Предел функции как решать: Как решать пределы для чайников, примеры решений

определение, способы решения с примерами

В данной публикации мы рассмотрим одно из главных понятий математического анализа – предел функции: его определение, а также различные способы решения с практическими примерами.

• Определение предела функции
• Решение пределов
  • С заданным числом
  • С бесконечностью
  • С неопределенностью (икс стремится к бесконечности)
  • С неопределенностью (икс стремится к конкретному числу)

Определение предела функции

Предел функции – величина, к которой стремится значение данной функции при стремлении ее аргумента к предельной для области определения точке.

Запись предела:

• предел обозначается значком lim;
• под ним добавляется, к какому значению стремится аргумент (переменная) функции. Обычно, это x, но не обязательно, например: “x→1″;
• затем справа дописывается сама функция, например:
  

Таким образом, финальная запись предела выглядит выглядит так (в нашем случае):

Читается как “предел функции при икс, стремящемся к единице”.

x→1 – это значит, что “икс” последовательно принимает значения, которые бесконечно приближаются к единице, но никогда с ней не совпадут (ее не достигнут).

Решение пределов

С заданным числом

Давайте решим рассмотренный выше предел. Для этого просто подставляем единицу в функцию (т.к. x→1):

Таким образом, чтобы решить предел, сперва пробуем просто подставить заданное число в функцию под ним (если икс стремится к конкретному числу).

С бесконечностью

В данному случае аргумент функции бесконечно возрастает, то есть “икс” стремится к бесконечности (∞). Например:

Если x→∞, то заданная функция стремится к минус бесконечности (-∞), т. к.:

• 3 – 1 = 2
• 3 – 10 = -7
• 3 – 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 и т.д.

Другой более сложный пример

Для того, чтобы решить этот предел, также, просто увеличиваем значения x и смотрим на “поведение” функции при этом.

• При x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• При x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• При x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Таким образом при “икс”, стремящемся к бесконечности, функция x² + 3x – 6 неограниченно растет.

С неопределенностью (икс стремится к бесконечности)

В данном случае речь идет про пределы, когда функция – это дробь, числитель и знаменатель которой представляют собой многочлены. При этом “икс” стремится к бесконечности.

Пример: давайте вычислим предел ниже.

Решение

Выражения и в числителе, и а знаменателе стремятся к бесконечности. Можно предположить, что в таком случае решение будет таким:

Однако не все так просто. Чтобы решить предел нам нужно сделать следующее:

1. Находим x в старшей степени для числителя (в нашем случае – это два).

2. Аналогичным образом определяем x в старшей степени для знаменателя (тоже равняется двум).

3. Теперь делим и числитель, и знаменатель на x в старшей степени. В нашем случае в обоих случаях – во второй, но если бы они были разные, следовало бы взять наибольшую степень.

4. В получившемся результате все дроби стремятся к нулю, следовательно ответ равен 1/2.

С неопределенностью (икс стремится к конкретному числу)

И в числителе, и в знаменателе представлены многочлены, однако, “икс” стремится к конкретному числу, а не к бесконечности.

В данном случае условно закрываем глаза на то, что в знаменателе стоит ноль.

Пример: Найдем предел функции ниже.

Решение

1. Для начала подставим в функцию число 1, к которому стремится “икс”. Получаем неопределенность рассматриваемого нами вида.

2. Далее раскладываем числитель и знаменатель на множители. Для этого можно воспользоваться формулами сокращенного умножения, если они подходят, или решить квадратное уравнение.

В нашем случаем корнями выражения в числителе (2x² – 5x + 3 = 0) являются числа 1 и 1,5. Следовательно его можно представить в виде: 2(x-1)(x-1,5).

Знаменатель (x – 1) изначально является простым.

3. Получаем вот такой видоизмененный предел:

4. Дробь можно сократить на (x – 1):

5. Остается только подставить число 1 в выражение, получившееся под пределом:

6.2. Вычисление пределов функций, содержащих

При вычисление пределов вида в случае если числи-

Тель или знаменатель содержит выражение , стремящееся к нулю при часто бывает полезным избавиться от иррациональности в числителе или в знаменателе путём домножения числителя и знаменателя на соответствующий сопряжённый множитель .

Для разности таким множителем является , для выражения таким множителем является .

В самом деле

, где ,

,

Где .

В общем случае для разности сопряжённое выражение . В результате умножения получаем , т. е. . Для сокращения записи можно вычислить отдельно и если он конечен и не равен нулю, вынести за знак предела.

Пример 1

A =

Решение: Т. к. х8, то х-80. Выделим множитель в числителе и знаменателе. Умножим числитель и знаменатель дроби на множитель . Тогда в числителе мы получим

В знаменателе множитель будет стремиться к конечному пределу, не равному 0, а именно к 10 при х8, поэтому по теореме о пределе

Произведения множитель можно вынести за знак предела. Знаменатель представим в виде произведения х2 – 6х – 16 = (х – 8)(х + 2). Таким образом, вычисление данного предела сводиться к следующим действиям:

A =

Пример 2. Вычислить

Решение: Выделим в числителе и знаменателе множитель, стремящийся к нулю, т.

е. х.

Числитель:

Знаменатель:

.

Таким образом, предел приобретает вид

A =

Пример 3.

A =

Решение: Выделим в числителе и знаменателе множитель, стремящийся к 0, т. е. (х – 2)

Числитель:

Знаменатель: .

Тогда A = .

Пример 3.

A =

Решение: Как и в предыдущем случае выделим множитель, стремящийся к 0, т. е. (х+1) в числителе и знаменателе. Тогда

Числитель: .

Знаменатель:

Таким образом

A =

При раскрытии неопределенностей вида нужно выполнить тождественные преобразования, позволяющие свести такую неопределенность к виду или . Например, в случае, если выражение содержит иррациональности с невысоким показателем корня, этого можно добиться путем умножения и деления данного выражения на «сопряженное».

Пример 5.

Пример 6.

(Сумма двух бесконечно больших одного знака есть величина бесконечно большая)

Пример 7.

Решение. Данный предел содержит корень с высоким показателем, поэтому умножение и деление на сопряженное выражение нецелесообразно. Преобразуем данное выражение следующим образом:

При выражение , т. е. является бесконечно малой величиной. Если воспользоваться следствием из 2-го замечательного предела , то выражение, стоящее в скобках, можно заменить эквивалентной величиной . Так как величина является бесконечно малой более высокого порядка, чем , то ее можно отбросить, поэтому данная дробь будет эквивалентна выражению

.

Следовательно,

Пример 8.

Решение. Выделим Главную часть в каждом из слагаемых. Очевидно, что при

;

.

Таким образом, оба радикала имеют одинаковую часть . Вычтем ее из каждого радикала. Тогда получим

=

.

Пример 9.

Решение. 1 Способ: Выделим главную часть числителя и знаменателя. Т. к. то главная часть числителя будет совпадать с Аналогично, поэтому главная часть знаменателя совпадает с

Тогда

2 способ: Вынесем из-под каждого корня старшую степень переменной.

При раскрытии неопределенностей вида можно также выделить главную часть числителя и знаменателя.

Пример 10.

Решение. 1 способ:Этот пример можно решить, воспользовавшись для выделения главной части эквивалентными бесконечно большими величинами, а именно:

Значит

2 способ: Этот же предел можно вычислить и непосредственно, а именно вынести за скобки старшую степень переменной в числителе и знаменателе.

Пример 11.

Решение: 1 способ: Как и в предыдущем примере, выделим главную часть числителя и знаменателя.

,

Тогда

2 способ: Вынесем в числителе и знаменателе за скобки старшую степень х.

< Предыдущая		Следующая >

Ограничения

Ограничения

Пример

Рассмотрим функцию

х ² — 1
f(x) =                               
х ² +2х — 3

Если мы подставим 1, мы получим 0/0 который не определен. Как выглядит эта функция около х = 1?

Мы можем построить следующую таблицу:

х	.9	.99	1,1	1,01	1.001
ф(х)	.487	.499	.512	.501	.5001

Мы можем видеть, что эта функция приближается к 0,5, когда x приближается к 1. Ниже приведен график этой функции.

Этот пример приводит нас к следующему определению

Определение предела Если f(x) становится сколь угодно близким к одному числу L по мере приближения x c с обеих сторон, затем

Мы можем думать об определении предела как x -> c как о двух туристах, один идущий справа, а другой идущий слева.

Если они будут идти к одному и тому же месту, тогда это место называется пределом.

---

Свойства пределов

Предположим, что

и что а является константой. затем

А)

Б)

С)

Д)

Е)

Пример

Предположим, что

, затем

---

Алгебра и пределы

При нахождении предела всегда сначала подставляйте число. Если вы получите определенное значение, то это и есть ответ. В противном случае вам, возможно, придется сделать алгебра, чтобы найти предел.

Пример:

lim как х -> 1 (х ² — 1)/(х ² +2x — 3)

= lim as x -> 1  (x — 1)(x + 1)/(x + 3)(x — 1)

= lim как х ->

1 (х + 1)/(х + 3) = 2/4 = 0,5

Найдите предел

Решение

Во-первых, обратите внимание: если мы подставим 1 вместо x, мы получим 0/0. Алгебра, которая будет работа факторинговая.

Теперь подключите 1, чтобы получить

2/4 =  1/2

Пример

Найдите предел

Решение

Опять же, если мы подключаемся, мы получаем 0/0. Какая алгебра подойдет для этого проблема? Вспомните из основ алгебры, как рационализировать знаменатель. Наша стратегия будет заключаться в рационализации числителя. Мы умножаем числитель и знаменатель на сопряженный корень.

Теперь мы можем подставить 9 вместо х получить

1 1
=          
4 + 4            8

---

Односторонние ограничения

Определим левый предел

как координата y кривой при движении точки слева.

Аналогично определим правый предел

как координата y кривой, когда точка движется слева.

Пример

Находить

Решение

График функции изображен ниже.

Прогуливаясь с левой стороны, значение y приближается к -1. Следовательно предел -1. Обратите внимание, что без знака «-» предел не существовало бы.

Мы говорим, что предел существует, если левый и правый пределы равны.

---

Неограниченные пределы

Пример

Находить

Решение

Подставив 2, мы получим 6/0, что не определено. Если мы подставим число слева от 2, например 1,99999, мы получаем очень большое отрицательное число. Мы говорят, что предел отрицательная бесконечность.

---

Назад на главную страницу исчисления

Назад к математике домашняя страница отдела

электронная почта Вопросы и предложения

 

Стратегия поиска пределов — GeeksforGeeks

Пределы оказались очень полезными в области исчисления, они стали прочной основой для определения многих понятий, таких как непрерывность, дифференцируемость, интегралы и производные. Эти концепции также помогают нам анализировать множество функций и их поведение в исчислении. Пределы были основой почти для всех концепций исчисления. Таким образом, становится необходимым научиться вычислять пределы для различных типов функций и как обращаться с неопределенными формами пределов. Давайте посмотрим на различные методы, которые помогают нам вычислять пределы для сложных функций и выражений.

Пределы

Рассмотрим функцию f(x) и точку x = c, предел в этой точке определяется как значение, которое функция, по-видимому, принимает при приближении к этому значению x = c либо слева- ручная или правая сторона. Предел функции в конкретной точке определяется как

Большинство пределов можно вычислить простой подстановкой точки x = a в функцию. Это называется методом прямой замены. Иногда при вычислении пределов мы можем столкнуться с некоторыми выражениями, которые не определены. Это неопределенные формы предела.

Например, рассмотрим функцию f(x) =. Цель состоит в том, чтобы найти предел этой функции при x = 2. 

Обратите внимание, что при прямой подстановке этот предел принимает вид 0/0. Это неопределенная форма, и она называется неопределенной формой. Точно так же ∞/∞, 1 ^∞ также называются неопределенными формами. Для решения таких форм используется ряд стратегий.

Стратегии решения пределов

Существует несколько стратегий и методов, используемых для нахождения пределов функции. Какой метод будет использоваться для какой функции, зависит от нескольких факторов. Например, тип функции (тригонометрическая, экспоненциальная, полиномиальная и т. д.), встречающаяся неопределенная форма (∞/∞, 1 ^∞ , 0/0 и так далее). Для этих вещей нет установленных правил, нужно практиковаться, и это приходит с опытом, когда человек находит ограничения для различных видов функций. Давайте рассмотрим некоторые стратегии для преодоления ограничений.

Прямая замена 

Многие пределы можно оценить, просто подставив значение точки в функцию. Необходимым условием использования этого подхода является то, что функция должна быть непрерывной, а предел не должен давать на выходе какой-либо неопределенной формы.

Пример. Рассмотрим функцию f(x) = x ² + 4x + 13. Найдите  

Решение:

⇒

⇒

⇒ 1 +4 + 13

⇒ 18

Факторинг и отмена

Иногда в некоторых функциях при использовании метода подстановки предел принимает вид 0/0. Часто в этих случаях в числителе и знаменателе есть некоторые общие множители, которые можно разложить на множители и сократить.

Пример. Рассмотрим функцию f(x) =  . Найти  

Решение:

⇒

Используя метод подстановки,

⇒

Теперь используется метод факторинга и отмены.

⇒

⇒

⇒

Особый случай с функцией синуса

Иногда при оценке формы 0/0, если функция синуса присутствует. Это удостоверение пригодится.

Пример: Рассмотрим функцию f(x) = . Найдите  

Решение:

Этот предел имеет вид 0/0.

⇒

⇒

⇒

Используя упомянутое выше тождество,

⇒

Умножить

В случае формы ∞/∞ в пределах и полиномиальных функций . Этот метод может быть использован для решения предела. В этом случае и числитель, и знаменатель делятся на наибольшую степень числа x, входящего в функцию.

Пример: Рассмотрим функцию f(x) = . Найдите  

Решение:

Этот предел имеет вид ∞/∞.

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

Госпиталь Правило

Это правило полезно для неопределенных форм, таких как 0/0 или ∞/∞. Нет ограничений на класс функций, к которым он может применяться. Его можно применять для любого типа функций, которые оцениваются в неопределенных формах с помощью метода подстановки. В этом правиле числитель и знаменатель дифференцируются до тех пор, пока предел не придет в детерминированную форму.

Пример: упомянутая выше функция f(x) =   . Найдите    , используя правило Лопиталя.

Решение: 

Дифференцирование числителя и знаменателя.

Теперь этот предел не в неопределенной форме,

⇒

Давайте рассмотрим еще несколько примеров этих методов.

Примеры задач

Вопрос 1. Рассмотрим функцию f(x) = x ³ + 4x ² + 1. Найти  

Решение:

⇒

⇒

⇒ 1 + 4 + 1

⇒ 6

Вопрос 2. Рассмотрим функцию f(x) = . Найти  

Решение:

⇒

Используя метод подстановки,

⇒

Теперь используется метод факторинга и отмены.

⇒

⇒

⇒ -1

Вопрос 3: Рассмотрим функцию f(x) = . Найдите  

Решение:

Этот предел имеет вид ∞/∞.

⇒

⇒

⇒

⇒ 4

Вопрос 4. Функция, упомянутая выше, f(x) =   . Найдите    , используя правило Лопиталя.

Решение: 

Дифференцирование числителя и знаменателя.

Теперь этот предел не в неопределенной форме,

⇒

Вопрос 5: Рассмотрим функцию f(x) = 9 0298 . Найдите  

Решение:

Этот предел имеет вид ∞/∞.

No related posts.