Применение дифференциальных уравнений: Дифференциальные уравнения и их применение.

Содержание

Дифференциальные уравнения и их применение.

Find:

Highlight allMatch case

Current View

Automatic ZoomActual SizeFit PageFull Width50%75%100%125%150%200%300%400%

Enter the password to open this PDF file:

File name:

—

File size:

—

Title:

—

Author:

—

Subject:

—

Keywords:

—

Creation Date:

—

Modification Date:

—

Creator:

—

PDF Producer:

—

PDF Version:

—

Page Count:

—

Григоренко М. Н., Уральский государственный экономический университет, г. Екатеринбург Дифференциальные уравнения и их применение Изучая разделы математики можно рассматривать решение задач с использованием математического аппарата, например таких как, методы расчета рисковых оптимального временного ситуаций, использования ряда [2]. Более выбор оптимального ресурсов, анализ подробно портфеля, и задачи прогнозирование рассмотрим применение дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения — раздел математики, изучающий теорию и способы решения уравнений, содержащих искомую функцию и ее производные различных дифференциальные) или порядков одного нескольких аргумента аргументов (обыкновенные (дифференциальные уравнения в частных производных) [1]. В самом уравнении участвует не только неизвестная функция, но и различные ее производные. Дифференциальным уравнением описывается связь между неизвестной функцией и ее производными. Такие связи отыскиваются в различных областях знаний: в механике, физике, химии, биологии, экономике и др.

Дифференциальные уравнения применяются для математического описания природных явлений. Так, например, в биологии дифференциальные уравнения применяются для описания популяции; в физике многие законы можно описать с помощью дифференциальных уравнений. Широкое применение находят дифференциальные уравнения и в моделях экономической динамики. В данных моделях отражается не только зависимость переменных от времени, но и их взаимосвязь во времени. Рассмотрим одну из задач макроэкономической динамики [1]. Например, пусть y(f) — объем продукции некоторой отрасли, реализованной к моменту времени t. Будем полагать, что вся производимая отраслью продукция реализуется по некоторой фиксированной цене р, т.е. выполнено условие ненасыщаемости рынка. Тогда доход к моменту времени t составит Y (t )  py(t ) Обозначим через I(t) величину инвестиций, направляемых на расширение производства. В модели естественного роста полагают, что скорость выпуска продукции (акселерация) пропорциональная величине инвестиций, т.

е. y’ (t )  lI (t ) , где 1/l – норма акселерации. (Здесь мы пренебрегаем временем между окончанием производства продукции и ее реализацией, то есть считаем, что инвестиционный лаг равен нулю). Полагая, что величина инвестиций I(t) составляет фиксированную часть дохода, получим I (t )  mY (t )  mpy(t ) , где коэффициент пропорциональности m (так называемая норма инвестиций) — постоянная величина ( 0  m  1 ). Подставляя последнее выражение для I(t) в y’ (t )  lI (t ) приходим к уравнению y’  ky , где k  mpl . Полученное дифференциальное уравнение — с разделяющимися переменными. Решая его, приходим к функции y(t )  y0 e k ( t t0 ) , где y0  y(t 0 ) . Заметим, что уравнение y’  ky описывает также рост народонаселения, динамику роста цен при постоянной инфляции, процесс радиоактивного распада и др. Модель роста в условиях роста конкурентного рынка имеет вид y’ mlp( y) y . Научный руководитель Кныш А.А., старший преподаватель Список литературы: 1. Высшая математика для экономического бакалавриата: учебник и практикум / Н.

Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Три-шин, М. Н. Фридман; под ред. Н. Ш. Кремера. – М.: Издательство Юрайт; ИД Юрайт, 2012. — 909 с. 2. Кныш А.А. Примеры реализации межпредметных связей на занятиях математики в экономическом вузе // Новая наука: от идеи к результату. — Стерлитамак: АМИ, 2017. — №2 (2) – С. 55 – 57.

«Как решение дифференциальных уравнений может пригодиться в реальной жизни?» — Яндекс Кью

Типов ДЭ, ОДУ, ПДЭ.

Дифференциальное уравнение — это математическое выражение, содержащее одну или несколько производных. Дифференциальные уравнения имеют множество применений в повседневной жизни. В этой статье мы собираемся изучить применение дифференциальных уравнений, различные типы дифференциальных уравнений, такие как обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения в частных производных, линейные дифференциальные уравнения, нелинейные дифференциальные уравнения, однородные дифференциальные уравнения и неоднородные дифференциальные уравнения, закон Ньютона. Охлаждение, экспоненциальный рост бактерий и радиоактивный распад.

Что такое дифференциальное уравнение?

Дифференциальное уравнение является концепцией математики. Дифференциальное уравнение — это уравнение, связывающее одну или несколько функций и их производные. Он включает производную функции или зависимой переменной по отношению к независимой переменной. Рост населения, весенняя вибрация, тепловой поток, радиоактивный распад могут быть представлены с помощью дифференциального уравнения.

Значение дифференциальных уравнений

Дифференциальное уравнение представляет связь между функцией и ее производными. Уже доказано, что дифференциальные уравнения составляют значительную часть прикладной и чистой математики. Дифференциальное уравнение показывает, как скорость изменения («дифференциал») одной переменной связана с другими переменными.

Типы дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения бывают следующих типов

Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Уравнения с частными производными.
Линейные дифференциальные уравнения.
Нелинейные дифференциальные уравнения.
Однородные дифференциальные уравнения.
Неоднородные дифференциальные уравнения.

Ознакомьтесь с интегральным исчислением здесь.

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

9у\)

Применение обыкновенных дифференциальных уравнений

Обыкновенные дифференциальные уравнения используются для расчета движения или потока электричества, движения объекта взад и вперед подобно маятнику, для объяснения концепций термодинамики. Также, говоря медицинским языком, они используются для проверки роста заболеваний в графическом представлении.

Уравнения с частными производными.

Дифференциальное уравнение в частных производных — это уравнение, которое налагает связи между различными частными производными функции многих переменных. 92)=0\)

Применение уравнений в частных производных

Уравнения в частных производных используются для математической формулировки и, таким образом, для помощи в решении физических и других задач, связанных с функциями нескольких переменных, таких как распространение тепла или звука, поток жидкости, эластичность, электростатика, электродинамика, термодинамика и т. 2=0\) 92}}+10{dy\over{dx}}+9y=0\)Приложения неоднородных дифференциальных уравнений

Неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка для прогнозирования амплитуд вибрирующей массы в ситуации, близкой к резонансной

Приложения обыкновенных дифференциальных уравнений в технике.

Порядок дифференциального уравнения определяется как порядок старшей производной, которую оно содержит. Степень дифференциального уравнения определяется как степень, в которую возведена производная высшего порядка.

Обыкновенные дифференциальные уравнения применяются в реальной жизни по разным причинам. Они используются во многих приложениях, таких как объяснение концепций термодинамики, движение объекта туда и обратно, как маятник, для расчета движения или потока электричества. Кроме того, в области медицины они используются для проверки роста бактерий и роста заболеваний в графическом представлении.

Применение дифференциального уравнения первого порядка

Чтобы объяснить физический процесс, мы моделируем его на бумаге, используя дифференциальные уравнения первого порядка. Многие случаи моделирования встречаются в медицинских, инженерных или химических процессах. Три наиболее часто моделируемые системы:

Популяция

Чтобы проиллюстрировать использование дифференциальных уравнений в отношении проблем популяции, мы рассмотрим простейшую математическую модель, предложенную для управления динамикой популяции определенного вида.

вы также можете прочитать о матрицах здесь

Падающие предметы

Ускорение свободного падения постоянно (у поверхности

земли). Итак, для падающих тел скорость изменения скорости постоянна. {dv\over{dt}}=g

Задачи смешивания

Задачи смешивания являются приложением разделимых дифференциальных уравнений. Это текстовые задачи, которые требуют от нас создания разделимого дифференциального уравнения, основанного на концентрации вещества в резервуаре.

Применение дифференциального уравнения второго порядка

Дифференциальное уравнение второго порядка включает две производные уравнения. Многие технические процессы подчиняются дифференциальным уравнениям второго порядка. Три наиболее часто моделируемые системы: 92}}=-кмх. Это дифференциальное уравнение для простого гармонического движения с n2=km. Следовательно, период движения равен 2πn. Можно сделать вывод, что чем больше масса, тем больше период, а чем сильнее пружина (т. е. чем больше константа жесткости), тем короче период.

Связи между атомами или молекулами

Химические связи — это силы, удерживающие атомы вместе для образования соединений или молекул. Химические связи включают ковалентные, полярные ковалентные и ионные связи. Они представлены с помощью дифференциальных уравнений второго порядка.

Системы электрических цепей

Системы электрических цепей, состоящие из индуктора и резистора, соединенных последовательно

Цепь, содержащая индуктивность L или конденсатор C и резистор R с переменными током и напряжением, определяемыми дифференциальным уравнением той же формы. Дифференциальное уравнение второго порядка представляет собой производные, включающие и равные количеству элементов, запасающих энергию, и дифференциальное уравнение считается обычным

Распространенные применения дифференциальных уравнений в физике

Выше мы узнали о различных типах дифференциальных уравнений и их применении. Теперь давайте кратко изучим некоторые из основных приложений. Основные области применения перечислены ниже. среда, так называемая температура окружающей среды. Пусть T(t) — температура тела, а T(t) — постоянная температура окружающей среды.

Тогда скорость охлаждения тела обозначается \({dT(t)\over{t}}\) пропорциональна T(t) – TA. Это означает, что

\({dT\over{t}}=k(T(t) — T_A)\)

, где k — константа пропорциональности. Значение константы k определяется физическими характеристиками объекта.

Если объект большой и хорошо изолированный, то он теряет или набирает тепло медленно, а константа k мала. Если объект мал и плохо изолирован, то он теряет или набирает тепло быстрее, а константа k велика.

Предположим, что тело остывает, затем температура тела падает и теряет тепловую энергию в окружающую среду. Тогда у нас есть \(T>T_A\). Таким образом, \({dT\over{t}}\) < 0. Следовательно, константа k должна быть отрицательной.

Если тело нагревается, то температура тела увеличивается и получает тепловую энергию от окружающей среды и \(T < T_A\). Таким образом, \({dT\over{t}}\) > 0, а константа k должна быть отрицательной, это произведение двух отрицаний, и она положительна.

В соответствии с законом охлаждения Ньютона мы можем предсказать, сколько времени потребуется горячему объекту, чтобы остыть до определенной температуры. Кроме того, мы можем сказать нам, как быстро остывает горячая вода в трубах, и это говорит нам, как быстро остывает водонагреватель, если вы выключите выключатель, а также это помогает указать время смерти, учитывая вероятную температуру тела в это время. смерти и текущей температуры тела.

Закон охлаждения Ньютона приводит к классическому уравнению экспоненциального затухания во времени 9{kt}\),

Это уравнение представляет собой закон охлаждения Ньютона.

Узнайте больше о логарифмических функциях здесь.

Рост популяции

Чтобы проиллюстрировать использование дифференциальных уравнений в отношении проблем популяции, мы рассмотрим простейшую математическую модель, предлагаемую для управления динамикой популяции определенного вида. Одна из первых попыток смоделировать рост населения с помощью математики была предпринята английским экономистом Томасом Мальтусом в 179 г.8. По сути, идея мальтузианской модели заключается в предположении, что скорость, с которой население страны растет в определенное время, пропорциональна общей численности населения страны в это время. В математических терминах, если P(t) обозначает общую численность населения в момент времени t, то это предположение можно выразить как

\({dP\over{T}}=kP(t)\)

, где k называется постоянная роста или постоянная затухания, в зависимости от ситуации.

Решение уравнения обеспечит численность населения в любой момент времени t в будущем. Эта простая модель, которая не принимает во внимание многие факторы (например, иммиграцию и эмиграцию), которые могут влиять на рост или сокращение численности населения, тем не менее оказалась достаточно точной в прогнозировании численности населения. 9{kt}\)

, где начальная популяция, т. е. \(p(0)=p_o\), и k называются константой роста или распада.

Отсюда делаем следующий вывод:

если k>0, то популяция растет и продолжает увеличиваться до бесконечности, то есть

\(\lim_{t{\rightarrow}\infty}\)

если k<0, то популяция будет сокращаться и стремиться к 0. Другими словами, нам грозит вымирание.

Уравнение Бернулли

Принцип Бернулли гласит, что увеличение скорости жидкости происходит одновременно с уменьшением статического давления или уменьшением потенциальной энергии жидкости.

Принцип Бернулли можно применять к различным типам течения жидкости, что приводит к различным формам уравнения Бернулли.

Принцип Бернулли можно вывести из принципа сохранения энергии. Это утверждает, что в стационарном потоке сумма всех форм энергии в жидкости вдоль линии тока одинакова во всех точках этой линии тока. Это требует, чтобы сумма кинетической энергии, потенциальной энергии и внутренней энергии оставалась постоянной.

Рассмотрим дифференциальное уравнение, заданное 9{-kt}\)

Когда \(N_0\) положительно и k постоянно, N(t) уменьшается с уменьшением времени,

\({dL\over{dt}}=-k\)

R — модель экспоненциальной редукции.

Применение дифференциальных уравнений в реальной жизни

Дифференциальные уравнения находят применение в:

В области медицины для изучения роста или распространения определенных заболеваний в организме человека.
В предсказании движения электричества.
В описании различных экспоненциальных нарастаний и спадов.
В расчете оптимальных инвестиционных стратегий в помощь экономистам.
При описании уравнения движения волн или маятника.
Существуют различные другие применения дифференциальных уравнений в области машиностроения (определение уравнения падающего тела, закон охлаждения Ньютона, уравнения контура RL и т. д.), физики, химии, геологии, экономики и т. д.

Надеюсь, что эта статья о применении дифференциальных уравнений была информативной. Попрактикуйтесь в том же в нашем бесплатном приложении Testbook. Скачать сейчас!

Часто задаваемые вопросы по применению дифференциальных уравнений

Q.1 Каковы применения дифференциальных уравнений?

Ans.1 Дифференциальные уравнения находят применение в: В области медицины для изучения роста или распространения определенных заболеваний в организме человека. В предсказании движения электричества. В описании различных экспоненциальных нарастаний и спадов. В расчете оптимальных инвестиционных стратегий помогают экономисты. При описании уравнения движения волн или маятника. Существуют различные другие приложения дифференциальных уравнений в области техники (определение уравнения падающего тела, закон охлаждения Ньютона, уравнения RL-цепи и т. д.), физики, химии, геологии, экономики и т. д.

Q.2 Что такое дифференциальное уравнение и его применение?

Ответ 2 Дифференциальное уравнение — это математическое выражение, содержащее одну или несколько производных. Дифференциальное уравнение является концепцией математики. Дифференциальное уравнение — это уравнение, связывающее одну или несколько функций и их производные. Он включает производную функции или зависимой переменной по отношению к независимой переменной. Рост населения, колебания весны, тепловой поток и радиоактивный распад можно представить с помощью дифференциального уравнения.

Q.3 Для чего используются оды?

Ответ 3 Обыкновенное дифференциальное уравнение – это дифференциальное уравнение, содержащее одну или несколько функций одной независимой переменной и производные этих функций. ОДУ используются во многих приложениях, таких как объяснение концепций термодинамики, движение объекта туда и обратно, как маятник, для расчета движения или потока электричества.

Кроме того, в области медицины они используются для проверки роста бактерий и роста заболеваний в графическом представлении.

Q.4 Насколько полезны дифференциальные уравнения?

Ответ 4 Дифференциальные уравнения очень важны при математическом моделировании физических систем.

Q.5 Какие бывают типы дифференциальных уравнений?

Ans.5 Обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения в частных производных, линейные дифференциальные уравнения, нелинейные дифференциальные уравнения, однородные дифференциальные уравнения и неоднородные дифференциальные уравнения — это различные типы дифференциальных уравнений.

Скачать публикацию в формате PDF

Подробнее Сообщения

Ортогональные круги: узнайте об определении, условии ортогональности с диаграммами.
Производные алгебраических функций: изучите формулу и доказательство, используя примеры решений
Семейство прямых с важными свойствами, типы семейств прямых
Сумма формулы арифметической прогрессии для N -го термина и суммы N Условий

Дифференциальные уравнения в реальных жизни

Использование для дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения

мир вокруг нас. Они используются в самых разных дисциплинах, от биологии, экономики, физики, химии и техники. Они могут описывать экспоненциальный рост и упадок, рост популяции видов или изменение возврата инвестиций с течением времени. Дифференциальное уравнение — это уравнение, которое записывается в виде dy/dx = ………. Некоторые из них можно решить (чтобы получить y = …..) просто путем интегрирования, другие требуют гораздо более сложной математики.

Модели населения

Одним из основных примеров дифференциальных уравнений является мальтузианский закон роста населения dp/dt = rp, показывающий, как население (p) изменяется во времени. Константа r будет меняться в зависимости от вида. Мальтус использовал этот закон, чтобы предсказать, как вид будет расти с течением времени.

Более сложные дифференциальные уравнения можно использовать для моделирования отношений между хищниками и жертвами. Например, по мере увеличения количества хищников добыча уменьшается по мере того, как съедается больше. Но тогда хищникам станет меньше есть и они начнут вымирать, что позволит выжить большему количеству добычи. Взаимодействия между двумя популяциями связаны дифференциальными уравнениями.

Изображение выше взято из онлайн-симулятора «хищник-жертва». Это позволяет вам изменять параметры (такие как рождаемость хищника, агрессия хищника и зависимость хищника от своей жертвы). Затем вы можете смоделировать, что происходит с двумя видами с течением времени. На графике выше популяция хищников показана синим, а популяция жертв красным — и создается, когда хищник очень агрессивен (он будет очень часто нападать на добычу), а также очень зависит от жертвы (он не может добыть пищу). из других источников). Как вы можете видеть, эта конкретная взаимосвязь порождает демографический бум и крах — хищник быстро поедает популяцию добычи, быстро растет — прежде чем у него кончается добыча, а затем у него не остается другой пищи, таким образом, он снова вымирает.

На приведенном выше графике показано, что происходит, когда вы достигаете точки равновесия — в этой симуляции хищники гораздо менее агрессивны, и это приводит к тому, что обе популяции имеют стабильные популяции.

Существуют также более сложные модели «хищник-жертва», такие как показанная выше модель взаимодействия лосей и волков. Это имеет больше параметров для управления. На приведенном выше графике показано почти периодическое поведение популяции лосей при в значительной степени стабильной популяции волков.

Некоторые другие применения дифференциальных уравнений включают:

1) В медицине для моделирования роста рака или распространения болезни
2) В технике для описания движения электричества
3) В химии для моделирования химических реакций
4) В экономике найти оптимальные инвестиционные стратегии
5) В физике для описания движения волн, маятников или хаотических систем.

Обладая такой способностью описывать реальный мир, способность решать дифференциальные уравнения является важным навыком для математиков. Если вы хотите узнать больше, вы можете прочитать о том, как их решить здесь.

Если вам понравился этот пост, вам также могут понравиться:

Муравей Лэнгтона — Порядок из Хаоса Как можно использовать компьютерное моделирование для моделирования жизни.