Примеры решения задачи коши: Решить задачу Коши для дифференциального уравнения с условиями: примеры

Содержание

6.02. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка

Общее решение любого дифференциального уравнения первого порядка F(х; у; у’) = 0, как это следует из схемы его получения (1.3), содержит бесчисленное множество частных решений. Возникает естественный вопрос: как из этого множество частных решений выделить интересующее нас конкретное частное решение? Иначе говоря, как из множества интегральных кривых данного дифференциального уравнения выделить нужную интегральную кривую?

Ответ почти очевиден: для этого на плоскости Хоу нужно задать некоторую точку , через которую должна пройти искомая интегральная кривая. Тогда её уравнение и будет тем частным решением, которое выделяется из прочих (рис. 6.2).

Задание точки равносильно заданию условия для искомого, выделяемого из прочих, частного решения данного дифференциального уравнения. Это условие называется Начальным условием для дифференциального уравнения первого порядка F(х; у; у’) = 0. Начальным оно называется потому, что очень часто в реальных задачах по исследованию различного рода процессов роль независимой переменной

Х играет время T, а начальным значением Х0 является начальный момент времени T0 (обычно T0 = 0). Тогда начальное условие показывает, какое значение У0 имела искомая функция , описывающая исследуемый процесс, в начальный момент времени Х0. Ну, а сама функция , если нас не интересует предистория процесса, то есть времена Х < х0, ищется для Х > х0.

Если дифференциальное уравнение первого порядка F(х; у; у’) = 0 задано вместе с начальным для него условием , То говорят, что для этого уравнения задана Задача Коши:

(2.1)

Решить её — это значит найти те частные решения дифференциального уравнения F(х; у; у’) = 0 , которые еще удовлетворяют и заданному начальному условию . С точки зрения рисунка 6.2 решить задачу Коши (2.1) – это значит найти уравнения всех интегральных кривых дифференциального уравнения

F(х; у; у’) = 0, проходящих через начальную точку .

Как правило, задача Коши (2.1) имеет единственное решение . То есть через заданную начальную точку проходит единственная интегральная кривая дифференциального уравнения F(х; у; у’) = 0 (как на рис. 6.2). Но бывает, что задача Коши не имеет решений. То есть бывает, что ни одна из интегральных кривых не проходит через заданную начальную точку . Тогда такая точка называется Особой точкой дифференциального уравнения. А бывает, что задача Коши имеет несколько решений. То есть бывает, что через начальную точку проходит несколько интегральных кривых. Сколько решений будет у задачи Коши (2.1) и каковы они, выясняется в процессе её решения. А Схема решения задачи Коши (2.1) такова:

1. Решаем дифференциальное уравнение

F(х; у; у’) = 0 и находим все его решения. То есть находим общее решение (общий интеграл) и возможные особые решения .

2. Подставляем начальные значения Х = х0 И У = у0 в общее решение и находим соответствующее значение (значения) константы С:

(2. 2)

3. Подставляем каждое из найденных значений С В общее решение и получаем частные решения

Являющиеся решением задачи Коши. Это те решения этой задачи, которые выделяются из общего решения дифференцированного уравнения F(х; у; у’) = 0.

4. Проверяем, нет ли среди особых решений Дифференциального уравнения F(х; у; у’) = 0 таких, которые удовлетворяют начальному условию У(х0) = у0. Если такие найдутся, они тоже будут решениями задачи Коши (2.1).

Пример1. Решить задачу Коши:

Решение.

1. Сначала решим дифференциальное уравнение . Оно уже решено ранее – его решение найдено в примере 3, §1:

— общее решение; – особое решение.

2. Подставим начальные значения В общее решение и найдем С:

3. Подставим в общее решение и получим частное решение

Эта функция является решением данной задачи Коши.

4. Обратим внимание на особое решение У=0. Начальному условию У(0)=1 оно не удовлетворяет, поэтому решением данной задачи Коши не является.

Ответ: — единственное решение поставленной задачи Коши.

Пример 2. Материальное тело поднято на высоту H и в начальный момент времени T=0 отпущено в свободное падение. Описать математически процесс падения тела. А именно, найти зависимость ν = ν(T) скорости ν падающего тела от времени

T, и найти зависимость S = S(T) пути S, пройденного падающим телом, от времени T. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. Как известно, все свободно падающие тела падают с постоянным ускорением G ≈ 9,8 м/сек2 — с ускорением свободного падения. А так как ускорение – это производная от скорости, то получаем: . Это — дифференциальное уравнение первого порядка для искомой функции . Учтём еше, что в начальный момент времени T = 0 тело покоилось, а значит, выполняется начальное условие: . В итоге для определения функции Получаем задачу Коши:

Решим эту задачу.

1. Сначала решим дифференциальное уравнения:

Это – общее решение уравнения , содержащее все его решения. Особых решений у него нет.

2. Используем начальное условие и найдем С

0 = G0+С => С = 0.

3. Подставим С=0 в общее решение V=Gt+C и получим окончательно: V=Gt. Это и есть решение поставленной задачи Коши (единственное). И заодно V=Gt — это искомая зависимость скорости V падающего тела от времени T.

А теперь займёмся поиском зависимости S=S(t) Пути S От времени T. Учтём, что и что . Тогда для определения этой зависимости получим следующую задачу Коши:

Решим эту задачу.

1. Сначала решим дифференциальное уравнение :

;

Это — общее решение уравнения , содержащее все его решения. Особых решений у него нет.

2. Используем начальное условие и найдём С:

3. Подставим С=0 в общее решение и получим окончательно: . Это и есть решение рассматриваемой задачи Коши. И заодно — это искомая зависимость пути

S, проходимого свободно падающим телом, от времени T.

Ответ: — известные школьные формулы.

Пример3. Дать математическое описание демографического процесса (процесса изменение численности населения со временем) для достаточно крупного населённого региона, если в начальный момент времени численность населения региона составляла человек.

Решение. Пусть – искомая зависимость численности населения региона от времени . И пусть за время , прошедшее с некоторого момента до момента , родилось человек и умерло человек. Эти количества, очевидно, пропорциональны как исходной (в момент ) численности населения , так и величине временного промежутка . То есть

;

Здесь и – некоторые числовые коэффициенты, связанные соответственно с уровнем рождаемости и уровнем смертности в данном регионе.

Тогда общее изменение численности населения за время найдется по формуле:

Здесь . Из получённого равенства следует: . Устремляя здесь (при этом, очевидно, и ), то есть переходя к бесконечно малым и , получим:

, или .

Это – дифференциальное уравнение первого порядка для искомой функции . Дополняя это заданным начальным условием , получим для этой функции задачу Коши:

Решим эту задачу.

1. Сначала решим дифференциальное уравнение . Функция является его очевидным частным решением. Но это, очевидно, не та функция, которую мы ищем – она не удовлетворяет начальному условию, да и вообще она означает, что население в регионе отсутствует.

Будем искать те решения уравнения для которых :

Итак, — общее решение дифференциального уравнения . В него, кстати, при С = 0 входит и отмеченное ранее нулевое решение . То есть в найденном общем решении содержатся все решения дифференциального уравнения.

2. Используем начальное условие и найдём С:

3. Подставим в общее решение и получим искомое решение задачи Коши:

Это и есть искомая зависимость Численности населения региона от времени .

Проанализируем эту зависимость.

а) Если , то численность населения экспоненциально растёт со временем (рис. 6.3(а)).

б) Если , то численность населения Экспоненциально убывает со временем (рис. 6.3(б)).

в) Если , то , то есть численность населения региона не меняется (рис. 6.3(в).

Какой именно будет величина для данного региона, можно выяснить опытным путём. Пусть, например, перепись населения показала, что в некоторый момент времени в регионе проживало человек. Подставляя эти данные в формулу , можем найти :

Примечание. Полученная формула будет верно описывать демографический процесс в регионе, если уровень рождаемости и уровень смертности в нем не меняются со временем. То есть если коэффициенты и рождаемости и смертности не меняются со временем. А значит, если не меняется со временем и итоговый коэффициент .

Но это, как известно, не так: с течением времени, в силу разных причин, ситуация и со смертностью, и с рождаемостью может существенно измениться. Поэтому полученную формулу при конкретном числовом значении оправданно применять лишь на протяжении достаточно ограниченного периода времени. В другой период времени тоже можно применять эту формулу, но уже при другом значении .

Пример 4. Рассмотрим задачу о математической модели естественного роста выпуска продукции.

Пусть — объем продукции некоторого предприятия, реализованной моменту времени . Будем считать, что вся продукция реализуется по некоторой фиксированной цене за единицу продукции независимо от объема продаж . Это значит, что рынок данной продукции длительное время является насыщенным – удается продавать по фиксированной цене практически любые объемы этой продукции.

Доход от продаж составит: . Будем считать, что некоторая часть этого дохода используется в качестве инвестиций в производство выпускаемой продукции. То есть объем инвестиций составит:

(2.4)

Здесь – так называется Норма инвестиций. Она показывает, какая часть дохода возвращается в производство.

Чем больше объем инвестиций , тем быстрее растёт объем производства . В модели естественного роста это значит, что скорость роста объема производства (так называемая Акселерация производства) пропорциональна объему инвестиций :

. (2.5)

Здесь

(2.6)

— так называемая Норма акселерации, которая показывает, каким должен быть объём инвестиций , чтобы обеспечить единичную скорость роста объема производства (обеспечить рост на единицу продукции за единицу времени). Подставляя (2.4) в (2.5), получим

, (2.7)

Где – числовой коэффициент. Равенство (2.7) представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка для функции . Дополняя его некоторым начальным условием , получим задачу Коши:

(2.8)

Эта задача полностью совпадает с задачей Коши для демографического процесса (см. пример 3). Значит, у них полностью совпадают и решения:

(2.9)

Заметим, что условие постоянства цены единицы продаваемой продукции, то есть условие насыщенности рынка, не может выполнятся всегда, при любых . С увеличением объема продаж на некотором этапе рынок насыщается, спрос на товар падает, и дальнейшее увеличении объема продаж возможно лишь при снижении цены на него – в соответствии с классической убывающей кривой спроса . Если учесть эту зависимость от , то выражение (2.4) для примет вид:

(2.10)

А вместо (2.7) из (2.5) получим:

, (2.11)

Где . Это дифференциальное уравнение вместе с начальным условием составит задачу Коши:

(2.12)

Для определения функции , характеризующей объем продаж при насыщенном спросе, когда рост объема продаж возможен лишь при снижении цены на продаваемую продукцию. Эта функция, естественно, будет отличаться от функции (2.9) (будет более сложной).

Упражнения

1. Сформулировать и решить задачу по определению скорости V=V(T) свободно падающего тела массой M при условии, что учитывается сопротивление воздуха, пропорциональное скорости падения тела.

Ответ: .

2. Сформулировать и решить задачу по определению объема У=y(t) реализованной продукции, если известно, что кривая спроса Р= р(у) задаётся уравнением Р=2-у; норма инвестиций M=0,5; норма акселерации ; У(0)=0,5 – начальное условие.

Ответ:

3. При условиях предыдущей задачи 2 найти эластичность объема продаж относительно цены Р и определить условия, при которых продажи продукции являются эластичными и неэластичными.

Ответ: .

Если 0,5<Y<1, то есть если , то , и продажи представляют собой эластичный процесс (продажи растут относительно быстрее снижения цены). Доход от продаж при снижении цены возрастает. А если 1<Y<2, то есть если , то , и продажи представляют собой неэластичный процесс (продажи растут относительно медленнее снижения цены). Доход от продаж растёт при увеличении цены товара (см. §7 главы 4).

< Предыдущая		Следующая >

Сообщество Экспонента

вопрос
24. 04.2023

Системы управления, Электропривод и силовая электроника, Другое, Автоматизация испытаний

Необходимо рассмотреть различные режимы работы энергосистемы в зависимости от загрузки двигателей,но в схеме это просто мощность,активная и реактивная соответсвенно. Так же для этих параметеров рассчи…

1 Ответ

Simulink

24.04.2023

вопрос
23.04.2023

ПЛИС и СнК

Здравствуйте! Требуется помощь в написании кода на verilog. Генератор импульсной последовательности с заданными параметрами реализован в виде блок-схемы. Результат этого проектирования, временные диаг…

1 Ответ

вопрос
19.04.2023

Изображения и видео, Цифровая обработка сигналов, Математика и статистика

Вроде как схема у меня получилась но при добавлении зависимости от температуры и старения возникли проблемы кто-нибудь знает как сделать по красоте?

вопрос
14.04.2023

Глубокое и машинное обучение(ИИ), Математика и статистика, Системы управления

Прошу помощи в создании модели газотранспортной системы в Simulink/Simscape. Спасибо

6 Ответов

Simulink
modeling
газ

14.04.2023

вопрос
12. 04.2023

Математика и статистика, Робототехника и беспилотники, Системы связи, Цифровая обработка сигналов

Всем привет. Мне нужно собрать схему FSK-модема для моей научной работы в университете. Требования:1. Модулятор в передатчике должен быть реализован на GMSK или 4-FSK (желательно не брать библиотечный…

2 Ответа

вопрос
06.04.2023

Цифровая обработка сигналов

Добрый день, уважаемые участники форума! Подскажите, пожалуйста, как можно забрать те данные, по которым был построен график спектра сигнала? Они мне нужны для дальнейшей нормировки в excel.

1 Ответ

вопрос
04.04.2023

Цифровая обработка сигналов

End

3 Ответа

вопрос
02.04.2023

Другое

Добрый день/вечер! подскажите, пожалуйста, как настроить матлаб чтобы можно было работать с ним удаленно. то есть он развернут на одной ПЭВМ, а мне нужно подключится с другой ПЭВМ, но не к виндоус чер…

Публикация
29.03.2023

Глубокое и машинное обучение(ИИ)

Но давайте будем честными, для не технических менеджеров продуктов, дизайнеров и предпринимателей, внутреннее устройство ChatGPT может показаться как волшебный черный ящик. Не волнуйтесь! В этой статье я постараюсь объяснить технологию и модель, лежащие в осно. ..

Это перевод статьи: https://bootcamp.uxdesign.cc/how-chatgpt-really-works-explained-for-non-technical-people-71efb078a5c9

Автор: Guodong (Troy) Zhao

Выход ChatGPT, созданного OpenAI в конце прошлого года, был явлением феноменальным — даже моя бабушка спрашивает об этом. Его возможности генерировать язык, похожий на человеческий, вдохновляют людей экспериментировать с его потенциалом в различных продуктах. Его крайне успешный запуск даже поставил давление на гигантов технологической отрасли, таких как Google, чтобы спешить выпустить свою собственную версию ChatGPT.

ИИ
ChatGPT
OpenAI
Искусственный интеллект
NLP
GPT

29.03.2023

вопрос
27.03.2023

Цифровая обработка сигналов, Системы связи, Математика и статистика, Автоматизация испытаний, Встраиваемые системы, Радиолокация, Другое, Изображения и видео

Прошу помочь в реализации программы написанной в AppDesigner. оптический волновод , входные параметры, законы геометрической оптики , построение мод (волн) учитывая вышеперечисленные параметры,…

оптика
Оптические системы
Волоконная оптика

27.03.2023

Задача Коши — Математическая энциклопедия

Одна из фундаментальных задач теории (обыкновенных и частных) дифференциальных уравнений: найти решение (интеграл) дифференциального уравнения, удовлетворяющее так называемым начальным условиям (начальным данным). . Задача Коши обычно возникает при анализе процессов, определяемых дифференциальным законом и начальным состоянием, формулируемым математически в терминах дифференциального уравнения и начального условия (отсюда терминология и выбор обозначений: начальные данные заданы для $ t = 0 $ и решение требуется при $ t \geq 0 $). Задачи Коши отличаются от краевых задач тем, что область, в которой должно быть определено искомое решение, не указывается заранее. Тем не менее задачи Коши, как и краевые задачи, определяются наложением предельных условий для решения на (части) границы области определения.

Основные вопросы, связанные с задачами Коши, следующие:

1) Существует ли (хотя и локально) решение?

2) Если решение существует, то к какому пространству оно принадлежит? В частности, какова его область существования?

3) Является ли решение уникальным?

4) Если решение единственно, то является ли задача корректной, т. е. является ли решение в каком-то смысле непрерывной функцией исходных данных?

Простейшая задача Коши — найти функцию $ u ( x) $ определяется на полупрямой $ x \geq x _ {0} $, удовлетворяющее обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка

$$ \тег{1} \ гидроразрыв {дю} {dx} «=» f ( х, и) $$

($ ф $ — заданная функция) и принимающая заданное значение $ u _ {0} $ в $ х = х _ {0} $:

$$ \тег{2} ты ( Икс _ {0} ) знак равно ты _ {0} . $$

В геометрических терминах это означает, что, рассматривая семейство интегральных кривых уравнения (1) в $ ( x, u) $- плоскости нужно найти кривую, проходящую через точку $ ( x _ {0} , u _ {0} ) $.

Первое предложение о существовании такой функции (в предположении, что $ f $ непрерывна для всех $ x $ и непрерывно дифференцируемой по $u$) была доказана А. Л. Коши (1820–1830) и обобщена Э. Пикаром (1891–1896) (который заменил дифференцируемость условием Липшица по $u$). Оказывается, что в этих условиях задача Коши имеет единственное решение, которое к тому же непрерывно зависит от начальных данных. Современные представления о проблеме Коши по существу являются далеко идущим обобщением этой проблемы.

Тот факт, что вопросы с 1) по 4) глубоко затрагивают самую суть дела, т. е. для удовлетворительного ответа на них требуется наложение определенных условий, уже иллюстрируется в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Таким образом, решение задачи Коши для уравнения (1) с условием (2), где $ f $ задано на открытом множестве $G$ и является только непрерывным, существует на некотором интервале, зависящем от $G$ и $ ( х _ {0} , и _ {0} ) $ ( см. теорему Пеано), но оно не обязательно должно быть уникальным. Решение не обязательно должно существовать во всех точках области определения $f$. 9{( п — 1) } , $$ Стандартным устройством

можно свести к соответствующей задаче типа (1), (2).

В случае обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которые не могут быть выражены непосредственно через производную неизвестной функции (как в уравнении (1)), формулировка задачи Коши аналогична, за исключением того, что она опирается на высокая степень по геометрической интерпретации; однако реальное исследование уравнения может быть затруднено невозможностью (даже локально) приведения уравнения к нормальной форме (1).

Если ни постановка, ни исследование задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения не вызывают существенных затруднений, то в случае уравнений в частных производных дело обстоит значительно сложнее (это относится, в частности, к ответам на вопросы 1)–4) ). Это верно даже в том случае, если задействованные функции достаточно регулярны (гладки). Основным источником трудностей является тот факт, что пространство независимых переменных является многомерным, что приводит к проблемам (алгебраической) разрешимости. Например, рассмотрим задачу Коши для системы уравнений в полных дифференциалах, 9\альфа} «=» ж (х) $$

Задача Коши может быть сформулирована следующим образом. В определенном регионе $G$ переменных $ x = ( x _ {1} \dots x _ {n} ) $ требуется найти решение, удовлетворяющее начальным условиям, т.е. принимающее заданные значения, вместе с его производными порядка до $m — 1$ включительно, на некотором $ ( n — 1) $- размерная гиперповерхность $ S $ в $Г$. Эта гиперповерхность известна как носитель начальных условий (или начальная поверхность). Начальные условия могут быть заданы в виде производных от $ u $ относительно направления единичной нормали $ \nu $ до $S$: 9{\ простое число \ альфа} } \верно ) ,\ \ \alpha = (\alpha _ {1} \dots \alpha _ {n}),\ \ \альфа _ {п} < м. $$

Задачи Коши обычно изучают, когда носителем исходных данных является нехарактеристическая поверхность, т. е. когда условие (5) выполняется для всех $ x _ {0} \in S $.

Теорема Коши–Ковалевской занимает важное место в теории задач Коши; это работает следующим образом. Если $S$ является аналитической поверхностью в окрестности одной из своих точек $ x _ {0} $, если функции $a_\alpha$, $ ж $ и $\phi_{k}$, $ 0 \leq k \leq m — 1 $, аналитичны в одной и той же окрестности, и если к тому же выполнено условие (5), то задача Коши (3), (4) имеет аналитическое решение $ u ( x) $ в окрестности точки; это решение единственно в классе аналитических функций. При допущении аналитичности эта теорема справедлива и для общих нелинейных уравнений, если последние можно привести к нормальной форме (6), а также для систем таких уравнений. Теорема носит универсальный характер, так как она применима к аналитическим уравнениям независимо от их типа (эллиптические, гиперболические и т. д.) и устанавливает локальное существование решения. Решение единственно в классе неаналитических функций. 9{2} } = 0 $$

с начальными условиями

$$ и (х, у, 0) = \ \фи _ {0} (х, у),\ \ \ гидроразрыва {\ парциальное ты} {\ парциальное г} (х, у, 0) = 0 $$

не имеет решения, если $ \phi _ {0} ( x, y) $ не является аналитической функцией. {k}$ метрика) по этим функциям. Для случаев $ n = 1, 2 $ и $n = 3$, явный вид решения задается формулами Даламбера, Пуассона и Кирхгофа соответственно: 9{2} } } , $$

где $ х = ( х _ {1} , х _ {2} ) $, $ у = ( у _ {1} , у _ {2} ) $;

$$ и (х, т) = \ \frac{1}{4 \pi } т \int\limits _ {| \xi | = 1 } \phi _ {1} ( x + t \xi ) \ д\сигма + $$

$$ + \frac{1}{4 \pi } \ гидроразрыв \ парциальное {\ парциальное т} \left [ т \int\limits _ {| \xi | = 1 } \phi _ {0} ( x + t \xi ) d \sigma \right ] , $$

где $ х = ( х _ {1} , х _ {2} , х _ {3} ) $, $ \xi = ( \xi _ {1} , \xi _ {2} , \xi _ {3} ) $, и $d\sigma$ элемент поверхности на единичной сфере $ | \xi | = 1$. 9{2} $( в зависимости от обстоятельств), лежит в $S$.

Эти результаты переносятся на более общий случай, когда носителем данных Коши является поверхность $ S $ пространственного типа, т.е. поверхность, для которой $ Q $( см. (5)) остается положительным на $S$.

Существуют и другие задачи, помимо задачи Коши, которые оказались корректными для гиперболических уравнений; примерами являются характеристическая задача Коши и смешанные начально-краевые задачи. В задаче последнего типа решение существует в $ ( n + 1) $- размерный цилиндр с образующей, параллельной $t$- ось и основание $S$ которая является некоторой областью в пространстве переменных $ x = ( x _ {1} \dots x _ {n} ) $ с границей $\Gamma$. Носителем начальных условий является $S$, а значение функции, ее нормальная производная (в случае уравнений второго порядка) или более общие краевые условия задаются на боковой поверхности $\Gamma\times\{t > 0\}$ цилиндра.

В случае вырождающихся уравнений формулировка задачи Коши также должна быть изменена. Например, если уравнение имеет гиперболический тип и носителем данных Коши является поверхность, на которой уравнение становится параболически вырожденным, то в зависимости от характера вырождения начальные условия могут включать использование некоторой весовой функции.

Литература

[1]

С. Ковалевская, «Научные труды», Москва (1948) (На русском языке) MR0049124

[2]

Ж.

Адамар, «Лекции по проблеме Коши в линейных дифференциальных уравнениях в частных производных», Дувр, переиздание (1952) (Перевод с французского)

[3]

Л. Берс, Ф. Джон, М. Шехтер, «Уравнения в частных производных», Interscience (1964) MR0163043 Zbl 0126.00207

[4]

А.В. Бицадзе, «Уравнения математической физики», МИР (1980) (перевод с русского) MR0587310 MR0581247 Збл 0499.35002

[5]

Р. Курант, Д. Гильберт, «Методы математической физики. Уравнения в частных производных», 2 , Interscience (1965) (перевод с немецкого) MR0195654 9013 1

[6]

С. Мизохата, «Теория уравнений в частных производных», Кембриджский унив. Press (1973) (перевод с японского) MR0599580 Zbl 0263.35001

[7]

А.Н. [А.Н. Тихонов] Тихонов, А.

А. Самарский, «Дифференциальные глэйхунген дер математической физики», Дойч. Verlag Wissenschaft. (1959) (Перевод с русского) MR104888

[8]

Л. Хермандер, «Линейные операторы в частных производных», Springer (1964) MR2512677 MR2304165 MR2108588 MR1996773 MR148 1433 MR1313500 MR1065993 MR1065136 MR0961959 MR0925821 MR0881605 MR0862624 MR1540773 MR0781537 MR0781536 MR0717035 MR0705278 MR0404822 MR0248435 MR1533716 Zbl 1178.35003 Zbl 1115.35005 Zbl 1062.35004 Zbl 1028.35001 Zbl 0712.35001 Zbl 0687.35002 Zbl 0619.35002 Zbl 0619.35001 Збл 0612.35001 Збл 0601.35001 Збл 0521.35002 Збл 0521.35001 Збл 0321.35001 Збл 0175.39{2} } \} $. Актуальность этого замечания для общего определения области зависимости гиперболических уравнений в частных производных обсуждается в [5, разд. VI.7.

В современной практике гиперболичность оператора в частных производных определяется как необходимое условие корректности задачи Коши, см. [a2], т. 1, с. 2, разд. 12.3.

Ссылки

[a1]	П. Р. Гарабедян, «Уравнения в частных производных», Wiley (1964) МР0162045 Збл 0124.30501
[а2]	Л.В. Хёрмандер, «Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных», 1–2 , Springer (1985) ]	Ф. Тревес, «Основные дифференциальные уравнения в частных производных», Acad. . Press (1975) MR447753 Zbl 0305.35001

Как цитировать эту запись:
Задача Коши. Энциклопедия математики. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Cauchy_problem&oldid=46284

Эта статья адаптирована из оригинальной статьи А.П. Солдатова (составитель), опубликованной в Encyclopedia of Mathematics — ISBN 1402006098. См. оригинальную статью

Энтропия | Бесплатный полнотекстовый | О приближенном решении задачи Коши для систем уравнений эллиптического типа первого порядка

1.

Введение

Наиболее активно развивающейся современной областью научных знаний является теория правильно и неправильно поставленных задач, большинство из которых имеют практическое значение. ценности и требуют принятия решений в неопределенных или противоречивых условиях. В настоящее время интенсивно исследуется разработка и обоснование методов решения такой сложной задачи, как некорректно поставленные. Результаты, касающиеся некорректных задач, являются аппаратом научных исследований для многих научных направлений, таких как дифференцирование приближенно заданных функций, решение обратных краевых задач, решение задач линейного программирования и систем управления, решение систем линейных уравнений, вырождающихся или некорректно кондиционированные и др.

Понятие «корректная задача» впервые было введено французским математиком Ж. Адамаром в 1923 г., когда он рассмотрел для дифференциальных уравнений в частных производных математической физики расширение краевых задач. Понятие корректности задач легло в основу классификации краевых задач. При этом корректность постановки задачи обеспечивалась выполнением двух условий: существование решения и его единственность. Требование устойчивости решения было впоследствии присоединено к первым двум другими математиками уже при более глубоком изучении этого класса задач. Задачи, в которых не выполняется любое из трех условий корректной постановки задачи (устойчивость, существование или единственность), относятся к классу некорректно поставленных задач. Необходимость решения неустойчивых задач, подобных приведенной выше, требует более точного определения решения задачи (пример Адамара, см., например, [1], с. 39).).

Будем говорить, что задача поставлена правильно по Тихонову (см. [2]), если:

(1): решение задачи существует в некотором классе;
(2): уникальное решение в своем классе;
(3): решение задачи непрерывно зависит от входных данных.

Задача Коши для систем эллиптических уравнений с постоянными коэффициентами относится к семейству некорректных задач: решение задачи единственно, но неустойчиво. Для более подробной информации по этому вопросу можно обратиться [2,3,4,5,6,7,8,9,10]. В статье исследуется построение точного и приближенного решений некорректной задачи Коши для матричных факторизаций уравнения Гельмгольца. Такие задачи естественно возникают в математической физике и в различных областях естествознания (например, в электрогеологической разведке, в кардиологии, в электродинамике и т. д.). В целом теория некорректных задач для эллиптических систем уравнений получила достаточное развитие благодаря работам А.Н. Тихонов, В.К. Иванов, М.М. Лаврентьев, Н.Н. Тарханова и других известных математиков. Среди них наиболее важными для приложений являются так называемые условно корректные задачи, характеризующиеся устойчивостью при наличии дополнительной информации о характере данных задачи. Одним из наиболее эффективных способов изучения таких задач является построение регуляризующих операторов. Например, это могут быть формулы типа Карлемана (как в комплексном анализе) или итерационные процессы (алгоритм Козлова-Мазья-Фомина и др. ) [10]. Краевые задачи, а также численные решения некоторых задач рассмотрены в работах [11,12,13,14,15,16,17,18,19].,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32].

В этой статье мы строим явную матрицу Карлемана относительно задачи Коши для уравнения Гельмгольца на основе работ [7,8,9,10]. С его помощью дается регуляризованное решение задачи Коши для матричной факторизации уравнения Гельмгольца. Некоторые формулы типа Карлемана для некоторых уравнений и систем эллиптического типа приведены в [7,8,9,10,33,34,35,36,37,38,39]. В работе [33] рассматривалась задача Коши для уравнения Гельмгольца в произвольной ограниченной плоской области с данными Коши, известными только на границе области. В [40] рассмотрена задача Коши для уравнения Гельмгольца в ограниченной области. В настоящей работе построено приближенное решение задачи Коши для матричных факторизаций уравнения Гельмгольца в двумерной неограниченной области.

Во многих корректных задачах нелегко вычислить значения функции на всей границе. Так, одной из важных задач теории дифференциальных уравнений является восстановление решения систем уравнений эллиптического типа первого порядка, факторизующее оператор Гельмгольца (см., например, [34,35,36,37,38,39 ]).

Задача Коши для эллиптических уравнений была исследована в [6,7,40] и впоследствии развита в [9,10,33,35,36,37,38,39].

Далее мы устанавливаем обозначения, используемые в статье.

Пусть x=(x1,x2)∈R2,y=(y1,y2)∈R2. Рассмотрим в R2 неограниченную односвязную область Ω⊂R2. Предположим, что его граница ∂Ω кусочно-гладкая и состоит из плоскости T: y2=0 и гладкой кривой Σ, лежащей в полупространстве y2>0, т. е. ∂Ω=Σ⋃T.

∂x=∂x1,∂x2T,∂x→ξT,ξT=ξ1ξ2 транспонированный вектор ξ,

Рассмотрим (n×n)-мерную матрицу D(ξT) такую, что

где D*(ξT) — эрмитова сопряженная матрица D(ξT,)λ∈R, а элементы D(ξT) — линейные функции с постоянными коэффициентами комплексной плоскости.

Рассмотрим также систему дифференциальных уравнений:

D∂x – матрица дифференциальных операторов первого порядка.

Пусть AΩ={V:Ω¯⟶Rn∣V непрерывно на Ω¯=Ω∪∂Ω и V удовлетворяет системе (1)}.

2. Постановка задачи Коши

Пусть f∈C(Σ,Rn). Сформулируем следующую задачу Коши для системы (1):

Пусть V(y)∈A(Ω) такое, что

Уточним, что V(y) определено на Ω, зная f(y),y∈Σ.

Если V(y)∈A(Ω), то

где t=(t1,t2) означает единичную внешнюю нормаль в точке y∈∂Ω, а φ2(λr) представляет фундаментальное решение уравнения Гельмгольца в R2, т. е.

H0(1)(λr) – функция Ганкеля первого рода [41].

Вводится целая функция K(z), принимающая действительные значения для действительной части z (z=a+ib,a,b∈R) и такая, что:

Пусть

где I0(λa)=J0(iλa) — функция Бесселя первого рода нулевого порядка [4].

Заметим, что (3) выполняется, если мы рассмотрим

вместо этого φ2(λr), g(y,x) — регулярное решение уравнения Гельмгольца относительно переменной y, включая случай y=x.

Отсюда (3) принимает вид:

Формулу (8) можно обобщить на случай, когда Ω неограниченно.

Предположим, что Ω лежит внутри полосы наименьшей ширины, определяемой:

и ∂Ω продолжается до бесконечности.

Итак, далее мы рассматриваем неограниченную конечносвязную область Ω⊂R2, имеющую кусочно-гладкую границу ∂Ω (∂Ω — простирается до бесконечности).

Пусть ΩR – часть Ω, расположенная внутри окружности с центром в нуле и радиусом R:

Условие (12) можно ослабить.

Учитывать

Доказательство.

Разделите Ω линией y2=h3 на следующие две области:

Сначала рассмотрим область Ω1. Подставим K1(z) в (6),

K(z) задается формулой (12). В этих обозначениях верно (10).

Действительно,

Обозначим через Ψ+(y,x;λ) соответствующую функцию Ψ(y,x;λ). Как

тогда для фиксированных x∈Ω1,y∈Ω1⋃∂Ω1,

Предположим, что V(y)∈Aρ(Ω1) удовлетворяет условию:

Рассмотрим τ такое, что 2ρ−ε<τ<2ρ в (17).

Отсюда (17) выполняется для области Ω1, поэтому

Если V(y)∈Aρ(Ω2) удовлетворяет условию роста (16) в Ω2 и 2ρ−ε<τ<2ρ, то

Здесь Ψ−(y,x;λ) определяется формулой (6), в которой K(z) заменена функцией K2(z):

где

В формулах, полученных с помощью этой формулы, интегралы (согласно (11)) сходятся равномерно при δ≥0, когда V(y)∈Aρ(Ω). В этих формулах положено δ=0, поэтому

(интегралы по сечению y2=h3 взаимно разрушаются)

Ψ˜(y,x;λ) здесь получается из (6), K(z) определяется из (17), где рассматривается δ=0. Используя теперь принцип продолжения, выполняется (22), ∀x∈Ω. При выполнении условия (18) и (22) ∀δ1≥0. Учитывая δ1=0, теорема 2 доказана. □

Выбор

в (6) получаем

Отсюда (8) принимает вид:

3. Регуляризованное решение задачи Коши

Доказательство.

Сначала докажем (28). Используя (25) и (27), имеем

Используя сейчас (26), получаем

Оценим теперь ∫TΨσ(y,x;λ)dsy и ∫T∂Ψσ(y,x;λ)∂yjdsy,j∈{1,2}.

Используя (24), имеем

где

Учитывая (31) и неравенство

у нас есть

Сейчас используется

согласно (31) и (32) получаем

Согласно (31) и (32) имеем

Используя неравенства (33), (35), (36) и (30), получаем оценку (28).

Теперь докажем (29). Из (25) и (27) получаем:

Согласно (37) и (26) имеем

Оценим теперь ∫T∂Ψσ(y,x;λ)∂x1dsy и ∫T∂Ψσ(y,x;λ)∂x2dsy на части T плоскости y2=0.

Мы используем

для оценки первого интеграла.

Из (31) и (32) и (39) имеем

Согласно (31) и (32) имеем

Из неравенств (40), (41) и (38) получаем (29). □

ψ(x1) — кривая, а Ω¯ε⊂Ω — компакт.

Уточним, что множество Eε=Ω\Ω¯ε является границей слоя для этой задачи.

Рассмотрим теперь границу области Ω, состоящую из гиперплоскости y2=0 и гладкой кривой Σ, уходящей в бесконечность и лежащей в полосе

Считаем Σ заданным

где ψ(y1) удовлетворяет условию

Считаем

Доказательство.

Докажем сначала (43). Из (25) получаем

и поэтому

Из (42) имеем

Оценим теперь ∫ΣΨσ(y,x;λ)dsy,∫Σ∂Ψσ(y,x;λ)∂y1dsy и ∫Σ∂Ψσ(y,x;λ)∂y2dsy на Σ.

Учитывая равенство (31) и (32), имеем

Используя теперь (31), (32) и (34), получаем

Из (31) и (32) имеем

Из (48)–(50) и применения (49) получаем

Мы знаем, что

Согласно (51), (52) и (46) получаем

Учитывая

получаем (43).

Докажем теперь (44). Из (25) получаем:

где

Получаем

Из (42) имеем:

Теперь мы имеем дело с ∫Σ∂Ψσ(y,x;λ)∂x1dsy и ∫Σ∂Ψσ(y,x;λ)∂x2dsy на Σ.

Из (31), (32) и (39) имеем

Из (31) и (32) следует:

Из (59) и (60) с учетом (58) имеем

Мы знаем, что

Согласно (61), (62) и (57) получаем

Рассматривая σ как в (54), получаем (44). □

Предположим, что V(y)∈A(Ω) и вместо V(y) на Σ заданы его непрерывные приближения fδ(y) с ошибкой 0<δ<1. У нас есть

Ставим

Следующий пример иллюстрирует возможность некорректной постановки классической задачи Коши для системы (1).

Пример 1.

Докажите некорректность задачи Коши для следующих систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных:

Решения этой системы будем искать в виде

Подставляя их в систему, получаем

Выбираем следующие µ=n,λ=−in. Затем

Выделив действительную часть, находим решения

Постоянные U1n и U3n находятся по формуле U1n=U3n=e−n.

Решения (V1n,V2n), (V3n,V4n) удовлетворяют при x1=0 следующим начальным данным:

При n→∞ эти начальные данные стремятся к нулю. При этом их производные φ1n(k)(x),φ2n(k)(x), φ3n(k)(x),φ4n(k)(x) порядков k=1,2,…,p стремятся к нулю при n→∞ (здесь p− — произвольное фиксированное натуральное число). Действительно,

φ1n(x)=±nke−ncosnx2φ2n(x)=±nke−nsinnx2, если k− четно,

φ1n(x)=±nke−nsinnx2φ2n(x)=±nke−ncosnx2, если k− нечетно,

φ3n(x)=±nke−ncosnx2φ4n(x)=±nke−nsinnx2, если k− четное,

φ3n(x)=±nke−nsinnx2φ4n(x)=±nke−ncosnx2, если k− нечетно.

С другой стороны, V1n(x1,x2),V2n(x1,x2),V3n(x1,x2),V4n(x1,x2) неограничен для любого x1.

Мы видим, что какую бы норму мы ни выбрали для оценки значения исходных данных, мы не сможем утверждать, что малость этой нормы влечет малость решения (решение здесь оценивается по максимуму его модуль). В качестве допустимых норм для исходных данных мы здесь принимаем следующие нормы:

То есть непрерывной зависимости от исходных данных нет и, следовательно, задача поставлена некорректно. Таким образом, эта задача не обладает свойствами устойчивости и, следовательно, является некорректной. Мы видели, что решение задачи Коши для этой системы неустойчиво. Если сузить класс рассматриваемых решений до компактного множества, то задача становится условно корректной. Для оценки условной устойчивости можно применить результаты приведенных выше теорем.

4. Выводы

В явном виде найдено регуляризованное решение задачи Коши для матричной факторизации уравнения Гельмгольца в неограниченной двумерной области. Уточним, что для решения применимых задач необходимо определить приближенные значения V(x) и ∂V(x)∂xj,x∈Ω,j∈{1,2}.

Мы построили семейство вектор-функций V(x,fδ)=Vσ(δ)(x) и ∂V(x,fδ)∂xj=∂Vσ(δ)(x)∂xj, (j∈{ 1,2}) в зависимости от σ (который является параметром), и мы доказали, что при определенных выборах σ=σ(δ), δ→0 и при определенных условиях семейства Vσ(δ)(x) и ∂ Vσ(δ)(x)∂xj сходится к V(x) и соответственно к ∂V(x)∂xj,x∈Ω.

6.02. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка

Сообщество Экспонента

Задача Коши — Математическая энциклопедия

Литература

Ссылки

Энтропия | Бесплатный полнотекстовый | О приближенном решении задачи Коши для систем уравнений эллиптического типа первого порядка

1.

2. Постановка задачи Коши

3. Регуляризованное решение задачи Коши

4. Выводы

Добавить комментарий Отменить ответ