Примеры функция: Примеры функций и их графиков — Функции — Математика — Алгебра

Примеры функций и их графиков — Функции — Математика — Алгебра

Примеры функций и их графиков

Линейная функция

Линейной называется функция, которую можно задать формулой , где х — аргумент, а k и b — данные числа.
График линейной функции — прямая. k называется угловым коэффициентом прямой, которая является графиком линейной функции. Каждая прямая на координатной плоскости, которая является перпендикулярной к оси абсцисс,- график некоторой линейной функции.
Через две точки можно провести одну и только одну прямую, поэтому для построения графика линейной функции достаточно знать координаты двух точек (очень хорошо, если это будут точки пересечения графика с осями). Точка пересечения графика с осью абсцисс имеет ординату 0, а точка пересечения графика с осью ординат имеет абсцису 0.
Пример
Постройте график функции .
, ; , , , .

x	0	1,5
y	-3	0

Построим график (см. рисунок).

Если в линейной функции , то график функции пересекает ось абсцисс;
если , то график функции — прямая, параллельная оси абсцисс;
если , , график функции совпадает с осью абсцисс.
Графики двух линейных функций пересекаются, если их угловые коэффициенты различны, и параллельны, если их угловые коэффициенты одинаковы.
Можно найти координаты точки пересечения прямых, не выполняя построения графиков функций. Так, если прямые заданы уравнениями и , то достаточно решить систему уравнений:

Линейную функцию, которая задается формулой , где , называют прямой пропорциональностью.
График прямой пропорциональности — прямая, проходящая через начало координат. Если , график лежит в I и III координатных четвертях, а если — то во II и IV координатных четвертях.
Примеры
1) , , .
2) , , .
Построим в одной системе координат графики функций и (см. рисунок).

Обратная пропорциональность

Функцию, заданную формулой , где х — независимая переменная, — данное число, называют обратной пропорциональностью.
Область определения функции — множество всех чисел, кроме 0.
График функции — гипербола, симметричная относительно начала координат. Когда , ветки такой гиперболы расположены в I и III координатных углах, когда — в II и IV.
В качестве примера построим график функции . Заполним таблицу (значение x задаем, y — вычисляем по формуле :

Нанесем полученные точки на координатную плоскость. Соединив эти точки плавной линией, получим график (см. рисунок):

Обратите внимание на поведение графика вблизи осей координат. График до них бесконечно приближается, но не пересекает. Действительно, не входит в область определения, следовательно, точки пересечения с осью Oy нет. ни при каком значении х, значит, если , точки пересечения с осью Ox нет.

Функция

Заполним таблицу (значение x задаем, y — вычисляем по формуле y = x2).

x	0
y	0	1	4	9	0,25

Нанесем найденные точки на координатную плоскость. Соединив эти точки, получим график функции (см. рисунок ниже).
Область определения этой функции — множество всех действительных чисел.
. График проходит через начало координат .
при всех значениях х. Все точки графика расположены ниже оси Ох.
Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции, то есть график симметричен относительно оси ординат.

Функция

Область определения — множество всех неотрицательных действительных чисел.
График — одна ветвь параболы, которая расположена в I координатном углу (см. рисунок).

Назад

Содержание

Вперед

Функция ЕСЛИ в Excel с примерами нескольких условий

Логический оператор ЕСЛИ в Excel применяется для записи определенных условий. Сопоставляются числа и/или текст, функции, формулы и т.д. Когда значения отвечают заданным параметрам, то появляется одна запись. Не отвечают – другая.

Логические функции – это очень простой и эффективный инструмент, который часто применяется в практике. Рассмотрим подробно на примерах.

Синтаксис функции ЕСЛИ с одним условием

Синтаксис оператора в Excel – строение функции, необходимые для ее работы данные.

=ЕСЛИ (логическое_выражение;значение_если_истина;значение_если_ложь)

Разберем синтаксис функции:

Логическое_выражение – ЧТО оператор проверяет (текстовые либо числовые данные ячейки).

Значение_если_истина – ЧТО появится в ячейке, когда текст или число отвечают заданному условию (правдивы).

Значение,если_ложь – ЧТО появится в графе, когда текст или число НЕ отвечают заданному условию (лживы).

Пример:

Оператор проверяет ячейку А1 и сравнивает ее с 20. Это «логическое_выражение». Когда содержимое графы больше 20, появляется истинная надпись «больше 20». Нет – «меньше или равно 20».

Внимание! Слова в формуле необходимо брать в кавычки. Чтобы Excel понял, что нужно выводить текстовые значения.

Еще один пример. Чтобы получить допуск к экзамену, студенты группы должны успешно сдать зачет. Результаты занесем в таблицу с графами: список студентов, зачет, экзамен.

Обратите внимание: оператор ЕСЛИ должен проверить не цифровой тип данных, а текстовый. Поэтому мы прописали в формуле В2= «зач.». В кавычки берем, чтобы программа правильно распознала текст.



Функция ЕСЛИ в Excel с несколькими условиями

Часто на практике одного условия для логической функции мало. Когда нужно учесть несколько вариантов принятия решений, выкладываем операторы ЕСЛИ друг в друга. Таким образом, у нас получиться несколько функций ЕСЛИ в Excel.

Синтаксис будет выглядеть следующим образом:

=ЕСЛИ(логическое_выражение;значение_если_истина;ЕСЛИ(логическое_выражение;значение_если_истина;значение_если_ложь))

Здесь оператор проверяет два параметра. Если первое условие истинно, то формула возвращает первый аргумент – истину. Ложно – оператор проверяет второе условие.

Примеры несколько условий функции ЕСЛИ в Excel:

Таблица для анализа успеваемости. Ученик получил 5 баллов – «отлично». 4 – «хорошо». 3 – «удовлетворительно». Оператор ЕСЛИ проверяет 2 условия: равенство значения в ячейке 5 и 4.

В этом примере мы добавили третье условие, подразумевающее наличие в табеле успеваемости еще и «двоек». Принцип «срабатывания» оператора ЕСЛИ тот же.

Расширение функционала с помощью операторов «И» и «ИЛИ»

Когда нужно проверить несколько истинных условий, используется функция И. Суть такова: ЕСЛИ а = 1 И а = 2 ТОГДА значение в ИНАЧЕ значение с.

Функция ИЛИ проверяет условие 1 или условие 2. Как только хотя бы одно условие истинно, то результат будет истинным. Суть такова: ЕСЛИ а = 1 ИЛИ а = 2 ТОГДА значение в ИНАЧЕ значение с.

Функции И и ИЛИ могут проверить до 30 условий.

Пример использования оператора И:

Пример использования функции ИЛИ:

Как сравнить данные в двух таблицах

Пользователям часто приходится сравнить две таблицы в Excel на совпадения. Примеры из «жизни»: сопоставить цены на товар в разные привозы, сравнить балансы (бухгалтерские отчеты) за несколько месяцев, успеваемость учеников (студентов) разных классов, в разные четверти и т.д.

Чтобы сравнить 2 таблицы в Excel, можно воспользоваться оператором СЧЕТЕСЛИ. Рассмотрим порядок применения функции.

Для примера возьмем две таблицы с техническими характеристиками разных кухонных комбайнов. Мы задумали выделение отличий цветом. Эту задачу в Excel решает условное форматирование.

Исходные данные (таблицы, с которыми будем работать):

Выделяем первую таблицу. Условное форматирование – создать правило – использовать формулу для определения форматируемых ячеек:

В строку формул записываем: =СЧЕТЕСЛИ (сравниваемый диапазон; первая ячейка первой таблицы)=0. Сравниваемый диапазон – это вторая таблица.

Чтобы вбить в формулу диапазон, просто выделяем его первую ячейку и последнюю. «= 0» означает команду поиска точных (а не приблизительных) значений.

Выбираем формат и устанавливаем, как изменятся ячейки при соблюдении формулы. Лучше сделать заливку цветом.

Выделяем вторую таблицу. Условное форматирование – создать правило – использовать формулу. Применяем тот же оператор (СЧЕТЕСЛИ).

Скачать все примеры функции ЕСЛИ в Excel

Здесь вместо первой и последней ячейки диапазона мы вставили имя столбца, которое присвоили ему заранее. Можно заполнять формулу любым из способов. Но с именем проще.

Примеры функций — Math Insight

Функция — это отображение набора входных данных (домен) в набор возможных выходных данных (домен кода). Определение функции основано на наборе упорядоченных пар, где первый элемент в каждой паре принадлежит домену, а второй — кодовому домену. Но метафора, которая облегчает понимание идеи функции, — это функциональная машина, где вход $x$ из домена $X$ подается в машину, и машина выдает элемент $y=f(x) $ из кодового домена $Y$. Ниже домен визуализируется как набор сфер, а кодовый домен — как набор кубов, так что функциональная машина преобразует сферы в кубы.

Мы часто думаем, что функция принимает число на вход и производит другое число на выходе. Но мы могли бы создать функциональную машину, которая работает с разными типами объектов, так что функция никоим образом не ограничивается числами. Чтобы проиллюстрировать этот факт, мы начнем с примеров, которые работают с объектами, отличными от чисел. Затем мы обратимся к более традиционным функциям, где домен и кодовый домен представляют собой наборы чисел.

Пример 1: Материнская машина

Пусть множество $X$ возможных входов в функцию (домен) будет множеством всех людей.

Чтобы упростить этот пример, мы предположим, что у всех людей ровно одна мать (т. е. мы проигнорируем проблему происхождения нашего вида и не будем беспокоиться о таких людях, как Адам и Ева). Мы собираемся создать функцию $m$ от людей к людям, поэтому пусть множество возможных выходов нашей функции (кодовый домен) также будет множеством $X$ людей. (Мы можем записать это, используя обозначение функции как $m: X \to X$.) Мы определяем функцию $m$ так, что $m(x)$ является матерью человека $x$ для всех людей $x \in X$ (в замешательстве?).

Если, например, мы поместим Мартина Лютера Кинга-младшего в нашу материнскую функцию, мы получим $$m(\text{Мартин Лютер Кинг-младший})=\text{Альберта Уильямс Кинг}.$$ Или если мы добавим мадам Кюри, мы получим $$m(\text{Мария Склодовская-Кюри})=\text{Бронислава Склодовская}.$$

Эта функция корректно определена, поскольку мы предполагаем, что каждый элемент $x \in X$ отображается через функцию машину к уникальному элементу $y \in X$, т. е.

у каждого человека $x$ есть ровно одна мать $y$. Хотя кодовый домен представляет собой набор всех людей $X$, ясно, что эта функция не сможет вывести определенных людей. Материнская функция $m$ никак не может вывести ни мужчин, ни бездетных женщин. Другими словами, диапазон функции $m$ — это множество женщин, у которых были дети, которое является правильным подмножеством множества $X$ всех людей.

Пример 2: Количество детей

Функция может выводить объекты совершенно другого типа, чем входные данные, как показано на рисунке выше, где сферы входят в функциональную машину, а кубы выходят. Мы могли бы определить функцию, в которой домен $X$ снова представляет собой набор людей, а кодовый домен — это набор чисел.

Например, пусть областью значений $Y$ является множество целых чисел, и определим функцию $c$ так, чтобы для любого человека $x$ выход функции $c(x)$ был числом детей этого человека. $х$. Поскольку существует верхний предел количества детей, которое может иметь человек, ясно, что диапазон $c$ не является всем набором $Y$ целых чисел.

Подставив тех же людей в функцию дочернего числа, мы получим $c(\text{Мартин Лютер Кинг-младший})=4$ и $c(\text{Мария Склодовская-Кюри})=2.$

Пример 3: символы

Домен и кодовый домен функции могут быть множествами объектов любого типа. Например, доменом может быть множество $A = \{\bigcirc, \bigtriangleup, \bigstar,\square \}$, а кодовым доменом может быть множество $B=\{\Diamond, \bigstar, \square, \ bigcirc, \circ \}$. Мы могли бы определить функцию $f$ вида $$f: \{\bigcirc, \bigtriangleup, \bigstar,\square \} \to \{\Diamond, \bigstar, \square, \bigcirc, \circ\} $$ который отображает каждый из четырех символов в $A$ на один из пяти символов в $B$. Мы могли бы определить функцию как $f(\bigcirc)=\Diamond$, $f(\bigtriangleup)= \square$, $f(\bigstar)= \square$ и $f(\square)=\bigstar$ . (Эквивалентно, используя определение упорядоченной пары, мы могли бы определить $f$ набором упорядоченных пар $\{(\bigcirc, \Diamond), (\bigtriangleup, \square ), (\bigstar, \square), (\square ,\bigstar) \}$.

) Поскольку $f$ никогда не отображается на элементы $\bigcirc$ или $\circ$ кодомена, областью значений функции является множество $\{\Diamond, \bigstar, \square \}$. 92-x & \text{if} x \ge 4 \end{случаи} \конец{выравнивание*} чтобы определить функцию от действительных чисел к действительным числам. Для любого входного вещественного числа $x$ он сначала проверяет, является ли $x \lt -1$ или $-1 \le x \lt 4$ или $x \ge 4$, а затем присваивает выход, используя соответствующие формула. Поскольку для любого действительного числа $x$ выполняется ровно одно из этих трех условий, формула однозначно присваивает действительное выходное значение $p(x)$ для каждого $x$. Назовем такую ​​формулу

кусочно 92-10=90$.

Другие примеры

Как следует из метафоры функциональной машины, существует бесконечное разнообразие типов функций, которые вы можете определить. Вам просто нужно придумать набор объектов для ввода, набор объектов для возможных выходов и решить, какую функцию машина выплюнет для каждого объекта ввода.

Объекты ввода или вывода могут быть даже наборами, содержащими множество частей. Например, можно создать функциональную машину, которая требует как целое число $i$, так и человека $p$ в качестве входных данных, добавляет число $i$ к числу потомков человека $p$ и выдает результат как свой. вывод. Или можно создать функциональную машину, которая принимает на вход человека $p$ и выводит два числа: количество детей мужского пола и количество детей женского пола человека $p$.

Функция Onto — определение, формула, свойства, график, примеры

Функция Onto — это функция f, которая отображает элемент x в каждый элемент y. Это означает, что для каждого y существует такой x, что f(x) = y. Onto Функция также называется сюръективной функцией. Понятие онтофункции очень важно при определении обратной функции. Чтобы определить, включена ли функция, нам нужно знать информацию об обоих задействованных множествах. Функции Onto используются для проецирования векторов на плоские 2D-экраны в 3D-видеоигре.

Любую функцию можно разложить на он-функцию или сюръекцию и инъекцию. В этой статье мы рассмотрим определение и свойства функции on на примерах.

1.	Что такое Onto-функция?
2.	Примеры функций
3.	К формуле функции
4.	Свойства функции Onto
5.	График функции Onto
6.	Связь между функцией Onto и функцией One-to-One
7.	Часто задаваемые вопросы о функции Onto

Что такое Onto-функция?

Онто-функция — это функция, образ которой равен ее кодовому домену. Кроме того, диапазон и кодовый домен онто-функции равны. Мы также можем сказать, что функция включена, когда каждый y ∈ кодовый домен имеет по крайней мере один прообраз x ∈ домен. Давайте продолжим и изучим определение функции on.

Онто-функция Определение

Функция f из множества A в множество B называется онто-функцией, если для каждого b ∈ B существует хотя бы одно a ∈ A такое, что f(a) = b. Ни один из элементов не пропущен в онто-функции, потому что все они отображаются в какой-либо элемент из A. Рассмотрим пример, приведенный ниже:

Пусть A = {a ₁ , a ₂ , a ₃ } и B = {b ₁ , b ₂ }, тогда f : A→B.

Примеры функций

Для любой онто-функции y = f(x) все элементы в y должны отображаться в любой элемент в x. Вот несколько примеров онто-функций.

• Функция тождества для любого множества X является онто-функцией.
• Функция f : Z → {0, 1, 2}, определяемая формулой f(n) = n mod 3, является онто-функцией.

Давайте разберемся с концепцией онто-функции, используя ситуацию из реальной жизни.

Рассмотрим функцию, представляющую броски 15 учеников в классе.

Здесь 15 студентов являются областью определения функции, а их числовые значения составляют область значений данной функции. Поскольку для каждого номера списка в системе будет студент, это пример онто-функции.

Формула функции

Существует формула для определения количества онто-функций из одного множества в другое. В функции от A до B нам нужно убедиться, что используются все элементы B. 9{м}
\end{equation}\)

Нужно отметить, что эта формула будет работать, только если m ≥ n. Но если m < n, то количество онто-функций будет равно 0, так как невозможно использовать все элементы B.
Следовательно,

• , если n < m, количество онто-функций = 0
• , если n = m, количество онто-функций = m!

Пример расчета количества онто-функций:

Давайте посмотрим, как найти количество онто-функций на примере. Если A имеет m элементов, а B имеет 2 элемента, то количество онто-функций будет 2 ^m

— 2. Это можно объяснить так:

• От набора m элементов в A до набора из 2 элементов в B общее количество функций будет 2 ^m .
• И из этих функций 2 функции не включены, если все элементы сопоставлены с элементом 1 ^st B или все элементы сопоставлены с элементом 2 ^nd B.
• Таким образом, общее количество онтофункций равно 2 ^m — 2.

Свойства функции Onto

Функция считается онто-функцией только в том случае, если диапазон равен кодовому домену. Вот некоторые из важных свойств on-функции:

• В on-функции каждому элементу домена кодов будет присвоено хотя бы одно значение в домене.
• Каждая онтологическая функция имеет правую обратную.
• Каждую функцию, имеющую правую обратную, можно рассматривать как онтофункцию.
• Функция f: A → B является онтообразной или сюръективной функцией, если область значений f равна кодовой области функции f.
• Пусть f: A → B — произвольная функция, тогда у каждого члена A есть образ под f, и все изображения будут рассматриваться как элементы T. Множество R этих изображений можно рассматривать как область значений функции f .

График функции Onto

Самый простой способ определить, является ли функция онто-функцией с помощью графа, — это сравнить диапазон с кодовым доменом. Если диапазон равен кодовому домену, то функция включена. График любой функции можно рассматривать как находящийся тогда и только тогда, когда каждая горизонтальная линия пересекает график хотя бы в одной или нескольких точках. Если есть элемент диапазона функции, который не проходит тест горизонтальной линии, не пересекая график функции, то функция не является сюръективной. Приведенное ниже изображение является примером графика онто-функции:

Связь между функцией Onto и функцией One-to-One

В дополнение к онто-функции, взаимно-однозначная функция также является важной предпосылкой для изучения обратных функций. Сюръективные и инъективные функции — это разные названия онто- и взаимно-однозначных функций соответственно. Основное отличие состоит в том, что функции on обращаются ко всем выходным значениям, тогда как функции one-to-one — это те, в которых каждый x связан только с одним y.

Функция, которая является одновременно и One to One, и Onto, называется биективной функцией. Каждое значение выходного набора связано с входным набором, а каждое выходное значение связано только с одним входным значением.

На изображении выше вы можете видеть, что каждый элемент в левом наборе соединяется ровно один раз с каждым элементом в правом наборе, следовательно, эта функция один к одному, и каждый элемент в правом наборе соединяется с левый набор, и, таким образом, он также включен. Поскольку оно является одновременно и взаимно однозначным, и однозначным, оно называется биективным. Например, функция y = x также и один к одному и на; следовательно, оно биективно. Биективные функции — это специальные классы функций; говорят, что у них есть инверсия.

☛ Связанные статьи о функции Onto

Ознакомьтесь со следующими страницами, посвященными функции onto.

• Обратная функция
• Графические функции
• Функция один на один

Важные примечания о функции Onto

Вот список нескольких моментов, которые следует помнить при изучении функции.

• Функция включена, когда ее диапазон и кодовый домен равны.
• Любую функцию можно разложить на он-функцию или сюръекцию и инъекцию.

Часто задаваемые вопросы о функции Onto

Что понимается под функцией Onto?

Функция — это на функцию , когда ее диапазон и кодовый домен равны. Мы также можем сказать, что функция включена, когда каждый кодовый домен y ∈ имеет хотя бы один прообраз x ∈ домен.

Как узнать, является ли функция онто-функцией?

Функция g из множества A в множество B называется онтофункцией, если для каждого b ∈ B существует хотя бы одно a ∈ A такое, что g (a) = b. Чтобы показать, что g — онтофункция, мы можем положить y = g(x) и затем найти x, или мы также можем показать, что x всегда может быть выражено через y для любого y ∈ B.

В чем разница между функциями Onto и Into?

Основное различие между функцией on и функцией into состоит в том, что для функции on каждый элемент выходного множества B обязательно должен быть связан с элементами входного множества A. Тогда как для функции into должно быть не менее один элемент в выходном наборе B, который не должен быть связан с элементами входного набора A.

Как доказать, что функция не соответствует?

Чтобы доказать, что функция не является точной, мы должны найти элемент в домене кодов, который не является образом ни одного элемента домена.

Может ли функция быть одновременно и One to One, и Onto?

Да, может быть функция, которая является и взаимно однозначной, и on, и она называется биективной функцией. Каждое значение выходного набора связано с входным набором, а каждое выходное значение связано только с одним входным значением.

Каково другое название функции Onto?

Функция Онто также называется сюръективной функцией. Любую функцию можно разложить на онто-функцию или сюръекцию и инъекцию.

В чем разница между функциями One-to-One и Onto?

Сюръективные и инъективные функции — это разные названия функций Onto и One to One соответственно. Основное отличие состоит в том, что сюръективные функции охватывают все выходные значения, тогда как инъективные функции — это те, в которых каждый x связан только с одним y.

Что такое функции One-One и Onto?

Функции «один к одному» — это специальные функции, которые возвращают уникальный диапазон для каждого элемента в своей области, а функции on — это функции с диапазоном, равным кодовому домену.

Как определить, находится ли функция на функции с помощью графика?

Метод определения того, является ли функция онто-функцией с помощью графа, заключается в сравнении диапазона с доменом кода из графа. Если диапазон равен кодовому домену, то данная функция включена.

No related posts.