Примеры линейных пространств: 09.1. Линейное пространство. Подпространство

Содержание

09.1. Линейное пространство. Подпространство

Линейным действительным пространством или векторным действительным пространством называется множество Vэлементов х, у, ж, для которых определены операции сложения элементов и умножения элемента на действительное число, удовлетворяющие следующим аксиомам: I. х + у = х + у, II. (х+у)+2=х+(у+-ж), III. Существует нулевой элемент 0 такой, что х+0 = х, IV. Для каждого х еУ существует противоположный элемент — х такой, что х + (-х) = О, V. 1х = х, VI. а(рх)= (ар)х, VII. а(х + у) = =ах+ау, VIII. (а+р)х = ах+рх.

Эти аксиомы выполняются соответственно для всех х, у, г е V, а, р е*К.

Элементы действительного линейного пространства называются векторами. Замечание. Аналогично определяется комплексное линейное пространство: вместо множества К действительных чисел рассматривается множестве С комплексных чисел.

Из определения линейного пространства вытекают следующие утверждения.

1. В линейном пространстве имеется единственный нулевой элемент.

2. Для любого элемента х линейного пространства существует единственны элемент — х.

3. Для элемента — х противоположным будет элемент х.

4. Для любого элементах произведение Ох = 0, где 0 — нуль, 0 — нулевой элемен

5. Для любого элемента х (-1) х = — х, где (- х) — элемент, противоположный*

6. Для любого числа а произведение аО = 0, где 0 — нулевой элемент.

7. Если ах = 0 и а * 0, то х = 0.

8. Если ах = 0 и х * 0, то а = 0.

Равенство ах = 0 выполняется тогда и только тогда, когда а = 0 или х = 0. Замечание. Сумму х+(-у) обозначают х — у и называют разноси

Элементов х и у.

Примеры линейных пространств.

1. Множество У3 всех свободных векторов а (о,, а2> а3), для которых оп]

Делены сложение и умножение вектора на число так, как в п. 3.2, является ли» ным пространством. Отметим, что роль нулевого элемента здесь играет ну вектор; для любого вектора а противоположным является — а. Аксиомы I — \ выполняются, о чем свидетельствуют формулы п.

3.2.

2. Множество всех матриц размеромДля которых определены сложение матриц и умножение матрицы на число соответственно формулами (S.2), (S.4). Роль нулевого элемента здесь играет нулевая матрица; для матрицыПротивоположной является матрицаАксиомыВыполняются (см. п. 5.2, свойства 1-8 линейных операций над матрицами).

3. МножествоВсех алгебраических многочленов степени, не превышающей натурального числаДля которых операции сложения многочленов и умножения многочлена на действительное число определены обычными правилами. Нулевой элемент — многочлен, все коэффициенты которого равны нулю; для многочленаПротивоположным будет

Замечание. Множество всех многочленов степени, точно равной натуральному числу и, не является линейным пространством, так как сумма двух таких многочленов может оказаться многочленом степени ниже(т. е. не принадлежать рассматриваемому множеству).

4. МножествоЭлементами которого являются упорядоченные совокупности и действительных чиселКаждый элемент этого множества будем обозначать одним символом, напримерИ писать

Действительные числа называют координатами элемента х. Линейные операции над элементамиОпределяются формулами

Отметим, что элементЯвляется нулевым,

Элемент ___ — противоположным элементу

5. МножествоВсех функцийОпределенных и непрерывных на отрезкеОперации сложения этих функций и умножения функции на число определяются обычными правилами. Нулевым элементом является функцияДля всех. Элементом, противоположным

Элементу, будет

МножествоНазывается подпространством линейного пространства,

Если выполняются следующие условия: 1. В множествеОпределены те же операции, что и в множестве. 2. Если _, то3. Если, то . Очевидно, всякое подпространствоЛинейного пространстваЯвляется линейным пространством, т. е. вВыполняются аксиомыПрежде всего, в

Имеется нулевой элементЕсли,’ тоДля любого элемента

Имеется противоположный элемент: еслиТо

Отметим, что нулевой элементЛинейного пространстваОбразует подпространство этого пространства, которое, называют нулевым подпространством.

Само линейное пространство V можно рассматривать как подпространство, этого пространства. Эти подпространства называются тривиальными, а все другие, если они имеются, — нетривиальными. Приведем примеры нетривиальных подпространств. 1. Множество У2 всех свободных векторов а (о,, а2), параллельных

Некоторой плоскости, для которых обычным образом определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, представляет подпространство линейного пространства У3. 2. Множество У, всех свободных векторов а (в,), параллельных некоторой прямой, также является подпространством линейного пространства У3. 3. Множество { Р„_,(*)} всех алгебраических многочленов степени, не превышающей натурального числа и —41, является подпространством линейного пространства {Р„(х) }.

< Предыдущая		Следующая >

Учебное пособие по линейной алгебре

А. П. Громов. Учебное пособие по линейной алгебре. Изд-во «Просвещение». М. 1971 г.

Линейные пространства, линейные преобразования, евклидовы пространства, квадратичные формы.

Для студентов заочных отделений физико-математических факультетов педагогических институтов по курсу высшей алгебры.

Глава I. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 2. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ
§ 3. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ
§ 4. БАЗИС ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА ОТНОСИТЕЛЬНО БАЗИСА
§ 5. РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА
§ 6. ИЗОМОРФИЗМ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ
§ 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ВЕКТОРА ПРИ ИЗМЕНЕНИИ БАЗИСА
§ 8. ПОДПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА
§ 9. ЛИНЕЙНАЯ ОБОЛОЧКА ИЛИ ПОДПРОСТРАНСТВО, НАТЯНУТОЕ НА ДАННУЮ СИСТЕМУ ВЕКТОРОВ

§ 10. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМА РЕШЕНИЙ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 11. ЛИНЕЙНОЕ МНОГООБРАЗИЕ. ЛИНЕЙНОЕ МНОГООБРАЗИЕ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Глава II.

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 12. ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦЕЙ
§ 13. ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
§ 14. СВЯЗЬ МЕЖДУ МАТРИЦАМИ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В РАЗЛИЧНЫХ БАЗИСАХ
§ 15. ДЕЙСТВИЯ НАД ЛИНЕЙНЫМИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ И МАТРИЦАМИ. КОЛЬЦО ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И КОЛЬЦО МАТРИЦ
§ 16. ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ. ВЫРОЖДЕННЫЕ И НЕВЫРОЖДЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. РАНГ И ЯДРО ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 17. ОБ ИНВАРИАНТНЫХ ПОДПРОСТРАНСТВАХ И ИНДУЦИРОВАННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ
§ 18. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 19. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ МНОГОЧЛЕН МАТРИЦЫ И ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. СУЩЕСТВОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ

§ 20. О ПРИВЕДЕНИИ МАТРИЦЫ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ К ДИАГОНАЛЬНОЙ ФОРМЕ
§ 21. О СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРАХ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С СИММЕТРИЧЕСКОЙ МАТРИЦЕЙ
Глава III. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
§ 22. ПОНЯТИЕ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА. ПРИМЕРЫ
§ 23. ДЛИНА ВЕКТОРА. УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ.

НЕРАВЕНСТВО КОШИ—БУНЯКОВСКОГО
§ 24. ПОНЯТИЕ МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА
§ 25. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ ВЕКТОРОВ. ОРТОНОРМИРОВАННЫЙ БАЗИС. ОРТОГОНАЛЬНО-ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ПОДПРОСТРАНСТВО
§ 26. ИЗОМОРФИЗМ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
§ 27. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ
§ 28. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА
§ 29. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА
§ 30. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НЕВЫРОЖДЕННОГО ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА В ВИДЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ОРТОГОНАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НА СИММЕТРИЧЕСКОЕ
§ 31. ТЕОРЕМА О ТРАНСФОРМИРОВАНИИ СИММЕТРИЧЕСКОЙ МАТРИЦЫ В ДИАГОНАЛЬНУЮ МАТРИЦУ С ПОМОЩЬЮ ОРТОГОНАЛЬНОЙ
Глава IV. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
§ 32. ПОНЯТИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ
§ 33. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МАТРИЦЫ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ ПРИ ЛИНЕЙНОЙ ЗАМЕНЕ ПЕРЕМЕННЫХ. КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ
§ 34. ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
§ 35. НАХОЖДЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, ПРИВОДЯЩЕГО ВЕЩЕСТВЕННУЮ КВАДРАТИЧНУЮ ФОРМУ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
§ 36.

МЕТОД ЛАГРАНЖА ПРИВЕДЕНИЯ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
§ 37. ЗАКОН ИНЕРЦИИ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
§ 38. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ВЕЩЕСТВЕННЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
§ 39. ПРИВЕДЕНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

Линейные пространства

Марко Табога, доктор философии

Линейные пространства (или векторные пространства) — это множества, которые замкнуты относительно линейных комбинаций.

Другими словами, данный набор является линейным пространством, если его элементы можно умножать на скаляры и добавлять вместе, а результаты этих алгебраических операций представляют собой элементы, которые все еще принадлежат .

Содержание

Первое неформальное и несколько ограничительное определение
Поля
Строгое определение
Как неформальное и формальное определение говорят друг с другом
Пример: многочлены 9 0003
Линейное подпространство
Более двух векторов в линейная комбинация
Решенные упражнения
1. Упражнение 1
2. Упражнение 2
3. Упражнение 3

Первое неофициальное и несколько ограничительное определение

Линейные пространства определяются формальным и очень общим способом путем перечисления свойства, которые две алгебраические операции выполняли над элементами пространства (сложение и умножение на скаляры) должны удовлетворять.

Чтобы постепенно развить интуицию, мы начинаем с более узкого подхода, и мы ограничиваем наше внимание множествами, элементы которых матрицы (или векторы-столбцы и строки).

Кроме того, мы формально не перечисляем свойства сложения и умножение на скаляры, потому что они уже были получены в предыдущем лекции (см. Сложение матриц и Умножение матрица скаляром).

После этой неформальной презентации мы сообщаем о полностью общем и строгом определение векторного пространства.

Определение Позволять набор матриц такой, что все матрицы в имеют одинаковую размерность. это линейное пространство тогда и только тогда, когда для любых двух матриц и принадлежащий и любые два скаляра и , линейный комбинациятакже принадлежит .

Другими словами, когда является линейным пространством, если взять любые две матрицы, принадлежащие , вы умножаете каждое из них на скаляр и складываете произведения таким образом получается, то у вас есть линейная комбинация, которая также является матрицей принадлежащей к .

Пример Позволять быть совокупностью всех векторы-столбцы, элементы которых являются действительными числами. Рассмотрим два вектора и принадлежащий . Обозначим через и две записи , и по и две записи . Линейная комбинация и два действительных числа и как можно записать коэффициенты какНо и являются действительными числами, потому что произведения и суммы действительных чисел также действительны числа. Таким образом, две записи в вектораре действительные числа, из чего следует, что вектор принадлежит . Поскольку это верно для любой пары коэффициентов и , является линейным пространством.

Поля

Прежде чем дать строгое определение векторного пространства, нам нужно ввести поля, которые представляют собой наборы скаляров, используемых при умножении векторов на скаляры.

Определение Позволять быть набором вместе с двумя бинарными операциями , добавление, обозначаемое и умножение, обозначаемое . Набор называется полем тогда и только тогда, когда для любого , выполняются следующие свойства:

Ассоциативность сложения:
Коммутативность сложения:
Аддитивная идентичность: существует элемент , обозначается , такой, что
Аддитивное обратное: для каждого , существует элемент , обозначается , такой, что
Ассоциативность умножения:
Коммутативность умножения:
Мультипликативная идентичность: существует элемент , обозначается , такой, что
Мультипликативное обратное: для каждого , существует элемент , обозначается , такой, что
Распределительное свойство:

Как видите, это обычные свойства, которым удовлетворяет добавление и умножение действительных чисел, которое мы изучали, когда учились в школе. Они также удовлетворяются сложением и умножением комплексных чисел.

Другими словами, оба и , оборудованные для их обычных операций, являются полями. Это также единственные два области, с которыми вы столкнетесь на этих лекциях.

Тем не менее, абстрактное определение полезно, поскольку оно позволяет нам вывести результаты, которые действительны для полей в целом и которые могут быть применены, когда нужно, как для и к .

Строгое определение

Теперь мы готовы определить векторные пространства.

Определение Позволять быть полем и пусть быть множеством, оснащенным операцией , называется сложением векторов и обозначается , и еще одна операция , называется скалярным умножением и обозначается . Набор называется линейным пространством (или векторным пространством) над тогда и только тогда, когда для любого и любой , выполняются следующие свойства:

Ассоциативность сложения векторов:
Коммутативность сложения векторов:
Аддитивная идентичность: существует вектор , такой, что
Аддитивное обратное: для каждого , существует элемент , обозначается , такой, что
Совместимость умножений:
Мультипликативная идентичность: если является мультипликативным тождеством в , затем
Распределительное имущество с. р.т. векторное сложение:
Распределительное имущество с.р.т. дополнение поля:

Элементы векторного пространства называются векторами , а те связанного с ним поля называются скалярами .

Обратите внимание, что в приведенном выше определении, когда мы пишем и , мы имеем в виду, что эти две операции определены на всех и и всегда дают результаты в .

Таким образом, мы неявно предполагаем то, что эквивалентно требованию замкнутости относительно линейного комбинации, сделанные в нашем предыдущем неформальном определении векторного пространства.

Также обратите внимание, что мы использовали те же символы ( и ) для операций, определенных на поле и для тех, что обустраивают векторное пространство. Что всегда ясно из контекст.

Как обычно, символ можно опустить как в контексте полей, так и в контексте векторных пространств. Так, имеет то же значение, что и .

Кроме того, знак дополнения может быть опущен, если за ним следует знак минус аддитивной инверсии. Например, имеет то же значение, что и .

Как неформальное и формальное определение говорят о друг друга

Вы можете легко проверить, что любой набор матриц (или векторов-столбцов или строк) с двумя операциями сложения матриц и умножения матрица скаляром удовлетворяет всем вышеперечисленным свойствам при условии, что множество замкнуто относительно линейных комбинаций.

Пример Позволять быть пространством всех векторы-столбцы, имеющие действительные записи. Добавление двух векторов-столбцов определяется обычным образом, и любое действительное число может быть использовано для выполнения умножение векторов на скаляры. Сказано иначе, поле скаляров. На лекциях по сложение матриц и умножение матрицы скаляром, мы доказали, что различные ассоциативные, коммутативные и дистрибутивные свойства, перечисленные выше, выполняются. Нулевой вектор который удовлетворяет свойству аддитивной идентичности, является вектор, все элементы которого равны нулю. Взяв линейную комбинацию два вектора , со скалярными коэффициентами , мы получаем еще один векторчей -й вход это здесь и обозначить -й записи и . Поскольку произведения и суммы действительных чисел также являются действительными числами, является действительным числом. Это верно для любого . Так, это вектор-столбец, все элементы которого являются действительными числами. Но это означает, что принадлежит . Таким образом, замкнут относительно линейных комбинаций. Следовательно, это линейное пространство.

Другими словами, неформальное и несколько ограничительное определение вектора место, которое мы предоставили в начале этой лекции, идеально совместим с более формальным и более широким определением, данным в этом разделе.

Более того, первое неформальное определение использует термин «скаляры» без указание поля, над которым определено векторное пространство: опущение преднамеренно, так как подавляющее большинство результатов, представленных в этих лекциях, применимы как к линейным пространствам над реальным полем и пробелы на .

Пример До сих пор мы всегда имели дело с вещественными матрицами, т. е. с матрицами и вектора, элементами которых являются действительные числа. Однако все, что мы сказали применяется также к комплексным матрицам, то есть к матрицам, элементы которых являются комплексными числа. Если мы рассмотрим все определения, данные в предыдущих лекциях, мы поймите, что мы нигде не указали, что матрицы должны иметь действительные элементы. Важным отличием является то, что в комплексном случае умножение на скаляры включают в себя сложные скаляры, но все остальное является прямым модификация реального случая. Например, мы можем взять предыдущий пример и заменить 1) векторы-столбцы, имеющие реальные записи с векторы-столбцы, имеющие сложные записи; 2) поле скаляров с полем . Мы можем оставить все остальное без изменений, и у нас есть доказательство того, что космос из всех вектор-столбцы, имеющие комплексные элементы, представляют собой векторное пространство над .

В лекции о координатах векторов, мы также покажем, что неформальное определение гораздо менее ограничительнее, чем кажется: все элементы конечномерного вектора пространство можно записать в виде массивов чисел, так что, в некотором смысле, каждое конечномерное векторное пространство соответствует неформальному определению.

Пример: многочлены

Давайте теперь посмотрим на пример векторного пространства, которое не покрывается напрямую более ограничительное определение, но охватывается общим определением, которое мы имеем только что представил.

Пример Полином третьего порядка – это функциягде коэффициенты и аргумент являются скалярами, принадлежащими полю . Рассмотрите пространство всех многочленов третьего порядка. Рассмотрим сложение двух многочлены, определено выше и определяется следующим образом: естественный способ добавить их есть: кроме того, умножение многочлена скаляром выполняется как следует: это легко убедиться, что векторное пространство над когда он оснащен двумя операциями сложения и умножения на скаляр, который мы только что определили. Важно отметить, что аддитивная идентичность свойству удовлетворяет многочлен, все коэффициенты которого равны нуль.

Линейное подпространство

Важным понятием является понятие линейного подпространства.

Определение Позволять быть линейным пространством и подмножество . является линейным подпространством если и только если само является линейным пространством, то есть тогда и только тогда, когда для любых двух векторов и любые два скаляра и , линейный комбинациятакже принадлежит .

Ниже приведен простой пример линейного подпространства.

Пример Позволять быть совокупностью всех векторы-столбцы, элементы которых являются действительными числами. Мы уже знаем, что является линейным пространством. Позволять быть подмножеством состоит из всех элементов первая запись которого равна . Рассмотрим два вектора и принадлежащий к подмножеству . Обозначим через и две записи , и по и две записи . По определению , у нас есть это и . Таким образом, линейная комбинация и два действительных числа и как можно записать коэффициенты какТаким образом, результатом этой линейной комбинации является вектор, первая запись которого равна к и чья вторая запись является действительным числом (поскольку произведения и суммы действительных числа тоже действительные числа). Следовательно вектортакже принадлежит . Поскольку это верно для любой пары коэффициентов и , само является линейным пространством и, следовательно, линейным подпространством .

Более двух векторов в линейной комбинации

Возможно, очевидным фактом является то, что линейные пространства и подпространства замкнуты с относительно линейных комбинаций более чем двух векторов, как показано следующее предложение.

Предложение Если является линейным (под)пространством, то для любого векторы принадлежащий и любой скаляры , линейный комбинациятакже принадлежит .

Доказательство

По предположению, замыкание относительно линейных комбинаций . Нам нужно только доказать, что это верно для общего , учитывая, что он выполняется для . Другими словами, нам нужно доказать, что подразумеваетПозвольте нас определитьМы только что заметил, что . Теперь мы можем написатьНо представляет собой линейную комбинацию и (оба принадлежат ) с коэффициентами и . Поэтому, также принадлежит , что нам и требовалось доказать.

Решенные упражнения

Ниже вы можете найти несколько упражнений с поясненными решениями.

Упражнение 1

Позволять быть совокупностью всех векторы-столбцы, элементы которых являются действительными числами.

Позволять быть подмножеством состоит из всех элементов чья первая запись в два раза больше второй записи.

Покажи то является линейным подпространством .

Решение

Из предыдущих примеров мы знаем, что является линейным пространством. Теперь возьмем любые два вектора и принадлежащий к подмножеству . Обозначим через и две записи , и по и две записи . По определению , у нас есть это и А линейная комбинация и с коэффициентами и можно написать какТаким образом, линейная комбинация векторов, принадлежащих дает в результате вектор, вторая запись которого является действительным числом ( является действительным числом, потому что произведения и суммы действительных чисел также действительны чисел) и чья первая запись в два раза больше второй записи. Следовательно вектор, полученный в результате линейной комбинации, также принадлежит . Это верно для любой пары коэффициентов и . Как следствие, само является линейным пространством и, следовательно, линейным подпространством .

Упражнение 2

Позволять быть матрица. Позволять быть совокупностью всех векторы которые удовлетворяют уравнение

Покажи то является линейным пространством.

Решение

Рассмотрим линейную комбинацию двух векторы и принадлежащий с коэффициентами и :К распределительное свойство матрицы умножение, произведение и эту линейную комбинацию можно записать какПотому что и принадлежать , у нас есть это как а следствие, Таким образом, также линейная комбинация принадлежит , потому что он удовлетворяет уравнению, согласно которому все векторы нужно удовлетворить. Это верно для любой пары векторов и и для любой пары коэффициентов и , что подразумевает, что является линейным пространством.

Упражнение 3

Позволять быть совокупностью всех реальные векторы-столбцы.

Позволять быть множеством всех элементов первая запись которого равна и чья вторая запись равна .

Проверьте, является линейным подпространством .

Решение

Рассмотрим два вектора и принадлежащий к подмножеству . Обозначим через , и три записи , и по , и три записи . По определению , у нас есть это , , и . Линейная комбинация и с коэффициентами и можно написать как второй вход линейной комбинации () не обязательно равно . Следовательно векторделает не принадлежат для некоторых коэффициентов и . Поэтому, не является линейным подпространством .

Как цитировать

Пожалуйста, указывайте как:

Taboga, Marco (2021). «Линейные пространства», Лекции по матричной алгебре. https://www.statlect.com/matrix-алгебра/линейные-пространства.

Линейные пространства

Марко Табога, доктор философии

Содержание

Первое неформальное и несколько ограничительное определение
Поля
Строгое определение
9 0016
Как неформальное и формальное определения соотносятся друг с другом
Пример : многочлены
Линейное подпространство
Более двух векторов в линейной комбинации
Решенные упражнения
1. Упражнение 1
2. Упражнение 2
3. Упражнение 3

Первый неформальный и несколько ограниченный определение

Поля

Ассоциативность сложения:
Коммутативность сложения:
Аддитивная идентичность: существует элемент , обозначается , такой, что
Аддитивное обратное: для каждого , существует элемент , обозначается , такой, что
Ассоциативность умножения:
Коммутативность умножения:
Мультипликативная идентичность: существует элемент , обозначается , такой, что
Мультипликативное обратное: для каждого , существует элемент , обозначается , такой, что
Распределительное свойство:

Строгое определение

Теперь мы готовы определить векторные пространства.

Ассоциативность сложения векторов:
Коммутативность сложения векторов:
Аддитивная идентичность: существует вектор , такой, что
Аддитивное обратное: для каждого , существует элемент , обозначается , такой, что
Совместимость умножений:
Мультипликативная идентичность: если является мультипликативным тождеством в , затем
Распределительное имущество с. р.т. векторное сложение:
Распределительное имущество с.р.т. дополнение поля: