Правило формулы сокращенного умножения: Применение формул сокращённого умножения. Алгебра, 7 класс: уроки, тесты, задания.

Содержание

«ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ»

Тема консультации: «ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ.

РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ»

Дидактическая основа

Дидактической основой непрерывного курса математики «Учусь учиться» является дидактическая система деятельностного метода обучения «Школа 2000…». Ее главной особенностью является то, что знания не даются учащимся в готовом виде, а организуется их самостоятельное открытие детьми. Такой подход обеспечивает высокий уровень математической подготовки, развивает мышление учащихся, их способности, повышает интерес к изучению математики, обеспечивают личностные и метапредметные результаты образования, соответствующие ФГОС.

Содержание консультации

В соответствии с планированием учебного материала по курсу математики «Учусь учиться» для 7 класса в феврале продолжается работа с четвертой главой «Введение в теорию многочленов». Изучаются три пункта второго параграфа:

4.3.2. Разность квадратов;
4.3.3. Куб суммы и разности;
4.3.4. Сумма и разность кубов.
После чего начинается работа с четвертым параграфом «Разложение многочленов на множители», из которого изучаются пункты:
4.4.1. Вынесение общего множителя за скобки;
4.4.2. Способ группировки;
4.4.3. Формулы сокращенного умножения и разложение многочленов.

Основные содержательные цели

сформировать умение представлять разность квадратов, сумму и разность кубов в виде произведения и наоборот преобразовывать произведения многочленов определенного вида в разность квадратов, сумму и разность кубов с помощью соответствующих формул сокращенного умножения;
сформировать умение представлять куб суммы и разности в виде многочлена стандартного вида и наоборот преобразовывать многочлен определенного вида в куб суммы или разности с помощью соответствующей формулы сокращенного умножения;
сформировать умение применять формулы сокращенного умножения для алгебраических преобразований, связанных с умножением, и рационализации вычислений;
сформировать умение раскладывать многочлены на множители следующими способами: вынесением за скобки общего множителя, способом группировки, с помощью формул сокращенного умножения;
сформировать умение применять при разложении многочленов на множители различные вспомогательные приемы, такие как, перестановка слагаемых; представление члена многочлена в виде суммы или разности подобных ему членов; прибавление и вычитание одного и того же слагаемого, выделение полного квадрата;
сформировать умение применять разложение на множители для алгебраических преобразований, решений уравнений и рационализации вычислений.

Тематическое планирование

В соответствии с принципом минимакса дидактической системы деятельностного метода «Школа 2000…» организовать работу по данному учебнику возможно в условиях различных учебных планов образовательных учреждений. Поэтому тематическое планирование по изучению данного курса разработано в двух вариантах на 102 ч и на 136 ч. Вариант планирования, разработанный для 3 часов в неделю, обеспечивает выполнение государственного стандарта знаний, усвоение учебного содержания курса (по темам, обязательным для рассмотрения) и продвижение учащихся в развитии мышления, речи, познавательных интересов. При 4 часах в неделю содержание курса существенно расширяется.

Мы предлагаем Вам скачать тематическое планирование на 3 четверть (3 ч в неделю).

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт «Сохранить объект как.

..»)

Центр системно – деятельностной педагогики «Школа 2000…» рекомендует для работы по учебнику математики для 7 класса средней школы Л.Г. Петерсон, Д.Л. Абрарова, Е.В. Чутковой использовать по возможности 4 часа в неделю.

Мы предлагаем Вам скачать тематическое планирование на 3 четверть (4 ч в неделю).

(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт «Сохранить объект как…»)

Методические рекомендации к организации учебного процесса

Глава 4. Введение в теорию многочленов

§ 3. Формулы сокращенного умножения

П. 2. Разность квадратов

1) В данном пункте учащиеся знакомятся с двумя формулами сокращенного умножения – формулой произведения суммы и разности двух выражений и формулой разности квадратов, которые, по сути, являются одинаковыми равенствами, в которых поменяли местами правую и левую части.

Традиционно эта формула рассматривалась как одна – формула разности квадратов, что приводило к трудностям, возникающим у учащихся при умножении разности двух выражений на их сумму. Поэтому, чаще всего учителю приходилось регулярно использовать на уроках такой прием, как чтение данной формулы «в обратную сторону». Чтобы раз и навсегда показать учащимся, что любая из формул сокращенного умножения «работает» как справа налево, так и слева направо можно использовать материал данного пункта и специально обратить внимание учащихся на это. Можно пояснить учащимся, что для других «обратных» формул не используют отдельного названия, т.к. звучат их названия менее благозвучно, чем у формулы произведения разности и суммы двух выражений.
2) В качестве мотивации к выводу новых формул можно предложить учащимся вычислить

за 30 секунд. После того как они не справятся с этим заданием за указанное время, пояснить, что с помощью формулы сокращенного умножения, открытой сегодня им это легко удастся.

3) Для открытия данных формул учащимся предлагается записать произведение суммы и разности а и b как многочлен стандартного вида. После этого учащимся предлагается обобщить полученное равенство для всех произведений подобного вида и сформулировать правило умножения суммы двух выражений на их разность. Опираясь на полученную формулу, учащиеся формулируют, как можно найти разность квадратов двух выражений (№ 318). Эту работу они могут выполнять самостоятельно в группах или в парах.
4) Чтобы подготовить учащихся к открытию следует актуализировать с ними правило умножения многочленов и понятие степени с показателем 2, а также понятия «сумма» и «разность». Для этого можно использовать задания №№ 316–317.
5) Чтобы показать геометрический смысл данной формулы можно использовать предметные геометрические модели прямоугольника и квадрата, предложенные в учебнике. Необходимо вырезать, прикладывать и перемещать предметные модели либо использовать возможности анимации современной техники.

Это поможет учащимся с образным мышлением запомнить данные формулы.
6) Важно показать учащимся применение формул для рационализации вычислений (№№ 322, 337).
7) При 4-часовом планировании рекомендуется отвести больше времени на выполнение заданий более высокого уровня сложности (№№ 340–347).
8) Учащиеся применяют новые формулы для сокращения алгебраических дробей (№ 333), решения уравнений (№ 327, № 336), доказательства утверждений и тождеств (№№ 329, 334, 335). Для формирования умения применять формулы сокращенного умножения в учебнике и другие задания, которые предполагают решение задач с помощью уравнения (№ 339), сравнение значений выражений (№№ 342 – 343) и пр. Учитель выбирает из этих заданий те, которые считает целесообразным выполнить с учащимися.

9) При выполнении заданий на нахождение наибольшего и наименьшего значения выражений (№№ 345 – 346) следует вспомнить с учащимися необходимые свойства. Рекомендуется, после применения формулы произведения суммы выражений на их разность актуализировать, как изменяется разность при изменении ее компонентов.

Свойство разности «Если значение уменьшаемого увеличить, то значение разности увеличится» и подобные ему свойства известны учащимся с начальной школы. Кроме того, рекомендуется спросить, какое наименьшее значение может принимать квадрат любого выражения (нуля).

П. 3. Куб суммы и разности

1) В данном пункте учащиеся знакомятся с двумя формулами сокращенного умножения – формулой куба суммы и куба разности.

2) Для проблематизации можно предложить учащимся записать выражение

как многочлен стандартного вида, не используя правило умножения многочленов
3) Для открытия формулы куба суммы (разности) учащимся предлагается использовать задание № 377, в котором проедложены шаги по построению новой формулы. Рекомендуется сначала дать возможность учащимся составить план открытия нового знания самостоятельно. Имея опыт, построения формулы квадрата суммы и разности данная задача является для семиклассников посильной задачей.

4) Чтобы подготовить учащихся к открытию следует актуализировать с ними правило умножения многочленов и понятие степени с показателем 3, а также понятия «куб суммы» и «куб разности». Для этого можно использовать задания №№ 374–376.
5) Важно показать учащимся применение формул для рационализации вычислений (№№ 381 – 382).

6) Для формирования умения применять формулы куба суммы и разности в учебнике предлагается целый перечень заданий, которые предполагают доказательство тождеств, нахождение значений выражений, составление и решение уравнений. Учитель выбирает из них те задания, которые считает целесообразным выполнить со своими учениками.
7) После знакомства с формулами куба суммы и куба разности с учащимися следует обобщить, что теперь им известно как возводить двучлен во 2-ю и 3-ю степени и сообщить, что существуют формулы, позволяющие возводить двучлен в более высокую степень. Можно попросить одного из «сильных» учащихся сформулировать идею вывода подобных формул.

При 4-часовом планировании (либо в более подготовленных классах) рекомендуется познакомить учащихся с алгоритмом возведения двучлена в n–ю степень (№№ 399 – 400).

П.4. Сумма и разность кубов

1) В данном пункте учащиеся знакомятся с формулами суммы и разности кубов.
2) Для проблематизации можно предложить учащимся записать многочлены:

в виде произведения двух многочленов.
3) В связи с особенностями этих формул учащимся вряд ли удастся самостоятельно составить план открытия нового знания, поэтому учащимся предлагается использовать задание № 434, в котором даны шаги по построению новых формул.
4) Чтобы подготовить учащихся к открытию следует актуализировать с ними правило умножения многочленов и понятие степени с показателем 3, а также понятия «сумма кубов» и «разность кубов». Для этого можно использовать задания №№ 432–433.
5) Важно показать учащимся применение формул для рационализации вычислений (№№ 439).
6) Для формирования умения применять формулы суммы и разности кубов в учебнике также как и в других пунктах третьего параграфа предлагается перечень заданий, которые предполагают доказательство тождеств, нахождение значений выражений, составление и решение уравнений с использованием данных формул. Учитель выбирает из них те задания, которые считает целесообразным выполнить со своими учениками.
7) При 4-часовом планировании рекомендуется уделить больше времени на выполнение заданий более высокого уровня сложности (№№ 453–460).
8) При выполнении задания № 459 рекомендуется сначала проанализировать данные равенства, задать, например, следующие вопросы:

Что записано в левой части равенства? (Произведение многочленов.)
Что записано в правой части равенства? (Многочлены.)
Как перейти от произведения многочленов к многочлену? (Перемножить данные многочлены.)
Как можно рационализировать умножение алгебраических выражений? (Формулы сокращенного умножения помогают при таких преобразованиях. )
Какие формулы вы здесь сразу видите, подчеркните соответствующие выражения.

После устного разбора учащиеся самостоятельно выполняют данные преобразования и проверяют себя по образцу (естественно образец должен демонстрировать не только самый рациональный способ, но и все возможные способы, которые могли использовать семиклассники). Можно подготовить образец заранее либо вызвать на закрытую доску сильного ученика.
Полезным будет показать рациональные способы выполнения данных преобразований, для этого можно воспользоваться заранее заготовленными образцами. Если по какой-либо причине подготовить образцы не удастся можно вызывать к доске не одного, а нескольких учащихся, которые бы параллельно доказывали тождество. После выполнения задания разобрать другие способы, которыми пользовались ученики. Кроме того, можно после того как основная часть класса закончит доказательство, следует поинтересоваться, кто нашел другой, более рациональный способ доказательства. Эти способы демонстрируются с помощью специального технического оборудования либо идея преобразования проговаривается вслух.
Целесообразно на примере а) сравнить два способа доказательства тождеств:
1) приведение левой части к правой, при котором придется применить формулу произведения суммы выражений на их разность и в полученном произведении «увидеть» формулу разности кубов;
2) приведение правой части к левой, при котором в разности шестых степеней можно «увидеть» разность кубов и разложить эту разность на произведение двучлена на трехчлен, а полученный двучлен разложить на сумму и разность по формуле разности квадратов.
Второй способ рекомендуется показать после применения первого. На данном этапе он рассматривается с целью опережающей подготовки учащихся к изучению темы «Разложение на множители с помощью формул сокращенного умножения».

§ 4. Разложение многочлена на множители

П.1 Вынесение общего множителя за скобки

1) В данном пункте учащиеся учатся выносить общий множитель за скобки, они уже имеют опыт простейших преобразований такого рода. Так, для первичного формирования умения приводить подобные слагаемые учащиеся выносили общий множитель за скобки на основании распределительного закона умножения.
2) В данном пункте у учащихся формируется понятие разложения многочлена на множители. Нужно отметить, что под разложением на множители понимается разложение на буквенные множители. Так, вынесение за скобки числового множителя не является операцией разложения на множители. Например, представление многочлена 2a + 2ac в виде произведения 2(а + ас) не является разложением на множители, а в виде 2а (1 + с) является. Этот «нюанс» можно обговорить с учащимися при выполнении № 489.
3) Здесь же формируется умение раскладывать на множители путем вынесения общего множителя за скобки. Теперь учащиеся выполняют это преобразование на основании четко сформулированного правила: чтобы вынести за скобки общий множитель с можно в скобках записать многочлен, каждый член которого получен в результате его деления на с. Можно использовать предложенный в учебнике алгоритм вынесения за скобки общего множителя (в более подготовленном классе учащиеся могут построить его самостоятельно – № 493).
4) В связи с тем, что учащиеся уже знакомы с вынесением за скобки общего множителя, для проблематизации можно предложить учащимся сформулировать, что такое «разложение многочлена на буквенные множители».
5) Для построения логики открытия при подготовке к уроку учитель может воспользоваться заданием № 488.
6) Чтобы подготовить учащихся к открытию следует актуализировать с ними распределительное свойство умножения, использование этого свойства для рационализации вычислений. Для этой целей рекомендуется использовать задания №№ 485 – 488.
7) Задание № 497 готовит учащихся к следующему пункту. Часто у учащихся возникает сложность с вынесением за скобки общего множителя, который является многочленом. Чтобы преодолеть это возможное затруднение рекомендуется выполнить это задание с подчеркиванием общего множителя.
8) Задание № 498 показывает применение нового преобразования для решения уравнений. Особо следует подчеркнуть, что без разложения на множители уравнения данного вида учащиеся пока решить не могут.
9) Важно показать учащимся применение правила вынесения общего множителя для рационализации вычислений (№№ 496, 502).

П.2 Способ группировки

1) В данном пункте учащиеся учатся применять еще один способ разложения на множители – способ группировки.
2) Для проблематизации можно предложить учащимся разложить на множители многочлен:

Причиной возникшего затруднения будет то, что данные одночлены не имеют общего множителя. Чтобы преодолеть свое затруднения учащиеся должны будут открыть новый способ разложения на множители.
3) Чтобы подготовить учащихся к открытию рекомендуется выполнить задание № 533, в котором учащимся придется переставлять слагаемые местами и группировать произведения, имеющие одинаковые множители, а также № 535. Позже эти идеи помогут семиклассникам построить новый способ самостоятельно.
4) Алгоритм способа группировки, построенный учащимися, может иметь вид:
1) Объединить члены многочлена в группы таким образом, чтобы в каждой группе были общие множители.
2) Найти общий множитель в каждой группе и вынести его.
3) Найти общий множитель в новом многочлене и вынести его.
5) Подготовка, проведенная в предыдущем пункте, дает возможность наряду с простейшими ситуациями использования способа группировки рассмотреть и случаи, которые требуют специальных приемов:

перестановка слагаемых;
представление члена многочлена в виде суммы или разности подобных ему членов;
прибавление и вычитание одного и того же слагаемого.

Последним двум приемам рекомендуется посвятить отдельный урок открытия нового знания. Эти приемы будут использоваться учащимися в дальнейшем и для других способов разложения на множители.
6) Для проблематизации можно предложить учащимся разложить на множители с использованием способа группировки многочлены:

7) Для организации открытия можно воспользоваться учебником. Учащиеся самостоятельно отбирают и рассматривают примеры 2, 3 и 4 из текста. После работы с текстом учащимся предлагается выполнить задания на пробное действие.
8) Задания №№ 546, 554 показывают применение нового преобразования для решения уравнений. Причем, если раньше указание разложить на множители давалось в задании, то теперь такого указания в тексте задания нет. Анализируя вид уравнения, учащиеся должны понимать, что нужно преобразовать левую часть уравнения в произведение многочленов. Особо следует подчеркнуть, что без разложения на множители уравнения данного вида учащиеся пока решить не могут.

П.3 Формулы сокращенного умножения и разложение многочленов на множители

1) В данном пункте учащиеся учатся раскладывать на множители многочлены с использованием формул сокращенного умножения. Умение использовать формулы, в которых та или иная формула представлена в явном виде, должно быть уже сформировано в предыдущем параграфе. Теперь с учащимися разбираются случаи, когда для применения формулы сокращенного умножения необходимо выполнить предварительное преобразование исходного многочлена.
2) Учащиеся учатся видеть в степенях «квадраты» и «кубы», группировать слагаемые для получения нужной формулы, пользуются уже известными приемами: перестановка слагаемых и прибавление и вычитание одного и того же слагаемого.
3) Для этапа актуализации рекомендуется использовать задания №№ 583 – 585, при выполнении которых учащиеся повторят те понятия и способы действий, которые понадобятся им на уроке.
4) № 586 можно использовать для проблематизации. Затруднение, возникшее при выполнении этого задания, потребует новых приемов для применения разложения на множители (либо отбора уже известных приемов для применения в новой ситуации).
5) При изучении данного пункта учащиеся знакомятся с таким приемом, как выделение полного квадрата, который дает возможность применить формулы сокращенного умножения (№ 588 (л–н), № 595(д), № 600 готовят учащихся к этому способу, № 601 требует применения способа). Естественно требовать от каждого ученика умения применять данный способ нельзя. Однако более способные учащиеся должны получить возможность познакомиться с приемом выделения полного квадрата. В восьмом классе этот прием даст возможность вывести формулу для решения квадратных уравнений.

Эталоны

В результате изучения данных пунктов учащиеся знают следующие формулы сокращенного умножения: формулу произведения суммы двух выражений на их разность, формулу разности квадратов; формулы куба суммы и куба разности; формулы суммы и разности кубов и умеют их применять. Учащиеся имеют возможность познакомиться с треугольником Паскаля и соответствующим алгоритмом для возведения двучлена в n–ю степень. Учащиеся знают, что значит разложить многочлен на множители и следующие способы разложения на множители: вынесением за скобки общего множителя, способом группировки, с помощью формул сокращенного умножения и умеют их применять. Учащиеся имеют возможность познакомиться с различными вспомогательными приемами, которые помогают применять вышеперечисленные способы разложения на множители.

Методические рекомендации по планированию уроков

При организации учебного процесса необходимо учитывать, что выполнение всех заданий из учебника не является обязательным. Принципы минимакса и вариативности обеспечивают возможность обучения по курсу математики программы «Школа 2000…» детей разного уровня подготовки, в том числе и высокого. Поэтому уровень и количество заданий, включенных в учебник, определялись в соответствии с зоной ближайшего развития более подготовленных учащихся. Предполагается, что учитель выбирает для работы те задания, которые соответствуют уровню подготовки детей и задачам конкретного урока.
Предлагаем Вашему вниманию вариант сценария урока по рассматриваемым темам, в котором описан возможный способ организации самостоятельной познавательной деятельности учащихся на основе технологии деятельностного метода обучения «Школа 2000…». В отличие от уроков, опубликованных нами в предыдущих консультациях, этот урок является примером урока рефлексивного типа. Подробнее с методикой подготовки и проведения уроков такого типа в 7-9 классах основной школы вы можете познакомиться в разделе Модификация технологии деятельности метода обучения на уроках разной целевой направленности в 7–9 классах основной школы нашей вводной консультации.

Урок 60

Тип урока: Р
Тема урока: «Формулы сокращённого умножения»
Автор: Л.А Грушевская
Основные содержательные цели:
1) организовать самоконтроль умения применять формулы сокращённого умножения при выполнении заданий различного характера;
2) тренировать умение решать задачи на движение.

Мы предлагаем Вам cкачать сценарий урока

Уважаемые коллеги! Предлагаем вам скачать решение некоторых задач на смекалку, которые входят в данные параграфы.

Если у Вас возникли какие-либо вопросы, напишите нам, заполнив форму обратной связи.
Мы свяжемся с Вами.

Версия для печати

Чему равно а плюс в. Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного выражения очень часто применяются на практике, так что их все желательно выучить наизусть. До этого момента нам будет служить верой и правдой , которую мы рекомендуем распечатать и все время держать перед глазами:

Первые четыре формулы из составленной таблицы формул сокращенного умножения позволяют возводить в квадрат и куб сумму или разность двух выражений. Пятая предназначена для краткого умножения разности и суммы двух выражений. А шестая и седьмая формулы используются для умножения суммы двух выражений a и b на их неполный квадрат разности (так называют выражение вида a 2 −a·b+b 2 ) и разности двух выражений a и b на неполный квадрат их суммы (a 2 +a·b+b 2 ) соответственно.

Стоит отдельно заметить, что каждое равенство в таблице представляет собой тождество . Этим объясняется, почему формулы сокращенного умножения еще называют тождествами сокращенного умножения.

При решении примеров, особенно в которых имеет место разложение многочлена на множители , ФСУ часто используют в виде с переставленными местами левыми и правыми частями:

Три последних тождества в таблице имеют свои названия. Формула a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b) называется формулой разности квадратов , a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2 ) — формулой суммы кубов , а a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2 ) — формулой разности кубов . Обратите внимание, что соответствующим формулам с переставленными частями из предыдущей таблицы фсу мы никак не назвали.

Дополнительные формулы

В таблицу формул сокращенного умножения не помешает добавить еще несколько тождеств.

Сферы применения формул сокращенного умножения (фсу) и примеры

Основное предназначение формул сокращенного умножения (фсу) объясняется их названием, то есть, оно состоит в кратком умножении выражений. Однако сфера применения ФСУ намного шире, и не ограничивается кратким умножением. Перечислим основные направления.

Несомненно, центральное приложение формулы сокращенного умножения нашли в выполнении тождественных преобразований выражений . Наиболее часто эти формулы используются в процессе упрощения выражений .

Пример.

Упростите выражение 9·y−(1+3·y) 2 .

Решение.

В данном выражении возведение в квадрат можно выполнить сокращенно, имеем 9·y−(1+3·y) 2 =9·y−(1 2 +2·1·3·y+(3·y) 2) . Остается лишь раскрыть скобки и привести подобные члены: 9·y−(1 2 +2·1·3·y+(3·y) 2)= 9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2 .

В предыдущем уроке мы разобрались с разложением на множители. Освоили два способа: вынесение общего множителя за скобки и группировку. В этом уроке — следующий мощный способ: формулы сокращённого умножения . В краткой записи — ФСУ.

Формулы сокращённого умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) крайне необходимы во всех разделах математики. Они применяются в упрощении выражений, решении уравнений, умножении многочленов, сокращении дробей, решении интегралов и т.д. и т.п. Короче, есть все основания разобраться с ними. Понять откуда они берутся, зачем они нужны, как их запомнить и как применять.

Разбираемся?)

Откуда берутся формулы сокращённого умножения?

Равенства 6 и 7 записаны не очень привычно. Как бы наоборот. Это специально.) Любое равенство работает как слева направо, так и справа налево. В такой записи понятнее, откуда берутся ФСУ.

Они берутся из умножения.) Например:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

Вот и всё, никаких научных хитростей. Просто перемножаем скобки и приводим подобные. Так получаются все формулы сокращённого умножения. Сокращённое умножение — это потому, что в самих формулах нет перемножения скобок и приведения подобных. Сокращены.) Сразу дан результат.

ФСУ нужно знать наизусть. Без первых трёх можно не мечтать о тройке, без остальных — о четвёрке с пятёркой. )

Зачем нужны формулы сокращённого умножения?

Есть две причины, выучить, даже зазубрить эти формулы. Первая — готовый ответ на автомате резко уменьшает количество ошибок. Но это не самая главная причина. А вот вторая…

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Формулы или правила сокращенного умножения используются в арифметике, а точнее — в алгебре, для более быстрого процесса вычисления больших алгебраических выражений. Сами же формулы получены из существующих в алгебре правил для умножения нескольких многочленов.

Использование данных формул обеспечивает достаточно оперативное решение различных математических задач, а также помогает осуществлять упрощение выражений. Правила алгебраических преобразований позволяют выполнять некоторые манипуляции с выражениями, следуя которым можно получить в левой части равенства выражение, стоящее в правой части, или преобразовать правую часть равенства (чтобы получить выражение, стоящее в левой части после знака равенства).

Удобно знать формулы, применяемые для сокращенного умножения, на память, так как они нередко используются при решении задач и уравнений. Ниже перечислены основные формулы, входящие в данный список, и их наименование.

Квадрат суммы

Чтобы вычислить квадрат суммы, необходимо найти сумму, состоящую из квадрата первого слагаемого, удвоенного произведения первого слагаемого на второе и квадрата второго. В виде выражения данное правило записывается следующим образом: (а + с)² = a² + 2ас + с².

Квадрат разности

Чтобы вычислить квадрат разности, необходимо вычислить сумму, состоящую из квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе (взятое с противоположным знаком) и квадрата второго числа. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а — с)² = а² — 2ас + с².

Разность квадратов

Формула разности двух чисел, возведенных в квадрат, равна произведению суммы этих чисел на их разность. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: a² — с² = (a + с)·(a — с).

Куб суммы

Чтобы вычислить куб суммы двух слагаемых, необходимо вычислить сумму, состоящую из куба первого слагаемого, утроенного произведения квадрата первого слагаемого и второго, утроенного произведения первого слагаемого и второго в квадрате, а также куба второго слагаемого. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а + с)³ = а³ + 3а²с + 3ас² + с³.

Сумма кубов

Согласно формуле, приравнивается к произведению суммы данных слагаемых на их неполный квадрат разности. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: а³ + с³ = (а + с)·(а² — ас + с²).

Пример. Необходимо вычислить объем фигуры, которая образована сложением двух кубов. Известны лишь величины их сторон.

Если значения сторон небольшие, то выполнить вычисления просто.

Если же длины сторон выражаются в громоздких числах, то в этом случае проще применить формулу «Сумма кубов», которая значительно упростит вычисления.

Куб разности

Выражение для кубической разности звучит так: как сумма третьей степени первого члена, утроенного отрицательного произведения квадрата первого члена на второй, утроенного произведения первого члена на квадрат второго и отрицательного куба второго члена. В виде математического выражения куб разности выглядит следующим образом: (а — с)³ = а³ — 3а²с + 3ас² — с³.

Разность кубов

Формула разности кубов отличается от суммы кубов лишь одним знаком. Таким образом, разность кубов — формула, равная произведению разности данных чисел на их неполный квадрат суммы. В виде математического выражения разность кубов выглядит следующим образом: а 3 — с 3 = (а — с)(а 2 + ас + с 2).

Пример. Необходимо вычислить объем фигуры, которая останется после вычитания из объема синего куба объемной фигуры желтого цвета, которая также является кубом. Известна лишь величина стороны маленького и большого куба.

Если значения сторон небольшие, то вычисления довольно просты. А если длины сторон выражаются в значительных числах, то стоит применить формулу, озаглавленную «Разность кубов» (или «Куб разности»), которае значительно упростит вычисления.

Сумма и разность кубов примеры для решения. Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения.

Изучение формул сокращенного умножения: квадрата суммы и квадрата разности двух выражений; разности квадратов двух выражений; куба суммы и куба разности двух выражений; суммы и разности кубов двух выражений.

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Для упрощения выражений, разложения многочленов на множители, приведения многочленов к стандартному виду используются формулы сокращенного умножения. Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть .

Пусть а, b R. Тогда:

1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2

3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

a 2 — b 2 = (a -b) (a+b)

4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3

6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 — ab + b 2)

7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

a 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2)

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Пример 1.

Вычислить

а) Используя формулу квадрата суммы двух выражений, имеем

(40+1) 2 = 40 2 + 2 · 40 · 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

б) Используя формулу квадрата разности двух выражений, получим

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 — 2 · 100 · 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

Пример 2.

Вычислить

Используя формулу разности квадратов двух выражений, получим

Пример 3.

Упростить выражение

(х — у) 2 + (х + у) 2

Воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата разности двух выражений

(х — у) 2 + (х + у) 2 = х 2 — 2ху + у 2 + х 2 + 2ху + у 2 = 2х 2 + 2у 2

Формулы сокращенного умножения в одной таблице:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2
a 2 — b 2 = (a — b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 — ab + b 2)
a 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2)

Квадрат суммы

Квадрат разности

Разность квадратов

Куб суммы

Сумма кубов

Если значения сторон небольшие, то выполнить вычисления просто.

Куб разности

Разность кубов

Формула разности кубов отличается от суммы кубов лишь одним знаком. Таким образом, разность кубов — формула, равная произведению разности данных чисел на их неполный квадрат суммы. В виде разность кубов выглядит следующим образом: а 3 — с 3 = (а — с)(а 2 + ас + с 2).

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) применяются для возведения в степень и умножения чисел и выражений. Часто эти формулы позволяют произвести вычисления более компактно и быстро.

В данной статье мы перечислим основные формулы сокращенного умножения, сгруппируем их в таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательств формул сокращенного умножения.

Впервые тема ФСУ рассматривается в рамках курса «Алгебра» за 7 класс. Приведем ниже 7 основных формул.

Формулы сокращенного умножения

формула квадрата суммы: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
формула квадрата разности: a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2
формула куба суммы: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
формула куба разности: a — b 3 = a 3 — 3 a 2 b + 3 a b 2 — b 3
формула разности квадратов: a 2 — b 2 = a — b a + b
формула суммы кубов: a 3 + b 3 = a + b a 2 — a b + b 2
формула разности кубов: a 3 — b 3 = a — b a 2 + a b + b 2

Буквами a, b, c в данных выражениях могут быть любые числа, переменные или выражения. Для удобства использования лучше выучить семь основных формул наизусть. Сведем их в таблицу и приведем ниже, обведя рамкой.

Первые четыре формулы позволяют вычислять соответственно квадрат или куб суммы или разности двух выражений.

Пятая формула вычисляет разность квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.

Шестая и седьмая формулы — соответственно умножение суммы и разности выражений на неполный квадрат разности и неполный квадрат суммы.

Формула сокращенного умножения иногда еще называют тождествами сокращенного умножения. В этом нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.

При решении практических примеров часто используют формулы сокращенного умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

Не будем ограничиваться курсом 7 класса по алгебре и добавим в нашу таблицу ФСУ еще несколько формул.

Во-первых, рассмотрим формулу бинома Ньютона.

a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n — 1 · b + C n 2 · a n — 2 · b 2 + . . + C n n — 1 · a · b n — 1 + C n n · b n

Здесь C n k — биномиальные коэффициенты, которые стоят в строке под номером n в треугольнике паскаля. Биномиальные коэффициенты вычисляются по формуле:

C n k = n ! k ! · (n — k) ! = n (n — 1) (n — 2) . . (n — (k — 1)) k !

Как видим, ФСУ для квадрата и куба разности и суммы — это частный случай формулы бинома Ньютона при n=2 и n=3соответственно.

Но что, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два? Полезной будет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых.

a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n — 1 a n

Еще одна формула, которая может пригодится — формула формула разности n-ых степеней двух слагаемых.

a n — b n = a — b a n — 1 + a n — 2 b + a n — 3 b 2 + . . + a 2 b n — 2 + b n — 1

Эту формулу обычно разделяют на две формулы — соответственно для четных и нечетных степеней.

Для четных показателей 2m:

a 2 m — b 2 m = a 2 — b 2 a 2 m — 2 + a 2 m — 4 b 2 + a 2 m — 6 b 4 + . . + b 2 m — 2

Для нечетных показателей 2m+1:

a 2 m + 1 — b 2 m + 1 = a 2 — b 2 a 2 m + a 2 m — 1 b + a 2 m — 2 b 2 + . . + b 2 m

Формулы разности квадратов и разности кубов, как вы догадались, являются частными случаями этой формулы при n = 2 и n = 3 соответственно. Для разности кубов b также заменяется на — b .

Как читать формулы сокращенного умножения?

Дадим соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала разберемся с принципом чтения формул. Удобнее всего делать это на примере. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Говорят: квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения.

Все остальные формулы читаются аналогично. Для квадрата разности a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 запишем:

квадрат разности двух выражений a и b равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражения.

Прочитаем формулу a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 . Куб суммы двух выражений a и b равен сумме кубов этих выражений, утроенного произведения квадрата первого выражения на второе и утроенного произведения квадрата второго выражения на первое выражение.

Переходим к чтению формулы для разности кубов a — b 3 = a 3 — 3 a 2 b + 3 a b 2 — b 3 . Куб разности двух выражений a и b равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения на первое выражение, минус куб второго выражения.

Пятая формула a 2 — b 2 = a — b a + b (разность квадратов) читается так: разность квадратов двух выражений равна произведению разности и суммы двух выражений.

Выражения типа a 2 + a b + b 2 и a 2 — a b + b 2 для удобства называют соответственно неполным квадратом суммы и неполным квадратом разности.

С учетом этого, формулы суммы и разности кубов прочитаются так:

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Доказательство ФСУ

Доказать ФСУ довольно просто. Основываясь на свойствах умножения, проведем умножение частей формул в скобках.

Для примера рассмотрим формулу квадрата разности.

a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 .

Чтобы возвести выражение во вторую степень нужно это выражение умножить само на себя.

a — b 2 = a — b a — b .

Раскроем скобки:

a — b a — b = a 2 — a b — b a + b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 .

Формула доказана. Остальные ФСУ доказываются аналогично.

Примеры применения ФСУ

Цель использования формул сокращенного умножения — быстрое и краткое умножение и возведение выражений в степень. Однако, это не вся сфера применения ФСУ. Они широко используются при сокращении выражений, сокращении дробей, разложении многочленов на множители. Приведем примеры.

Пример 1. ФСУ

Упростим выражение 9 y — (1 + 3 y) 2 .

Применим формулу суммы квадратов и получим:

9 y — (1 + 3 y) 2 = 9 y — (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y — 1 — 6 y — 9 y 2 = 3 y — 1 — 9 y 2

Пример 2. ФСУ

Сократим дробь 8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 .

Замечаем, что выражение в числителе — разность кубов, а в знаменателе — разность квадратов.

8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 = 2 x — z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x — z 2 x + z .

Сокращаем и получаем:

8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

Также ФСУ помогают вычислять значения выражений. Главное — уметь заметить, где применить формулу. Покажем это на примере.

Возведем в квадрат число 79 . Вместо громоздких вычислений, запишем:

79 = 80 — 1 ; 79 2 = 80 — 1 2 = 6400 — 160 + 1 = 6241 .

Казалось бы, сложное вычисление проведено быстро всего лишь с использованием формул сокращенного умножения и таблицы умножения.

Еще один важный момент — выделение квадрата двучлена. Выражение 4 x 2 + 4 x — 3 можно преобразовать в вид 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 — 4 = 2 x + 1 2 — 4 . Такие преобразования широко используются в интегрировании.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

В предыдущих уроках мы рассмотрели два способа разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки и способ группировки .

В этом уроке мы рассмотрим еще один способ разложения многочлена на множители с применением формул сокращённого умножения .

Рекомендуем каждую формулу прописать не менее 12 раз. Для лучшего запоминания выпишите все формулы сокращённого умножения себе на небольшую шпаргалку .

Вспомним, как выглядит формула разности кубов.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

Формула разности кубов не очень проста для запоминания, поэтому рекомендуем использовать специальный способ для её запоминания.

Важно понимать, что любая формула сокращённого умножения действует и в обратную сторону .

(a − b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

Рассмотрим пример. Необходимо разложить на множители разность кубов.

Обратим внимание, что «27а 3 » — это «(3а) 3 », значит, для формулы разности кубов вместо «a » мы используем «3a ».

Используем формулу разности кубов. На месте «a 3 » у нас стоит «27a 3 », а на месте «b 3 », как и в формуле, стоит «b 3 ».

Применение разности кубов в обратную сторону

Рассмотрим другой пример. Требуется преобразовать произведение многочленов в разность кубов, используя формулу сокращенного умножения.

Обратите внимание, что произведение многочленов «(x − 1)(x 2 + x + 1) » напоминает правую часть формулы разности кубов «», только вместо «a » стоит «x », а на месте «b » стоит «1 ».

Используем для «(x − 1)(x 2 + x + 1) » формулу разности кубов в обратную сторону.

Рассмотрим пример сложнее. Требуется упростить произведение многочленов.

Если сравнить «(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1) » с правой частью формулы разности кубов
«a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2) », то можно понять, что на месте «a » из первой скобки стоит «y 2 , а на месте «b » стоит «1 ».

3 + 5x + 1 \)

Сумма нескольких полиномов может быть преобразована (упрощена) в полином стандартной формы.

Иногда члены многочлена необходимо разделить на группы, заключив каждую группу в круглые скобки. Так как круглые скобки противоположны скобкам, то легко сформулировать правил раскрытия круглых скобок:

Если перед скобками ставится знак +, то термины, заключенные в скобки, записываются теми же знаками. 93 \)

Произведение одночлена на многочлен тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.

Этот результат обычно формулируется как правило.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена.

Мы неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.

Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов

В общем случае произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведений каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.

Обычно используют следующее правило.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить каждый член одного многочлена на каждый член другого и сложить полученные произведения. 2 \) — это, конечно, не просто квадрат суммы, а квадрат суммы а и б. Однако квадрат суммы а и b встречается не так часто, как правило, вместо букв а и Ь в нем содержатся различные, иногда довольно сложные выражения. 92 = (a — b)(a + b) \) — разность квадратов равна произведению разности на сумму.

Эти три тождества позволяют при преобразованиях заменять их левые части на правые и наоборот — правые части на левые. Самое сложное в этом случае — увидеть соответствующие выражения и понять, какие в них заменяются переменные a и b. Давайте рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.

Формулы сокращенного умножения (FSU) используются для возведения в степень и умножения чисел и выражений. Зачастую эти формулы позволяют производить расчеты более компактно и быстро.

В этой статье мы перечислим основные формулы сокращенного умножения, сгруппируем их в таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательства формул сокращенного умножения.

Яндекс.РТБ R-A-339285-1

Впервые тема БСС рассматривается в рамках курса «Алгебра» для 7 класса. Ниже приведены 7 основных формул.

Формулы сокращенного умножения

формула суммы квадратов: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
формула квадрата разности: а — b 2 = а 2 — 2 а b + b 2
формула куба суммы: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
формула куба разности: а — b 3 = а 3 — 3 а 2 b + 3 а b 2 — b 3
формула разности квадратов: а 2 — b 2 = а — b а + b
формула суммы кубов: а 3 + b 3 = а + b а 2 — а b + b 2
формула разности кубов: a 3 — b 3 = a — b a 2 + a b + b 2

Буквы a, b, c в этих выражениях могут быть любыми числами, переменными или выражениями. Для удобства использования семь основных формул лучше выучить наизусть. Сведем их в таблицу и приведем ниже, обведя рамкой.

Первые четыре формулы позволяют вычислить, соответственно, квадрат или куб суммы или разности двух выражений.

Пятая формула вычисляет разность квадратов выражений путем умножения их суммы и разности.

Шестая и седьмая формулы представляют собой соответственно умножение суммы и разности выражений на неполный квадрат разности и неполный квадрат суммы.

Формулу сокращенного умножения иногда также называют тождествами сокращенного умножения. Это неудивительно, так как всякое равенство есть тождество.

При решении практических примеров часто используются формулы сокращенного умножения с переставленными левой и правой частями. Это особенно удобно при разложении многочлена на множители.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

Не будем ограничиваться курсом 7 класса по алгебре и добавим в нашу таблицу БСС еще несколько формул.

Сначала рассмотрим биномиальную формулу Ньютона.

а + б п знак равно С п 0 а п + С п 1 а п — 1 б + С п 2 а п — 2 б 2 + . . + C n n — 1 a b n — 1 + C n n b n

Здесь C n k — биномиальные коэффициенты, находящиеся в строке номер n в треугольнике Паскаля. Биномиальные коэффициенты рассчитываются по формуле:

C nk = n ! к! · (н — к) ! = п (п — 1) (п — 2) . . (п — (к — 1)) к !

Как видите, БСС для квадрата и куба разности и суммы является частным случаем биномиальной формулы Ньютона для n=2 и n=3 соответственно.

Но что, если в сумме, которую нужно возвести в степень, больше двух членов? Полезной будет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых.

а 1 + а 2 + . . + а п 2 знак равно а 1 2 + а 2 2 + . . + а п 2 + 2 а 1 а 2 + 2 а 1 а 3 + . . + 2 а 1 а п + 2 а 2 а 3 + 2 а 2 а 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n — 1 a n

Еще одна формула, которая может пригодиться, — это формула разности n-х степеней двух членов.

а н — б н = а — б а н — 1 + а н — 2 б + а н — 3 б 2 + . . + a 2 b n — 2 + b n — 1

Эта формула обычно делится на две формулы — соответственно для четных и нечетных степеней.

Для четных показателей 2m:

a 2 m — b 2 m = a 2 — b 2 a 2 m — 2 + a 2 m — 4 b 2 + a 2 m — 6 b 4 + . . + b 2 m — 2

Для нечетных показателей 2m+1:

a 2 m + 1 — b 2 m + 1 = a 2 — b 2 a 2 m + a 2 m — 1 b + a 2 m — 2 б 2 + . . + b 2 m

Формулы разности квадратов и разности кубов, как вы уже догадались, являются частными случаями этой формулы при n = 2 и n = 3 соответственно. Для разности кубов b также заменяется на -b.

Как читать формулы сокращенного умножения?

Приведем соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала разберемся с принципом чтения формул. Проще всего это сделать на примере. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел.

а + б 2 знак равно а 2 + 2 а б + б 2 .

Говорят: квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенному произведению выражений и квадрату второго выражения.

Аналогично читаются все остальные формулы. Для квадрата разности а — b 2 = а 2 — 2 а b + b 2 запишем:

квадрат разности двух выражений а и Ь равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первое и второе выражения.

Прочитаем формулу a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Куб суммы двух выражений a и b равен сумме кубов этих выражений, трех произведение квадрата первого выражения на второе и произведение квадрата второго выражения на первое выражение в три раза.

Переходим к чтению формулы разности кубов а — b 3 = а 3 — 3 а 2 b + 3 а b 2 — b 3. Куб разности двух выражений а и b равен кубу первого выражения минус умноженный на три квадрат первого выражения и второго, плюс умноженный на три квадрат второго выражения и первого выражения минус куб второго выражения.

Пятая формула а 2 — b 2 = а — b а + b (разность квадратов) звучит так: разность квадратов двух выражений равна произведению разности и суммы двух выражений.

Выражения типа a 2 + a b + b 2 и a 2 — a b + b 2 для удобства называются соответственно неполным квадратом суммы и неполным квадратом разности.

С учетом этого формулы суммы и разности кубов читаются так:

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Доказательство FSU

Доказательство FSU довольно просто. Опираясь на свойства умножения, проведем умножение частей формул, стоящих в скобках.

Например, рассмотрим формулу квадрата разности.

а — b 2 = а 2 — 2 а b + b 2.

Чтобы возвести выражение во вторую степень, выражение надо умножить само на себя.

а — б 2 = а — б а — б.

Раскроем скобки:

a — b a — b = a 2 — a b — b a + b 2 = a 2 — 2 a b + b 2.

Формула доказана. Аналогично доказываются остальные ФСО.

Примеры применения FSO

Целью использования сокращенных формул умножения является быстрое и лаконичное умножение и возведение выражений в степень. Однако это далеко не все возможности ФСО. Они широко используются при сокращении выражений, сокращении дробей, разложении многочленов на множители. Приведем примеры.

Пример 1. ФСО

Упростим выражение 9 y — (1 + 3 y) 2 .

Примените формулу суммы квадратов и получите:

9 y — (1 + 3 y) 2 = 9 y — (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y — 1 — 6 y — 9 y 2 = 3 г — 1 — 9 г 2

Пример 2. ФСО

Уменьшить дробь 8 х 3 — з 6 4 х 2 — з 4 .

Заметим, что в выражении в числителе стоит разность кубов, а в знаменателе — разность квадратов.

8 х 3 — з 6 4 х 2 — з 4 = 2 х — з (4 х 2 + 2 х з + з 4) 2 х — з 2 х + з.

Уменьшаем и получаем:

8 х 3 — z 6 4 х 2 — z 4 = (4 х 2 + 2 х z + z 4) 2 х + z

Пох также помогают вычислить значения выражений . Главное, уметь замечать, куда наносить формулу. Покажем это на примере.

Возведем в квадрат число 79. Вместо громоздких вычислений запишем:

79 = 80 — 1 ; 79 2 = 80 — 1 2 = 6400 — 160 + 1 = 6241.

Казалось бы, сложный расчет был проведен быстро, с использованием только формул сокращенного умножения и таблицы умножения.

Еще одним важным моментом является выбор квадрата двучлена. Выражение 4 x 2 + 4 x — 3 можно преобразовать в 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 — 4 = 2 x + 1 2 — 4 . Такие преобразования широко используются в интегрировании.

Если вы заметили ошибку в тексте, выделите ее и нажмите Ctrl+Enter

Используются для упрощения вычислений, а также разложения многочленов на множители, быстрого умножения многочленов. Большинство формул сокращенного умножения можно получить из бинома Ньютона — вы скоро в этом убедитесь.

Формулы для квадратов, часто используемые в вычислениях. Их начинают изучать по школьной программе с 7 класса и до конца обучения, формулы квадратов и кубов ученики должны знать наизусть.

Формулы куба не очень сложные и их нужно знать при приведении многочленов к стандартному виду, для упрощения возведения суммы или разности переменной и числа в куб.

Формулы, отмеченные красным цветом, получены из предыдущей группировки подобных терминов. 92+4x+29

Решение. а) Переставить члены

б) Упростить на основе предыдущих рассуждений

Пример 9. Разложить рациональную дробь

Решение. Применяем формулу разности квадратов

Составим систему уравнений для определения констант

Добавим второе уравнение к утроенному первому уравнению. Подставляем найденное значение в первое уравнение

Наконец, разложение принимает вид 97.

Решение. Вы, наверное, уже знаете, что такое бином Ньютона. Если нет, то ниже биномиальные коэффициенты

Образуются они так: по краю идут единицы, коэффициенты между ними в нижней строке образуются путем суммирования соседних верхних. Если мы ищем разницу в какой-то мере, то знаки в графике чередуются с плюса на минус. Таким образом, для седьмого порядка получаем следующее выравнивание

Внимательно также посмотрите, как меняются показатели — для первой переменной они уменьшаются на единицу в каждом следующем члене, соответственно, для второй — увеличиваются на единицу. В сумме показатели всегда должны быть равны степени разложения (=7).

Думаю, на основе вышеизложенного материала вы сможете решать задачи на бином Ньютона. Изучите формулы сокращенного умножения и применяйте везде, где это может упростить расчеты и сэкономить время на решении задачи.

Формулы сокращенных выражений очень часто используются на практике, поэтому желательно выучить их все наизусть. До сего момента верой и правдой будем служить, которые рекомендуем распечатать и постоянно держать перед глазами:

Первые четыре формулы из составленной таблицы формул сокращенного умножения позволяют возвести в квадрат и в куб сумму или разность два выражения. Пятый предназначен для краткого умножения разности и суммы двух выражений. А шестая и седьмая формулы используются для умножения суммы двух выражений a и b на их неполный квадрат разности (так называется выражение вида a 2 −a b + b 2 ) и разности двух выражений a и b на неполный квадрат их суммы (a 2 + a b+b 2 ) соответственно.

Отдельно стоит отметить, что каждое равенство в таблице является тождеством. Это объясняет, почему формулы сокращенного умножения также называют тождествами сокращенного умножения.

При решении примеров, особенно в которых имеет место разложение полинома на множители, БСС часто используется в виде с перестановкой левой и правой частей:

Последние три тождества в таблице имеют свои названия. Формула a 2 −b 2 =(a−b)(a+b) называется формула разности квадратов , a 3 +b 3 =(a+b) (a 2 −a b+b 2) — формула суммы кубов , a a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+b 2) — формула разности кубов . Обратите внимание, мы не назвали соответствующие формулы с переставленными частями из предыдущей таблицы БСС.

Дополнительные формулы

Не помешает добавить еще несколько тождеств в таблицу формул сокращенного умножения.

Области применения формул сокращенного умножения (ФСУ) и примеры

Основное назначение формул сокращенного умножения (ФСУ) объясняется их названием, т. е. заключается в кратком умножении выражений. Однако область применения FSO намного шире и не ограничивается коротким умножением. Перечислим основные направления.

Несомненно, центральное применение формулы приведенного умножения было найдено в выполнении тождественных преобразований выражений. Чаще всего эти формулы используются в процессе упрощений выражений .

Пример.

Упростите выражение 9·y−(1+3·y) 2 .

Решение.

В этом выражении возведение в квадрат можно выполнить сокращенно, имеем 9 y−(1+3 y) 2 =9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2). Остается только раскрыть скобки и дать такие же члены: 9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2)= 9 y−1−6 y−9 y 2 =3 y−1−9 y 2 .

Степенные формулы применяются в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, при решении уравнений и неравенств.

Число c есть n -я степень числа a когда:

Операции со степенями.

1. Умножая степени с одинаковым основанием, их показатели складываются:

а м а н = а м + н .

2. При делении степеней с одинаковым основанием вычитаются их показатели:

3. Степень произведения 2-х и более факторов равна произведению степеней этих факторов:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Степень дроби равна отношению степеней делимого и делителя:

(a/b) n = a n / b n .

5. Возведение степени в степень умножает показатели степени:

(ам) n = a m n .

Каждая приведенная выше формула верна в направлениях слева направо и наоборот.

например . (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4 .

Операции с корнями.

1. Корень произведения нескольких множителей равен произведению корней этих множителей:

2. Корень отношения равен отношению делимого и делителя корней:

3. При возведении корня в степень достаточно число корня возвести в эту степень:

4. Если мы увеличим степень корня в n один раз и при этом возведем до n -й степени является корнем числа, то значение корня не изменится:

5. Если мы уменьшим степень корня в n степени корня одновременно n -й степени от подкоренное число, то значение корня не изменится:

Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем степени определяется как единица, деленная на степень того же числа с показателем степени, равным модулю неположительного показателя степени:

Формула a m :an = a m — n может использоваться не только для m > n , но и для m n.

например . а 4:а 7 = а 4 — 7 = а -3 .

Чтобы формула a m :an = a m — n стала справедливой при m=n , необходимо наличие нулевой степени.

Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем степени равна единице.

например . 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Степень с дробным показателем. Чтобы возвести действительное число a в степень m/n , нужно извлечь корень n й степени из m й степени этого числа a .

Правила использования формул сокращенного умножения

Применяются для упрощения вычислений, а также разложения многочленов на множители, быстрого многочлена умножения. Большинство формул сокращенного умножения можно получить из бинома Ньютона — вы скоро в этом убедитесь.

Формулы для квадратов, часто используемые в вычислениях. Они изучаются в школьной программе начиная с 7 класса и до конца обучения учащиеся должны знать формулы квадратов и кубов наизусть.

Формулы, отмеченные красным цветом, получены из предыдущей группировки подобных терминов. 92+4x+29

Решение. а) Переставить члены

б) Упростить на основе предыдущих рассуждений

Пример 9. Разложить рациональную дробь

Решение. Применяем формулу разности квадратов

Составим систему уравнений для определения констант

Добавим второе уравнение к утроенному первому уравнению. Подставляем найденное значение в первое уравнение

Наконец, разложение принимает вид 97.

Решение. Вы, наверное, уже знаете, что такое бином Ньютона. Если нет, то ниже биномиальные коэффициенты

Математические выражения (формулы) Сокращенное умножение (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) чрезвычайно незаменимы во многих областях точных наук. Эти 7 символов незаменимы при упрощении выражений, решении уравнений, умножении многочленов, сокращении дробей, решении интегралов и многом другом. Так что будет очень полезно разобраться, как они получаются, для чего нужны, а главное, как их запомнить и потом применять. Затем применяя формулы сокращенного умножения на практике, самое сложное будет посмотреть что такое Х и что есть. Очевидно никаких ограничений на a и b нет, а значит это может быть любое числовое или буквальное выражение.

И так вот они:

Сначала х 2 — на 2 = (x — y) (x + y) . Чтобы вычислить разность квадратов двух выражений, надо умножить разности этих выражений по их суммам.

Секунда (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 . Чтобы найти суммы в квадрате двух выражений, нужно к квадрату первого выражения прибавить удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Третий (x — y) 2 = x 2 — 2xy + y 2 . Чтобы вычислить разностей в квадрате , нужно из квадрата первого выражения вычесть два выражения, удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Четвертый (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3x 2 + at 3. выражение, умноженное на произведение квадрата первого выражения на второе, умноженное на три произведения первого выражения на квадрат второго, плюс куб второго выражения.

Пятый (х — у) 3 = х 3 — 3х 2 у + 3х 2 — по телефону 3 . Для вычисления куба разности двух выражений необходимо из куба первого выражения вычесть троекратное произведение квадрата первого выражения на второе плюс троекратное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

шестой х 3 + у 3 = (х + у) (х 2 — ху + у 2) Чтобы вычислить сумма кубов двух выражений, нужно умножить суммы первых а вторые выражения неполным квадратом разности этих выражений.

седьмая х 3 — при 3 = (х — у) (х 2 + ху + у 2) Чтобы произвести вычисление куб разницы два выражения, надо разность умножить первого и второго выражений на неполный квадрат суммы этих выражений.

Нетрудно запомнить, что все формулы используются для выполнения расчетов в обратном направлении (справа налево).

О существовании этих закономерностей было известно около 4 тысяч лет назад. Их широко использовали жители древнего Вавилона и Египта. Но в те эпохи они выражались словесно или геометрически и не использовали буквы в расчетах.

Давайте проанализируем доказательство квадрата суммы (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

Эту математическую закономерность доказал древнегреческий ученый Евклид, работавший в Александрии в 3 веке до н. э., он использовал для этого геометрический метод доказательства формулы, так как ученые не использовали буквы для обозначения чисел древней Эллады. Они везде употребляли не «а 2», а «квадрат на отрезке а», не «аб», а «прямоугольник, заключенный между отрезками а и Ь».

Ваша конфиденциальность важна для нас. По этой причине мы разработали Политику конфиденциальности, в которой описывается, как мы используем и храним вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашей политикой конфиденциальности и сообщите нам, если у вас есть какие-либо вопросы.

Сбор и использование личной информации

Личная информация относится к данным, которые могут быть использованы для идентификации конкретного человека или связи с ним.

Вас могут попросить предоставить личную информацию в любое время, когда вы свяжетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов личной информации, которую мы можем собирать, и того, как мы можем использовать такую информацию.

Какую личную информацию мы собираем:

Когда вы подаете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваше имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. д.

Как мы используем вашу личную информацию:

Собранная нами личная информация позволяет нам связываться с вами и информировать вас об уникальных предложениях, рекламных акциях и других событиях и предстоящих событиях.
Время от времени мы можем использовать вашу личную информацию для отправки вам важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать личную информацию для внутренних целей, таких как проведение аудитов, анализ данных и различные исследования, чтобы улучшить предоставляемые нами услуги и предоставить вам рекомендации относительно наших услуг.
Если вы участвуете в розыгрыше призов, конкурсе или аналогичном поощрении, мы можем использовать предоставленную вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае необходимости — в соответствии с законом, судебным приказом, в судебном порядке и/или на основании публичных запросов или запросов государственных органов на территории Российской Федерации — раскрывать свои персональные данные. Мы также можем раскрыть информацию о вас, если решим, что такое раскрытие необходимо или уместно для обеспечения безопасности, правоохранительных органов или других целей, представляющих общественный интерес.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать личную информацию, которую мы собираем, соответствующему правопреемнику третьей стороны.

Защита личной информации

Мы принимаем меры предосторожности, в том числе административные, технические и физические, для защиты вашей личной информации от потери, кражи и неправомерного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Сохранение вашей конфиденциальности на уровне компании

Чтобы обеспечить безопасность вашей личной информации, мы сообщаем нашим сотрудникам о правилах конфиденциальности и безопасности и строго следим за соблюдением правил конфиденциальности.

Сбор и использование личной информации

Вас могут попросить предоставить личную информацию в любое время, когда вы свяжетесь с нами.

Какую личную информацию мы собираем:

Когда вы подаете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваше имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. д.

Как мы используем вашу личную информацию:

Личная информация, которую мы собираем, позволяет нам связываться с вами и информировать вас об уникальных предложениях, рекламных акциях и других событиях и предстоящих событиях.
Время от времени мы можем использовать вашу личную информацию для отправки вам важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать личную информацию для внутренних целей, таких как проведение аудитов, анализ данных и различные исследования, чтобы улучшить предоставляемые нами услуги и предоставить вам рекомендации относительно наших услуг.
Если вы участвуете в розыгрыше призов, конкурсе или аналогичном поощрении, мы можем использовать предоставленную вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае необходимости — в соответствии с законом, судебным приказом, в порядке судопроизводства и/или на основании публичных запросов или запросов государственных органов на территории Российской Федерации — раскрыть свои Персональные данные. Мы также можем раскрыть информацию о вас, если решим, что такое раскрытие необходимо или уместно для обеспечения безопасности, правоохранительных органов или других целей, представляющих общественный интерес.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать личную информацию, которую мы собираем, соответствующему правопреемнику третьей стороны.

Защита личной информации

Сохранение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для упрощения алгебраических многочленов существует формул сокращенного умножения . Их не так много и они легко запоминаются, но запомнить их нужно. Обозначения, используемые в формулах, могут принимать любую форму (числовую или полиномиальную).

Первая формула сокращенного умножения называется разностью квадратов . Он заключается в том, что квадрат второго числа вычитается из квадрата одного числа, равного разности данных чисел, а также их произведению.

а 2 — b 2 = (а — b) (а + b)

Разберем для наглядности:

22 2 — 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 — 4b 2 c 2 = (3a — 2bc)(3a + 2bc)

Вторая формула о сумме квадратов . Звучит так, сумма двух значений в квадрате равна квадрату первого значения, к нему прибавляется удвоенное произведение первого значения на второе, к ним прибавляется квадрат второго значения.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Благодаря этой формуле вычисление квадрата большого числа становится намного проще без использования компьютеров.

Так например: квадрат 112 будет
1) В начале разберем 112 на числа квадраты которых нам знакомы
112 = 100 + 12
2) Вносим полученное в скобки в квадрате
112 2 = (100+12) 2
3) Применяя формулу, получаем:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

Третья формула: разностей в квадрате . В котором говорится, что два значения, вычтенные друг из друга в квадрате, равны тому, что из первого значения в квадрате мы вычитаем двойное произведение первого значения, умноженного на второе, прибавив к ним квадрат второго значения .

(а + b) 2 = а 2 — 2аб + b 2

где (а — b) 2 равно (b — а) 2 . Чтобы доказать это, (a-b) 2 = a 2 -2ab + b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2

Четвертая формула сокращенного умножения называется сумма куб . Что звучит так: два члена значения в кубе равны кубу 1 значения, прибавляется тройное произведение 1 значения в квадрате умноженное на 2-е значение, к ним прибавляется тройное произведение 1 значения умноженное на квадрат 2 значения, плюс второе значение в кубе.

(а + b) 3 = а 3 + 3а 2 b + 3аб 2 + b 3

Пятый, как вы уже поняли, называется разностный куб . Который находит различия между значениями, так как из первого обозначения в кубе вычитаем тройное произведение первого обозначения в квадрате умноженное на второе, к ним прибавляется тройное произведение первого обозначения умноженное на квадрат второго обозначения , минус второе обозначение в кубе.

(а-б) 3 = а 3 — 3а 2 б + 3аб 2 — б 3

Шестой называется сумма кубов . Сумма кубов равна произведению двух слагаемых, умноженных на неполный квадрат разности, так как в середине нет удвоенного значения.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 -ab + b 2)

По-другому можно сказать сумму кубов можно назвать произведением в двух скобках.

Седьмой и последний называется разность кубов (его легко спутать с формулой разностного куба, но это разные вещи). Разность кубов равна произведению разности двух значений на неполный квадрат суммы, так как в середине нет удвоенного значения.

а 3 — b 3 = (а-b) (а 2 + ab + b 2)

И так всего 7 формул сокращенного умножения, они похожи между собой и легко запоминаются, единственная главное не запутаться в знаках. Они также предназначены для использования в обратном порядке и таких заданий в учебниках довольно много. Будьте осторожны, и у вас все получится.

Если у вас есть вопросы по формулам, обязательно пишите их в комментариях. Мы будем рады ответить Вам!

Если вы в декретном отпуске, но хотите зарабатывать. Просто перейдите по ссылке Интернет-бизнес с Oriflame. Все очень подробно написано и показано. Это будет интересно!

правила применения формул сокращенного умножения

Математические выражения (формулы) сокращенное умножение (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубики) чрезвычайно незаменимы во многих областях точных наук. Эти 7 символьных обозначений незаменимы для упрощения выражений, решения уравнений, умножения многочленов, сокращения дробей, решения интегралов и многого другого. А это значит, что будет очень полезно понять, как они получаются, для чего нужны, а главное, как их запомнить, а затем применить. Затем применяя формулы сокращенного умножения на практике, самое сложное будет посмотреть что такое NS и что у вас есть. Очевидно, что никаких ограничений для a и b нет, а значит это могут быть любые числовые или буквенные выражения.

И так они такие:

Первые х 2 — at 2 = (x — y) (x + y) .Для вычисления разности квадратов два выражения надо умножить на разности эти выражения их суммами.

Второе (х + у) 2 = х 2 + 2ху + у 2 … Чтобы найти квадрат суммы двух выражений, нужно сложить удвоенное произведение первого выражения ко второму плюс квадрат второго выражения к квадрату первого выражения.

Третье (x — y) 2 = x 2 — 2xy + y 2 … Чтобы вычислить разность в квадрате двух выражений, нужно вычесть удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения из квадрата первого выражения.

Четвертый (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3x 2 + y 3. выражение тройное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

Пятый (х — у) 3 = х 3 — 3х 2 у + 3х 2 — at 3 . .. Для вычисления куба разности двух выражений необходимо из куба первого выражения вычесть утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

Шестое х 3 + 3 = (х + у) (х 2 — ху + у 2) Чтобы вычислить сумму кубов двух выражений, нужно умножить суммы первых а второе — неполным квадратом разности этих выражений.

Седьмая x 3 — at 3 = (x — y) (x 2 + xy + y 2) Выполнить вычисление кубов разности два выражения, разница между первым и вторым выражением надо умножить на неполный квадрат суммы этих выражений.

Нетрудно запомнить, что все формулы применяются для выполнения расчетов и в обратном направлении (справа налево).

Существование этих закономерностей было обнаружено около 4 тысяч лет назад. Их широко использовали жители древнего Вавилона и Египта. Но в те времена их выражали словесно или геометрически и не использовали буквы в расчетах.

Проанализируем сумма квадрата доказательство (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2.

Первым эту математическую закономерность доказал древнегреческий ученый Евклид, работавший в Александрии в 3-м до н.э., он использовал для этого геометрический метод доказательства формулы, так как ученые Древней Греции не использовали буквы для обозначения чисел. Они широко использовали не «а 2», а «квадрат на отрезке а», не «аб», а «прямоугольник, заключенный между отрезками а и Ь».

Ключевые слова:

квадрат суммы, квадрат разности, куб суммы, куб разности, разность квадратов, сумма кубов, разность кубов на второе плюс квадрат второго. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Разность в квадрате двух величин равна квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй. (а-б) 2 = а 2 -2аб + б 2

Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов . (а + б) (а-б) = а 2 -б 2

ТО уб суммы две величины равно кубу первой величины плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой и квадрат второй плюс куб второй.

(а + б) 3 = а 3 + 3а 2 б + 3аб 2 + б 3

ТО уб разность две величины равно кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой и квадрат второй минус куб второй.

(a-b) 3 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов . (а + б) (а 2 -аб + б 2) = а 3 + б 3

Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.

(а — б) (а 2 + аб + б 2) = а 3 — б 3

Довольно часто приведение многочлена к стандартному виду можно осуществить, применяя формулы сокращенного умножения. Все они доказываются прямым раскрытием скобок и сокращением подобных терминов. Нужно знать наизусть формулы сокращенного умножения:

Пример. Докажем формулу a 3 + b 3 = ( a + b )( a 2 – ab + b 2).

У нас есть: ( A + B ) ( A 2 — AB + B 2) = A 3 — A 2) = B 3 — A 2) = B 3 — A 2) = A 3 — A 2) = B 3 — A 2). + ба 2 – аб 2 – б 3

Приводя такие термины, мы видим, что

( a + б )( а 2 – аб + б 2) знак равно a 3 + b 3 , что доказывает требуемую формулу.

Аналогично можно доказать, что ( а — б )( а 2 + аб + б 2) знак равно a 3 — b 3

Недостаточно просто знать наизусть формулы сокращенного умножения. Мы также должны научиться видеть эту формулу в конкретном алгебраическом выражении.

Например:

49м 2 — 42мн + 9н 2 = (7м — 3н) 2

Или другой пример, посложнее:

Здесь 3x 2 можно представить как ( √ 3x) 2

Полезно также знать, как возводить двучлен в степень большую, чем 3. Формула для записи разложения алгебраической суммы двух членов произвольной степени впервые была предложена Ньютоном в 1664–1665 гг. и получила название ньютоновской. биномиальный. Коэффициенты формулы называются биномиальными коэффициентами. Если n — натуральное число, то коэффициенты равны нулю для любого k > n, поэтому разложение содержит только конечное число членов. Во всех остальных случаях разложение представляет собой бесконечный (биномиальный) ряд. (Условия сходимости биномиального ряда впервые были установлены в начале 19 в.Н. Абеля.) Такие частные случаи, как

(а + б) 2 = а 2 + 2аб + Ь 2 и (а + б) 3 = а 3 + 3а 2 б + 3аб 2 + b 3

были известны задолго до Ньютона. Если n — натуральное число, то биномиальный коэффициент a n-k b k Биномиальная формула содержит количество комбинаций от n до k, обозначаемое C k n. При малых значениях n коэффициенты можно найти из треугольника Паскаля:

в котором каждое из чисел, кроме единиц, равно сумме двух соседних чисел в строке выше. Для заданного n соответствующая (n-я) строка треугольника Паскаля дает по порядку коэффициенты биномиального разложения n-й степени, что легко проверить для n = 2 и n = 3.

Степенные формулы применяются в процессе приведения и упрощения сложных выражений, при решении уравнений и неравенств.

Число c является n -й степенью числа a когда:

Операции со степенями.

1. Умножая степени с одинаковым основанием, их показатели складываются:

а м Ан = а м + н.

2. При делении степеней с одним основанием вычитаются их показатели:

3. Степень произведения 2-х и более факторов равна произведению степеней этих факторов:

(abc …) n = a n b n c n …

4. Степень дроби равна отношению степеней делимого и делителя:

(a/b)n = a n /b n.

5. При возведении степени в степень умножаются показатели степени:

(а м) н = а м н.

Каждая из приведенных выше формул верна слева направо и наоборот.

Например, . (2 · 3 · 5/15) ² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900/225 = 4 .

Корневые операции.

1. Корень произведения нескольких множителей равен произведению корней этих множителей:

2. Корень отношения равен отношению делимого и делителя корней:

3. При возведении корня в степень достаточно возвести число корня в эту степень:

4. Если повысить степень корня в n один раз и при этом встроить в n -я степень числа корня, то значение корня не изменится:

5. Если уменьшить степень корня в n один раз и при этом извлечь корень n -й степени подкоренного числа, то значение корня не изменится:

Степень с отрицательным показателем. Степень числа с неположительным (целым) показателем степени определяется как единица, деленная на степень того же числа с показателем степени, равным абсолютному значению неположительного показателя степени:

Формула a m : a n = a m — n может использоваться не только для m > n , но и для m n.

Например, . а 4: а 7 = а 4 — 7 = а -3 .

Чтобы формула a m : a n = a m — n стала справедливой при m = n , необходимо наличие нулевой степени.

Нулевой класс. Степень любого отличного от нуля числа с нулевым показателем степени равна единице.

Например, . 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Дробная экспонента. Чтобы возвести действительное число а в степень м/н , нужно извлечь корень н -й степени м -й степени этого числа а .

При вычислении алгебраических полиномов для упрощения вычислений используйте формулы сокращенного умножения … Всего таких формул семь. Вы должны знать их все наизусть.

Также следует помнить, что вместо a и b формулы могут содержать как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.

Разность квадратов

Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел на их сумму.

а 2 — б 2 = (а — б) (а + б)

Сумма в квадрате

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

(а + b) 2 = а 2 + 2ab + b 2

Обратите внимание, что с помощью этой сокращенной формулы умножения легко найти квадраты больших чисел без использования калькулятора или длинного умножения. Поясним на примере:

Найдите 112 2.

Разложим 112 на сумму чисел, квадраты которых мы хорошо помним.
112 = 100 + 1

Запишем сумму чисел в скобках и поставим квадрат над скобками.
112 2 = (100 + 12) 2

Воспользуемся формулой квадрата суммы:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 х 100 х 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Помните, что формула квадрата суммы также действительна для любого алгебраического многочлена.

(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Внимание!!!

(a + b) 2 не равно a 2 + b 2

Квадрат разницы

Квадрат разницы между двумя числами равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

(а — б) 2 = а 2 — 2аб + б 2

Также стоит запомнить очень полезное преобразование:

(a — b) 2 = (b — a) 2
Приведенная выше формула доказывается простым раскрытием скобок:

(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2 = b 2 — 2ab + a 2 = (b — a) 2

Куб суммы

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс умноженный на три квадрат первого числа и второго плюс умноженный на три квадрата второго плюс куб второго числа.

(а + б) 3 = а 3 + 3а 2 б + 3аб 2 + б 3

Запомнить эту «страшную» формулу довольно просто.

Научитесь начинать с 3.

Два многочлена в середине имеют коэффициенты 3.

VНапомним, что любое число в нулевой степени равно 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). Легко видеть, что в формуле происходит уменьшение степени а и увеличение степени b. Вы можете в этом убедиться:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Внимание!!!

(a + b) 3 не равно a 3 + b 3

Разностный куб

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус умноженный на три квадрат первого числа и второго плюс умноженный на три произведения первого числа на квадрат второго минус куб второй.

(а — б) 3 = а 3 — 3а 2 б + 3аб 2 — б 3

Эта формула запоминается так же, как и предыдущая, но только с учетом чередования знаков «+» и «-». Первому члену а 3 предшествует «+» (мы пишем его не по правилам математики). Это означает, что перед следующим элементом будет стоять «-», затем снова «+» и так далее.

(а — б) 3 = + 3 — 3а 2 б + 3аб 2 — b 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3

Сумма кубов ( Не путать с кубом суммы!)

Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.

а 3 + Ь 3 = (а + Ь) (а 2 — аб + Ь 2)

Сумма кубов равна произведению двух скобок.

Первая скобка представляет собой сумму двух чисел.

Вторая скобка — неполный квадрат разности чисел. Выражение называется неполным квадратом разности:

A 2 — ab + b 2
Этот квадрат является неполным, так как в середине вместо удвоенного произведения стоит обычное произведение чисел.

Разностные кубы (Не путать с Разностным кубом!!!)

Разница между кубами равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.

а 3 — б 3 = (а — б) (а 2 + аб + б 2)

Будьте внимательны при написании символов. Следует помнить, что все приведенные выше формулы также используются справа налево.

Трудно запомнить формулы сокращенного умножения? Причина легко помочь. Вам просто нужно помнить, как такая простая вещь, как треугольник Паскаля. Тогда вы будете помнить эти формулы всегда и везде, вернее, не запоминать, а восстанавливать.

Что такое треугольник Паскаля? Этот треугольник состоит из коэффициентов, входящих в разложение любой степени двучлена вида в многочлен.

Расширим, например:

В этой записи легко запомнить, что в начале стоит куб первого числа, а в конце — куб второго числа. А вот то, что посередине, трудно вспомнить. И даже то, что в каждом следующем члене степень одного множителя все время уменьшается, а второго возрастает — это легко заметить и запомнить, сложнее обстоит дело с запоминанием коэффициентов и знаков (плюс-минус?).

Итак, сначала шансы. Не запоминайте их! На полях тетради быстро нарисуйте треугольник Паскаля, и вот они — коэффициенты уже перед нами. Начинаем рисовать с трех единиц, одна сверху, две снизу, справа и слева — ага, уже треугольник получается:

Первая строка, с одной 1, нулевая. Затем идет первая, вторая, третья и так далее. Чтобы получить вторую строку, нужно снова добавить единицы по краям, а в центре написать число, полученное путем сложения двух чисел над ним:

Пишем третью строку: снова по краям единицы, и снова, чтобы получить следующую цифру в новой строке, добавляем цифры над ней в предыдущей:

Как у вас угадали, получаем в каждой строке коэффициенты от разложения двучлена в многочлен:

Ну а знаки запомнить еще проще: первый такой же, как и в разлагаемом двучлене (раскладываем сумму — значит плюс, разность значит минус), а дальше знаки чередуются!

Вот такая полезная штука — треугольник Паскаля. Используй это!

На предыдущем уроке мы разобрались с факторингом. Мы освоили два способа: вынос общего множителя за скобки и группировку. В этом уроке следующий мощный способ: формул сокращенного умножения … Короче — пох.

Сокращенные формулы умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) необходимы во всех разделах математики. Они используются при упрощении выражений, решении уравнений, умножении многочленов, сокращении дробей, решении интегралов и т. д. и т. п. Словом, есть все основания иметь с ними дело. Понять, откуда они берутся, зачем нужны, как их запомнить и как применять.

Понимание?)

Откуда берутся формулы сокращенного умножения?

Равенства 6 и 7 записываются не очень привычным образом. Как бы наоборот. Это сделано специально.) Любое равенство работает как слева направо, так и справа налево. В такой записи понятнее откуда ФСО.

Они получаются от умножения.) Например:

(a + b) 2 = (a + b) (a + b) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2

Вот так, никаких научных фокусов.

«ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ»

Тема консультации: «ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ.

РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ»

Дидактическая основа

Содержание консультации

Основные содержательные цели

Глава 4. Введение в теорию многочленов

§ 3. Формулы сокращенного умножения

П. 2. Разность квадратов

П. 3. Куб суммы и разности

П.4. Сумма и разность кубов

§ 4. Разложение многочлена на множители

П.1 Вынесение общего множителя за скобки

П.2 Способ группировки

П.3 Формулы сокращенного умножения и разложение многочленов на множители

Эталоны

Методические рекомендации по планированию уроков

Урок 60

Чему равно а плюс в. Формулы сокращенного умножения

Дополнительные формулы

Сферы применения формул сокращенного умножения (фсу) и примеры

Откуда берутся формулы сокращённого умножения?

Зачем нужны формулы сокращённого умножения?

Сумма и разность кубов примеры для решения. Формулы сокращенного умножения

Дополнительные формулы сокращенного умножения

Как читать формулы сокращенного умножения?

Доказательство ФСУ

Примеры применения ФСУ

Применение разности кубов в обратную сторону

Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов

Дополнительные формулы сокращенного умножения

Как читать формулы сокращенного умножения?

Доказательство FSU

Примеры применения FSO

Дополнительные формулы

Области применения формул сокращенного умножения (ФСУ) и примеры

Правила использования формул сокращенного умножения

Сбор и использование личной информации

Раскрытие информации третьим лицам

Защита личной информации

Сохранение вашей конфиденциальности на уровне компании

Сбор и использование личной информации

Раскрытие информации третьим лицам

Защита личной информации

Сохранение вашей конфиденциальности на уровне компании

правила применения формул сокращенного умножения

Откуда берутся формулы сокращенного умножения?

Добавить комментарий Отменить ответ