Как число умножить на число со степенью: Свойства степеней, действия со степенями

Умножение одночленов и многочленов | Математика

Если числа обозначены различными буквами, то можно лишь обозначить из произведение; пусть, напр., надо число a умножить на число b, – мы можем это обозначить или a ∙ b или ab, но не может быть и речи о том, чтобы как-нибудь выполнить это умножение. Однако, когда имеем дело с одночленами, то, благодаря 1) присутствию коэффициентов и 2) тому обстоятельству, что в состав этих одночленов могут входить множители, обозначенные одинаковыми буквами, является возможность говорить о выполнении умножения одночленов; еще шире такая возможность при многочленах. Разберем ряд случаев, где возможно выполнять умножение, начиная с простейшего.

1. Умножение степеней с одинаковыми основаниями. Пусть, напр., требуется a³ ∙ a⁵. Напишем, зная смысл возведения в степень, то же самое подробнее:

a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a

Рассматривая эту подробную запись, мы видим, что у нас написано a множителем 8 раз, или, короче, a⁸. Итак, a³ ∙ a⁵ = a⁸.

Пусть требуется b⁴² ∙ b²⁸. Пришлось бы написать сначала множитель b 42 раза, а затем опять множитель b 28 раз – в общем, получили бы, что b берется множителем 70 раз. т. е. b⁷⁰. Итак, b⁴² ∙ b²⁸ = b⁷⁰. Отсюда уже ясно, что при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание степени остается без перемены, а показатели степеней складываются. Если имеем a⁸ ∙ a, то придется иметь в виду, что у множителя a подразумевается показатель степени 1 («a в первой степени»), – следовательно, a⁸ ∙ a = a⁹.

Примеры: x ∙ x³ ∙ x⁵ = x⁹; a¹¹ ∙ a²² ∙ a³³ = a⁶⁶; 3⁵ ∙ 3⁶ ∙ 3 = 3¹²; (a + b)³ ∙ (a + b)⁴ = (a + b)⁷; (3x – 1)⁴ ∙ (3x – 1) = (3x – 1)⁵ и т. д.

Иногда приходится иметь дело со степенями, показатели которых обозначены буквами, напр. , xn (x в степени n). С такими выражениями надо привыкнуть обращаться. Вот примеры:

Поясним некоторые из этих примеров: b^{n – 3} ∙ b⁵ надо основание b оставить без перемены, а показатели сложить, т. е. (n – 3) + (+5) = n – 3 + 5 = n + 2. Конечно, подобные сложения должно научиться выполнять быстро в уме.

Еще пример: x^{n + 2} ∙ x^{n – 2}, – основание x надо оставить без перемены, а показатель сложить, т. е. (n + 2) + (n – 2) = n + 2 + n – 2 = 2n.

Можно выше найденный порядок, как выполнять умножение степеней с одинаковыми основаниями, выразить теперь равенством:

a^m ∙ aⁿ = a^{m + n}

2. Умножение одночлена на одночлен. Пусть, напр., требуется 3a²b³c ∙ 4ab²d². Мы видим, что здесь обозначено точкою одно умножение, но мы знаем, что этот же знак умножения подразумевается между 3 и a², между a² и b³, между b³ и c, между 4 и a, между a и b², между b² и d². Поэтому мы можем здесь видеть произведение 8 множителей и можем перемножить их любыми группами в любом порядке. Переставим их так, чтобы коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями оказались рядом, т. е.

3 ∙ 4 ∙ a² ∙ a ∙ b³ ∙ b² ∙ c ∙ d².

Тогда мы сможем перемножить 1) коэффициенты и 2) степени с одинаковыми основаниями и получим 12a³b5cd².

Итак, при умножении одночлена на одночлен мы можем перемножить коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями, а остальные множители приходится переписывать без изменения.

Еще примеры:

3. Умножение многочлена на одночлен. Пусть надо сначала какой-нибудь многочлен, напр., a – b – c + d умножить на положительное целое число, напр., +3. Так как положительные числа считаются совпадающими с арифметическими, то это все равно, что (a – b – c + d) ∙ 3, т. е. a – b – c + d взять 3 раза слагаемым, или

(a – b – c + d) ∙ (+3) = a – b – c + d + a – b – c + d + a – b – c + d = 3a – 3b – 3c + 3d,

т. е. в результате пришлось каждый член многочлена умножить на 3 (или на +3).

Отсюда вытекает:

(a – b – c + d) ÷ (+3) = a – b – c + d,

т. е. пришлось каждый член многочлена разделить на (+3). Также, обобщая, получим:

и т. п.

Пусть теперь надо (a – b – c + d) умножить на положительную дробь, напр., на +. Это все равно, что умножить на арифметическую дробь , что значит взять части от (a – b – c + d). Взять одну пятую часть от этого многочлена легко: надо (a – b – c + d) разделить на 5, а это уже умеем делать, – получим . Остается повторить полученный результат 3 раза или умножить на 3, т. е.

В результате мы видим, что пришлось каждый член многочлена умножить на или на +.

Пусть теперь надо (a – b – c + d) умножить на отрицательное число, целое или дробное,

т. е. и в этом случае пришлось каждый член многочлена умножить на –.

Таким образом, какое бы ни было число m, всегда (a – b – c + d) ∙ m = am – bm – cm + dm.

Так как каждый одночлен представляет собою число, то здесь мы видим указание, как умножать многочлен на одночлен – надо каждый член многочлена умножить на этот одночлен.

4. Умножение многочлена на многочлен. Пусть надо (a + b + c) ∙ (d + e). Так как d и e означают числа, то и (d + e) выражает какое-либо одно число.

Поэтому

(a + b + c) ∙ (d + e) = a(d + e) + b(d + e) + c(d + e)

(мы можем объяснить это и так: мы вправе d + e временно принять за одночлен).

Далее, выполняя ряд полученных умножений (одночлена на многочлен), получим:

= ad + ae + bd + be + cd + ce

В этом результате можно изменить порядок членов.

Получим:

(a + b + c) ∙ (d + e) = ad + bd + ed + ae + be + ce,

т. е. для умножения многочлена на многочлен приходится каждый член одного многочлена умножать на каждый член другого. Удобно (для этого и был выше изменен порядок полученных членов) умножить каждый член первого многочлена сперва на первый член второго (на +d), затем на второй член второго (на +e), затем, если бы он был, на третий и т. д.; после этого следует сделать приведение подобных членов.

В этих примерах двучлен умножается на двучлен; в каждом двучлене члены расположены по нисходящим степеням буквы, общей для обоих двучленов. Подобные умножения легко выполнять в уме и сразу писать окончательный результат.

Напр.:

От умножения старшего члена первого двучлена на старший член второго, т. е. 4x² на 3x, получим 12x³ старший член произведения – ему подобных, очевидно, не будет. Далее мы ищем, от перемножения каких членов получатся члены с меньшею на 1 степенью буквы x, т. е. с x². Легко видим, что такие члены получатся от умножения 2-го члена первого множителя на 1-й член второго и от умножения 1-го члена первого множителя на 2-ой член второго (скобки внизу примера это указывают). Выполнить эти умножения в уме и выполнить также приведение этих двух подобных членов (после чего получим член –19x²) – дело нетрудное. Затем замечаем, что следующий член, содержащий букву x в степени еще на 1 меньшей, т. е. x в 1-ой степени, получится только от умножения второго члена на второй, и ему подобных не будет.

Еще пример: (x² + 3x)(2x – 7) = 2x³ – x² – 21x.

Также в уме легко выполнять примеры, вроде следующего:

Старший член получается от умножения старшего члена на старший, ему подобных членов не будет, и он = 2a³. Затем ищем, от каких умножений получатся члены с a² – от умножения 1-го члена (a²) на 2-ой (–5) и от умножения второго члена (–3a) на 1-ый (2a) – это указано внизу скобками; выполнив эти умножения и соединив полученные члены в один, получим –11a². Затем ищем, от каких умножений получатся члены с a в первой степени – эти умножения отмечены скобками сверху. Выполнив их и соединив полученные члены в один, получим +11a. Наконец, замечаем, что младший член произведения (+10), вовсе не содержащий a, получается от перемножения младшего члена (–2) одного многочлена на младший член (–5) другого.

Еще пример: (4a³ + 3a² – 2a) ∙ (3a² – 5a) = 12a⁵ – 11a⁴ – 21a³ + 10a².

Из всех предыдущих примеров мы также получим общий результат: старший член произведения получается всегда от перемножения старших членов множителей, и подобных ему членов быть не может; также младший член произведения получается от перемножения младших членов множителей, и подобных ему членов также быть не может.

Остальным членам, получаемым при умножении многочлена на многочлен, могут быть подобные, и может даже случиться, что все эти члены взаимно уничтожатся, а останутся лишь старший и младший.

Вот примеры:

(a² + ab + b²) (a – b) = a³ + a²b + ab² – a²b – ab² – b³ = a³ – b³
(a² – ab + b²) (a – b) = a³ – a²b + ab² + a²b – ab² + b³ = a³ + b³
(a³ + a²b + ab² + b³) (a – b) = a⁴ – b⁴ (пишем только результат)
(x⁴ – x³ + x² – x + 1) (x + 1) = x⁵ + 1 и т. п.

Эти результаты достойны внимания и их полезно запомнить.

Особенно важен следующий случай умножения:

(a + b) (a – b) = a² + ab – ab – b² = a² – b²
или (x + y) (x – y) = x² + xy – xy – y² = x² – y²
или (x + 3) (x – 3) = x² + 3x – 3x – 9 = x² – 9 и т. п.

Во всех этих примерах, применяясь к арифметике, мы имеем произведение суммы двух чисел на их разность, а в результате получается разность квадратов этих чисел.

Если мы увидим подобный случай, то уже нет нужды выполнять умножение подробно, как это делалось выше, а можно сразу написать результат.

Напр., (3a + 1) ∙ (3a – 1). Здесь первый множитель, с точки зрения арифметики, есть сумма двух чисел: первое число есть 3a и второе 1, а второй множитель есть разность тех же чисел; потому в результате должно получиться: квадрат первого числа (т. е. 3a ∙ 3a = 9a²) минус квадрат второго числа (1 ∙ 1 = 1), т. е.

(3a + 1) ∙ (3a – 1) = 9a² – 1.

Также

(ab – 5) ∙ (ab + 5) = a²b² – 25 и т. п.

Итак, запомним

(a + b) (a – b) = a² – b²

т. е. произведение суммы из двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.

Степени и проценты . Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением

Платон считал, что в идеальном городе должно быть 5040 граждан. Никто не знает, почему их должно быть именно столько. Одна из причин может заключаться в том, что число 5040 является произведением первых семи натуральных чисел: 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 = 5040. Вторая причина может заключаться в том, что произведение чисел от 7 до 10 — Пифагор, между прочим, называл число десять «числом совершенства» — в точности равно 5040. То есть 7 ? 8 ? 9 ? 10 = 5040.

В любом случае древние греки умели перемножать сомножители числом более двух. Если же эти сомножители представляют собой одно и то же число, то говорят о степени этого числа. Рассмотрим, например, число 7. Вот его степени, не считая самого числа 7:

7 ? 7 = 49, 7 ? 7 ? 7 = 343, 7 ? 7 ? 7 ? 7 = 2401,

7 ? 7 ? 7 ? 7 ? 7 = 16 807…

Очевидно, что величины степеней числа, большего единицы, растут очень быстро. Кроме того, с первого взгляда очень трудно определить, сколько раз было умножено какое-либо число само на себя после того, как число умножений переваливает за четыре. Поэтому математики приняли изобретенный еще в XIV в. английским кардиналом, богословом и философом Томасом Брадвардином способ написания: справа над числом пишут индекс, показатель степени, каковой сообщает нам, сколько раз умножается число само на себя. То есть мы можем записать:

7¹ = 7, 7? = 49, 7? = 343, 7⁴ = 2401, 7⁵ = 16 807…

С числом 10 мы использовали такую форму записи уже много раз: миллион, число, представляющее собой единицу с шестью нулями, выглядит при записи в виде степени числа 10 как 10

6, то есть шесть перемноженных чисел 10.

Но вот степени единицы — вещи довольно скучные и однообразные, любая степень единицы равна в точности единице. Если же к единице прибавить небольшую ее долю, то картина меняется. Степени такого числа сначала увеличиваются весьма незначительно, но затем значения степеней резко взмывают ввысь.

Знание этой особенности может уберечь от финансовой катастрофы.

Об этом рассказывает печальная, но, слава богу, вымышленная история, действие которой происходит в Тоскане во времена Возрождения. Некий крестьянин по имени Симпличио хочет приобрести близ Сиены участок земли и для этой цели занимает в банке «Монте ди Пьета» сто флоринов. Каждая из этой сотни чудесных монет содержит три с половиной грамма чистейшего золота; сто флоринов — это нешуточное состояние.

— Мы с радостью одолжим тебе эти деньги, — деликатно сообщает банковский служащий, глядя, как Симпличио укладывает монеты в мешок, — но все же подумай: каждый год твой долг будет увеличиваться на десять процентов.

— Что значит «десять процентов»? — интересуется Симпличио, и служащий пускается в объяснения:

— Если ты берешь у нас сто флоринов, то сейчас ты должен нам только эти деньги. Ты можешь отдать их нам обратно. Если же нам придется ждать год, прежде чем ты вернешь нам долг, то мы захотим получить не только те сто флоринов, что дали тебе сегодня, но и десять процентов суммы. Десять процентов — это буквально означает «десять из ста», то есть десять сотых твоего долга. Это десятая часть тех денег, которые ты берешь у нас сегодня.

— Но я не хочу платить больше, чем беру, — возмущается Симпличио.

— Мне очень жаль, но в таком случае я не смогу дать тебе деньги, — сокрушенно говорит банковский служащий и протягивает руку к мешку с деньгами. — Но спроси у кого хочешь в Сиене, и ты узнаешь, что ни один заимодавец не дает деньги в долг просто так. Все хотят иметь свой процент. Большинство берет пятнадцать процентов, но есть и такие наглые ростовщики, что берут и двадцать. Ты сам подумай: если ты купишь землю и засеешь ее, то через год ты наверняка будешь богаче, чем сейчас, и сможешь легко отдать долг вместе с процентами.

Симпличио соглашается. Он берет деньги, ставит крестик под долговой распиской, где сказано о десяти процентах, покупает землю и надеется на скорое обогащение.

Но скоро сказка сказывается, да нескоро дело делается. Сиену поражает засуха, неурожай повторяется из года в год целых семь лет. Почти всем, даже самым богатым крестьянам едва хватает средств, чтобы просто сводить концы с концами. Ни о каких накоплениях не может быть и речи. Не слишком тучными оказываются и следующие семь лет. Каждый месяц Симпличио туже затягивает пояс, чтобы отложить на уплату долга один-два флорина. Симпличио понимает, что рано или поздно долг придется возвращать.

Через четырнадцать лет Симпличио наконец набирает требуемую сумму. Крестьянин посчитал, что за каждый год он должен уплатить сверх ста флоринов еще десять. Он сложил сто сорок флоринов и сто, получил 240 флоринов и решил, что сможет рассчитаться с банком.

В банке Симпличио отвели к молодому, надменному служащему, на стол которого Симпличио выложил свои 240 флоринов. Нахальный банкир положил перед собой расписку Симпличио и бумажку с какими-то расчетами, с недовольной миной пересчитал принесенные деньги и сказал ледяным тоном:

— Этого очень мало.

— Почему мало? — искренне удивился Симпличио. — Я занял у вас сто флоринов и каждый год прибавлял по десять флоринов. За четырнадцать лет получилось сто сорок флоринов, которые я и принес вместе с прежней сотней.

— Ваш долг составляет 380 флоринов. Я возьму сейчас двести сорок флоринов, но вы останетесь нам должны еще сто сорок. Между прочим, за эти сто сорок флоринов вы будете впредь выплачивать по 12 процентов в год…

Симпличио не стал выслушивать эту фразу до конца. В бешенстве он выскакивает из банка, бежит по улицам Сиены, пока не оказывается в кабаке, где собираются недовольные режимом новески(11) — разбойники, периодически наводящие страх на бюргеров Сиены.

Во время очередного восстания Симпличио оказывается в первых рядах с обнаженной саблей. Дальше следы его теряются.

Судьба бедного Симпличио была решена уже в тот момент, когда он решил, что при расчете процентов их величины складываются. Это самая страшная ошибка, которую совершают при начислении процентов, и совершил ее не только выдуманный нами Симпличио — ее совершают очень многие и в наши дни. На самом деле при расчете процентов надо не складывать, а умножать.

Симпличио подсчитал, сколько флоринов составят десять процентов от долга, а потом каждый год откладывал по десять флоринов в течение четырнадцати лет, считая по 10 процентов от первоначальной суммы. Счетоводы «Монте ди Пьета» считали несколько по-иному: ставка в десять процентов означает, что в течение года одолженный капитал увеличивается на коэффициент 1 + 10 % = 1 + 10/100, то есть первоначальную сумму надо 

умножить на величину 1,1. В первый год расчет банка не отличается от расчета, произведенного Симпличио. По истечении одного года он должен вернуть банку

100 ? (1 + 10/100) = 100 ? 1,1 = 110 = 100 + 10

флоринов. Далее Симпличио думает, что через два года он должен вернуть банку 100 + 20, то есть 120 флоринов. Банк, однако, отсчитывает увеличение выплаты от 110 флоринов, умножая на этот раз уже эту сумму на 1,1 и получая долг, равный 121 флорину. Разница между 120 и 121 флорином кажется совершенно безобидной — но через семь лет становится ясно, что долг стал уже достаточно тягостным для Симпличио. Сам крестьянин думает, что по истечении семи лет он должен вернуть банку 100 + 7 ? 10, то есть 170 флоринов. Банк же семь раз увеличивает долг на 10 процентов, то есть семь раз умножает исходную сумму в сто флоринов на 1,1. Это в результате дает:

100 ? 1,1 ? 1,1 ? 1,1 ? 1,1 ? 1,1 ? 1,1 ? 1,1 = 100 ? 1,1⁷ = 100 ? 1,9487171,

или, округляя, 195 флоринов.

Именно такой расчет лежал на столе молодого банковского служащего: он рассчитал величину 1,1, возведенную в четырнадцатую степень — 1,1¹⁴, — и получил число, приблизительно равное 3,7975. Если умножить это число на сто флоринов, одолженных Симпличио у банка, то округленно мы и получим 380 флоринов, которые банковский служащий и потребовал у простодушного крестьянина.

Почему же служащий банка не растолковал Симпличио то, как он подсчитал сумму 380 флоринов? Это объясняется само собой: Симпличио — неграмотный крестьянин XV в. Он умел с грехом пополам складывать числа, но об умножении не имел ни малейшего понятия и именно поэтому попал в беду.

b$$, где a — целое число, такое что $$1≤ |a| <10$$ и b тоже целое число.

Умножение: Чтобы умножить числа в экспоненциальном представлении, умножьте десятичные числа. Затем добавьте показатели степени числа 10. Поместите новую степень числа 10 с десятичной дробью в экспоненциальной форме. Если ваше десятичное число больше 10, подсчитайте, сколько раз десятичная дробь перемещается влево, и добавьте это число к показателю степени.

Раздел: Чтобы разделить числа в экспоненциальном представлении, сначала разделите десятичные числа. Затем вычтите показатели вашей степени 10. Поместите новую степень 10 с десятичной дробью в научной форме записи. Если полученное десятичное число меньше 1, переместите десятичную точку вправо и уменьшите показатель степени на количество знаков, на которые переместилась десятичная точка. 97$$

Тебе пригодится…

Он используется во многих местах, где необходимо измерить очень большие или очень маленькие величины.

Например:

Количество атомов в моле (химия).

Расстояния между планетами или звездами во Вселенной, измеряемые в милях.

И в другой крайности, для очень крошечных чисел, таких как размер или вес атома или молекулы.

  Видео

Примеры научной записи

Смотреть видео Академии Хана »
Продолжительность: 12:49 Открывается в окне проигрывателя

---

Умножение в научной записи 2 Продолжительность: 7:35 Открывается в плеере окно

Практические задачи

Экспоненциальная запись »

Умножение и деление экспоненциальной записи »

Переменные с показателями степени — как их умножать и делить

Как их умножать и делить

Что такое переменная с показателем степени?

A Переменная — это символ числа, которое мы еще не знаем. Обычно это буква типа x или y.

Показатель степени (например, 2 в x ² ) указывает, сколько раз использовать переменную в умножении.

Пример:

y ² = yy

( yy означает y , умноженное на y , потому что в алгебре поставить две буквы рядом означает умножить их)

Аналогично z ³ = zzz и x ⁵ = xxxxx

Показатель степени 1 и 0

Показатель степени 1

Когда показатель степени равен 1, у нас есть только сама переменная (пример x ¹ = x )

Обычно мы не пишем «1», но иногда полезно помнить, что x также x ¹

Показатель степени 0

Когда показатель степени равен 0, мы ни на что не умножаем, и ответ равен «1»
(пример y ⁰ = 1 ) 900 09

Умножение переменных с показателями степени

Итак, как нам умножить это:

(y ² )(y ³ )

Мы знаем, что y ² = yy и y 9 0083 3 = гггг поэтому давайте напишем из всех умножает:

y ² y ³ = yy yyy

Это 5 «y», умноженных вместе, поэтому новый показатель степени должен быть 5:

y ² y ^{3 900 84 = у 5}

Но почему считают «y», когда показатели степени уже говорят нам, сколько?

Показатель степени говорит нам, что есть два «y», умноженные на 3 «y», всего 5 «y»:

y ² y ³ = y ²⁺³ = y ⁵

Итак, самый простой способ — всего добавить показатели степени !

(Примечание: это один из законов экспоненты)

Смешанные переменные

Когда у нас есть смесь переменных, просто сложите показатели степени для каждой, например (нажмите кнопку воспроизведения):

(Помните: переменная без экспоненты действительно имеет экспоненту 1, например: y is y ¹ )

С константами

Часто также будут смешаны константы (числа вроде 3, 2. 9, ½ и т. д.).

Никогда не бойся! Просто перемножьте константы по отдельности и подставьте результат в ответ:

(Примечание: «·» означает умножение, которое мы используем, когда «×» можно спутать с буквой «x»)

Вот более сложный пример с константами и показателями степени:

Отрицательные показатели степени

Отрицательные показатели означают деление!

х -1 = 1 х

х -2 = 1 х 2

х -3 = 1 х 3

и т.д…

Ознакомьтесь с этой идеей, это очень важно и полезно!

Деление

Итак, как мы это делаем? y ³ y ²

Выпишем все множители: yyy yy

Теперь удалите все совпадающие символы «y», равные
как сверху, так и снизу (потому что y y = 1)

И у нас осталось: y

Таким образом, 3 «y» над линией уменьшаются на 2 «y» под линией, оставляя только 1 «y»:

y ³ y ² = yyy yy = y ^3-2 = y ^{1 900 84 = y}

ИЛИ мы могли бы сделать это так:

у ³ у ² = у ³ у ^-2 = у ^3-2 = y ¹ = y

Итак.