Правила решения линейных уравнений 7 класс: Основные правила математики с примерами. 7 класс Алгебра.

Основные правила математики с примерами. 7 класс Алгебра.

Основные правила математики с примерами. 7 класс Алгебра.

Содержание

• Уравнения. Равносильные уравнения. Свойства
• Линейное уравнение
• Одночлены и многочлены
• Формулы сокращенного умножения
• Степень. Свойства степени с целым показателем
• Функция. Область определения и область значений функции
• Линейная функция, её график и свойства
• Системы линейных уравнений с двумя переменными
• Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными
• Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки
• Решение систем линейных уравнений методом сложения

Уравнения. Равносильные уравнения. Свойства

Корень уравнения

• Корнем уравнения называют значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.
• Решить уравнение означает найти все его корни или убедиться, что их вообще нет. Также можно сказать, что решить уравнение — это значит найти множество его корней.

2 x  + 6 =36x = 15 —корень уравнения, поскольку2 · 15  + 6 =3636 = 36 —верное равенство.5x — 5x = 100 —не имеет корней, посколькуx(5 — 5)∥0 = 100  0 = 100  — неверно.

Равносильные уравнения

Два уравнения называют равносильными, если они имеют одно и тоже множество корней.

2x — 5 = 5 ≡равносильно 4x — 10 =10,поскольку x = 5 корень и для 1—го, и для 2—го уравнения.

 

Свойства уравнений

• Если к обеим частям данного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.

2x — 5 = 7 +52x — 5 + 5 = 7 + 52x = 12x = 12 : 2x = 6

• Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

2x — 5 =+5→ 72x = 7 + 52x =12x = 12 : 2x =6

• Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному

12x = 24  : 1212x :12 = 24 : 12x = 2.

x5 = 3  · 5×5 · 5  = 3 · 5x = 15

Линейное уравнение

Уравнение вида   , где — переменная,  и некоторые числа, называют линейным уравнением с одной переменной.

Значения и
Корни уравнения		-любое число	корней нет

2x = 0, 5y —3 = 12 — линейные уравненияx2 —4 = 0,  5x = 8 —нелинейные уравнения

Одночлены и многочлены

Одночлены

• Выражения, являющиеся произведениями чисел, переменных и их степеней, называют одночленами.

2x,  356x2y,  0,2a20,  b, 15 — одночлены.

• Одночлен, содержащий только один отличный от нуля числовой множитель, стоящий на первом месте, а все остальные множители которого — степени с разными основаниями, называют одночленом стандартного вида. К одночленам стандартного вида также относят числа, отличные от нуля, переменные и их степени.

2x,  356x2y,  0,2a20 — одночлены стандартного вида.

• Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена.

2x,  356x2y,  0,2a20.2,  356,  0,2 —коэффициенты.

• Одночлены, имеющие одинаковые буквенные части, называют подобными. Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных, входящих в него. Степень одночлена, являющегося числом, отличным от нуля, считают равной нулю.

2x2y3z ,  —15x2y3z,    0,5x2y3z —подобные.2x2y3z и  2x2y3 — не подобные.

• Нуль-одночлен степени не имеет.

Многочлены

• Выражение, являющееся суммой нескольких одночленов, называют многочленом.

2x + 3x2y

• Одночлены, из которых состоит многочлен, называют членами многочлена.

2x + 3x2y —многочлен;2x и  3x2y — его одночлены

• Одночлен является частным случаем многочлена. Считают, что такой многочлен состоит из одного члена.

 Умножение одночлена на многочлен

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Умножение многочлена на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен, можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить.

Формулы сокращенного умножения

Разность квадратов двух выражений

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы:

Произведение разности и суммы двух выражений

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений:

Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения:

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражении:

Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений

Формулы

позволяют «свернуть» трёхчлен в квадрат двучлена.

Трёхчлен, который можно представить в виде квадрата двучлена, называют полным квадратом.

Сумма и разность кубов двух выражений

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности:

Многочлен  называют неполным квадратом суммы.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы:

Многочлен   называют неполным квадратом разности.

Степень. Свойства степени с целым показателем

Свойства степени с целым показателем

Для любого и любых целых  выполняются равенства:

Для любых , и любого целого   выполняются равенства:

Функция. Область определения и область значений функции

Функция

Правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной можно найти единственное значение зависимой переменной, называют функцией, а соответствующую зависимость одной пeременной от другой — функциональной.
Обычно независимую переменную обозначают ,  зависимую обозначают  , функцию(правило) — .
Независимую переменную называют аргументом функции. Значение зависимой переменной   называют значением функции.
Тогда функциональную зависимость обозначают .
Значения, которые принимает аргумент, образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.

Способы задания функции

Описательный, табличный, с помощью формулы, графический.

График функции

Графиком функции называют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех и только тех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

Линейная функция, её график и свойства

• Функцию, которую можно задать формулой вида , где и  — некоторые числа, — независимая переменная, называют линейной.
• Графиком линейной функции является прямая.
• Линейную функцию, заданную формулой , где , называют прямой пропорциональностью.

Системы линейных уравнений с двумя переменными

 Уравнение с двумя переменными

Пару значений переменных, обращающую уравнение с двумя переменными в верное равенство, называют решением уравнения с двумя переменными.

Решить уравнение с двумя переменными — значит найти все его решения или показать, что оно не имеет решений.

Графиком уравнения с двумя переменными называют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех и только тех точек координатной плоскости, координаты которых (пары чисел) являются решениями данного уравнения.

Если некоторая фигура является графиком уравнения, то выполняются два условия:

•  все решения уравнения являются координатами точек, принадлежащих графику;
•  координаты любой точки, принадлежащей графику, — это пара чисел, являющаяся решением данного уравнения.

Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Графический метод решения системы уравнений заключается в следующем:

• построить в одной координатной плоскости графики уравнений, входящих в систему;
• найти координаты всех точек пересечения построенных графиков;
• полученные пары чисел и будут искомыми решениями.

Если графиками уравнений, входящих в систему линейных уравнении, являются прямые, то количество решений этой системы зависит от взаимного расположения двух прямых на плоскости:

• если прямые пересекаются, то система имеет единственное решение.
• если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решении.
• если прямые параллельны, то система решений не имеет.

Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки

Чтобы решить систему линейных уравнений методом подстановки, следует:

• выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую;
• подставить в уравнение системы вместо этой переменной выражение, полученное на первом шаге;
• решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;
• подставить найденное значение переменной в выражение, полученное на первом шаге;
• вычислить значение второй переменной;
• записать ответ.

Решение систем линейных уравнений методом сложения

Чтобы решить систему линейных уравнений методом сложения, следует:

• подобрать такие множители для уравнений, чтобы после преобразований коэффициенты при одной из переменной стали противоположными числами
• сложить почленно левые и правые части уравнений, полученных на первом шаге
• решить уравнение с одной переменной, полученной на втором шаге
• подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы;
• вычислить значение второй переменной;
• записать ответ.

Данная информация взята  из  УМК  А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир

виды, определение, способ решения, алгоритм, примеры

Линейное уравнение с одной переменной — общие сведения

С темой уравнений можно познакомиться на первых уроках алгебры. В школьном курсе предложено такое объяснение: уравнение является равенством с неизвестным, которое необходимо вычислить. Неизвестное, или переменную, принято обозначать с помощью латинских букв.

Определение 1

Уравнение является математическим равенством с одной или несколькими неизвестными величинами.

Значение неизвестных определяется так, чтобы при подстановке в уравнение оно обращало его в верное числовое равенство.

Рассмотрим следующее выражение:

2 + 4 = 6

Если посчитать значение левой части, уравнение станет верным числовым равенством, то есть:

6 = 6

Еще одно выражение:

2 + х = 6

Здесь имеется некая переменная х, которую нужно вычислить. Уравнение в этом случае станет справедливым равенством, если найденное значение х оправдает знак равенства. Тогда левая часть выражения станет равна правой части.

Специфика преобразований при работе с алгебраическими уравнениями состоит в том, чтобы оставить слева в выражении многочлен от неизвестных, а правую часть обратить в ноль.

Определение 2

Линейное уравнение — это уравнение, записанное в виде:

ах + b = 0,

где а и b являются действительными числами.

Корень уравнения, сколько их всего

Определение 3

Корень уравнения является таким числом, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает правую и левую части выражения.

Определение 4

Решить уравнение — определить все из возможных его корней, либо доказать их отсутствие.

Принципы поиска корней уравнения ах + b = 0:

• при а, отличном от нуля, уравнение имеет только один корень;
• когда а имеет нулевое значение, уравнение не имеет корней;
• если а и b равны нулю, тогда корнем уравнения является любое число.

Как решать, описание алгоритма

Правило 1

Правило переноса: если требуется перенести член из одной части уравнения в другую, то нужно изменить знак этого члена на противоположный.

Рассмотрим действие данного правила на примере:

х + 3 = 5

Заметим, что в уравнении имеется пара частей:

• (х + 3) является левой частью;
• 5 — это правая часть.

Переместим число 3 вправо, изменив его знак на противоположный:

х + 3 = 5

х = 5 – 3

х = 2

Выполним проверку:

2 + 3 = 5

В итоге получилось верное числовое равенство. Это значит, что корень определен правильно.

Разберем еще одно уравнение:

6х = 5х + 10

Переместим член 5х влево с заменой знака на противоположный:

6х – 5х = 10

После приведения подобных вычислим х:

х = 10

Правило 2

Правило деления: обе части любого уравнения допускается делить на одно и то же число.

Рассмотрим применение этого правила на практике:

4x = 8

Здесь при неизвестном записан числовой коэффициент в виде числа 4. Преобразуем уравнение так, чтобы числовой коэффициент при х стал равным единице. Для этого нужно поделить обе части уравнения на число 4:

Далее выполним сокращение дробей и найдем корень уравнения:

х = 2

Разберем вариант, когда перед неизвестной переменной стоит знак минуса:

-4х = 12

Выполним сокращение обеих частей уравнения на число -4:

х = -3

Примечание 1

Когда перед скобками стоит знак минуса, который необходимо исключить, следует изменить знаки внутри скобок на противоположные. В результате при вычислениях не будет допущена ошибка, что особенно важно при решении заданий на системы уравнений, примеров с разным количеством неизвестных.

Стандартный алгоритм решения линейных уравнений:

1. Раскрыть скобки при их наличии.
2. Сгруппировать члены с неизвестной переменной в одной части уравнения. Остальные члены должны остаться в другой части уравнения.
3. Привести подобные в обеих частях уравнения.
4. Решить уравнение вида aх = b, разделив обе части уравнения на числовой коэффициент a при неизвестном x.

Упростить решение задач на линейные уравнения можно методом использования следующей схемы:

Источник: resh.edu.ru

Примеры задач для 7 класса с объяснением

Задача 1

Найти корни уравнения:

6x + 1 =19

Решение

Перенесем единицу вправо, изменив знак на отрицательный:

6x = 19 — 1

В результате:

6x = 18

Далее разделим уравнение на число 6, которое является общим множителем:

x = 3

Ответ: 3

Задача 2

Требуется решить уравнение:

5(x-3) + 2 = 3(x-4) + 2x — 1 

Решение

В первую очередь избавимся от скобок:

5x — 15 + 2 = 3x — 12 + 2x — 1

Далее сгруппируем члены уравнения, руководствуясь стандартным алгоритмом решения линейных уравнений:

 5x — 3x — 2x = 0 — 12 — 1 + 15 — 2 

Затем следует привести подобные:

0x = 0

Ответ: x является любым числом.

Задача 3

Нужно вычислить неизвестную x:

Решение

Выполним вычисления по правилу деления:

Ответ: 

Задача 4

Найти решение уравнения: 

4(x + 2) = 6 — 7x

Выполним вычисления, руководствуясь стандартным алгоритмом решения линейных уравнений:

4x + 8 = 6 — 7x

4x + 7x = 6 — 8

11x = -2

x = -2 : 11

x = -0,18

Ответ: -0,18

Задача 5

Вычислить корни уравнения:

Решение

Выполним вычисления, руководствуясь стандартным алгоритмом решения линейных уравнений:

Задача 6

Решить линейное уравнение:

x + 7 = x + 4

Решение

В первую очередь избавимся от скобок:

5x — 15 + 2 = 3x — 2 + 2x — 1

Затем выполним группировку членов с неизвестными, а справа оставим свободные члены:

x — x = 4 — 7

Приведем подобные:

0 * x = -3

Ответ: данное уравнение не имеет решений.

Задача 7

Решить линейное уравнение:

2(x + 3) = 5 — 7x

Решение

Выполним вычисления, согласно стандартному алгоритму решения линейных уравнений:

2x + 6 = 5 — 7x

2x + 6x = 5 — 7

8x = -2

x = -2 : 8

x = -0,25

Ответ: -0,25

Линейные уравнения класса 7 и рабочие листы

Линейные уравнения

Правила решения линейного уравнения

Правила преобразования

Процедура решения линейного уравнения

Словесная задача для линейного уравнения

9 0002 Тест линейного уравнения

Рабочий лист линейного уравнения

Ответ Лист

Линейные уравнения

Уравнение, содержащее только одну переменную, имеющую степень 1, известно как линейное уравнение. Давайте посмотрим на некоторые примеры.

2p + 4 = 8, 5 − 3y = -7, ^2a ⁄ ₅ − 4 = 6

Все приведенные выше 3 линейных уравнения имеют только одну переменную и имеют мощность 1.

Правила решения линейного уравнения

Мы должны следовать определенным правилам, чтобы узнать значение переменной данного линейного уравнения, и правила приведены ниже.

1. Мы можем добавить одно и то же число к обеим частям уравнения
2. Мы можем вычесть одно и то же число из обеих частей уравнения
3. Мы можем умножить одно и то же ненулевое число на обе части уравнения
4. Мы можем разделить одно и то же ненулевое значение на обе части уравнения

Правила транспонирования

Член можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак. Давайте посмотрим на некоторые примеры.

Пример 1. 5b − 3 = 12

Приведенное выше линейное уравнение можно записать в виде

        => 5b = 12 + 3

Преобразование -3 из левой стороны в правую путем изменения знака на +3.

Пример 2. 5q + 5 = 19 − 2q

Приведенное выше линейное уравнение можно записать в виде

        => 5q + 2q = 19 − 5

. 5.

Точно так же мы транспонируем -2q из правой стороны в левую, изменив знак на +2q.

Процедура решения линейного уравнения

1. Упростите обе части, удалив групповые символы и собрав одинаковые члены
2. Удаление дробей путем умножения обеих частей на соответствующий коэффициент
3. Разместите все переменные члены на одной стороне и все постоянные члены на другой стороне
4. Сделать коэффициент переменной равным 1

Давайте посмотрим на некоторые примеры.

Пример 1. Решите 3m + 5 = 25 − 2m.

Раствор. 3m + 5 = 25 − 2m

        => 3m + 2m = 25 − 5

        => 5m = 20

        => m = 20 ÷ 5

        => m = 4

Пример 2. Решить 2(p − 1) = p + 12.

Решение. 2(p − 1) = p + 12

        => 2p − 2 = p + 12

        => 2p − p = 12 + 2

Пример 3. Решить 5n − ⁴ ⁄ ₅ = 20.

Решение. 5n − ⁴ ⁄ ₅ = 20

Умножьте обе части на 5.

        => 25n − 4 = 100

        => 25n = 100 + 4

        => 25n = 104

        => n = 104 ÷ 25

        = > n = 20 ⁴ ⁄ ₅

Словесная задача линейного уравнения

Проблема, сформулированная словами, известна как словесная задача. Решение словесной задачи состоит из двух шагов. Первый шаг — перевод слов задачи в алгебраическое уравнение. Второй шаг – решение уравнения. Давайте посмотрим на некоторые примеры.

Пример 1. Если к числу, умноженному на три раза, прибавить 7, то получится 28. Найдите число.

Раствор. Предположим, это число p.

В соответствии с данной текстовой задачей линейное уравнение будет иметь вид

        3p + 7 = 28

         => 3p = 28 − 7

        => 3p = 21

        => p = 21 ÷ 3

        => p = 7

Следовательно, число равно 7.

Пример 2. Найдите три последовательных нечетных числа, сумма которых равна 105.

Решение. Пусть наименьшее, нечетное число равно m.

Следующие два нечетных числа это m+2 и m+4.

По данной задаче со словом можно составить следующее линейное уравнение.

        m + m + 2 + m + 4 = 105

        => 3m + 4 = 105

        => 3m = 99 => m = 99 ÷ 3

        => m = 33

Следовательно, требуемые последовательные нечетные числа равны 33, 35 и 37.

Пример 3. Стоимость 3 тетрадей и 5 одинаковых ручек составляет рупий. 460. Если стоимость ноутбука составляет рупий. на 20 больше, чем ручка, тогда найдите стоимость каждой.

Раствор. Примем стоимость ручки = q

Тогда стоимость блокнота = q + 20

Итак, линейное уравнение будет

        3(q + 20) + 5q = 460

        => 3к + 60 + 5q = 460

        => 8q + 60 = 460

        => 8q = 400

        => q = 400 ÷ 8

        => q = 50

Следовательно, стоимость ручки и блокнота составляет рупий. 50 и рупий. 70 соответственно.

Тест линейного уравнения

Линейное уравнение — 1

Линейное уравнение — 2

Рабочий лист линейного уравнения

Рабочий лист линейного уравнения — 1

Рабочий лист линейного уравнения — 2

Рабочий лист линейного уравнения — 3

Лист ответов

Ответ на линейное уравнение Загрузить PDF-файл

Copyright © 2023 LetsPlayMaths. com. Все права защищены.
Электронная почта: [email protected]

Линейные уравнения — определения, формулы, графики, примеры

Линейное уравнение — это уравнение, в котором наивысшая степень переменной всегда равна 1. Оно также известно как уравнение с одной степенью. Стандартная форма линейного уравнения с одной переменной имеет вид Ax + B = 0. Здесь x — переменная, A — коэффициент, B — постоянная. Стандартная форма линейного уравнения с двумя переменными имеет вид Ax + By = C. Здесь x и y — переменные, A и B — коэффициенты, а C — константа.

1.	Что такое линейное уравнение?
2.	Формула линейного уравнения
3.	График линейных уравнений
4.	Линейные уравнения с одной переменной
5.	Линейные уравнения с двумя переменными
6.	Как решать линейные уравнения?
7.	Часто задаваемые вопросы о линейных уравнениях

Что такое линейное уравнение?

Уравнение, имеющее наивысшую степень 1, известно как линейное уравнение . Это означает, что ни одна переменная в линейном уравнении не имеет переменной, показатель которой больше 1. График линейного уравнения всегда образует прямую линию.

Линейное уравнение Определение: Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение, где каждый член имеет показатель степени 1, и когда это уравнение изображается на графике, оно всегда приводит к прямой линии. Вот почему оно называется «линейным» уравнением.

Существуют линейные уравнения с одной переменной и линейные уравнения с двумя переменными. Давайте научимся определять линейные уравнения и нелинейные уравнения с помощью следующих примеров.

Уравнения	Линейный или нелинейный
у = 8х — 9	Линейный
у = х 2 — 7	Нелинейный, степень переменной x равна 2
√у + х = 6	Нелинейный, степень переменной y равна 1/2
у + 3х — 1 = 0	Линейный
у 2 — х = 9	Нелинейный, степень переменной y равна 2

Формула линейного уравнения

Формула линейного уравнения — это способ выражения линейного уравнения. Это можно сделать разными способами. Например, линейное уравнение может быть выражено в стандартной форме, в форме точки пересечения или в форме точка-наклон. Теперь, если мы возьмем стандартную форму линейного уравнения, давайте узнаем, как оно выражается. Мы видим, что оно варьируется от случая к случаю в зависимости от количества переменных, и следует помнить, что наивысшая (и единственная) степень всех переменных в уравнении должна быть 1.

• Форма точки пересечения наклона линейного уравнения: y = mx + c (где m = наклон и c = точка пересечения с осью y)
• Точечная форма наклона линейного уравнения: y — y ₁ = m(x — x ₁ ) (где m = наклон и (x ₁ , y ₁ ) точка на прямой)

Примечание: Наклон линейного уравнения — это величина, на которую линия поднимается или опускается. Рассчитывается по формуле рост/бег. т. е. если (x ₁ , y ₁ ) и (x ₂ , y ₂ ) — любые две точки на прямой, то ее наклон вычисляется по формуле (y ₂ — y ₁ )/(x ₂ — x ₁ ).

Линейные уравнения в стандартной форме

Стандартная форма или общая форма линейных уравнений с одной переменной записывается как Ax + B = 0; , где A и B — действительные числа, а x — единственная переменная. Стандартная форма линейных уравнений с двумя переменными выражается как Ах + В = С; , где A, B и C — любые действительные числа, а x и y — переменные.

График линейных уравнений

График линейного уравнения с одной переменной x образует вертикальную линию, параллельную оси y, и наоборот, тогда как график линейного уравнения с двумя переменными x и y образует прямую линию. Построим график линейного уравнения с двумя переменными с помощью следующего примера.

Пример: Постройте график для линейного уравнения с двумя переменными, x — 2y = 2.

Построим график линейного уравнения, используя следующие шаги.

• Шаг 1: Данное линейное уравнение имеет вид x — 2y = 2.
• Шаг 2: Преобразуйте уравнение в форму y = mx + b. Это даст: y = x/2 — 1.
• Шаг 3: Теперь мы можем заменить значение x на другие числа и получить результирующее значение y для создания координат.
• Шаг 4: Когда мы подставляем x = 0 в уравнение, мы получаем y = 0/2 — 1, т. е. y = -1. Точно так же, если мы подставим значение x вместо 2 в уравнение y = x/2 — 1, мы получим y = 0,
.
• Шаг 5: Если мы заменим значение x на 4, мы получим y = 1. Значение x = -2 дает значение y = -2. Теперь эти пары значений (x, y) удовлетворяют заданному линейному уравнению y = x/2 — 1. Поэтому мы перечисляем координаты, как показано в следующей таблице.

х	0	2	4	-2
у	-1	0	1	-2

• Шаг 6: Наконец, мы наносим эти точки (4,1), (2,0), (0,-1) и (-2,-2) на график и соединяем точки в получить прямую линию. Так линейное уравнение изображается на графике.

Линейные уравнения с одной переменной

Линейное уравнение с одной переменной — это уравнение, в котором присутствует только одна переменная. Оно имеет форму Ax + B = 0, где A и B — любые два действительных числа, а x — неизвестная переменная, имеющая только одно решение. Это самый простой способ представить математическое утверждение. Это уравнение имеет степень, которая всегда равна 1. Линейное уравнение с одной переменной решается очень просто. Переменные разделяются и подводятся к одной стороне уравнения, а константы объединяются и подводятся к другой стороне уравнения, чтобы получить значение неизвестной переменной.

Пример: Решить линейное уравнение с одной переменной: 3x + 6 = 18.

Чтобы решить данное уравнение, подносим числа в правой части уравнения и сохраняем переменную в левая сторона. Это означает, что 3x = 18 — 6. Затем, когда мы решим для x, мы получим 3x = 12. Наконец, значение x = 12/3 = 4.

☛Также проверьте:

• Линейное уравнение В вопросах с одной переменной
• Словесные задачи по линейным уравнениям

Линейные уравнения с двумя переменными

Линейное уравнение с двумя переменными имеет вид Ax + By + C = 0, где A, B, C — действительные числа, а x и y — две переменные, каждая из которых имеет степень 1. Если мы рассмотрим две такие линейные уравнения, они называются одновременными линейными уравнениями. Например, 6x + 2y + 9 = 0 — это линейное уравнение с двумя переменными. Существуют различные способы решения линейных уравнений с двумя переменными, такие как графический метод, метод подстановки, метод перекрестного умножения, метод исключения и метод определителя.

☛Также проверьте: Рабочие листы линейных уравнений с двумя переменными

Как решать линейные уравнения?

Уравнение похоже на весы с одинаковыми весами с обеих сторон. Если мы прибавим или вычтем одно и то же число из обеих частей уравнения, оно останется верным. Точно так же, если мы умножаем или делим одно и то же число в обеих частях уравнения, это правильно. Мы подносим переменные к одной стороне уравнения, а константу к другой стороне, а затем находим значение неизвестной переменной. Это способ решения линейного уравнения с одной переменной. Давайте разберемся в этом с помощью примера.

Пример: Решите уравнение, 3x — 2 = 4.

Выполняем математические операции с левой (левой) и правой (правой) частями так, чтобы равновесие не нарушалось. Итак, давайте добавим 2 с обеих сторон, чтобы уменьшить LHS до 3x. Это не нарушит баланс. Новая левая сторона равна 3x — 2 + 2 = 3x, а новая правая сторона равна 4 + 2 = 6. Теперь давайте разделим обе части на 3, чтобы уменьшить левую часть до x. Таким образом, мы имеем х = 2 . Это один из способов решения линейных уравнений с одной переменной.

Советы по линейным уравнениям:

• Значение переменной, которая делает линейное уравнение верным, называется решением или корнем линейного уравнения.
• На решение линейного уравнения не влияет сложение, вычитание, умножение или деление одного и того же числа на обе части уравнения.
• График линейного уравнения с одной или двумя переменными всегда образует прямую линию.

☛ Статьи по теме:

• Введение в графику
• Линейный полином
• Калькулятор решения линейных уравнений

 

Примеры линейных уравнений

1. Пример 1: Сумма двух чисел равна 44. Если одно число на 10 больше другого, найдите числа, составив линейное уравнение.

   Подсказка: Эту задачу можно решить, написав линейное уравнение с одной переменной.

   Решение:

   Пусть это число равно x, поэтому другое число равно x + 10. Мы знаем, что сумма обоих чисел равна 44. Следовательно, линейное уравнение можно представить в виде x + x + 10 = 44. В результате получается 2x + 10 = 44. Теперь давайте решим уравнение, изолируя переменную с одной стороны и вводя константы с другой стороны. Это означает, что 2x = 44 — 10. Упрощая RHS, мы получаем 2x = 34, поэтому значение x равно 17. Это означает, что одно число равно 17, а другое число равно 17 + 10 = 27,

   Ответ: Следовательно, два числа 17 и 27.

2. Пример 2: Число, умноженное на шесть, равно 48. Найдите линейное уравнение, соответствующее ситуации, и найдите неизвестное число.

   Решение: Пусть неизвестное число равно x. Шесть раз это число равно 48. Это дает линейное уравнение 6x = 48. Таким образом, это линейное уравнение можно решить, чтобы найти значение x, которое является неизвестным числом. 6x = 48 означает, что x = 48/6 = 8,

   Ответ: Следовательно, неизвестное число равно 8.

3. Пример 3: Вычислите линейное уравнение для x: 5x — 95 = 75.

   Решение: Данное уравнение: 5x — 95 = 75.

   ⇒ 5x = 75 + 95

   ⇒ 5x = 170

   ⇒ x = 34

   Ответ: Следовательно, значение x равно 34.

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Есть вопросы по основным математическим понятиям?

Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, почему стоит математика, с нашими экспертами Cuemath

Запишитесь на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по линейным уравнениям

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о линейном уравнении

Что такое линейное уравнение? Объясните на примере.

Линейное уравнение — это уравнение, в котором наивысшая степень переменной всегда равна 1. Оно также известно как уравнение одной степени. Когда это уравнение изображается на графике, оно всегда приводит к прямой линии. По этой причине его называют «линейным уравнением». Существуют линейные уравнения с одной переменной, с двумя переменными, с тремя переменными и так далее. Вот несколько примеров линейных уравнений: 5x + 6 = 1, 42x + 32y = 60, 7x = 84 и т. д.

Какая формула линейного уравнения?

Формула линейного уравнения — это способ выражения линейного уравнения. Это может быть выражено в стандартной форме, в форме пересечения наклона или в форме точка-наклон. Используя форму пересечения наклона, линейное уравнение можно найти, используя y = mx + c, а используя форму точка-наклон, его можно найти, используя y — y ₁ = m (x-x ₁ ), где m равно наклон, c — точка пересечения с осью y, а (x ₁ , y ₁ ) — точка на прямой.

Почему линейное уравнение называют линейным?

Линейное уравнение называется линейным, потому что когда мы пытаемся построить график заданной линейной функции, получается прямая линия.

Как вы решаете линейные уравнения?

Мы можем решить линейное уравнение с одной переменной, переместив переменные в одну часть уравнения, а числовую часть — в другую. Например, x — 1 = 5 — 2x можно решить, переместив числовые части в правую часть уравнения, оставив переменные в левой части. Следовательно, мы получаем x + 2x = 5 + 1. Таким образом, 3x = 6. Это дает x = 2,

Могут ли линейные уравнения содержать дроби?

Да, линейные уравнения могут иметь дроби только до тех пор, пока знаменатель в дробной части является постоянной величиной. Переменные не могут быть частью знаменателя любой дроби в линейном уравнении.

Что такое линейные уравнения с одной переменной?

Линейное уравнение с одной переменной — это уравнение, в котором присутствует только одна переменная. Оно имеет форму Ax + B = 0, где A и B — любые два действительных числа, а x — неизвестная переменная, имеющая только одно решение. Например, 9x + 78 = 18 — линейное уравнение с одной переменной.

Как преобразовать линейное уравнение в стандартную форму?

Чтобы преобразовать линейное уравнение в стандартную форму, вам нужно переместить все переменные в одну часть уравнения, а константы в другую сторону, а затем переставить члены так, чтобы переменные находились в левой части, а константа на правой стороне.

Что такое линейные уравнения с двумя переменными?

Линейное уравнение с двумя переменными имеет вид Ax + By + C = 0, где A и B — коэффициенты, C — постоянный член, а x и y — две переменные, каждая со степенью 1 Например, 7x + 9y + 4 = 0 — линейное уравнение с двумя переменными. Если мы рассмотрим два таких линейных уравнения, они называются одновременными линейными уравнениями.

Чем квадратные уравнения отличаются от линейных уравнений?

Линейные уравнения не имеют степени, отличной от 1, в любом члене. Общая форма линейного уравнения выражается как Ax + By + C = 0, где A, B и C — любые действительные числа, а x и y — переменные. Принимая во внимание, что квадратные уравнения имеют по крайней мере один член, содержащий переменную, которая возведена во вторую степень. Общая форма квадратного уравнения выражается как ось ² + bx + c = 0. Другое различие между двумя типами уравнений заключается в том, что линейное уравнение образует прямую линию, а квадратное уравнение образует на графике параболу.