Повторить дроби: Примеры и задачи с дробями

Как складывать дроби — Лайфхакер

19 ноября 2020 Ликбез Образование

Простое руководство для тех, кому нужно вспомнить школьную программу или помочь ребёнку.

Какие бывают дроби

Дробь — это число, которое состоит из одной или из нескольких равных частей единицы. Говоря упрощённо, это число обозначает часть чего‑либо, например один кусок торта, или целое с несколькими дополнительными частями, например один целый торт и ещё три куска другого.

Обыкновенные дроби состоят из числителя (вверху) и знаменателя (внизу), разделённых горизонтальной или косой чертой. Знаменатель отражает то, на сколько частей можно разделить наш условный торт, а числитель — сколько из них в наличии: ¹/₂, ³/₄, ⁹/₁₀.

Обыкновенные дроби бывают правильные и неправильные. У правильных числитель меньше знаменателя (⁵/₈, ⁷/₁₅), а у неправильных наоборот — больше (⁸/₅, ¹⁵/₇). Из неправильной дроби можно выделить целую и дробную части: 1³/₅, 2¹/₇. Получившееся число будет называться смешанной дробью.

Бывают ещё десятичные дроби. У них в знаменателе стоит степень числа 10, и они записываются по‑другому — через запятую: 0,5, 0,98. Хотя десятичные дроби можно представить и в виде обыкновенных: ⁵/₁₀, ⁹⁸/₁₀₀.

Как складывать дроби

Обыкновенные с одинаковыми знаменателями

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, просто суммируйте их числители, а знаменатели оставьте без изменений. Например: ¹/₅ + ²/₅ = ³/_5; ⁹/₆ + ¹⁰/₆ = ¹⁹/₆ = 3¹/₆.

Обыкновенные с разными знаменателями

Сначала нужно привести дроби к общему знаменателю. Для этого найдите наименьшее число, которое без остатка делится на оба ваших знаменателя.  Например, для дробей ⁵/₆ и ⁴/₉ это число 18.

Затем разделите его на ваши знаменатели — и вы получите так называемый дополнительный множитель (18 : 6 = 3, 18 : 9 = 2). Это число, на которое нужно умножить обе части дроби, чтобы привести её к новому знаменателю. То есть: ^{5 x 3}/_{6 x 3} + ^{4 x 2}/_{9 x 2} = ¹⁵/₁₈ + ⁸/₁₈.

Остаётся только повторить процесс из предыдущего пункта, сложив числители. В нашем примере получится ²³/_18, или 1⁵/₁₈, если выделить целую часть.

Смешанные дроби

Складывать такие дроби можно несколькими способами. Самый простой — суммировать целые и дробные части отдельно. Например, вам нужно сосчитать, сколько будет 3¹/₅ + 4²/₃. Сначала складываем 3 + 4 и получаем 7. Потом переходим к дробным частям: ¹/₅ + ²/₃ = ^{1 x 3}/_{5 x 3} + ^{2 x 5}/_{3 x 5} = ³/₁₅ + ¹⁰/₁₅ = ¹³/₁₅. А вместе — 7¹³/₁₅.

Если при сложении дробных частей получается неправильная дробь, из неё тоже нужно выделить целое и добавить к полученной ранее целой части.

Десятичные дроби

Первым делом нужно уравнять количество цифр после запятой. Например, вы хотите сложить числа 33,142 и 5,6. Добавьте два нуля ко второй дроби — 5,600. Теперь сложите между собой числа до запятой (33 + 5) и после (142 + 600). Получится 38,742.

Если вы ещё не очень хорошо освоили работу с десятичными дробями, суммируйте их столбиком, как обычные числа. Следите за тем, чтобы запятая была под запятой. Такой метод сложения облегчит вам подсчёты в том случае, когда после запятой появляется «лишняя» цифра.

Например, нужно найти сумму чисел 1,742 и 5,6. Вы уже знаете, что 1 + 5 = 6, а 742 + 600 = 1 342, но в столбике вы сразу увидите, что единицу из 1 342 нужно перенести, добавить к целой части. В итоге получится 7,342.

Читайте также 🧐

• 7 причин полюбить математику
• 11 книг, которые прокачают математическое мышление
• 10 увлекательных задач от советского математика

Обыкновенные дроби

Урок 3.

Подготовка к ОГЭ по математике 9 класс

Очень часто мы решаем задачи, в которых нельзя выполнить целочисленное деление. В таких ситуациях можно частное записать в виде дроби. На этом уроке мы вспомним, что обыкновенные дроби бывают правильными и неправильными, а также повторим основное свойство дроби, которое позволяет сокращать ее и приводить к новому знаменателю. Вспомним, как неправильную дробь можно представить в виде смешанной или в виде целого числа, а также как смешанную дробь можно представить в виде неправильной. Освежив в памяти правила выполнения действий над обыкновенными дробями, мы применим их при вычислении значений выражений.

Конспект урока «Обыкновенные дроби»

Вопросы занятия:

·  повторить понятие «обыкновенная дробь», виды обыкновенных дробей;

·  повторить основное свойство дроби;

·  вспомнить, как неправильную дробь можно представить в виде смешанной или целого числа, а также как смешанную дробь можно представить в виде неправильной;

·  повторить порядок выполнения действий над обыкновенными дробями.

 Материал урока

Мы ранее рассматривали случаи, когда нельзя выполнить целочисленное деление. В таких ситуациях можно частное записать в виде дроби. Делимое тогда называют числителем, а делитель — знаменателем. Отделяет их друг от друга черта дроби.

Как вам известно выделяют правильные и неправильные обыкновенные дроби. Напомним их отличия.

Напомним основное свойство дроби.

Числитель и знаменатель дроби можно умножать и делить на одно и тоже число, при этом значение дроби останется тем же.

Определение.

Умножение числителя и знаменателя на некоторое число называют приведением к новому знаменателю. Это позволяет приводить дроби к общему знаменателю.

Обычно дроби приводят к наименьшему общему знаменателю. Он равен наименьшему общему кратному знаменателей данных дробей.

Определение.

Процесс деления числителя и знаменателя на некоторое число мы привыкли называть сокращением.

Обычно сократимую дробь сокращают на наибольший общий делитель числителя и знаменателя. Тем самым в итоге получают несократимую дробь. И к такому виду принято приводить все дроби, полученные в результате вычислений, прежде чем записать ответ. Дробь является несократимой, если числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами.

Пример.

А теперь сократим дроби.

Пример.

Вам хорошо известно, что у любой неправильной дроби можно выделить целую часть.

Напомним, как это можно сделать.

Можно разделить числитель на знаменатель с остатком.

Частное будет целой частью, остаток — числителем дробной части, а исходный знаменатель — знаменателем дробной части.

Так из неправильной дроби мы получим смешанную.

Пример.

Далее вспомним правила сравнения обыкновенных дробей.

Если же у дробей разные числители и разные знаменатели, то пользуясь основным свойством дроби их можно привести или к равным знаменателям, или к равным числителям.

В работе с дробями нужно уметь не только выделять целую часть у неправильных дробей, а ещё и представлять смешанные дроби в виде неправильных. Напомним, как это можно сделать.

Для этого в числитель записывают произведение целой части и знаменателя, увеличенного на числитель исходной дроби. Ну, а знаменатель оставляют тем же.

Пример.

Далее подробнее поговорим о выполнении арифметических действий с дробями.

Складывая дроби с одинаковыми знаменателями, в числитель записываем сумму числителей, а знаменатель оставляем тем же.

Если же нужно сложить дроби с разными знаменателями, предварительно их нужно привести к общему и сложить полученные дроби.

Пример.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями проводят по аналогичному правилу. В числитель записывают разность числителей, а знаменатель оставляют тем же.

Для вычитания дробей с разными знаменателями, их сначала нужно привести к общему знаменателю, а затем вычислить разность полученных дробей.

Пример.

Теперь поговорим об умножении дробей.

Чтобы умножить дробь на число нужно только числитель умножить на это число, а знаменатель оставить тем же.

Произведением двух дробей является дробь, у которой числитель равен произведению числителей исходных дробей, а знаменатель — произведению знаменателей исходных дробей.

К тому же вам известно, что, если среди дробей множителей есть смешанные дроби, то их нужно предварительно представить в виде неправильных.

Пример.

А теперь самое время вспомнить понятие взаимно обратных чисел.

Определение.

Взаимно обратными называют 2 числа, произведение которых равно единице.

Например,

Вернёмся к действиям с дробями и рассмотрим последнее — деление дробей.

Прежде чем приступить к делению, смешанные дроби так же нужно представлять в виде неправильных, и далее пользоваться таким правилом.

Знак деления нужно заменить умножением и дробь-делитель заменить обратной ей дробью. А далее следовать по правилу умножения дробей.

Пример.

Пример.

Итоги урока

Подводя итоги урока, вспомним, какие вопросы мы на нём осветили.

Мы вспомнили, что обыкновенные дроби бывают правильными и неправильными, а также повторили основное свойство дроби, которое позволяет сокращать дроби и приводить их к новому знаменателю.

Вспомнили, как неправильную дробь можно представить в виде смешанной или в виде целого числа, а также как смешанную дробь можно представить в виде неправильной.

И, освежив в памяти правила выполнения действий над обыкновенными дробями, мы применили их при вычислении значений выражений.

Предыдущий урок 2 Целые числа

Следующий урок 4 Десятичные дроби

Получите полный комплект видеоуроков, тестов и презентаций Подготовка к ОГЭ по математике 9 класс

Чтобы добавить комментарий зарегистрируйтесь или войдите на сайт

Повторяющееся десятичное число в дробь — этапы преобразования, хитрости, примеры

Очень легко преобразовать завершающее десятичное число в дробное, но как преобразовать повторяющееся десятичное число в дробное? Повторяющиеся десятичные числа — это десятичные числа, которые не заканчиваются после конечного числа цифр, и в этих числах одна или несколько цифр повторяются снова и снова.

Например, 34,56565656… Повторяющееся преобразование десятичной дроби в дробную можно выполнить, выполнив несколько простых шагов, приведенных ниже.

1.	Как преобразовать повторяющуюся десятичную дробь в дробь?
2.	Трюк с повторением десятичной дроби
3.	Повторение таблицы десятичной дроби
4.	Часто задаваемые вопросы о повторении десятичной дроби

Как преобразовать повторяющуюся десятичную дробь в дробь?

Повторяющиеся или повторяющиеся десятичные числа — это такие десятичные расширения, которые не заканчиваются или не заканчиваются после определенного количества цифр. Такие числа имеют бесконечное количество знаков после запятой. И в этих цифрах есть повторяющийся узор.

Как правило, десятичные числа можно преобразовать в дроби путем деления числа в степени 10, равной количеству знаков после запятой. Например, 1,5 = 15/10 = 3/2. Но с повторяющимися десятичными знаками невозможно подсчитать количество знаков после запятой, так как оно бесконечно. Итак, есть несколько конкретных шагов, которые необходимо выполнить, чтобы преобразовать повторяющуюся десятичную дробь в дробь. Повторяющиеся шаги преобразования десятичной дроби в дробную часть приведены ниже:

• Шаг 1: Найдите повторяющиеся цифры в заданном десятичном числе.
• Шаг 2: Приравняйте десятичное число к x или любой другой переменной.
• Шаг 3: Поместите повторяющиеся цифры слева от десятичной точки, умножив уравнение, полученное на шаге 2, на степень 10, равную количеству повторяющихся цифр. Таким образом, вы получите еще одно уравнение.
• Шаг 4: Вычтите уравнение, полученное на шаге 2, из уравнения, полученного на шаге 3.
• Шаг 5: Упростите, чтобы получить ответ.

Давайте рассмотрим пример, чтобы лучше понять преобразование повторяющейся десятичной дроби в дробь. Преобразуйте 0,77777… в дробь.

Шаг 1: Мы можем заметить, что 7 повторяется в заданном десятичном числе.

Шаг 2: Пусть x = 0,7777…

Шаг 3: Имеется только 1 повторяющаяся цифра, поэтому умножьте это уравнение на 10. Получаем 10x = 7,7777…

Шаг 4: Вычтем x = 0,7777. .. из 10х = 7,7777… Получим 9х = 7.

Шаг 5: х = 7/9. Следовательно, 0,7777… = 7/9.

Когда мы рассматриваем преобразование повторяющихся десятичных чисел в дроби, возникают два типа повторяющихся чисел. Они приведены ниже:

• Числа, содержащие только повторяющиеся цифры, например, 0,222…, 0,999…, 0,787878… и т. д.
• Многозначные числа, например, 2,7646464…, 98,735735735… и т. д.

Мы уже обсуждали, как преобразовать первый тип повторяющихся десятичных дробей в дроби. Теперь давайте преобразуем многозначное повторяющееся десятичное число до дроби . Преобразуйте 3,989898… в дробь.

Шаг 1: Повторяющиеся цифры в заданном десятичном числе равны 98.

Шаг 2: Пусть x = 3,989898…

Шаг 3: Поскольку есть две повторяющиеся цифры, умножьте приведенное выше уравнение на 100. Мы получим , 100x = 398,989898…

Шаг 4: Вычтем x = 3,989898… из 100x = 398,989898… Получим 99x = 395.

Шаг 5: x = 395/99. Следовательно, 3,989898… = 395/99.

Возьмем еще один пример, в котором нам нужно составить три уравнения, чтобы преобразовать число в дробь. Преобразуйте 2,7646464… в дробь.

Сначала приравняем его к переменной x. Итак, x = 2,7646464… Теперь повторяющиеся цифры равны 64. Итак, давайте умножим это уравнение на 10 так, чтобы у нас были повторяющиеся цифры после запятой. Отсюда следует, что 10x = 27,6464…

10x = 27,6464… (уравнение 1)

Теперь давайте умножим x = 2,7646464… на 1000, чтобы у нас была десятичная точка справа от повторяющихся цифр. .

1000x = 2764,6464… (уравнение 2)

Вычтем уравнение 1 из уравнения 2, получим,

1000x — 10x = (2764,6464. ..) — (27,6464…)

2 9930x =

х = 2737/990

Следовательно, 2,7646464… = 2737/990.

Повторение трюка с десятичной дробью

Чтобы преобразовать повторяющуюся десятичную дробь в форму дроби, достаточно просто записать повторяющиеся цифры в числителе одного и того же числа девяток. Некоторые примеры повторения десятичной дроби приведены ниже:

1. 0,444… = 4/9 (поскольку есть только 1 повторяющаяся цифра 4, поэтому в знаменателе будет только одна 9)
2. 0,787878… = 78/99 (поскольку есть 2 повторяющиеся цифры 7 и 8, значит дважды 9, т.е. 99 ​​будет в знаменателе)
3. 0,999… = 9/9 = 1

Обратите внимание, что этот трюк применим только к повторяющимся десятичным дробям только с повторяющимися цифрами. В данном числе не должно быть других цифр. В этом случае нам нужно использовать повторяющиеся шаги преобразования десятичных дробей в дробные, описанные выше.

Повторение таблицы десятичных дробей

Таблица повторяющихся десятичных дробей поможет вам получить дробные значения некоторых часто используемых повторяющихся десятичных дробей. Вы можете попытаться преобразовать повторяющиеся десятичные дроби (написанные слева) в дроби, а затем использовать приведенную ниже таблицу, чтобы проверить свои ответы.

Статьи по теме

Проверьте эти интересные статьи, связанные с концепцией повторения десятичной дроби в математике.

• Преобразование десятичной дроби в дробную
• Повторяющееся десятичное число
• Что такое 0,6, повторяющееся как дробь?
• Что такое 0,4, повторяющееся как дробь?
• Что такое 0,3, повторяющееся как дробь?

Часто задаваемые вопросы о повторении десятичной дроби

Что такое преобразование повторяющейся десятичной дроби в дробь?

Преобразование повторяющегося десятичного числа в дробь означает нахождение дробного эквивалента повторяющегося или повторяющегося десятичного представления. Мы можем легко преобразовать дробь в повторяющуюся десятичную, разделив числитель на знаменатель. Но чтобы преобразовать повторяющуюся десятичную дробь в дробь, нам нужна определенная процедура.

Как преобразовать повторяющуюся десятичную дробь в дробь?

Чтобы заменить повторяющуюся десятичную дробь, выполните шаги, указанные ниже:

• Определите набор повторяющихся цифр в заданном десятичном числе.
• Составьте два уравнения: одно с десятичной точкой слева от повторяющихся цифр, а другое с десятичной точкой справа от первого набора повторяющихся цифр.
• Для этого приравняйте данное число к любой переменной и умножьте уравнение на подходящую степень 10.
• После этого мы вычитаем меньшее уравнение из большего, чтобы получить дробный эквивалент заданной повторяющейся десятичной дроби.

Как преобразовать непрерывающееся повторяющееся десятичное число в дробь?

Неконечные повторяющиеся десятичные дроби и повторяющиеся десятичные дроби — это одно и то же, поскольку все повторяющиеся десятичные дроби также являются неконечными. Чтобы преобразовать непрерывающуюся повторяющуюся десятичную дробь в дробь, нам нужно выполнить те же шаги, что и при преобразовании повторяющейся десятичной дроби в дробь.

Что такое 0,22… Повторение десятичной дроби?

В заданном числе 0,22… есть одна повторяющаяся цифра, равная 2. Таким образом, используя трюк с повторяющейся десятичной дробью, мы знаем, что 0,22… можно записать как 2/9.

Как преобразовать повторяющуюся десятичную дробь в дробь?

Ниже приведены шаги для преобразования повторяющейся десятичной дроби в дробь:

• Определите повторяющиеся цифры в заданном числе.
• Приравнять число к любой переменной.
• Умножьте обе части уравнения на степень 10 так, чтобы десятичная точка находилась справа от повторяющейся цифры.
• Если нужно, найдите еще одно уравнение, в котором все повторяющиеся цифры будут справа от запятой.
• Вычтите меньшее уравнение из большего уравнения.

Это метод преобразования повторяющейся десятичной дроби в дробь.

Преобразование повторяющихся десятичных дробей в дроби

При преобразовании повторяющихся десятичных дробей в дроби просто тщательно выполните следующие пять шагов.

Шаг 1:

Пусть x равно повторяющейся десятичной дроби, которую вы пытаетесь преобразовать в дробь.

Шаг 2:

Просмотрите повторяющиеся десятичные числа, чтобы найти повторяющиеся цифры.

Шаг 3:

Поместите повторяющиеся цифры слева от десятичной точки.

Шаг 4:

Поместите повторяющиеся цифры справа от десятичной точки.

Шаг 5:

Используя два уравнения, которые вы нашли в шагах 3 и 4, вычтите левые части двух уравнений. Затем вычтите правые части двух уравнений

При вычитании убедитесь, что разница положительна для обеих сторон.

Теперь давайте потренируемся преобразовывать повторяющиеся десятичные дроби в дроби на двух хороших примерах.

Пример №1:

Какое рациональное число или дробь равно 0,55555555555

Шаг 1:

x = 0,55555555555

Шаг 2:

После обследования повторяющаяся цифра составляет 5.

Шаг 3:

. десятичной точки, вам нужно переместить десятичную точку на 1 разряд вправо.

Технически перемещение десятичной точки на одну позицию вправо осуществляется путем умножения десятичного числа на 10.

Когда вы умножаете одну сторону на число, вы должны умножить другую сторону на то же число, чтобы сохранить уравнение сбалансированный.

Таким образом, 10x = 5,555555555

Шаг 4:

Поместите повторяющиеся цифры справа от десятичной точки.

Еще раз посмотрите на уравнение в шаге 1. В этом примере повторяющаяся цифра уже справа, поэтому больше ничего не нужно делать.

X = 0,55555555555

Шаг 5:

Ваши два уравнения:

10x = 5,555555555

x = 0,5555555555

10x -x = 5,55555555555555

10x -x = 5,5555555555555

.0003

9x = 5

Разделение обеих сторон на 9.

x = 5/9

Пример № 2:

Какое рациональное число или дробь равна 1,04242424242

Шаг 1:

. 1.04242424242

Шаг 2:

После проверки повторяющаяся цифра будет 42.

Шаг 3:

Чтобы поместить повторяющуюся цифру ( 42 ) влево от десятичной запятой укажите на 3 позиции вправо.

Опять же, перемещение десятичной точки на три знака вправо осуществляется путем умножения десятичного числа на 1000.

Когда вы умножаете одну часть на число, вы должны умножить другую часть на то же число, чтобы уравнение оставалось сбалансированным

Таким образом, 1000x = 1042,42424242

Шаг 4:

Поместите повторяющиеся цифры справа от десятичной точки.

В этом примере повторяющаяся цифра не находится сразу справа от десятичной точки.

Посмотрите на уравнение в шаге 1 еще раз, и вы увидите, что между повторяющейся цифрой и десятичной точкой стоит ноль.

Для этого нужно переместить запятую на 1 разряд вправо.

Это выполняется путем умножения обеих сторон на 10.

10x = 10,4242424242

Шаг 5:

Ваши два уравнения:

1000x = 1042.42424242

10000 292424242424242424242424242424242424242424242424242424242424242424242424242424242424242424242424242н424242424242н424242424242н424242424242н. 10.42424242

990x = 1032

Разделите обе части на 990

x = 1032/990

Чтобы усвоить этот урок о преобразовании повторяющихся десятичных дробей в дроби, вам необходимо внимательно изучить два приведенных выше примера и попрактиковаться на других примерах.

Распространенные ошибки, которых следует избегать при преобразовании повторяющихся десятичных знаков в дроби

• Забыть поставить десятичную точку непосредственно перед повторяющейся цифрой (цифрами).


• При вычитании двух уравнений забывают вычесть меньшее из большего.


• Недостаточное отслеживание количества знаков, на которые была перемещена десятичная точка.


• Думая, что повторяющаяся цифра (цифры) равна 8, если десятичное число равно 0,08

1. Квадратичная формула: простые шаги

   26, 23 января 11:44

   Узнайте о квадратной формуле, дискриминанте, важных определениях, связанных с формулой, и приложениях.

   No related posts.