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ свойства нашСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:
  • ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния – мноТСство Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.
  • Ѐункция чСтная. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ вспомним ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Ѐункция называСтся Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ, Ссли выполняСтся равСнство y(-x)=y(x). Как ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» привидСния: cos(-x)=-cos(x), ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° косинус – чСтная функция.
  • Ѐункция Y=cos(X) ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ ΠΈ возрастаСт Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [Ο€; 2Ο€]. Π’ этом ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ нашСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
  • Ѐункция Y=cos(X) ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π° снизу ΠΈ свСрху. Π”Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ свойство слСдуСт ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ
    -1 ≀ cos(X) ≀ 1
  • НаимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ -1 (ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… = Ο€ + 2Ο€k). НаибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1 (ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… = 2Ο€k).
  • Ѐункция Y=cos(X) являСтся Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ. ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΠΌ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΈ убСдимся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ нашСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²ΠΎΠ², это ΠΈ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.
  • ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ [- 1; 1]. Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°.
  • Ѐункция Y=cos(X) — пСриодичСская функция. ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡΡ‚ΡŒ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΈ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΈ ΠΈ Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅ значСния Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ с Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ cos(x)

1. Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos(X)=(x — 2Ο€) 2 + 1

РСшСниС: ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ 2 Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: y=cos(x) ΠΈ y=(x — 2Ο€) 2 + 1 (см. рисунок).


y=(x — 2Ο€) 2 + 1 — это ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π°, смСщСнная Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Π½Π° 2Ο€ ΠΈ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… Π½Π° 1. Наши Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ А(2Ο€;1), это ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚: x = 2Ο€.

2. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Y=cos(X) ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… ≀ 0 ΠΈ Y=sin(X) ΠΏΡ€ΠΈ x β‰₯ 0

РСшСниС: Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ построим Π΄Π²Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ «ΠΊΡƒΡΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌ». ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ кусочСк: y=cos(x) ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… ≀ 0. Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ кусочСк: y=sin(x)
ΠΏΡ€ΠΈ x β‰₯ 0. Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Π° «ΠΊΡƒΡΠΎΡ‡ΠΊΠ°» Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅.


3. Найти наибольшСС ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Y=cos(X) Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [Ο€; 7Ο€/4]

РСшСниС: ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ рассмотрим наш ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ [Ο€; 7Ο€/4]. На Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ наибольшиС ΠΈ наимСньшиС значСния Π΄ΠΎΡΡ‚ΠΈΠ³Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°Ρ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°: Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… Ο€ ΠΈ 7Ο€/4 соотвСтствСнно.
ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: cos(Ο€) = -1 – наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, cos(7Ο€/4) = наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅.


4. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=cos(Ο€/3 — x) + 1

РСшСниС: cos(-x)= cos(x), Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° искомый Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ получится ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ пСрСноса Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=cos(x) Π½Π° Ο€/3 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ ΠΈ 1 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ….

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ

1)Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅: cos(x)= x – Ο€/2.
2) Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅: cos(x)= — (x – Ο€) 2 — 1.
3) ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=cos(Ο€/4 + x) — 2.
4) ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=cos(-2Ο€/3 + x) + 1.
5) Найти наибольшСС ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=cos(x) Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ .
6) Найти наибольшСС ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=cos(x) Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [- Ο€/6; 5Ο€/4].

На этом ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ рассмотрим Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Ρƒ = cos Ρ…, Π΅Π΅ основныС свойства ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.Π’ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ° Π΄Π°Π΄ΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = cost Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ окруТности ΠΈ рассмотрим Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° окруТности ΠΈ прямой. ПокаТСм ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ рассмотрим основныС свойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π’ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ° Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠΌ нСсколько ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ с использованиСм Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Π΅Π΅ свойств.

Π’Π΅ΠΌΠ°: ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π£Ρ€ΠΎΠΊ: Ѐункция y=cost, Π΅Ρ‘ основныС свойства ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ

Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ называСтся Π·Π°ΠΊΠΎΠ½, ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ нСзависимого Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ставится Π² соотвСтствиС СдинствСнноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Вспомним ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ t — любоС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число. Π•ΠΌΡƒ соотвСтствуСт СдинствСнная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° M Π½Π° числовой окруТности. Π£ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ M Π΅ΡΡ‚ΡŒ СдинствСнная абсцисса. Она ΠΈ называСтся косинусом числа t. ΠšΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° t соотвСтствуСт Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (рис. 1).

Π¦Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» числСнно Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ Π΄ΡƒΠ³ΠΈ Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ…, Ρ‚.Π΅. числу ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ….

Если ΠΌΡ‹ ΡƒΠΌΠ΅Π΅ΠΌ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ значСния ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

МоТно ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ способом. По Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌ привСдСния поэтому Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ косинуса — это синусоида, сдвинутая ΠΏΠΎ оси x Π½Π° Π²Π»Π΅Π²ΠΎ (рис.

2).

Бвойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

1) ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния:

2) ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ:

3) Ѐункция чСтная:

4) НаимСньший ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄:

5) ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ пСрСсСчСния с осью абсцисс:

6) ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния с осью ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚:

7) ΠŸΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… функция ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния:

8) ΠŸΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… функция ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния:

9) ΠŸΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ возрастания:

10) ΠŸΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ убывания:

11) Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°:

12) ΠœΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: .

13) Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ максимума:

14) ΠœΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡƒΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

ΠœΡ‹ рассмотрСли основныС свойства ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π”Π°Π»Π΅Π΅ ΠΎΠ½ΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Бписок Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Ρ‹

1. АлгСбра ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, 10 класс (Π² Π΄Π²ΡƒΡ… частях). Π£Ρ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊ для ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ‡Ρ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ (ΠΏΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½ΡŒ) ΠΏΠΎΠ΄ Ρ€Π΅Π΄. А. Π“. ΠœΠΎΡ€Π΄ΠΊΠΎΠ²ΠΈΡ‡Π°. -М.: МнСмозина, 2009.

2. АлгСбра ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, 10 класс (Π² Π΄Π²ΡƒΡ… частях). Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π½ΠΈΠΊ для ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ‡Ρ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ (ΠΏΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½ΡŒ) ΠΏΠΎΠ΄ Ρ€Π΅Π΄. А. Π“. ΠœΠΎΡ€Π΄ΠΊΠΎΠ²ΠΈΡ‡Π°. -М.: МнСмозина, 2007.

3. Π’ΠΈΠ»Π΅Π½ΠΊΠΈΠ½ Н.Π―., ИвашСв-ΠœΡƒΡΠ°Ρ‚ΠΎΠ² О.Π‘., Π¨Π²Π°Ρ€Ρ†Π±ΡƒΡ€Π΄ Π‘.И. АлгСбра ΠΈ матСматичСский Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· для 10 класса (ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠ΅ пособиС для учащихся школ ΠΈ классов с ΡƒΠ³Π»ΡƒΠ±Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ).-М.: ΠŸΡ€ΠΎΡΠ²Π΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅, 1996.

4. Π“Π°Π»ΠΈΡ†ΠΊΠΈΠΉ М.Π›., ΠœΠΎΡˆΠΊΠΎΠ²ΠΈΡ‡ М.М., Π¨Π²Π°Ρ€Ρ†Π±ΡƒΡ€Π΄ Π‘.И. Π£Π³Π»ΡƒΠ±Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ ΠΈ матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°.-М.: ΠŸΡ€ΠΎΡΠ²Π΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅, 1997.

5. Π‘Π±ΠΎΡ€Π½ΠΈΠΊ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π²ΠΎ Π’Π’Π£Π—Ρ‹ (ΠΏΠΎΠ΄ Ρ€Π΅Π΄. М.И.Π‘ΠΊΠ°Π½Π°Π²ΠΈ).-М.:Π’Ρ‹ΡΡˆΠ°Ρ школа, 1992.

6. ΠœΠ΅Ρ€Π·Π»ΡΠΊ А.Π“., Полонский Π’.Π‘., Π―ΠΊΠΈΡ€ М.Π‘. АлгСбраичСский Ρ‚Ρ€Π΅Π½Π°ΠΆΠ΅Ρ€.-К.: А.Π‘.К., 1997.

7. Баакян Π‘.М., Π“ΠΎΠ»ΡŒΠ΄ΠΌΠ°Π½ А.М., ДСнисов Π”.Π’. Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΏΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π°ΠΌ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° (пособиС для учащихся 10-11 классов ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ². ΡƒΡ‡Ρ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ).-М.: ΠŸΡ€ΠΎΡΠ²Π΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅, 2003.

8. ΠšΠ°Ρ€ΠΏ А.П. Π‘Π±ΠΎΡ€Π½ΠΈΠΊ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΏΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π°ΠΌ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°: ΡƒΡ‡Π΅Π±. пособиС для 10-11 ΠΊΠ». с ΡƒΠ³Π»ΡƒΠ±Π». ΠΈΠ·ΡƒΡ‡. ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ.-М.: ΠŸΡ€ΠΎΡΠ²Π΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅, 2006.

Π”ΠΎΠΌΠ°ΡˆΠ½Π΅Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅

АлгСбра ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, 10 класс (Π² Π΄Π²ΡƒΡ… частях). Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π½ΠΈΠΊ для ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ‡Ρ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ (ΠΏΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½ΡŒ) ΠΏΠΎΠ΄ Ρ€Π΅Π΄. А. Π“. ΠœΠΎΡ€Π΄ΠΊΠΎΠ²ΠΈΡ‡Π°. -М.: МнСмозина, 2007.

β„–β„– 16.6, 16.7, 16.9.

Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π²Π΅Π±-рСсурсы

3. ΠžΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΡ€Ρ‚Π°Π» для ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΊ экзамСнам ().

Π‘ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ A .
Ξ± — ΡƒΠ³ΠΎΠ», Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ….

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅
Бинус (sin Ξ±) — это тригономСтричСская функция, зависящая ΠΎΡ‚ ΡƒΠ³Π»Π° Ξ± ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, равная ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° |BC| ΠΊ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹ |AC|.

ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ (cos Ξ±) — это тригономСтричСская функция, зависящая ΠΎΡ‚ ΡƒΠ³Π»Π° Ξ± ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, равная ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° |AB| ΠΊ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹ |AC|.

ΠŸΡ€ΠΈΠ½ΡΡ‚Ρ‹Π΅ обозначСния

;
;
.

;
;
.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синус, y = sin x

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косинус, y = cos x


Бвойства синуса ΠΈ косинуса

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ

Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = sin x ΠΈ y = cos x ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ 2 Ο€ .

Π§Π΅Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ

Ѐункция синус — нСчСтная. Ѐункция косинус — чСтная.

ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, экстрСмумы, возрастаниС, ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠ΅

Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синус ΠΈ косинус Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹ Π½Π° своСй области опрСдСлСния, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ для всСх x (см. Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ нСпрСрывности). Π˜Ρ… основныС свойства прСдставлСны Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ (n — Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅).

y = sin x y = cos x
ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния ΠΈ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ — ∞ — ∞
ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ -1 ≀ y ≀ 1 -1 ≀ y ≀ 1
ВозрастаниС
Π£Π±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠ΅
ΠœΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹, y = 1
ΠœΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹, y = -1
Нули, y = 0
Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния с осью ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, x = 0y = 0y = 1

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² синуса ΠΈ косинуса

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ синуса ΠΈ косинуса ΠΎΡ‚ суммы ΠΈ разности

;
;

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ произвСдСния синусов ΠΈ косинусов

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ суммы ΠΈ разности

Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ синуса Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· косинус

;
;
;
.

Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ косинуса Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· синус

;
;
;
.

Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· тангСнс

; .

ΠŸΡ€ΠΈ , ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:
; .

ΠŸΡ€ΠΈ :
; .

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° синусов ΠΈ косинусов, тангСнсов ΠΈ котангСнсов

Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ прСдставлСны значСния синусов ΠΈ косинусов ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… значСниях Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°.

ВыраТСния Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· комплСксныС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅


;

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°

ВыраТСния Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· гипСрболичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

;
;

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅

; . Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» > > >

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ n-Π³ΠΎ порядка:
{ -∞

БСканс, косСканс

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ функциями ΠΊ синусу ΠΈ косинусу ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ арксинус ΠΈ арккосинус , соотвСтствСнно.

Арксинус, arcsin

Арккосинус, arccos

Использованная Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°:
И.Н. Π‘Ρ€ΠΎΠ½ΡˆΡ‚Π΅ΠΉΠ½, К.А. БСмСндяСв, Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅Ρ€ΠΎΠ² ΠΈ учащихся Π²Ρ‚ΡƒΠ·ΠΎΠ², Β«Π›Π°Π½ΡŒΒ», 2009.

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ тригономСтричСскими функциями ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=sin(x), y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x). Рассмотрим ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Π² ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ.

Y = sin(x)

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=sin(x).

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ свойства:

3. Ѐункция нСчСтная.

Y = cos(x)

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=cos(x).

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ свойства:

1. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния вся числовая ось.

2. Ѐункция ограничСнная. ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ — ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ [-1;1].

3. Ѐункция чСтная.

4.Ѐункция пСриодичСская с наимСньшим ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ 2*Ο€.

Y = tg(x)

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=tg(x).

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ свойства:

1. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния вся числовая ось, Π·Π° ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Π° x=Ο€/2 +Ο€*k, Π³Π΄Π΅ k — Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅.

3. Ѐункция нСчСтная.

Y = ctg(x)

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=ctg(x).

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ свойства:

1. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния вся числовая ось, Π·Π° ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Π° x=Ο€*k, Π³Π΄Π΅ k — Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅.

2. Ѐункция нСограничСнная. ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ вся числовая прямая.

3. Ѐункция нСчСтная.

4.Ѐункция пСриодичСская с наимСньшим ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ Ο€.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ cos x 2. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²

Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹
Π£Π²Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ, Π½Π΅ Π·Π°Π±Ρ‹Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ свои ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΈ, ΠΎΡ‚Π·Ρ‹Π²Ρ‹, поТСлания. ВсС ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ‹ антивирусной ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠΎΠΉ.

ΠžΠ±ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ пособия ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π½Π°ΠΆΠ΅Ρ€Ρ‹ Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π½Π΅Ρ‚-ΠΌΠ°Π³Π°Π·ΠΈΠ½Π΅ «Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»» для 10 класса
АлгСбраичСскиС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ с ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°ΠΌΠΈ, 9–11 классы
ΠŸΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ½Π°Ρ срСда «1Π‘: ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ конструктор 6.1»

Π§Ρ‚ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ:
1. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.
2. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
3. Бвойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Y=cos(X).
4. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косинуса Ρƒ=cos(x)

РСбята, ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ познакомились с Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Y=sin(X).

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ вспомним ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈΠ· Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» привидСния : sin(X + Ο€/2) = cos(X).

Благодаря этой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ sin(X + Ο€/2) ΠΈ cos(X) тоТдСствСнны, ΠΈ ΠΈΡ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ sin(X + Ο€/2) получаСтся ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ sin(X) ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ пСрСносом Π½Π° Ο€/2 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† Π²Π»Π΅Π²ΠΎ. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Y=cos(X).

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Y=cos(X) Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ синусоидой.

Бвойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ cos(x)

    Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ свойства нашСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:
  • ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния – мноТСство Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.
  • Ѐункция чСтная. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ вспомним ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Ѐункция называСтся Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ, Ссли выполняСтся равСнство y(-x)=y(x). Как ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» привидСния: cos(-x)=-cos(x), ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° косинус – чСтная функция.
  • Ѐункция Y=cos(X) ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ ΠΈ возрастаСт Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [Ο€; 2Ο€]. Π’ этом ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ нашСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
  • Ѐункция Y=cos(X) ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π° снизу ΠΈ свСрху. Π”Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ свойство слСдуСт ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ
    -1 ≀ cos(X) ≀ 1
  • НаимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ -1 (ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… = Ο€ + 2Ο€k). НаибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1 (ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… = 2Ο€k).
  • Ѐункция Y=cos(X) являСтся Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ. ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΠΌ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΈ убСдимся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ нашСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²ΠΎΠ², это ΠΈ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.
  • ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ [- 1; 1]. Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°.
  • Ѐункция Y=cos(X) — пСриодичСская функция. ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡΡ‚ΡŒ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΈ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΈ ΠΈ Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅ значСния Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ с Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ cos(x)

1. Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos(X)=(x — 2Ο€) 2 + 1

РСшСниС: ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ 2 Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: y=cos(x) ΠΈ y=(x — 2Ο€) 2 + 1 (см. рисунок).


y=(x — 2Ο€) 2 + 1 — это ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π°, смСщСнная Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Π½Π° 2Ο€ ΠΈ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… Π½Π° 1. Наши Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ А(2Ο€;1), это ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚: x = 2Ο€.

2. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Y=cos(X) ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… ≀ 0 ΠΈ Y=sin(X) ΠΏΡ€ΠΈ x β‰₯ 0

РСшСниС: Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ построим Π΄Π²Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ «ΠΊΡƒΡΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌ». ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ кусочСк: y=cos(x) ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… ≀ 0. Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ кусочСк: y=sin(x)
ΠΏΡ€ΠΈ x β‰₯ 0. Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Π° «ΠΊΡƒΡΠΎΡ‡ΠΊΠ°» Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅.


3. Найти наибольшСС ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Y=cos(X) Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [Ο€; 7Ο€/4]

РСшСниС: ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ рассмотрим наш ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ [Ο€; 7Ο€/4]. На Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ наибольшиС ΠΈ наимСньшиС значСния Π΄ΠΎΡΡ‚ΠΈΠ³Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°Ρ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°: Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… Ο€ ΠΈ 7Ο€/4 соотвСтствСнно.
ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: cos(Ο€) = -1 – наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, cos(7Ο€/4) = наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅.


4. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=cos(Ο€/3 — x) + 1

РСшСниС: cos(-x)= cos(x), Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° искомый Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ получится ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ пСрСноса Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=cos(x) Π½Π° Ο€/3 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ ΠΈ 1 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ….

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ

1)Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅: cos(x)= x – Ο€/2.
2) Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅: cos(x)= — (x – Ο€) 2 — 1.
3) ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=cos(Ο€/4 + x) — 2.
4) ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=cos(-2Ο€/3 + x) + 1.
5) Найти наибольшСС ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=cos(x) Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ .
6) Найти наибольшСС ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=cos(x) Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [- Ο€/6; 5Ο€/4].

Β«Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΈΡ… свойства» — y = ctg x. 4) ΠžΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. 3) НСчётная функция. (Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ симмСтричСн ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚). y = tg x. 7) Ѐункция Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π° Π½Π° любом ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ Π²ΠΈΠ΄Π° (?k; ? + ?k). Ѐункция y = tg x Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π° Π½Π° любом ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ Π²ΠΈΠ΄Π°. 4) Ѐункция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° любом ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ Π²ΠΈΠ΄Π° (?k; ? + ?k). Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = tg x называСтся тангСнсоидой.

Β«Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Y XΒ» — Π¨Π°Π±Π»ΠΎΠ½ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ Ρƒ = Ρ…2. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ, Ρ‰Π΅Π»ΠΊΠ½ΠΈ ΠΌΡ‹ΡˆΠΊΠΎΠΉ. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = x2 + 1, ΠΎΠΏΠΈΡ€Π°ΡΡΡŒ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=x2 (Ρ‰Π΅Π»Ρ‡ΠΎΠΊ ΠΌΡ‹ΡˆΠΊΠΎΠΉ). ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = Ρ…2 + 6Ρ… + 8 являСтся ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π°, ΠΈ построим Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=(x — m)2 являСтся ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»ΠΎΠΉ с Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (m; 0).

Β«ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈΒ» — Как ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ? НаиболСС СстСствСнно Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ зависимости ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ². Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅: рисунки,… Π—Π°Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ? Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π§Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ²? РассматриваСм ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Π°Ρ…: ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅,…

Β«ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉΒ» — ΠžΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ эскиз Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Найти асимптоты Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅. Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ. ΠΠ°Π·Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ убывания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π‘Π°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° учащихся. Π Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ знания. Π£Ρ€ΠΎΠΊ закрСплСния ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°. ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ свои умСния. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ максимума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Β«Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ с ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΌΒ» — ΠžΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈ «ниТнюю» Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π² Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΡŽΡŽ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ. ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа. Бвойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = |x|. |x|. Числа. Алгоритм построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Алгоритм построСния. Ѐункция y= lΡ…l. Бвойства. Π‘Π°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°. Нули Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π‘ΠΎΠ²Π΅Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅Π»ΠΈΠΊΠΈΡ…. РСшСниС ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹.

Β«Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉΒ» — Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΠΈ. Если,Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ прямым ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ. Условия ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΈ пСрпСндикулярности Π΄Π²ΡƒΡ… прямых. Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ функция Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠ° Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ прямыС Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ‹ уравнСниями ΠΈ.

ВсСго Π² Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ 25 ΠΏΡ€Π΅Π·Π΅Π½Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΉ

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ рассмотрим вопрос ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Ο‰x , Π³Π΄Π΅ Ο‰ — Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число.

Для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = sin Ο‰x сравним эту Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ с ΡƒΠΆΠ΅ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π°ΠΌΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Ρƒ = sin x . ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… = x 0 функция Ρƒ = sin Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ Ρƒ 0 . Π’ΠΎΠ³Π΄Π°

Ρƒ 0 = sin x 0 .

ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅ΠΌ это ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, функция Ρƒ = sin Ο‰x ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… = x 0 / Ο‰ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρƒ 0 , Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ функция Ρƒ = sin Ρ… ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… = x 0 . А это ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция Ρƒ = sin Ο‰x повторяСт свои значСния Π² Ο‰ Ρ€Π°Π· Ρ‡Π°Ρ‰Π΅, Ρ‡Π΅ΠΌ функция Ρƒ = sin x . ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = sin Ο‰x получаСтся ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ «ΡΠΆΠ°Ρ‚ия» Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = sin x Π² Ο‰ Ρ€Π°Π· вдоль оси Ρ….

НапримСр, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = sin 2Ρ… получаСтся ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ «сТатия» синусоиды Ρƒ = sin x Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅ вдоль оси абсцисс.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = sin x / 2 получаСтся ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ «растяТСния» синусоиды Ρƒ = sin Ρ… Π² Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π° (ΠΈΠ»ΠΈ «сТатия» Π² 1 / 2 Ρ€Π°Π·Π°) вдоль оси Ρ….

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ функция Ρƒ = sin Ο‰x повторяСт свои значСния Π² Ο‰ Ρ€Π°Π· Ρ‡Π°Ρ‰Π΅, Ρ‡Π΅ΠΌ функция
Ρƒ = sin x , Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Π΅Π΅ Π² Ο‰ Ρ€Π°Π· мСньшС ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = sin x . НапримСр, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = sin 2Ρ… Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2Ο€ / 2 = Ο€ , Π° ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = sin x / 2 Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ο€ / x / 2 = 4Ο€ .

Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΠ½ΠΎ провСсти исслСдованиС повСдСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = sin Π°x Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ просто ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Π² ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ΅ Maple :

Аналогично строятся Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ². На рисункС прСдставлСн Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = cos 2Ρ… , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ получаСтся ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ «сТатия» косинусоиды Ρƒ = cos Ρ… Π² Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π° вдоль оси абсцисс.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = cos x / 2 получаСтся ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ «растяТСния» косинусоиды Ρƒ = cos Ρ… Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅ вдоль оси Ρ….

На рисункС Π²Ρ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = tg 2x , ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ «сТатиСм» тангСнсоиды Ρƒ = tg x Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅ вдоль оси абсцисс.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = tg x / 2 , ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ «растяТСниСм» тангСнсоиды Ρƒ = tg x Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅ вдоль оси Ρ….

И, Π½Π°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†, анимация, выполнСнная ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠΎΠΉ Maple:

УпраТнСния

1. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ пСрСсСчСния этих Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² с осями ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Ρ‹ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

Π°). y = sin 4x / 3 Π³). y = tg 5x / 6 ΠΆ). y = cos 2x / 3

Π±). Ρƒ= cos 5x / 3 Π΄). Ρƒ = ctg 5x / 3 Π·). Ρƒ= ctg x / 3

Π²). y = tg 4x / 3 Π΅). Ρƒ = sin 2x / 3

2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Ρ‹ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρƒ = sin (Ο€Ρ…) ΠΈ Ρƒ = tg ( Ο€Ρ… / 2 ).

3. ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π²Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ всС значСния ΠΎΡ‚ -1 Π΄ΠΎ +1 (Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ эти Π΄Π²Π° числа) ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ пСриодичСски с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ 10.

4 *. ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π²Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ всС значСния ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ 1 (Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ эти Π΄Π²Π° числа) ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ пСриодичСски с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Ο€ / 2 .

5. ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π²Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ всС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ пСриодичСски с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ 1.

6 *. ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π²Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ всС ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния ΠΈ Π½ΡƒΠ»ΡŒ, Π½ΠΎ Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ пСриодичСски с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ 5.

Как ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ $y = \\cos 2x$?

Подсказка: Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄, Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ сдвиг для Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ пСриодичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ нСсколько Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°. НайдитС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΏΡ€ΠΈ $x = 0$, $x = \dfrac{\pi }{4}$, $x = \dfrac{\pi }{2}$, $x = \dfrac{{3\pi}} {4}$, $x = \pi $. ЗанСситС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ постройтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄, Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг, Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ сдвиг ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΠ°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°:
ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄: ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΈΠΊΠ° ΠΊ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌΡƒ (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚ любой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ совпадСния).
Амплитуда: Амплитуда β€” это высота ΠΎΡ‚ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Π΄ΠΎ ΠΏΠΈΠΊΠ° (ΠΈΠ»ΠΈ Π΄ΠΎ Π²ΠΏΠ°Π΄ΠΈΠ½Ρ‹). Или ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ высоту ΠΎΡ‚ самой высокой Π΄ΠΎ самой Π½ΠΈΠ·ΠΊΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… Π½Π° $2$.
Π€Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг: Π€Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, насколько функция смСщСна ΠΏΠΎ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ ΠΎΡ‚ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ полоТСния.
Π‘Π΄Π²ΠΈΠ³ ΠΏΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΈ: Π‘Π΄Π²ΠΈΠ³ ΠΏΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, насколько функция смСщСна ΠΏΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΈ ΠΎΡ‚ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ полоТСния.

ΠŸΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΡˆΠ°Π³ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚:
Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ $a\cos\left( {bx — c} \right) + d$, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄, Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ сдвиг.
Π‘Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ $y = \cos 2x$ с $a\cos \left( {bx — c} \right) + d$ ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ $a,b,c$ ΠΈ $d$.
$a = 1$, $b = 2$, $c = 0$ ΠΈ $d = 0$.
НайдитС Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ $\left| Π° \ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ|$.
Π—Π΄Π΅ΡΡŒ $a = 1$.
Амплитуда, $\left| Π° \ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ| = 1$.
ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ $\dfrac{{2\pi }}{{\left| Π± \ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ|}}$.
ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄: $\dfrac{{2\pi}}{{\left| b \right|}}$
Π—Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ $b$ Π½Π° $2$ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ для ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π°.
ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄: $\dfrac{{2\pi}}{{\left| 2 \справа|}}$
ΠΠ±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ β€” это расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ числом ΠΈ Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΌ.
РасстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ $0$ ΠΈ $2$ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ $2$.
ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄: $\dfrac{{2\pi }}{2}$
ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ $2$.
ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄: $\dfrac{{\not{2}\pi }}{{\not{2}}}$
Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ $\pi $ Π½Π° $1$.
ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄: $\pi $
НайдитС Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ $\dfrac{c}{b}$.
Π€Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎ $\dfrac{c}{b}$.
Π€Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг: $\dfrac{c}{b}$
Π—Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ значСния $c$ ΠΈ $b$ Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ для Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ сдвига.
Π€Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг: $\dfrac{0}{2}$
Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ $0$ Π½Π° $2$.
Π€Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг: $0$
НайдитС сдвиг ΠΏΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΈ $d$.
Π‘Π΄Π²ΠΈΠ³ ΠΏΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΈ: $0$
Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ список свойств тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
Амплитуда: $1$
ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄: $\pi $
Π€Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг: $0$($0$ Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ)
Π’Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ сдвиг: $0$
Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Π΅ΠΌ нСсколько Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°.
НайдитС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ $x = 0$.
Π—Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ Π² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ $x$ Π½Π° $0$.
$f\Π²Π»Π΅Π²ΠΎ( 0 \Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ) = \cos \Π²Π»Π΅Π²ΠΎ( {2\Π²Π»Π΅Π²ΠΎ( 0 \Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ)} \Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ)$
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ $2$ Π½Π° $0$.
$f\left( 0 \right) = \cos \left( 0 \right)$
Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ $\cos \left( 0 \right)$ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ $1$.
$ \Rightarrow f\left( 0 \right) = 1$
ΠžΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚: $1$.
НайдитС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ $x = \dfrac{\pi }{4}$.
Π—Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ Π² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ $x$ Π½Π° $\dfrac{\pi }{4}$.
$ \Rightarrow f\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {2\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right)} \right )$
ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ $2$.
Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ $2$ ΠΈΠ· $4$.
$ \Rightarrow f\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {2\left( {\dfrac{\pi }{{2\left( 2 \right) }}} \right)} \right)$
ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ.
$ \Rightarrow f\left( {\dfrac{\pi} {4}} \right) = \cos \left( {\not{2}\left({\dfrac{\pi}}{{2 \times \ not{2}}}} \right)} \right)$
ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
$ \Rightarrow f\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\dfrac{\pi }{2}} \right)$
Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ $\ ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ \left( {\dfrac{\pi }{2}} \right)$ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ $0$.
$ \Rightarrow f\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = 0$
ΠžΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚: $0$.
Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ $x = \dfrac{\pi }{2}$.
Π—Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ Π² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ $x$ Π½Π° $\dfrac{\pi }{2}$.
$ \Rightarrow f\left( {\dfrac{\pi} {2}} \right) = \cos \left( {2\left({\dfrac{\pi} {2}} \right)} \right )$
ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ $2$.
$ \Rightarrow f\left( {\dfrac{\pi} {2}} \right) = \cos \left( {\not{2}\left( {\dfrac{\pi}}{{\not{2 }}}} \справа)} \справа)$
ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
$ \Rightarrow f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = \cos \left( \pi \right)$
ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠΏΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ», найдя ΡƒΠ³ΠΎΠ» с эквивалСнтными тригономСтричСскими значСниями Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚.
Π‘Π΄Π΅Π»Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ косинус ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅Π½ Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅.
$ \Rightarrow f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = — \cos \left( 0 \right)$
Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ $\cos \left( 0 \right)$ составляСт $1$.
$ \Rightarrow f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = — 1 \times 1$
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ $-1$ Π½Π° $1$.
$ \Rightarrow f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = — 1$
ΠžΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚: $ — 1$.
ΠžΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΆΠ΅, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ $x = \dfrac{{3\pi }}{4}$.
Π—Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ $x$ Π½Π° $\dfrac{{3\pi }}{4}$ Π² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ.
$ \Rightarrow f\left( {\dfrac{{3\pi}}{4}} \right) = \cos \left( {2\left( {\dfrac{{3\pi}}}{4}} \right)} \right)$
ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ $2$.
$ \ Rightarrow f \ left ( {\ dfrac {{3 \ pi}} {4}} \ right) = \ cos \ left ( {2 \ left ( {\ dfrac {{3 \ pi}} {{2 \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ( 2 \Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ)}}} \Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ)} \Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ)$
ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ.
$ \Rightarrow f\left( {\dfrac{{3\pi}}{4}} \right) = \cos \left( {\not{2}\left({\dfrac{{3\pi}} {{2 \cdot \not{2}}}} \right)} \right)$
ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
$ \Rightarrow f\left( {\dfrac{{3\pi}}{4}} \right) = \cos \left({\dfrac{{3\pi}}{2}} \right)$
ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠΏΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ», найдя ΡƒΠ³ΠΎΠ» с эквивалСнтными тригономСтричСскими значСниями Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅.
$ \Rightarrow f\left( {\dfrac{{3\pi}}{4}} \right) = — \cos \left({\dfrac{\pi}{2}} \right)$
Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ $\cos \left( {\dfrac{\pi }{2}} \right)$ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ $0$.
$ \Rightarrow f\left( {\dfrac{{3\pi}}{4}} \right) = 0$
ΠžΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚: $0$.
НайдитС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ $x = \pi $.
Π—Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ Π² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ $x$ Π½Π° $\pi $.
$ \Rightarrow f\left( \pi \right) = \cos \left( {2\left( \pi \right)} \right)$
$2\pi $ β€” это ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚, поэтому Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° $0$.
$ \Rightarrow f\left( \pi \right) = \cos \left( 0 \right)$
Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ $\cos \left( 0 \right)$ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ $1$.
$ \Rightarrow f\left( \pi \right) = 1$
ΠžΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚: $1$.
Бписок Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅.

}{frac
$x$ $f\left( x \right)$
$0$ $1$pi
$0 $
$\dfrac{\pi }{2}$ $ — 1$
$\dfrac{{3\pi }}{4}$ $0$
3 $01143 9\ ΠΏΠΈ $ $1 $

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄, Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг, Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ сдвиг ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.
Амплитуда: $1$
ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄: $\pi $
Π€Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг: $0$($0$ Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ)
Π’Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ сдвиг: $0$

$x$ $f\left( x \right ) $
$ 0 $ $ 1 $
$ \ dfrac {\ pi} {4} $ $ 0 $
$ \ DFRAC {\ PI $
$ \ DFRAC {\ PI {\ PI? 1$ 9ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: 04 $\cos 2x$ ΠΈ $2\cos x$ β€” ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹.
$2\cos x$ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ косинусу ΡƒΠ³Π»Π° $x$. Он находится ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ $-2$ ΠΈ $2$.
$\cos 2x$ β€” косинус ΡƒΠ³Π»Π° $2x$. Π­Ρ‚ΠΎ Π² Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π° большС ΡƒΠ³Π»Π° $x$. Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ $\cos 2x$ находится ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ $-1$ ΠΈ $1$.

PinkMonkey.com-Π£Ρ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠ΅ пособиС ΠΏΠΎ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ — 5.4 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

PinkMonkey.com-Π£Ρ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠ΅ пособиС ΠΏΠΎ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ — 5.4 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ бСсплатный мСсяц Amazon Prime ΠΏΠΎ запросу!

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°ΠΉΡ‚Π΅ дСньги Π·Π° участиС Π² опросах! 5-75 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€ΠΎΠ² БША Π·Π° опрос

ВСхасскоС бСзопасноС Π²ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ β€” всСго 25 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€ΠΎΠ²

Услуга Π²Ρ‹Π΅Π·Π΄Π° Π½Π° мСсто, РСшСния для ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΊΠΈ Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΎΠ²ΠΈΠΊΠΎΠ².

БСсплатная Π°Ρ€Π΅Π½Π΄Π° Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎΠΈΠ³Ρ€ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Gamefly!


ΠŸΠ Π˜ΠœΠ•Π  7

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = sin x ΠΈ y = cos 2x для 0 Β£ x Β£ 90 0 .
Из Π½Π΅Π³ΠΎ ‘x’, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ удовлСтворяСт ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ sin x = cos2x

РСшСниС:

ΠœΡ‹ строим Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, взяв значСния x ΠΈ y.

НаТмитС здСсь, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ
Рис. 29

РСшСниС y = sin x ΠΈ y = cos 2x опрСдСляСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ пСрСсСчСния Π΄Π²ΡƒΡ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Π² P ΠΈ Q Ρ‚.Π΅. x = 45 0 ΠΈ Ρ… = 225 0 .

ΠŸΠ Π˜ΠœΠ•Π  8

Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ графичСски ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos x = sin (x + 30 0 ) для 0 0 Β£ x Β£ 90 0 (Π’Π·ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» 15 0 )

РСшСниС: БоставляСм Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ x ΠΈ y = cos x ΠΈ y = sin (x + 30 0 ) ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ.

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *

Β© 2015 - 2019 ΠœΡƒΠ½ΠΈΡ†ΠΈΠΏΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΊΠ°Π·Ρ‘Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ‡Ρ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ «Валовская срСдняя школа»

ΠšΠ°Ρ€Ρ‚Π° сайта