Правило производной умножения: Производная произведения функций (u*v)’

Содержание

Правила дифференцирования производной функций: формулы

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel.ru Математика Алгебра Производная функции: правила и формулы дифференцирования

В данной публикации мы рассмотрим правила и формулы дифференцирования производной функций, а также, разберем примеры для закрепления изученного материала.

Допустим, даны две функции f (x) и u (x), которые имеют производные в точке x. Тогда для них справедливы следующие формулы:

1. Константа в производной
2. Производная суммы/разности
3. Производная произведения
4. Производная частного
5. Производная сложной функции

1. Константа в производной

(c ⋅ f(x))‘ = c ⋅ f ‘(x), где c – константа

Т.е. константу можно вынести за знак производной.

Например: (5x³)‘ = 5 ⋅ (x³)‘

2. Производная суммы/разности

(f(x) ± u(x))‘ = f ‘(x) ± u ‘(x)

Производная суммы/разности двух функций равняется сумме/разности, в которой слагаемыми выступают производные данных функций.

Например: (6x + x²)‘ = (6x)‘ + (x²)‘

3. Производная произведения

(f(x) ⋅ u(x))‘ = f ‘(x) ⋅ u(x) + f(x) ⋅ u ‘(x)

Производная произведения двух функций равняется сумме, в которой:

первое слагаемое – это произведение производной первой функции на вторую;
второе слагаемое – все наоборот.

Например: (ln x ⋅ x³)‘ = (ln x)‘ ⋅ x³ + ln x ⋅ (x³)‘

4. Производная частного

Производная деления одной функции на другую находится по следующей формуле:

Например:

5. Производная сложной функции

Допустим, производная функции y = y(f) находится в точке f₀ = f(x₀), а функции f = f(x) – в точке x₀.

Производная сложной функции в таком случае равняется:

[y(f(x))]‘ = y ‘(f) ⋅ f ‘(x)

множимое – это производная данной функции по промежуточному аргументу
f;
множитель – производная промежуточного аргумента f по основному аргументу x.

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

Правило произведения — задача 2

По правилу произведения производная произведения функций f(x)g(x) равна f(x)g'(x) + f'(x)g(x).

Итак, чтобы вычислить производную произведения функций, вычислите производные отдельных функций. Затем просто умножьте производную второй функции на первую функцию и добавьте производную первой функции, умноженную на вторую функцию.

Например, если ваша функция h(x)=x ² ln(x), пусть f(x)=x ² и g(x)=ln(x). Из правил вывода степенных функций и логарифмических функций мы знаем, что f'(x)=2x и g'(x)=1/x. h'(x)=f(x)g'(x) + f'(x)g(x). Итак, h'(x)=x ² (1/x) + 2xln(x) = x + 2xln(x).

Иногда при умножении двух длинных полиномиальных функций проще использовать правило произведения, чем пытаться разложить полином.

дифференциация правило продукта производная

Итак, мы говорим о правиле произведения. Помните, что говорят, что производная произведения двух функций в первый раз больше производной второй плюс во второй раз производная первой.

Итак, давайте применим это к этим двум задачам. Здесь меня просят дифференцировать x², умноженное на 2, на x. Это даст мне dy/dx равно первому x², умноженному на производную второго, 2 на x, плюс второму 2 на x, умноженному на производную от первого, x².

Итак, здесь я должен вспомнить, какова производная от 2 к х. Помните, что я сделал это намеренно. X² и 2 на x выглядят очень похоже. Это силовая функция. Степенная функция — это функция, в основе которой лежит х. Экспоненциальная функция — это функция, в которой x находится в показателе степени. Вы различаете их по-разному. Производная от 2 к х равна ln2 умножить на 2 на х, то есть умножить на х².

Тогда здесь производная x² равна 2x. Итак, это 2 к х умножить на 2х. Кроме того, легко попасть в беду, потому что, если ваши иксы начинают всплывать, одно может стать другим. Это очень хорошо. Что я могу сделать, так это выделить все, что является общим. Я вижу, что от 2 до x здесь обычное дело. Есть также общий множитель х, но я пока просто вынесу 2 из х. У нас есть ln2 умножить на x² плюс 2x. Это наша производная.

Давайте посмотрим на этого парня. Теперь эта функция является произведением двух многочленов. Если вы перемножите его, вы, вероятно, просто получите один большой многочлен. Вы могли бы различать это таким образом. Вы также можете пропустить этот шаг, потому что это будет много алгебры. Вы можете обойти это и дифференцировать, используя правило продукта.

Таким образом, dy/dx равно производной первой, умноженной на вторую. Вместо того, чтобы писать это, я просто собираюсь дифференцировать это. Чтобы быть 2x минус 3. Плюс вторая, эта функция умножается на производную от первой; 3x² плюс 5. Это ваш ответ.

Ваш учитель может попросить вас упростить этот ответ. Предполагая, что они не хотели, чтобы вы умножали это в начале, они могут не захотеть, чтобы вы умножали это в конце. Это очень простой способ, по крайней мере, получить функцию, которая является производной вашего исходного многочлена.

World Web Math: Правило произведения

World Web Math: Правило произведения Мы хотели бы иметь возможность брать производные от произведений функций производные которых мы уже знаем.

Например f ( x )=( x -2)( x -1) произведение двух функций, u ( x ) = x -2 и v

( x ) = x -1, оба из которых производные, которые, как мы знаем, равны 1. Было бы неплохо, если бы производная от продукт был продуктом производной, как это для сумм? К сожалению, это не так;

и в этом достаточно простом случае легко видеть, что производная продукта НЕ продукт производные. Хотя это наивное предположение было неверным, мы все же можем выяснить, что производная продукта должна быть. Помните: когда интуиция подводит, применить определение. Рассмотреть возможность

Теперь применим трюк с добавлением нуля в виде и ( x + ч ) v ( x ) — и ( x + ч ) v ( x ) до числитель, и, проделав небольшую алгебру, На последнем шаге потому что u ( x ) дифференцируемо при x и, следовательно, непрерывный.

Хороший способ запомнить правило продукта для дифференциации: первая производная от второй плюс вторая умноженная на производное от первого». Сейчас это может показаться неинтуитивным, но посмотрите, и через несколько дней вы будете повторять это и себе.

Другой способ запомнить приведенный выше вывод — подумать о продукт u ( x ) v ( x ) как площадь прямоугольника шириной u ( x ) и высотой против ( х ). Изменение площади равно d ( uv ), что и указано на рисунке ниже.

При изменении x область меняется с области красного прямоугольник, u ( x ) v ( x ), до площадь наибольшего прямоугольника, сумма прочтений, зеленый, синий и желтые прямоугольники. Изменение площади равно сумме площадей зеленый, синий и желтый прямоугольники,

В пределе dx мало, площадь желтого прямоугольника игнорируется.

Алгебраически, «Игнорирование» желтого прямоугольника эквивалентно вызову непрерывность u ( x ) выше. Этот аргумент не может представляют собой строгое доказательство, поскольку оно использует дифференциалы алгебраически; скорее, это геометрическое указание на то, почему Правило произведения имеет ту же форму, что и оно.

Мы можем использовать правило произведения, чтобы подтвердить тот факт, что производная постоянная функция, умноженная на константу, умноженная на производную от функция. Для c константа,
Является ли это существенно проще, чем умножение полиномиальный и дифференцирующий непосредственно — вопрос мнения; решите сами.
Если f и g являются дифференцируемыми функциями такое, что f (2)=3, f ´(2)=-1, г (2)=-5 и г ´(2)=2, то каково значение ( фг )´(2)?

С
что такое г ´( x )?
Если f , g и h дифференцируемы, используйте правило произведения, чтобы показать, что Как следствие, покажите, что Это частный случай цепного правила.
No related posts.