Примеры решения тригонометрических уравнений примеры с ответами – Тригонометрические уравнения. Подготовка к ЕГЭ по математике.

1. Актуализация опорных знаний (устная работа).

В результате выполнения задания мы повторим определения арккосинуса, арксинуса, арктангенса и арккотангенса.

1. Сформулировать определение арксинуса числа.

2. Сформулировать определение арккосинуса числа.

3. Сформулировать определение арктангенса числа.

4. Сформулировать определение арккотангенса числа.

5. С помощью тригонометрической окружности найти все значения из промежутка [-2 которые соответствуют числам , , , , arcsin 0, arcsin (Приложение 1)

6. Проверить, верно ли равенство:

7. Имеет ли смысл выражение:

2. Объяснение новой темы. Простейшие тригонометрические уравнения.

Определение. Уравнения вида f(x) = а, где а – данное число, а f(x) – одна из тригонометрических функций, называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

1. Пусть дано простейшее уравнение cos t = a.

Данное уравнение:

a) при -1< t < 1 имеет две серии корней

t₁ = arсcos a + 2k, k Z

t ₂ = — arсcos a + 2m, m Z.

Эти серии можно записать так

t = ± arсcos a + 2n, n Z ;

б) при а = 1 имеет одну серию решений

t = 2n, n Z ;

в) при а = -1 имеет одну серию решений

t = + 2n, n Z ;

г) при а = 0 имеет две серии корней

t₁ = + 2k, k Z

t ₂ = — + 2m, m Z. Обе серии можно записать в одну серию

t_{= + n, n Z.}

д) при а > 1 и a < -1 уравнение не имеет корней.

Задание 1. Решить уравнения:

1) cos х = ;

2) cos х = — ;

3) cos 4x = 1

4x = 2n, n Z

.

4)

,

.

5)

,

,

.

6) Решите уравнение ; укажите корни, принадлежащие промежутку [-; -2].

а)

б) сделаем выборку корней, принадлежащих промежутку [-2; -].

1) с помощью окружности

2) с помощью графика функции

Ответ: а) ; б) .

Задание 2. Найти корни уравнения:

1) a) cos x =1 б) cos x = — 1 в) cos x = 0 г) cos x =1,2 д) cos x = 0,2

2) а) б) в) г)

2. Пусть дано простейшее уравнение sin t = a.

Данное уравнение :

a) при -1< t < 1 имеет две серии корней

t₁ = arсsin a + 2n, n Z

t ₂ = — arсcsin a + 2n, n Z.

Эти серии можно записать так

t = ( -1)^karсsin a + k, k Z ;

б) при а = 1 имеет одну серию решений

t_{= + 2n, n Z}

в) при а = -1 имеет одну серию решений

t = — + 2n, n Z;

г) при а = 0 имеет две серии корней

t₁ = 2k, k Z,

t₂ = + 2m, m Z.

Обе серии можно записать в одну серию

t = n, n Z ;

д) при а > 1 и a < -1 уравнение не имеет корней.

Задание 3. Решить уравнения:

1) sin х = ;

Запишем ответ в виде одной серии x_{= ( -1)^k+ k, k Z .}

2) sin х = -;

Запишем ответ в виде одной серии x_{= ( -1)^k ( — + k, k Z или x= ( -1)^k+1+ k, k Z .}

Задание 3. Найти корни уравнения :

1) a) sin x =1 б) sin x = — 1 в) sin x = 0 г) sin x =1,2 д) sin x = 0,7

2) а) б) в) г)

3. Пусть дано простейшее уравнение tg t = a.

Данное уравнение при любом а R имеет одну серию решений

х = аrctg a + n, n Z.

1) tg х =

х = аrctg + n, n Z.

x = + n, n Z.

2) tg х = ,

х = аrctg + n, n Z,

x = + n, n Z.

4. Пусть дано простейшее уравнение ctg t = a.

Данное уравнение при любом а R имеет одну серию решений

х = аrcctg a + n, n Z.

1) ctg x = 1

х = аrcctg 1 + n, n Z,

х = + n, n Z.

2) ctg x = — 1

х = аrcctg ( -1) + n, n Z,

х = — аrcctg 1 + n, n Z

х = + n, n Z.

5. Итог урока

Продолжите фразу :

• Сегодня на уроке я повторил …
• Сегодня на уроке я узнал …
• Сегодня на уроке я научился …

Вы молодцы! Каждый из вас “научись тому, что следует знать”. Формулы для решения тригонометрических уравнений записаны на карточке — информаторе. (Приложение 2)

6. Домашнее задание: п.9, пример 1-9, № 137, 139, 141, 142.

Спасибо за урок!

Литература.

1. А.Н.Колмогоров Алгебра и начала анализа. 10–11 классы
2. С.М. Никольский, М.К. Потапов и др “Алгебра и начала анализа 10”

urok.1sept.ru

Методическая разработка (алгебра, 10 класс) на тему: Примеры решения тригонометрических уравнений

1.  Организационный  момент.   (Презентация.  Слайды  1 – 2. )

Слайд 1.

Французский  писатель  Анатоль  Франс  (1844 – 1924)  однажды  заметил:  «Учиться  можно  только  весело…Чтобы  переваривать  знания,  надо  поглощать  их  с  аппетитом».  Так  вот,  давайте  сегодня  на  уроке  будем  следовать  этому  совету  писателя,  будем  активны,  внимательны,  будем  поглощать  знания  с  большим  желанием,  ведь  они  пригодятся  вам  в  вашей  дальнейшей  жизни.

     Сегодня  у  нас  урок  по  теме  «Примеры решения  тригонометрических  уравнений».

Давайте выясним, что мы уже знаем и умеем?

Предполагаемые ответы:

— знаем определения аркфункций

— умеем находить значения аркфункций

— умеем решать простейшие тригонометрические уравнения

Чему же будет посвящен сегодняшний урок?

1. проверим умения находить значения аркфункций

и умения решать простейшие тригонометрические уравнения

2. рассмотрим решения некоторых более сложных тригонометрических уравнений.

2.Проверочная работа и проверка результатов

 (Презентация.  Слайды  3, 4, 5.)

Индивидуальная работа  по выполению заданий. Уч-ся выдается карточка. В заданиях 1-6 найти значения аркфункций, в заданиях 7-15 решить уравнения и записать ответ

Слайд 3

Самопроверка результатов:

Слайд 4

Самооценка по критериям

Слайд 5

3.Этап усвоения новых знаний

(Презентация.  Слайды 6-10 . )

Групповая работа

Учащимся предлагаются карточки, на каждой одно из 8 уравнений. Необходимо провести их классификацию, объяснив критерий отбора, привести принцип их решения (там, где это возможно)

Слайд 6

Предполагаемый результат:

Слайд7

 Вы не смогли предложить способы решения уравнений 3 и 4 групп. Попробуем найти их в учебнике (Работа с текстом п.11 учебника)

Предполагаемый результат: уч-ся  делают ссылку на примеры 4-5 для решения уравнений 4 группы (в таблицу вносится запись)

Слайд 8

Давайте подумаем: нельзя ли этот прием применить к решению ур-ий 3 группы?

(в таблицу вносится запись)

Слайд 9

Всем учащимся выдается полученная таблица в качестве справочной

К какой группе вы отнесете следующие уравнения:

Слайд 10

4. Этап закрепления

Учащимся предлагается решить уравнения из таблицы (Слайд 10). При этом они работают в парах. Каждая пара решает по 1 уравнению из каждой группы, 1 ученик – одно, второй – другое, договариваясь между собой кто какое будет решать, возможна взаимопомощь.

5. Подведение итогов

Подведем итоги. Какой багаж знаний вы унесете с собой с сегодняшнего урока? Дайте самооценку своей деятельности и достигнутых результатов на уроке.

(Выставляются оценки в журнал)

6. Домашнее задание (Слайд 11)

п.11, №166(а), 170(а,б),173(а), подобрать уравнения других типов

Структура и ход урока:

nsportal.ru

7 методов решения тригонометрических уравнений. | Математика и геометрия

7 методов решения тригонометрических уравнений.

1) Нужно выразить тригонометрическую функцию, так чтобы можно было выполнить задание 2.
2) Найти аргумент функции по формулам.
3) Нахождение неизвестной переменной.

Пример решения уравнения:

Решение:

Ответ:

Вопрос второй.
Как применяется метод замены переменной?

1) Нужно привести уравнение к алгебраическому виду относительно одной из тригонометрических функций.
2) Выразить переменную через какую то неизвестную.
3) После того как мы выразили переменную, нужно решить алгебраическое уравнение.
4) Сделать обратную замену.
5) Решить уже простое тригонометрическое уравнение.

Пример решения уравнения:

Решение:

Ответ:

Третий вопрос.
Как применить метод понижения порядка тригонометрического уравнения?

1) Используя формулы понижения степени, нужно заменить данное уравнение на линейное:

2) Решить полученное уравнение так как мы решали в 1 и во 2 примерах.

Пример решения уравнения:

Решение:

Ответ:

Вопрос четвертый:
Как использовать однородные уравнения?

1) Привести уравнение к виду:

2) Разделить обе части уравнения на

и получить уравнение относительно

3)Решить полученное уравнение известными способами.

Пример решения уравнения:

Решение:

Ответ:

Пятый метод решения.
Использование метода преобразования уравнения с помощью тригонометрических формул.

1) Используя тригонометрические формулы, нужно привести уравнение к виду для решения способами 1, 2, 3, 4.
2) Решить полученное уравнение известными методами.

Пример решения уравнения:

Решение:

Ответ:

Шестой вопрос.
Как разложить на множители тригонометрические уравнение?

Пример решения уравнения:

Решение:

Перенесём все члены уравнения влево:

преобразуем и разложим на множители выражение в левой части уравнения:

Вопрос седьмой.
Как применить преобразование произведения в сумму?

Пример решения уравнения:

Порядок вывода комментариев: По умолчаниюСначала новыеСначала старые

testent.ru

План-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему: Примеры решения тригонометрических уравнений

Тема урока: «Примеры решения тригонометрических уравнений».

Цели и задачи урока.

Образовательные: 1. сформировать у учащихся умения решать однородные тригонометрические уравнения;

2. отработать навыки решения других видов  тригонометрических уравнений.

Развивающие: 1. развивать и совершенствовать умение применять имеющиеся у учащихся знания в измененной ситуации;

2.развивать логическое мышление, умение делать выводы и обобщения.

Воспитательные: Воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения, чувство ответственности.

Формы:

Индивидуальная, парная, фронтальная.

Методы:

Словесные, наглядные, информационно – коммуникативные.

Приемы:

                Постепенное сокращение объяснений по мере усвоения алгоритма решения, правильная последовательность задач, контрольные упражнения как средство проверки.

Ход урока:

1. Проверка д/з.
2. Проверочная работа (проводится по вариантам). Условие записано на интерактивной доске.

3. Фронтальный опрос.

        Назвать решения частных случаев простейших тригонометрических уравнений. Условия записаны на интерактивной доске,  решения проверяются с помощью гиперссылок.

4. Рассмотрим некоторые методы решения тригонометрических уравнений.

а) Метод замены переменных

Пример1.  Решите уравнение 2sin2x + cosx – 1=0.

Решение: Запишем уравнение в виде 2(1 – cos2x) + cosx – 1=0, откуда 2cos2x – cosx – 1 = 0.

        Заметим, что данное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно cosx.  Обозначим t = cos x,  получим уравнение

2t2 — t  — 1 =0,  корни которого t1 = 1 и t2 = —.

        Получаем два случая:

1. cosx = 1, откуда x=2πk, k
2. cosx = — 0,5, откуда x=+2πn, n.

Ответ: 2πk, +2πn, где n,k.

5. Закрепление изученного материала.

  Решите уравнение:

а)  2sin2x + 5cosx + 1 =0

б)cos2x + 3sinx + 1 =0

б) Однородные тригонометрические уравнения

        Методом замены можно решать так называемые «однородные тригонометрические» уравнения.

Тригонометрическое уравнение называют однородным, если после  некоторой замены полученный многочлен от двух переменных составлен из одночленов одинаковой степени.

Пример 2   Решите уравнение 5sin2x – 8sinx cosx  — cos2x = — 2.

Решение: Перепишем уравнение в виде

7sin2x – 8sinx cosx + cos2x = 0.

Получили уравнение, однородное относительно sinx и cosx.

Рассмотрим два случая:

• cosx = 0, тогда 7sin2x – 8sinxּ0 + 02 =0, откуда sinx = 0, что невозможно, поскольку sin2x + cos2x =1; в этом случае корней нет.
• cosx≠ 0, тогда разделим обе части уравнения на cos2x:

7tg2x – 8 tgx + 1 =0.

Пусть y=tgx. Получим:  7y2-8y +1=0, откуда y1 = 1, y2=.

Осталось решить уравнения tgx = 1 и  tgx = .

Ответ: + πm, arctg  + πm, где m.

6) Закрепление изученного материала.

Решите уравнение:

2sin23x – 5sin3x cos3x + 3cos23x = 0.

в) Универсальная тригонометрическая подстановка

        При  решении тригонометрических уравнений можно использовать так называемую универсальную тригонометрическую подстановку на основе формул:

sinx =,  cos x =,   tg x =.

Если теперь ввести обозначение t = tg,  то  sin x = ,

cos x = ,  tg x = .

Пример 3 (учащиеся самостоятельно пробуют ввести новую переменную и решить уравнение, затем вызывается к доске один из учащихся для проверки).

        Решить уравнение cos x + tg  = 1.

Сделаем универсальную подстановку t=tg , тогда

 + t = 1 ⬄  t3 – 2t2  + t = 0 ⬄ t1 = 0, t2 =1.

Таким образом:

а) tg  = 0,  откуда x = 2πk, k;

б) tg  = 1, откуда x = .

Ответ: 2πk, .

6. Задания появляются на интерактивной доске. Также каждому  учащемуся  раздаются  карточки с таким же заданием.

Задание заключается в следующем: среди уравнений на карточке  (доске) выберите те, которые решаются

а) методом замены переменных;

б) как однородные тригонометрические уравнения;

в) с помощью универсальной тригонометрической подстановки:

1. 2sinx + cos x = 5sin x cos x;
2. cosx sin 7x = cos 3x sin5x
3. cosx – sin x = 0
4. sin x – sin2x+sin3x – sin4x = 0
5. 2cosx+3sinx+2cosx = 0
6. cosx + 3sin2x + 2sinx cosx = 3
7. sin2x — sin2x = cos2x
8. sin x + cos x = 1
9. sin2x + cos22x +sin23x = 1,5

10)sin2x -2sin x -3 = 0

11)sin x + sin 3x = sin 5x – sin x

        Учащиеся  помечают на карточке уравнения видов а, б и в.

Результат проверяется с помощью фронтального опроса.

8. Домашнее задание:  повторить конспект урока, решить  отмеченные уравнения с карточки.

nsportal.ru