Разложение многочленов на множители с применением различных способов.
План урока
Тема урока: Разложение многочленов на множители с применением различных способов.
Тип урока: Получение новых знаний.
Оснащение урока: Компьютеры 10 штук, мультимедийная установка, дидактический материал, учебная презентация урока, ученическая презентация,
кроссворд, считалка.
Форма организации учебного процесса: комбинированный урок.
Место проведения: 105 кабинет (компьютерный)
Продолжительность:45минут.
Учебная карта урока и ее методическое обоснование
1)Организационная часть:
а) Раздать листочки для устного счета.
б ) Включить компьютеры ,считалки, кроссворд,
Цель: Мобилизовать учащихся на учебно — практическую деятельность.
2)Цели занятия: Повторить и закрепить формулы
сокращенного умножения и другие способы разложения многочленов на множители.
В
течение урока развивать у учеников умение раскладывать многочлены на множители
различными способами.
• 3) Актуализация знаний:
Задание 1
А. Соединить линиями соответствующие части определения.
Б. Восстановить порядок выполнения действий при разложении многочлена на множители способом группировки.
В. Отметьте знаком плюс «+» верные выражения.
* ; * ;
* ; * ;
* ; * ;
*
Разложите на множители *
• • 1 • 2 • 3 • 4 • 5 | • Вариант 1 • a2b3-a3b4. • 25x2+10x+1 • а2-1 • 8а3-в3 • 1+в3 | • Вариант 1 • а4в3-а3в2 • 1-12х2+36 • 1-в2 • а3+27в3 • а3-1 |
.
Г. Восстановите порядок выполнения действий при разложении многочлена на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки.
| ||||||
| ||||||
| ||||||
| ||||||
Вариант I.
Задание. Соединить линиями многочлены с соответствующими им способами разложения на множители.
Вариант 2
Задание. Соединить линиями многочлены с соответствующими им способами разложения на множители. (Оценка 8 баллов – по 1 баллу за каждое верное соединение)
| |||||||||
| |||||||||
| |||||||||
| |||||||||
Работа над темой: Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов
? В математике не так часто бывает, чтобы при решении примера
применялся только один прием, чаще встречаются комбинированные примеры, где
сначала используется один прием, затем другой и т.
д. Чтобы успешно решать такие
примеры, мало знать сами приемы, надо еще уметь выработать план их
последовательного применения. Иными словами, здесь нужны не только знания, но и
опыт. Вот такие комбинированные примеры мы и рассмотрим.
Разложить на множители многочлен: 1) 3х2у-12у
• Решение 3х2у-12у =3 у (х2-4)==3у(х-2) ( х +2)
• Комбинируем два приема:
• — вынесение общего множителя за скобки;
• — использование формул сокращенного умножения: х2-у2=(х -у)(х +у)
Разложить на множители многочлен 2) 36a6b3-96a4b4+64a2b5
1) Сначала займемся вынесением общего множителя за скобки. Рассмотрим коэффициенты 36, 96, 64. Все они делятся на 4.
НОД(36,96,64)=4.
Во все члены многочлена входит переменная
Итак, за скобки вынесем 4a2b3.
36a6b3-96a4b4+64a2b5=4a2b3(9a4-24a2b+16b2).
2) Рассмотрим трехчлен в скобках: 9a4-24a2b+16b2. Выясним, не является ли он полным квадратом. Имеем:
9a4 — 24a2b + 16b2 =
(3a2)2 — 2·3a2·4b + (4b)2.
Все условия полного квадрата соблюдены, следовательно,
9a4 — 24a2b + 16b2 = (3a2-4b)2.
3) Комбинируя два приема (вынесение общего множителя за скобки и использование формул сокращенного умножения), получаем окончательный результат:
36a6b3-96a4b4+64a2b5= 4a2b3(3a2-4b)2.
Разложить на множители многочлен: 3) 25-х2+2ху-у2
• Решение:
• 25-х2+2ху-у2=25-(х2-2ху+у2)= 52-(х -у)2=(5-(х -у))(5+(х -у)=
• =52-(х -у)2=(5-(х -у))(5+(х –у))=(5-х+у)(5+х-у)
Комбинируем два приема:
1)группировку;
2)использование формул сокращенного умножения
Разложите на множители многочлен: 4)ах+ау+х2+2ху+у
• =( ах +ау)+(х2+2ху+у2)= а(х +у)+(х +у)2=а(х +у)+(х +у)(х +у)= =(х +у)(а +х +у)
• Комбинируйте три приема:
— группировку;
— формулы сокращенного умножения;
— вынесение
общего множителя за скобки.
Разложите на множители многочлен 5) y3 – 3y2 + 6y – 8
Комбинируйте три приема:
— группировку;
— формулы сокращенного умножения;
— вынесение общего множителя за скобки.
Решение:
y3 – 3y2 + 6y – 8 = (y3-8) — (3y2-6y)= (y-2) (y2+2y+4)-3y(y-2)=
=(y-2)(y2+2y+4-3y) = (y-2)(y2-y+4).
Порядок применения различных методов при разложении многочлена на множители
- Вынести общий множитель за скобку (если он есть).
- Попробовать разложить
многочлен на множители по формулам сокращенного умножения.
- «Увидеть» и попробовать выделить полный квадрат.
- Попытаться применить способ группировки (если предыдущие способы не привели к цели).
Письмо из прошлого. София Жермен французский математик
ЖЕРМЕН София (Germain Sofia)
Жермен София
(1.4.1776-27.6.1831)-французский математик и философ. Родился в Париже. С
детства увлекалась математическими сочинениями, особенно историей математики.
Поскольку в то время женщин не принимали в Политехническую школу, Жермен,
пользуясь конспектами лекций, принимала с Ж.
Д’Аламбером, Ж. Фурье, К участие
в письменных упражнениях под псевдонимом Леблан. Переписывалась.
Гауссом, А. Лежандром. Занималась теорией чисел; несколько формул в
теории чисел носят имя Жермен. Согласно сообщению Ж.
Лагранжа (1828г.), при некоторых условиях ограничивающих х, у, z и n.
Жермен доказала большую теорему П.
Ферма для n<100. Жермен-один из основоположников математической физики.
За исследования в теории упругости (теория изгиба пластинок) награждена
премией Парижской Академии Наук (1811г.). (Это была первая премия, выданная
Парижской академией
• Теорема Софии Жермен
• Доказать, что число а4+4,где а- любое целое число, большее единицы, есть составное число.
Доказательство:
а4+4=а4+4а2+4-4а2=(а4+4а2+4)-4а2==(а2+2)2-(2а)2=(а2-2а+2)(а2+2а+2)
Таким образом число а 4+4 может быть представлено в виде произведения двух множителей, не равных ему самому и единице, иными словами оно составное.
Причем а2+2-2а=(а2-2а+1)+1=(а-1)2+1 не рано 1, если а не равно 1.
Разложите на множители квадратный трехчлен: 7) х2-6x+5
Первый
способ.
• Используем предварительное преобразование, обращая внимание на свободный член +5. Делители 5: +1,-1,+5,-5.
• Представим –6x= —x+(-5x), а затем применим способ группировки:
• x2-6x+5=x2-5x-х+5=(x2—x)+(-5x+5)= x(x-1)-5(x-1)= (x-1)(x-5).
• Второй способ.
• Применим метод выделения полного квадрата, для этого обратим внимание на удвоенное произведение 6х=2·х·3.
• Значит полный квадрат будет справедлив для двух выражений х и 3.
• x2-6x+5=(x2-2·x·3+32)-32+5=(x2-6x+9)-9+5= (x2-6x+9) — 4=
• =(x2-6x+9)-9+5= (x2-6x+9) — 4=(x-3)2— 22=(x-3-2)(x-3+2)= (x-5)(x-1)
Разложите на множители 8) n3+3n2+2n
Сначала
воспользуемся тем, что n можно вынести за скобки: n(n2+3n+2).
Теперь к трехчлену n2+3n+2 применим способ группировки, предварительно
представив 3n в виде 2n+n. Получим:
n2+3n+2=n2+2n+n+2=(n2+2n)+(n+2)= n(n+2)+(n+2)=(n+2)(n+1).
Окончательно получаем:
n(n2+3n+2)=n(n+1)(n+2)
Самостоятельная работа (10 минут)
Вариант 1.
1. Вынести общий множитель за скобки а2-64
1) (а-64)2 2)(а-8)2 3)(а-8)(а+8) 4)(а-64)(а+64)
2. Разложить многочлен на множители методом группировки 15-5а-3b+аb
1) 2)
3) 4)
3. Разложить на множители выражение. 9a2-30a+25
1) (9a+5)2 2) (9a-5)2 3) (3a+5)2 4) (3a-5)2
4. Сократить данную дробь
1) 2) 3) 4)
5.
Разложить на
множители многочлен : 3х2+12х+12.
1) (3х+4)2 2) 3(х+4)2 3) 3(х+2)2 4)(3х+2)2
6. Найти корни уравнения 3у3-3у=0.
1) 0; 2) 0, 1; 3) 0, 1, – 1; 4) – 1, 1.
Вариант 2.
1. Вынести общий множитель за скобки 81-с2.
1)(81-с)2 2)(9-с)(9+с)
3) (9-с)2 4)(9+с)(9-с)
2. Разложить многочлен на множители методом группировки 4y-3x-12+xy
1) 2)
3) 4)
3. Разложить на множители выражение. 16m2+ 8m n +n2
1)(16m+n)2 2 ) (4m+n)2 3) ( 16m-n)2 4) )(4m-n)2
4. Сократить данную дробь
1) ; 2) ; 3) 4)
5. Разложить на множители многочлен 2х2-8.
1)2(х-2)(х+2) 2) 2(х-4)(х+4)
3)(2х-4)(2х+4) 4) 2(х-2)2
6.
Найти корни
уравнения. 3х2+12х+12=0
1) – 2; 2) – 4; 3) – 6; 4) – 2, 2.
ОТВЕТЫ:
Задание. | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Вариант 1. |
|
|
|
|
|
|
Вариант 2. |
|
|
|
|
|
|
• Итог урока: Мы учились использовать комбинацию различных
приемов при разложение многочлена на множители.
• При разложении многочлена на множители мы использовали следующие способы:
1) вынесение общего множителя за скобки;
2) группировка, в том числе с использованием предварительного преобразования;
3) использование формул сокращенного умножения;
4) выделение полного квадрата;
5) комбинирование различных приемов.
Домашнее задание: №889(а ,б, в), 890(а ,б ,в),893(а, б, в), 894(а, б, в).
Министерство образования и молодежной политики Чувашской Республики
МОУ «СОШ №20 им. Васьлея Митты с углубленным изучением отдельных предметов»
Открытый урок по алгебре
Тема: Разложение
многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов.
2
Алгебра — Факторные выражения с примерами
Не усложняется ли это, когда вы пытаетесь решить длинное уравнение или выражение и в конечном итоге обречены на выполнение вычислений? Вот когда факторинговые выражения пригодятся.
Факторные выражения, также известные как факторинг, означают переписывание выражения как произведения факторов. Например, 3x + 12y можно представить простым выражением 3 (x + 4y). Таким образом, расчеты становятся проще. Члены 3 и (x + 4y) известны как множители. Следовательно, уравнение может иметь конечное число множителей, зависящее от длины выражения.
Факторизация выражений — одна из наиболее часто используемых математических операций при выполнении любых вычислений. Даже если вы хотите упростить или ускорить выполнение регулярных повседневных вычислений, вы можете использовать выражения факторинга. Например, умножение 300 на 15 может показаться сложным. Вычисление становится быстрым, если вы выполняете умножение коэффициентов, например, умножаете 300 на 10 и 300 на 5, а затем складываете члены.
Следовательно, то, как вы факторизуете выражение, определяет вашу способность решать проблемы.
В экзаменационном вопросе вам предлагается полностью учитывать данные условия? Или вопрос просит вас сократить данный термин в более простых формах? О чем бы ни был вопрос, решение только одно – факторные выражения.
Ниже приведены несколько методов, которые помогут вам узнать, как разложить выражение на множители.
- Разложение чисел на множители
Самый простой способ — разложить на множители заданные числа. Например, число 10 можно разложить на 5 и 2. Вы можете включить 1, потому что это тоже множитель. Все натуральные числа будут иметь 1 в качестве общего множителя всякий раз, когда вы факторизуете выражения. Однако отрицательные числа также будут иметь 1 в качестве общего множителя, за которым следует -1 в качестве одного из множителей.
Натуральные числа могут иметь более одного делителя. Например, 100.
У него есть делители — 5, 10, 20, 50, 25, 2, 4 и 1. Итак, чтобы узнать, какие делители есть у числа, попробуйте разделить число на наименьший множитель, т. е. на 2. Каждый четное число будет иметь общий делитель – 2. Если число нечетное, начните делить число с большего числа после 2.
- Разложение GCF на множители из выражения
Как можно упростить математические термины, чтобы сделать расчеты проще? Если ваш ответ состоит в том, чтобы разбить или разложить их на более мелкие единицы, это правильно. Наибольший общий множитель, известный как GCF, является наибольшим множителем, который обычно можно взять в данном термине. Например, в терме 34xy + 17y 17y — это GCF. Следовательно, после удаления этого члена множители уравнения станут 17y (2x +1).
- Факторирование биномов
Биномы — это термины, имеющие степень 2. Они могут быть факторизованы с использованием различных тождеств и методов.
Первый метод — использование тождеств.
Если вы знаете основные алгебраические тождества, такие как a 2 + b 2 + 2ab = (a + b) 2 и подобные им, то вы можете составлять множители биномиальных уравнений.
Если вам интересно, как разложить на множители выражение, не совпадающее с тождествами, то другим методом нахождения множителей биномиальных коэффициентов является преобразование их в квадраты. Вы должны добавить и вычесть общий термин, чтобы его можно было далее разложить на множители, используя алгебраические тождества.
- Факторизация трехчленов
Факторизация трехчленов аналогична факторизации биномиальных коэффициентов. Трехчленное выражение — это выражение, имеющее степень 3. Первым шагом к факторизации трехчленного выражения является выделение НОД. Затем вы можете проверить, можно ли вывести его в биномиальное выражение или нет. Если да, то используйте биномиальный метод факторинга. Если нет, то факторизуйте их, используя тождества трех степеней, такие как a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 – ab + b 2 ) и многие другие.
- Разложение уравнений на множители путем подстановки
Если эквациональная функция слишком сложна, вы можете заменить расширенные члены более простыми членами, которые помогут вам без особого труда найти множители. Например, в выражение 9x 4 + 45x 2 + 14 можно подставить m = 3x 2 . Таким образом, новое уравнение примет вид m 2 + 15m + 14. И теперь его можно легко учесть. Но не забудьте заменить замененный член исходным. Вам нужно только изменить срок, и никаких дальнейших расчетов или упрощений не требуется.
Необходимо запомнить тождества:
- a 2 − b 2 = (a + b) (a − b)
- a 2 + 2ab1 + b2 90 ) (a + b)
- a 2 − 2ab + b 2 = (a − b) (a − b)
- a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 − ab + b 2 )
- a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + ab + b 2 ) a 3
042 + 3 A 2 B + 3 AB 2 + B 3 = (A + B) 3
- A 3 — 3 A 2 B + 3 AB 2 — B 2 B + 3 AB 2 — B . 3 = (a − b) 3
3 = (a − b) 3 - Используя квадратную формулу
Квадратное уравнение можно записать в виде ax 2 + bx + c. Это уравнение представляет собой полином двух степеней. Для решения таких уравнений и вынесения их множителей можно использовать квадратную формулу:
x = (-b ± √(b 2 – 4ac))/2a
Эта квадратичная формула даст вам корни квадратного выражения. После нахождения корней можно приравнять их к нулю, чтобы получить множители.
Давайте разберем этот метод на примере.
Вы должны найти множители квадратного уравнения 2x 2 – 5x -12 = 0.
Давайте воспользуемся квадратной формулой для факторизации выражений.
х = (-b ± √(b 2 – 4ac))/2a
Здесь b = -5, a = 2, c = -12. Следовательно,
x = (-(-5) ±√ ((-5) 2 – 4 (2) (-12))/2 (2)
= 5 ± 25 – (-96)4 = 5 ± 114
= 16/4 или -6/4, что можно упростить как 4 или -3/2.
Чтобы найти множители следующего выражения, приравняйте корни к нулю. Следовательно, множители будут (х – 4) (х + 3/2).Второй множитель также можно записать как (2х + 3), когда будете приравнивать корни к нулю, знаменатель тоже будет приравнен к нулю. Следовательно, будет нет разницы между предыдущим членом и членом со знаменателем.
Следовательно, конечные множители выражения 2x 2 – 5x -12 = 0 равны (x – 4) (2x + 3).
Важность выражений разложения на множителиВ арифметике наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное играют решающую роль в упрощении конкретного выражения. Они используются для решения вопросов, основанных на процентах, отношениях и пропорциях, и участвуют в знании факторов различных чисел. Таким образом, знание и изучение выражений факторинга очень полезно при решении задачи.
В практической жизни факторизация делает компьютеры и электронные устройства более безопасными. Предметы, такие как криптография, используют методы факторизации для создания невзламываемого шифрования.
Факторизация также используется в криминалистике и других областях медицины для раскрытия загадочных дел. Таким образом, изучите основы и понятия факторинговых выражений с самого начала.
Давайте поймем, как факторизовать выражение из приведенных ниже примеров.
Пример 1. Факторизация выражения x 4 – 16.
Решение: Возможная факторизация числа 4 в члене x 4 может быть равна 2. Следовательно, мы можем переписать выражение как (x 1 9004 2 ) 2 – 16.
Каким может быть множитель 16 с точки зрения умножения? 4 х 4? Следовательно, термин становится
(x 2 ) 2 – 4 2 . Поскольку мы знаем тождество, a 2 – b 2 = (a + b) (a – b), следовательно, факторизация члена будет (x 2 + 4) (х 2 — 4).
Далее, разлагая член со знаком минус, получаем (x 2 + 4) (x + 2) (x − 2), что является искомым множителем данного выражения в вопросе.
Пример 2: Коэффициент термина 3y 4 – 24yz 3 .
Решение: Все, что вам нужно сделать, это удалить общий делитель «3y», который можно увидеть в данном термине: 3y 4 − 24yz 3 = 3y (y 3 − 8z 3 ).
После этого разность кубов будет: 3y 4 − 24yz 3 = 3y (y 3 − (2z) 3 )
= 3y (y 2 4 2z) + 2yz + 4z 2 ), что является факторной формой данного уравнения.
Пример 3. Запишите коэффициенты данных уравнений:
- 12x 2 – 15xy
- x 2 + x – 6
- 4a 2 – 9b 2
Solution: The factors of the following equations can можно найти, вычитая общие термины.
Если вы понаблюдаете за выражениями, то увидите, что можете вывести число и коэффициент вместе. Следовательно, используя эту методику, множители вышеупомянутых выражений могут быть записаны как:
- 3x (4x – 5y)
- (x + 3) (x – 2)
- (2a + 3b) (2a – 3b)
2 Y 2 — 15xy Решение: Множители для данных членов можно найти, вычитая больший общий делитель. Следовательно, коэффициенты станут: Задания для практики: Вопрос: Для данных ниже выражений найдите множители.
m) Фактор | Определение, примеры и факты
В этих видеороликах Britannica объясняет различные темы и отвечает на часто задаваемые вопросы.
Посмотрите эти ретро-видео из архивов Encyclopedia Britannica.
В Demystified у Britannica есть все ответы на ваши животрепещущие вопросы.
В #WTFact Britannica делится некоторыми из самых странных фактов, которые мы можем найти.
В этих видеороликах узнайте, что произошло в этом месяце (или любом другом месяце!) в истории.
Britannica — это главный ресурс для учащихся по ключевым школьным предметам, таким как история, государственное управление, литература и т. д.
Хотя этот глобальный кризис в области здравоохранения продолжает развиваться, может быть полезно обратиться к прошлым пандемиям, чтобы лучше понять, как реагировать сегодня.
Britannica празднует столетие Девятнадцатой поправки, выделяя суфражисток и политиков, творящих историю.