В итоге останутся числа и бесконечно малые величины. Лимит последовательности равный доле постоянных (=6).
Попробуйте самостоятельно этот же пример вычислить по правилу Лопиталя.
Пример 22 Определить лимит последовательности
Решение: Предел последовательности вычисляем методом умножения на сопряженное выражение. Таким образом получим разность квадратов и избавимся от корней в числителе.
Далее из числителя и знаменателя дроби выносим n и упрощаем на него. После этого оцениваем дробь при предельном переходе.
Пример 23 Найти предел функции
Решение: Лимит функции в точке дает неопределенность вида {0/0}. В числителе полином раскладываем на простые множители, в знаменателе избавляемся от иррациональности умножением на сопряженное выражение. Таким образом избавляемся особенности в знаменателе, однако она остается в числителе. В результате предел функции в точке равен нулю.
Пример 24 Свести под важные пределы и вычислить
Решение: Предел функции синус логарифма дает особенность {0/0}. Для ее раскрытия следует заданную функцию свести под первый и второй замечательные пределы и их следствия.
Для этого умножуєм и делим на выражения, которых не хватает для применения замечательных пределов. Далее группируем и сводим к произведению пределов, часть из которых равна 1.
Все что останется и составляет предел функции.
Пример 25 Чему равен лимит функции?
Решение: Функция имеет особенность – единицу в степени бесконечность. Раскрываем ее методом выделения второго замечательного предела, который равен экспоненте.
Для этого выделяем повсюду выражения (x-2), что вносят особенность, а дальше переходим к новой переменной t=x-2.
В показателе выделяем обратный множитель (-1/2t) до слагаемого при единице в скобках (1-2t).
Таким образом, получим экспоненту в степени — лимит функции, что осталась.
Пример 26 Вычислить предел последовательности
Решение: Если переменная стремится к бесконечности , то наибольший вклад вносит переменная в старшем степени. Выделим их в числителе и знаменателе
Далее, если в числителе старший степень, то предел стремится к бесконечности.
Пример 27 Найти границу
Решение: Если подставить бесконечность в последовательность получим неопределенность . Чтобы ее раскрыть, разделим и умножим на выражение, чтобы в числителе получить разность квадратов
Граница равна нулю, так как степень знаменателя выше степени числителя (1>0).
Пример 28 Вычислить предел последовательности
Решение: Задание следует свести под правило второго замечательного предела. Для этого в показателе создаем число, которое является обратно пропорциональным слагаемому возле единички в скобках.
Пример 29 Найти лимит последовательности
Решение: Поскольку оба значения в скобках меньше единицы (особенно важно 5/63<1), а одно из них, что зависит от номера, стремится к нулю, то их сумма в степени (n) также стремится к нулю
Пример 30.
2 стремятся к нулю при номере стремящемся к бесконечности, поэтому предел равен
Пример 31 Вычислить предел функции
Решение Выделим слагаемое с самым большим показателем и разделим на него
Лимит равен нулю, поскольку степень переменной в знаменателе больше, чем в числителе.
Пример 32 Найти лимит функции
Решение При подстановке единицы в дробь получим неопределенность вида {0/0} .
Чтобы раскрыть неопределенность, выделим в числителе и знаменателе множитель, который пропорционален (x-1) .
В результате получим
Далее вносим разложение полиномов в предел и упрощаем
Пример 33 Найти предел функций
Решение Для раскрытия неопределенности {0/0} воспользуемся эквивалентными бесконечно малыми функциями.
Для этого запишем по два члена разложения tan(x), sin(x) в ряд Тейлора (одного недостаточно, в числителе получим 0)
Далее подставим разложения в предел
Переменная в кубе упростится и останутся числа, сумма которых и является искомым пределом.
Пример 34 Вычислить предел функции
Решение Сведем под правило второго замечательного предела
Задача простая, поэтому здесь не на чем останавливаться.
Больше ответов на пределы ищите на страницах сайта.
| ГОСТы, СНиПы Карта сайта TehTab.ru Поиск по сайту TehTab.ru | Навигация по справочнику TehTab.ru: главная страница / / Техническая информация/ / Математический справочник / / Предел функции. Основные понятия: ограниченность функции, замечательные пределы, односторонние и бесконечные пределы, необходимые и достаточные условия существования предела функции в точке.
| |||||
Нашли ошибку? Есть дополнения? Напишите нам об этом, указав ссылку на страницу. | ||||||
TehTab.ru Реклама, сотрудничество: [email protected] | Обращаем ваше внимание на то, что данный интернет-сайт носит исключительно информационный характер. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Все риски за использование информаци с сайта посетители берут на себя. Проект TehTab.ru является некоммерческим, не поддерживается никакими политическими партиями и иностранными организациями. | |||||
Формальное определение предела
Вы видели пределы в классе исчисления и знаете, что это как-то связано с приближением, но как бы вы использовали это в доказательстве?
Фото Тома Подмора на Unsplash Если вы читаете эту статью, у вас, вероятно, есть хорошее интуитивное представление об ограничениях.
Предел f(x) , когда x приближается к a , равен значению f(x) , когда приближается x к x . В более общем смысле, когда вход приближается к значению, функция приближается к предельному значению.
Хотя эта интуиция хороша и все такое, она не поможет в доказательстве. Нам нужно точное определение того, что значит приближаться к чему-либо. После нескольких столетий размышлений Вейерштрасс придумал такое определение: эпсилон-дельта определение предела . Я не большой визуальный ученик и не аниматор, поэтому я бы порекомендовал посмотреть видео 3blue1brown о лимитах, прежде чем двигаться дальше.
Если бы мы формализовали это определение, то у нас было бы много случаев, но пока мы сосредоточимся на двух случаях (позже мы обобщим их): конечный и бесконечный пределы. Для конечных двусторонних пределов имеем
, где D — домен f(x) . Для бесконечных пределов у нас есть
.
Для пределов в отрицательной бесконечности замените x > N на x < -N .
Несмотря на то, что эти определения содержат символы, которые могут быть вам незнакомы, каждый из приведенных выше символов имеет простое определение. Вам нужно будет узнать, что означает каждый символ, только один раз. В этом разделе я объясню каждый символ.
Логическая эквивалентность
Это утверждение означает, что P и Q логически эквивалентны. В частности, P и Q являются истинными или ложными. P не может быть истинным, а Q ложным или наоборот. На простом английском это можно прочитать как «Сказать P — это то же самое, что сказать Q » или « P тогда и только тогда, когда Q ». Если вы хотите доказать P , то вы можете доказать Q или наоборот. В нашем предельном определении это означает, что если мы хотим сказать
мы можем показать
Универсальный квантификатор
Это утверждение означает, что каждый элемент S (обозначается как k ) удовлетворяет всем последующим.
Вы можете думать об этом как о вызове для того, кто не верит в то, что вы собираетесь сказать дальше. «Ты мне не веришь? Выберите любой элемент S . Назовите это к . k удовлетворит все, что следует за этим».
Два экземпляра универсального квалификатора в определении:
Первое выражение означает, что вы можете выбрать любое положительное число. Второе выражение означает, что вы можете выбрать любой элемент из области f(x) .
Квантификатор существования
Это выражение означает, что существует по крайней мере один элемент k в S такой, что все последующее верно. Нам часто приходится доказывать, что такое k существует, в том числе и при доказательстве пределов.
Единственным экземпляром квантора существования в определении является
, что в сочетании с утверждением перед ним означает, что вы можете назвать по крайней мере одно положительное число 𝛿 такое, что остальная часть утверждения верна независимо от того, какое положительное значение вы выберете для ϵ .
Следствие
Это выражение означает, что если P истинно, то Q истинно. Классический пример — это утверждение «Если вы пойдете под дождем, то промокнете», которое выглядит как
, если написать его как импликацию. Обратите внимание, что если утверждение верно, то есть три возможности:
- Вы идете под дождем и промокаете.
- Под дождем не гуляешь и не промокаешь.
- Вы не ходите под дождем и не промокнете (например, упадете в бассейн или попадете под разбрызгиватель).
Единственный случай, когда утверждение может быть ложным, это то, что вы могли ходить под дождем, но не промокли. Важно привести пример, потому что некоторые люди путают импликацию с логической эквивалентностью. Большая разница между ними в том, что P может быть ложным, а Q может быть истинным по смыслу, но не по логической эквивалентности.
Единственным следствием определения
является то, что если x находится на расстоянии 𝛿 от до (но не равно от ), то f(x) находится на расстоянии ϵ от л .
Складываем все вместе
Сказать
то же самое, что сказать, что для любого положительного значения ϵ
можно найти хотя бы одно положительное значение для 𝛿
такое, что для любого значения x в области D
(0 < | x - a | < 𝛿 ) подразумевает (| х) — L | < е) .
Многие учителя или учебники остановятся на этом и не покажут вам, как использовать это определение. Мы можем преобразовать это определение в общий набор шагов, которым мы можем следовать, чтобы доказать предел.
Конечные пределы
- Выберите произвольное значение ϵ > 0 . В данном случае это означает, что мы рассматриваем ϵ как переменную.
- Решите неравенство | f(x) — L| < ϵ для x .
- Вы должны были получить что-то вроде m(ϵ, a) < x < n ( ϵ, a) , где m(ϵ, a) и n(ϵ, a) — выражения, содержащие ϵ и и .
- Ваш 𝛿 является меньшим из двух значений | m(ϵ, а) — а | и | п(е, а) — а | .
- Вы говорите К.Э.Д. и произвести впечатление на всех на вечеринке.
Бесконечные пределы
- Выберите произвольное значение ϵ > 0 . В данном случае это означает, что мы рассматриваем ϵ как переменную.
- Решите неравенство | f(x) — L| < ϵ для N .
- Вы должны были получить что-то вроде N > g(ϵ, x) , где g(ϵ, x) — это выражение, содержащее ϵ и х .
- Вы говорите К.Э.Д. и произвести впечатление на всех на вечеринке.
Невозможно решить алгебраически
Теперь, если вы не можете решить для x или N , то обычно вы можете использовать некоторые другие приемы, чтобы получить более хорошие результаты. Например, вы можете использовать неравенство треугольника или найти минимальное и максимальное значения функции.
Базовый пример
Рассмотрим классический пример
Сначала рассмотрим ϵ как произвольная переменная. Затем мы решаем следующее неравенство для x
Наши m(ϵ, 5) = 5 — ϵ / 2 и наши n(ϵ, 5) = 5 + ϵ / 2 . Обратите внимание, что x не может равняться 5 , если мы хотим исключить (x — 5) из числителя и знаменателя. К счастью, для ограничений x никогда не требуется. Теперь мы вычисляем два приведенных выше значения, которые нам нужны, чтобы определить значение 𝛿.
Два значения равны, поэтому мы можем выбрать 𝛿 = ϵ / 2 и готово. Конечно, если мы хотим, мы можем выбрать 𝛿 еще меньше, например, ϵ / 3 или ϵ / π . В некоторых доказательствах вам нужно будет выбрать 𝛿 меньше максимально возможного 𝛿, так что имейте это в виду.
Интересное упражнение
Я призываю вас попытаться найти предел, используя определение предела (ϵ, 𝛿 ) , но использовать неправильное значение для предела.
Например, в приведенном выше примере попробуйте установить L до 0 или 25. Если вы повторите приведенное выше доказательство, но предположите, что предел равен неправильному значению, то вы получите значения ϵ , такие что 𝛿 стремится к нулю, становится отрицательным или делает другие абсурдные вещи . Для последовательностей вы обнаружите, что по мере того, как ϵ приближается к ненулевому значению сверху, N приближается к бесконечности.
У нас есть несколько типов пределов:
- Конечные пределы
- Левые пределы
- Правосторонние пределы
- Пределы на положительной бесконечности
- Пределы на отрицательной бесконечности
- Пределы последовательностей
- Пределы в высших измерениях
У каждого из них есть определение, но сами определения очень похожи. Все они имеют некоторую общую идею о том, что по мере приближения к значению во входном пространстве вы должны приближаться к предельному значению в выходном пространстве.
Проблема заключается в том, что каждый из пределов различается по тому, как они подходят к вещам, и они требуют разных определений.
Сети
Мне придется вывалить вам кучу определений, но каждое из них должно быть простым. Каждое определение имеет только одну вещь за
- Рефлексивность: бинарное отношение ◉ на множестве S рефлексивно, если a ◉ a для всех a в S . Например, ≤ является рефлексивным на множестве натуральных чисел, поскольку a ≤ a для всех a в натуральных числах.
- Транзитивность: бинарное отношение ◉ на множестве S является транзитивным, если a ◉ b и b ◉ c подразумевают a ◉ c для всех a, b, c в S . Например, ≤ является транзитивным для натуральных чисел, поскольку a ≤ b и b ≤ c подразумевает a ≤ c для всех натуральных чисел a, b, c в натуральных числах.
- Предпорядок: Бинарное отношение ◉ является предварительным порядком, если ◉ рефлексивно и транзитивно. Поскольку ≤ рефлексивно и транзитивно, это предпорядок.
- Набор по предварительному заказу: Набор с предварительным заказом.
- Направленный набор: предварительно заказанный набор S с предварительным заказом ◉ такой, что для любых a, b в S существует некоторое c в S такое, что a ◉ c и b . Предварительный порядок также известен как «направление» набора, и вы можете прочитать его как меру того, насколько элемент близок к определенному значению. Например, натуральные числа с ≤ являются направленным множеством, поскольку для любых двух натуральных чисел a и b , a ≤ a + b и b ≤ a + b . Мы бы сказали, что это множество направлено в бесконечность.
- Сеть: Функция, областью определения которой является направленное множество.
Обратите внимание, что последовательность является сетью, поскольку ее областью определения являются натуральные числа, а ее порядок ≤.
Как нам помогают сети?
Направленные множества и сети позволяют объединить все определения предела в одном выражении. Пусть f(x) — функция с областью определения D и диапазон R , где D — направленный набор с предзаказом ◉ , направленный на x0 , а R — направленный набор с предзаказом ◈ , направленный на L . Тогда мы можем сказать
. Следствие можно прочитать так: «Если x ближе к x 0 , чем β , то f(x) ближе к L , чем α ».
Чтобы увидеть, как это определение может вместить все определения, мы должны посмотреть на направленные наборы, которые составляют домен и диапазон. Домен и два эквивалентных определения для предварительного заказа ◉ для каждого вида ограничения перечислены ниже. Первое определение дано в терминах подмножеств ( a ⊆ b означает, что a является подмножеством b ) и согласуется с a ◉ b , означающим, что набор, основанный на , a является подмножеством набора, основанного на b .
Второе определение относится к стандартным вещам, которые вы могли бы увидеть в реальном анализе, таким как абсолютные значения и неравенства.
В большинстве случаев ◈ совпадает с предварительным заказом ◉ для конечных двусторонних пределов с заменой x0 на L .
Восстановление определений стандартных пределов
Чтобы увидеть, как мы можем восстановить одно из стандартных определений предела, мы можем подставить все обратно в общее определение предела.
Например, чтобы восстановить определение предела на бесконечности, мы можем заменить D действительными числами, a ≥ b вместо a ◉ b и | Л — а | ≤ | л — б | in вместо a ◈ b для получения
Если заменить β на N немного меньше β и заменить | α — л | с ϵ немного большим, чем | α — л | , то вы получите исходное определение:
Эта статья началась как часть более крупной статьи, доказывающей теорему Мура-Осгуда.
Я использовал теорему в своей предыдущей статье . Давайте выведем правило мощности с нуля! без доказательств, что противоречит части названия «с нуля». Поскольку статья Мура-Осгуда охватила слишком много вопросов, я решил разделить ее на несколько статей. Если вы хотите продолжить эту серию, следующая статья в Равномерная и поточечная сходимость . Я надеюсь увидеть вас там.
Односторонние пределы — Концепция — Исчисление Видео от Brightstorm
Предел — это значение, к которому приближается функция, когда вход этой функции приближается к определенному значению. В исчислении иногда функции ведут себя по-разному в зависимости от того, на какой стороне функции они находятся. По определению, односторонний предел — это поведение только с одной стороны значения, где функция не определена. Если два односторонние пределы
односторонние ограничения двусторонние ограничения лимит не существует кусочные функции левый предел правый предел таблица значений численный подход
Я хочу поговорить об односторонних пределах, вот функция g от x равная и ее часть y определяется как x+8 для x меньше -4 и x в квадрате минус 1 для x больше или равно -4.
Опишите его поведение, когда x приближается к -4. Что ж, при -4 две части как бы соединены вместе, и поэтому они могут вести себя по-разному в зависимости от того, на какой стороне от -4 мы находимся. Итак, давайте попробуем приблизиться к -4 слева -5 слева от -4 на числовой прямой. Итак, мы начинаем слева и движемся вправо -5, -4,1 -4,01 посмотрите, что происходит со значениями, которые мы получаем 3, 3,9, 3,99. Эти значения все ближе и ближе к четырем, когда x меньше -4, мы используем эту часть функции. Таким образом, мы все ближе и ближе приближаемся к значению 4.
Теперь, если мы начнем справа -3 находится справа от -4, и я пойду налево, я получаю -3, -3,9 и -3,99, это значения я получаю 8, 14,2, 14,9, и вы можете видеть, что эти значения, кажется, все ближе и ближе к 15.
Итак, мы приближаемся к 4 слева и приближаемся к 15 справа. Итак, вот что мы говорим, мы говорим, что предел, когда x приближается к -4 слева от f от x, извините, g от x, это g равно 4. Это левосторонний предел, левосторонний предел является одним из односторонних пределов для г х в 4.
И тогда мы говорим, что предел, когда x приближается к -4 справа от g, где x равен 15, это правый предел. Этот маленький надстрочный индекс говорит вам, что это за предел: левый или правый. Отрицательный верхний индекс означает, что вы приближаетесь к -4 слева, с более отрицательного направления. И надстрочный плюс означает, что вы приближаетесь к -4 справа с более положительного направления.
Теперь заметьте, что эти два предела не равны. Всякий раз, когда два односторонних предела не равны, двусторонний предел x приближается к -4, в этом случае не существует, что очень важно. Таким образом, для того, чтобы существовал двусторонний предел, подобный этому, вам нужно, чтобы оба односторонних предела существовали и чтобы они были равны. И вот что прямо здесь утверждает эта теорема: предел, когда x приближается к a от f от x, равен l тогда и только тогда, когда два односторонних предела. Предел равен x, приближающемуся к a слева, и пределу, когда x приближается к a справа от f, где x равно l одному и тому же числу.