Приведением к треугольному виду вычислить определитель: Приведение определителя к треугольному виду

Матрицы.

1. Матрицы. Операции над матрицами. Элементарные преобразования. Приведение к ступенчатому виду. Ранг матрицы. Решение систем

2. Вопросы темы:

4. Определение

5. Применение матриц

6. Другие определения

7. Другие определения

8. Другие определения

9. Другие определения

10. Другие определения

11. Другие определения

12. Другие определения

13. Другие определения

14. Другие определения

16. Произведением матрицы на число

17. Суммой матриц

18. Свойства линейных операций

19. Произведением матриц

20. Свойства произведения матриц

21. Транспонирование матрицы

22. Свойства операции транспонирования матриц

24. Эквивалентные преобразования над строками матрицы

26. Определения

27.

28. Рангом матрицы

30. Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

31.

32. Определения

33. Принцип метода Гаусса

Приведение матрицы к диагональному виду

    А-5д. Приведение матриц к диагональному виду. В структурных задачах часто встречаются матрицы разного типа, например матрица энергии. Обычно они эрмитовы, но не обязательно [c.437]

    Если С — матрица поворота двумерной системы координат [эта матрица унитарна, см. уравнение (А-48)], то можно развить общий метод приведения к диагональному виду любой матрицы [c. 440]

    В методе Якоби для приведения матрицы А к диагональному виду с помощью преобразования подобия (10—100) используется ортогональная матрица С, для которой имеет место равенство где транспонированная матрица. Ортогональная матрица С в этом методе определяется как предел последовательности элементарных преобразований, осуществляемых над элементами матрицы А с помощью ортогональных матриц вида [c.286]

    Этот метод приведения к диагональному виду эрмитовой матрицы (в данном случае она симметрична) с помощью унитарной матрицы и матрицы, обратной ей, имеет общее значение для любых эрмитовых матриц. В этой книге чаще всего встречаются примеры диагонализации матриц гамильтониана (гл. 10—12 и приложение В), а также диагонализации матриц —тензора и тензора СТВ (гл. 7). [c.440]

    Итак, задачу о нахождении собственных значений оператора, заданного в форме матрицы, можно рассматривать как задачу о приведении этой матрицы к диагональному виду. В курсах математики доказывается, что эрмитовы матрицы всегда могут быть приведены к диагональному виду. [c.140]

    Способы экспериментального нахождения матрицы Тш, приведение ее к диагональному виду и определение ориентации молекулярной системы координат относительно осей ориентации кристалла рассмотрены в работе [8]. Не будем здесь касаться этих вопросов, а остановимся на расчете компонент тензора Т. [c.15]

    Квадратичная форма (VH.60) положительно определенная. Матрицы и Р действительные и симметрические. Они одинакового порядка г. Поэтому в соответствии с теоремой об одновременном приведении к диагональному виду двух симметрических матриц можно потребовать, чтобы X L X и Х РХ были диагональными матрицами. [c.247]

    Если матрица О порядка / имеет кратные собственные числа, то необходимым и достаточным условием приведения ее преобразованием подобия к диагональному виду является равенство ранга матрицы О —11 величине / — где — кратность корня векового уравнения (т. е. среди миноров порядка / — матрицы [c.149]

    Приведенную аргументацию можно изложить гораздо короче все указанные преимущества суть следствие использования ортогональных функций, которые приводят матрицу нормальных уравнений к диагональному виду. Но такое объяснение требует знакомства с соответствующим математическим аппаратом, и мы надеемся, что статья показывает настоятельную практическую необходимость его освоения. [c.163]

    Для верхней треугольной матрицы получим тот же результат. Поэтому в целом пет необходимости приводить матрицу определителя к диагональному виду, достаточно привести ее к нижнему или верхнему треугольному виду. Если на каком-то шаге приведения один или несколько столбцов (строк) матрицы обратятся в нуль, то процедура заканчивается, ибо в этом случае определитель равен нулю. [c.38]

    Указанные уравнения образуют систему линейных уравнений, и их можно решать как таковые обычным способом. Кроме того, для решения и исследования уравнений (30), (31) можно применять метод приведения матрицы к диагональному виду.  [c.358]

    Матрица коэффициентов системы (6-12) является трехдиаго» нальной. Для решения такой системы уравнений используется спе» циальный метод, основанный на приведении матрицы к диагональному виду с помощью элементарных преобразований по рекуррентным соотношениям [17]  [c.386]

    Следовательно, путем приведения матрицы к диагональному виду можно значительно упростить вычисление статистической суммы. Единственная операция, которую необходимо выполнить, — это нахождение собственных чисел матрицы М и построение матриц Т и Т по соответствующим собственным векторам. [c.199]

    Матрицы коэффициентов системы (7.203) являются трехдиагональными. Для решения таких систем можно воспользоваться специальным методом, основанном на приведении к диагональному виду с помош ью элементарных преобразований по рекуррентным формулам [c.340]

    Эти формулы позволят вычислить матрицы Ь и 8 для антисимметричных состояний при уу-связи при помощи неантисимметричных величин (12. 16). Приведение этих матриц к диагональному виду в случае двухэлектронных состояний вплоть до йй дает ряд матриц преобразования, приведенных в табл. 24. Слева от матриц приведены значения у и у для состояний уу-связи, значение J помещено сверху в рессел-саундерсовских обозначениях. От М преобразования не зависят. [c.290]

Найти определитель с помощью сокращения строк

Приведены примеры и вопросы с их решениями о том, как найти определитель квадратной матрицы с помощью формы эшелона строк. Основная идея состоит в том, чтобы привести данную матрицу к треугольной форме, а затем вычислить ее определитель. Определитель данной матрицы вычисляется из определителя треугольной с учетом свойств, перечисленных ниже.

Детерминантные свойства и сокращение строк

Примеры поиска определителя с использованием сокращения строк

Решение примера 1 Пусть D будет определителем данной матрицы. шаг 1: добавить строку (1) в строку (2) — см. Свойство (1) выше — определитель не меняет D \ [ \ color {red} {\ begin {matrix} \\ R_2 = R_2 + R_1 \\ \\ \ end {matrix}} \ begin {bmatrix} 2 и -1 и 3 \\ 0 и 4 и 9 \\ 4 и 6 и 7 \ end {bmatrix} \] шаг 2: вычтите 2 раза строку (1) из строки (3) — см. Свойство (1) выше — определитель не изменит D \ [ \ color {red} {\ begin {matrix} \\ \\ R_3 -2 \ раз R_1 \\ \ end {matrix}} \ begin {bmatrix} 2 и -1 и 3 \\ 0 и 4 и 9 \\ 0 и 8 и 1 \ end {bmatrix} \] шаг 3: вычтите 2 раза строку (2) из ​​строки (3) — см. Свойство (1) выше — определитель не изменит D \ [ \ color {red} {\ begin {matrix} \\ \\ R_3 — 2 \ раза R_2 \ \ end {matrix}} \ begin {bmatrix} 2 и -1 и 3 \\ 0 и 4 и 9 \\ 0 & 0 & -17 \ end {bmatrix} \] Теперь, когда матрица имеет треугольную форму, определитель данной матрицы вычисляется как произведение элементов на главной диагонали (вверху слева направо вниз). Определитель треугольной матрицы = (2) (4) (- 17) = — 136 = D = Det (A) Пример 2 Объедините строки и используйте указанные выше свойства, чтобы переписать приведенную ниже матрицу 5 5 в треугольной форме и вычислить ее определитель. \ [A = \ begin {bmatrix} -1 и 0 и -1 и 3 и 6 \\ 1 и 1 и -1 и 0 и 4 \\ 1 и -3 и 0 и -2 и 2 \\ -1 и 2 и 2 и 1 и -3 \\ 0 и -1 и 2 и 0 и 2 \ end {bmatrix} \] Решение примера 2 Пусть D — определитель матрицы A. Шаг 1: мы добавляем строки в другие строки, как показано ниже, и в соответствии со свойством (1) определитель не меняет D. \ [\ color {красный} {\ begin {matrix} \\ R_2 + R_1 \\ R_3 + R_1 \\ R_4 + R_2 \\ \\ \ end {matrix}} \ begin {bmatrix} -1 и 0 и -1 и 3 и 6 \\ 0 и 1 и -2 и 3 и 10 \\ 0 & -3 & -1 & 1 & 8 \\ 0 и 3 и 1 и 1 и 1 \\ 0 и -1 и 2 и 0 и 2 \ end {bmatrix} \] Шаг 2: мы добавляем несколько строк к другим строкам, как показано ниже, и согласно свойству (1) определитель не меняет D. \ [\ color {красный} {\ begin {matrix} \\ \\ R_3 + 3 \ раз R_2 \\ R_4- 3 \ раза R_2 \ R_5 + R_2 \ end {matrix}} \ begin {bmatrix} -1 и 0 и -1 и 3 и 6 \\ 0 и 1 и -2 и 3 и 10 \\ 0 & 0 & -7 & 10 & 38 \\ 0 & 0 & 7 & -8 & -29 \\ 0 и 0 и 0 и 3 и 12 \ end {bmatrix} \] Шаг 3: мы добавляем строку в другую строку, как показано ниже, и согласно свойству (1) определитель не меняет D. \ [\ color {красный} {\ begin {matrix} \\ \\ \\ R_4 + R_3 \\ \\ \ end {matrix}} \ begin {bmatrix} -1 и 0 и -1 и 3 и 6 \\ 0 и 1 и -2 и 3 и 10 \\ 0 & 0 & -7 & 10 & 38 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 9 \\ 0 и 0 и 0 и 3 и 12 \ end {bmatrix} \] Шаг 4: мы добавляем число, кратное строке, к другой строке, как показано ниже, и согласно свойству (1) определитель не меняет D. \ [\ color {красный} {\ begin {matrix} \\ \\ \\ \\ R_5 — \ dfrac {3} {2} R_4 \ end {matrix}} \ begin {bmatrix} -1 и 0 и -1 и 3 и 6 \\ 0 и 1 и -2 и 3 и 10 \\ 0 & 0 & -7 & 10 & 38 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & — \ dfrac {3} {2} \ end {bmatrix} \] Теперь матрица имеет треугольную форму, а ее определитель определяется произведением элементов на главной диагонали. Определитель треугольной матрицы = (-1) (1) (- 7) (2) (- 3/2) = — 21 = D = Det (A) Примечание: Сравните этот метод вычисления определителя квадратной матрицы с методом сомножителей в определителе квадратной матрицы.Какой метод более эффективен? Пример 3 вычислить определитель матрицы \ [A = \ begin {bmatrix} -1 и 2 и 4 и 6 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \\ -1 и 2 и 4 и 14 \\ 0 и 2, 4 и 6 \ end {bmatrix} \] Решение примера 3 Пусть D будет определителем данной матрицы. Шаг 1: вычтите строку (1) из строки (3), и согласно свойству (1) определитель не изменится. \ [\ color {красный} {\ begin {matrix} \\ \\ R_3 — R_1 \\ \\ \ end {matrix}} \ begin {bmatrix} -1 и 2 и 4 и 6 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 8 \\ 0 и 2, 4 и 6 \ end {bmatrix} \] Шаг 2: поменять местами строки (3) и (4) и согласно свойству (2) знак определителя поменять знак на — D \ [\ color {красный} {\ begin {matrix} \\ \\ \ text {from} R_4 \\ \ text {from} R_3 \\ \ end {matrix}} \ begin {bmatrix} -1 и 2 и 4 и 6 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \\ 0 и 2 и 4 и 6 \\ 0 и 0 и 0 и 8 \ end {bmatrix} \] Шаг 3: поменять местами строки (2) и (3) и согласно свойству (2) знак определителя поменять знак на — (- D) \ [\ color {красный} {\ begin {matrix} \\ \ text {from} R_3 \\ \ text {from} R_2 \\ \\ \ end {matrix}} \ begin {bmatrix} -1 и 2 и 4 и 6 \\ 0 и 2 и 4 и 6 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \\ 0 и 0 и 0 и 8 \ end {bmatrix} \] Теперь матрица имеет треугольную форму, а ее определитель определяется произведением элементов на главной диагонали. Определитель треугольной матрицы = (-1) (2) (1) (8) = — 16 = — (- D) = D = Det (A) Вопросы по определителю и редукции строк Часть 1 Используйте метод эшелонированной формы строк для вычисления определителя матриц. \ (A = \ begin {bmatrix} 1 & -1 & -3 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 1 & 5 \\ 1 и -1 и 1 и 4 и 5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 1 и 0 и 1 и 2 и 2 \ end {bmatrix} \) Часть 2 Определитель матрицы \ (A = \ begin {bmatrix} а & б & с \\ d & e & f \\ g & h & k \ end {bmatrix} \) равно D. Найдите детермиант в терминах D следующих матриц а) \ (\ begin {bmatrix} 2a и 2b и 2c \\ d & e & f \\ -3g, -3h и -3k \ end {bmatrix} \), б) \ (\ begin {bmatrix} d & e & f \\ а & b & c \\ 7g, 7h и 7k \ end {bmatrix} \) Решения вышеуказанных вопросов Часть 1 Пусть D — определитель данной матрицы A. шаг 1: поменять местами 4 и 5 ряды; согласно свойству (2) определитель меняет знак на: — D. \ [\ begin {bmatrix} 1 & -1 & -3 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 1 & 5 \\ 1 и -1 и 1 и 4 и 5 \\ 1 и 0 и 1 и 2 и 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \ end {bmatrix} \] шаг 2: добавить несколько строк к другим строкам; определитель не меняется: — D. \ [\ color {красный} {\ begin {matrix} \\ R_2 + R_1 \\ R_3-R_1 \\ R_4-R_1 \\ \\ \ end {matrix}} \ begin {bmatrix} 1 & -1 & -3 & 0 & 1 \\ 0 и -1 и -3 и 1 и 6 \\ 0 & 0 & 4 & 4 & 4 \\ 0 и 1 и 4 и 2 и 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \ end {bmatrix} \] шаг 3: добавить строку, кратную строке, в другую строку; определитель не меняется: — D. \ [\ color {красный} {\ begin {matrix} \\ \\ \\ R_4 + R_2 \\ \\ \ end {matrix}} \ begin {bmatrix} 1 & -1 & -3 & 0 & 1 \\ 0 и -1 и -3 и 1 и 6 \\ 0 & 0 & 4 & 4 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \ end {bmatrix} \] шаг 4: добавить несколько строк к другим строкам; определитель не меняется: — D. \ [\ color {красный} {\ begin {matrix} \\ \\ \\ Р_4- (1/4) Р_3 \\ Р_5 — (1/4) Р_3 \ end {matrix}} \ begin {bmatrix} 1 & -1 & -3 & 0 & 1 \\ 0 и -1 и -3 и 1 и 6 \\ 0 & 0 & 4 & 4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & -2 \ end {bmatrix} \] шаг 5: добавить строку, кратную строке, в другую строку; определитель не меняется: — D. \ [\ color {красный} {\ begin {matrix} \\ \\ \\ \\ R5 + (1/2) R4 \ end {matrix}} \ begin {bmatrix} 1 & -1 & -3 & 0 & 1 \\ 0 и -1 и -3 и 1 и 6 \\ 0 & 0 & 4 & 4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} \] Теперь матрица имеет треугольную форму, и ее определитель определяется произведением элементов на главной диагонали. Определитель треугольной матрицы = (1) (- 1) (4) (2) (1) = — 8 = — D Определитель D данной матрицы равен D = 8. Часть 2 a) строка (1) умножается на 2, а строка (3) на — 3, следовательно, согласно свойству (3) выше определитель равен 2 (-3) D = — 6 D. b) строки (1) и (2) меняются местами, а строка (3) умножается на 7, следовательно, согласно свойствам (2) и (3), определитель равен (-1) 7 D = — 7 D. Дополнительные ссылки и ссылки Дополнительные ссылки и ссылки

Онлайн-калькулятор: Калькуляторы матричной триангуляции

Ниже представлены два калькулятора для матричной триангуляции.
Первый использует метод Гаусса, второй — метод Барейсса. Описание методов и их теории приведено ниже.

Матричная триангуляция (метод Гаусса)

Цифры после десятичной точки: 4

Треугольная матрица (метод Гаусса)

Треугольная матрица (метод Гаусса с максимальным выбором в столбце):

Треугольная матрица (метод Гаусса с максимальным выбор во всей матрице):

content_copy Ссылка сохранить Сохранить расширение Виджет

Матричная триангуляция (метод Барейса)

Цифры после десятичной точки: 4

Треугольная матрица (метод Барейса)

Треугольная матрица (метод Барейса с максимальным выбором в столбце)

Треугольная матрица (метод Барейса с максимальным выбором во всей матрице)

content_copy Ссылка сохранить Сохранить расширение Виджет

Сначала мы дадим понятие треугольной или строчной эшелонирующей матрице:
Матрица имеет вид строкового эшелона, если:

1. все нулевые строки, если таковые имеются, принадлежат нижней части матрицы
2. Старший коэффициент (первое ненулевое число слева, также называемое опорной точкой) ненулевой строки всегда находится строго справа от ведущего коэффициента строки над ней
3. Все ненулевые строки (строки с хотя бы одним ненулевым элементом) находятся над любыми строками со всеми нулями

Пример матрицы эшелона строк:
1 0 2 5
0 3 0 0
0 0 0 4
Понятие треугольной матрицы более узкое и используется только для квадратных матриц.Это выглядит так: треугольная матрица — это квадратная матрица, в которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю.

Пример верхней треугольной матрицы:
1 0 2 5
0 3 1 3
0 0 4 2
0 0 0 3
Кстати, определитель треугольной матрицы вычисляется простым умножением всех ее диагональных элементов.

Вы спросите, чем же интересны эти строковые (и треугольные) матрицы? Что ж, у них есть удивительное свойство — любую прямоугольную матрицу можно свести к матрице эшелона строк с помощью элементарных преобразований.

Итак, что за элементарные преобразования, спросите вы?
Преобразования элементарной матрицы — это следующие операции:

1. Переключение строк (строка в матрице может быть заменена другой строкой)
2. Умножение строк (каждый элемент в строке можно умножить на ненулевую константу)
3. Сложение строк (строка может быть заменена суммой этой строки и кратной другой строке)

Что теперь?
Элементарные преобразования матриц сохраняют эквивалентность матриц.И, если вы помните, что системы линейных алгебраических уравнений записываются только в матричной форме, это означает, что преобразование элементарных матриц не меняет множества решений системы линейных алгебраических уравнений, которые эта матрица представляет.

Триангулируя матрицу линейного уравнения AX = B до A’X = B ‘, т.е. с соответствующим преобразованием столбца B, вы можете выполнить так называемую «обратную подстановку».

Чтобы объяснить, мы будем использовать треугольную матрицу выше и перепишем систему уравнений в более общей форме (я составил столбец B):

Понятно, что сначала найдем, потом подставим в предыдущее уравнение, найдем и так далее — переходя от последнего уравнения к первому.Это то, что называется обратной заменой.
Этот алгоритм сокращения строк называется методом Гаусса. Метод Гаусса — классический метод решения систем линейных уравнений. Его также называют методом исключения Гаусса, так как это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований системы уравнений приводятся к эшелонированной (или треугольной) форме, в которой размещаются все остальные переменные (начиная с последний).

Теперь несколько мыслей об этом методе.
Как можно обнулить переменную во втором уравнении?
Путем вычитания из него первого, умноженного на коэффициент
Вот пример:

Ноль в первом уравнении

Во втором уравнении нет
В обобщенном смысле метод Гаусса можно представить следующим образом:

где N — размер строки,

— i-й ряд,
— элемент i-го ряда, j-й столбец

Вроде бы отличный метод, но есть один нюанс — его деление на встречающееся в формуле.Во-первых, если диагональный элемент равен нулю, этот метод не сработает. Во-вторых, при расчете отклонение будет расти и чем дальше, тем больше. Так что результат не будет точным.
Для уменьшения отклонения используются модификации метода Гаусса. Они основаны на том, что чем больше знаменатель, тем меньше отклонение. Эти модификации представляют собой метод Гаусса с максимальным выбором по столбцу и метод Гаусса с максимальным выбором по всей матрице. Как следует из названия, перед каждой основой исключения переменной ищется элемент с максимальным значением в строке (всей матрице) и выполняется перестановка строк, поэтому он будет меняться местами с.

Однако существует радикальная модификация метода Гаусса — метод Барейсса.
Как можно избавиться от разделения? Умножив строку на перед вычитанием. Затем вам нужно вычесть, умножить на без деления.
.
Вроде бы хорошо, но при расчетах возникает проблема увеличения значения элемента

Bareiss предложил разделить приведенное выше выражение на и показал, что если исходные элементы матрицы являются целыми числами, то результирующее число будет целым.Также предполагается, что для нулевой строки.

Кстати, то, что алгоритм Барейсса сводит целые элементы исходной матрицы к треугольной матрице с целыми элементами, т.е. без накопления отклонений, это довольно важная особенность с точки зрения машинной арифметики.

Алгоритм Барейса можно представить как:

Этот алгоритм может быть усовершенствован, как и алгоритм Гаусса, с максимальным выбором в столбце (всей матрице) и перестановкой соответствующих строк (строк и столбцов).

Вычислите определитель каждой матрицы, приведя его к верхней треугольной форме. (а) $$ \ left [\ begin {array} {rrr} {1} & {- 1} & {2} \\ {3} & {1} & {1} \\ {2} & {- 1 } & {3} \ end {array} \ right] $$, (b) $$ \ left [\ begin {array} {rrr} {- 1} & {3} & {1} \\ {2} & {5} & {3} \\ {1} & {- 2} & {1} \ end {array} \ right] $$, (c) $$ \ left [\ begin {array} {rrrr} {- 1} & {- 1} & {1} & {0} \\ {2} & {1} & {1} & {3} \\ {0} & {1} & {1} & {2} \ \ {1} & {3} & {- 1} & {2} \ end {array} \ right] $$, (d) $$ \ left [\ begin {array} {llll} {2} & {3 } & {1} & {1} \\ {0} & {2} & {

[математика] \ sinh [/ математика]

[math] \ ch [/ math]

[math] \ tanh [/ math]

[math] \ operatorname {sech} [/ math]

[math] \ operatorname {csch} [/ math]

[math] \ coth [/ math]

[математика] \ notin [/ математика]

[математика] \ подмножество [/ математика]

[математика] \ substeq [/ математика]

[математика] \ cap [/ математика]

[математика] \ чашка [/ математика]

[математика] \ существует [/ математика]

[математика] \ forall [/ математика]

[математика] \ sin [/ математика]

[математика] \ cos [/ математика]

[math] \ tan [/ math]

[математика] \ сек [/ математика]

[математика] \ csc [/ математика]

[математика] \ cot [/ математика]

[математика] \ arcsin [/ математика]

[математика] \ arccos [/ математика]

[математика] \ arctan [/ математика]

[math] \ operatorname {arcsec} [/ math]

[math] \ operatorname {arccsc} [/ math]

[math] \ operatorname {arccot} [/ math]

[math] \ theta [/ math]

[математика] \ phi [/ математика]

[математика] \ varphi [/ математика]

[математика] \ int_ {a} ^ {b} f (x) \, dx [/ math]

[математика] \ bigg | _ {a} ^ {b} [/ math]

[математика] \ left [\ right] _ {a} ^ {b} [/ math]

Верхняя треугольная форма — обзор

1.7 LU Decomposition

Обращение матриц элементарных матриц лежит в основе еще одного популярного метода, известного как разложение LU , для решения одновременных уравнений в матричной форме Ax = b . Способ основан на факторизации невырожденной матрицы коэффициентов A в произведение нижней треугольной матрицы L на верхнюю треугольную матрицу U . Как правило, существует множество таких факторизаций. Если требуется, чтобы L имел все диагональные элементы, равные 1, тогда разложение, если оно существует, уникально, и мы можем записать

(1.33) A = LU

с

L = 100 ⋯ 0l2110 ⋯ 0l31l321 ⋯ 0 ⋮⋮⋮ ⋱ ⋮ ln1ln2ln3 ⋯ 1

U = u11u12u13 ⋯ u1n0u22u23 ⋯ u2n00u23 ⋯ u30003 n A в форму (1.33), мы сначала преобразуем A в верхнюю треугольную форму, используя только операцию третьей элементарной строки R ₃ . Это похоже на преобразование матрицы в форму с сокращенной строкой, за исключением того, что мы больше не используем первые две элементарные операции со строками. Мы не меняем местами строки и не умножаем строки на ненулевые константы.Следовательно, мы больше не требуем, чтобы первый ненулевой элемент каждой ненулевой строки был равен 1, и если какая-либо из опорных точек равнялась 0, что указывало бы на обмен строк при преобразовании в форму с сокращенной строкой, тогда искомая нами схема декомпозиции не может быть Выполнено.

Пример 1 Используйте операцию третьей элементарной строки для преобразования матрицы

A = 2−13421−6−12

в верхнюю треугольную форму.

Решение:

Если квадратная матрица A может быть приведена к верхней треугольной форме U последовательностью операций с элементарной строкой третьего типа, тогда существует последовательность элементарных матриц E ₂₁ , E ₃₁ , E ₄₁ ,…, E _{n, n — 1} так, что

(1.34) En, n – 1… E41E31E21A = U

, где E ₂₁ обозначает элементарную матрицу, которая помещает 0 в позицию 2-1, E ₃₁ обозначает элементарную матрицу, которая помещает 0 в позиция 3-1, E ₄₁ обозначает элементарную матрицу, которая помещает 0 в позицию 4-1 и так далее. Поскольку элементарные матрицы имеют обратные, мы можем записать уравнение (1.29) как

(1.35) A = E21−1E31−1E41−1… En, n − 1−1U

Каждая элементарная матрица в уравнении (1.34) имеет нижнюю треугольную форму. Из теоремы 4 раздела 1.5 следует, что каждая из обратных точек в уравнении (1.35) является нижнетреугольной, а затем из теоремы 2 раздела 1.3, что произведение этих обратных нижних треугольников является нижним треугольником. Если мы установим

L = E21−1E31−1E41−1… En, n − 1−1

, тогда L будет нижним треугольником и уравнение (1.35) может быть переписано как A = LU , что разложение, которое мы ищем.

Квадратная матрица A имеет разложение LU , если A можно преобразовать в верхнюю треугольную форму, используя только операцию третьей элементарной строки.

Пример 2 Постройте разложение LU для матрицы, приведенной в Примере 1.

Решение: Элементарные матрицы, связанные с операциями элементарной строки, описанными в Примере 1, равны

E21 = 100−210001, E31 = 100010-301, и E32 = 1000100-11

с инверсиями, соответственно

E21-1 = 100210001, E31-1 = 100010-301 и E32-1 = 1000100-11.

Тогда

2−13421−6−12 = 100210001100010−3011000100−112−1304−5006

или, после умножения обратных элементарных матриц,

2−13421−6−12 = 100210−3 −112−1304−5006.

Пример 2 предлагает важное упрощение процесса разложения. Обратите внимание, что элементы в L , расположенные ниже главной диагонали, являются отрицательными значениями скаляров , используемых в элементарных операциях со строками в Примере 1, чтобы уменьшить A до верхней треугольной формы! Это не случайно.

▸Наблюдение 1

Если при преобразовании квадратной матрицы A в верхнюю треугольную форму ноль помещается в позицию ij путем добавления к строке i скаляра k раз строки j , то элемент ij из L в разложении LU из A равен — k. ◂

Мы резюмируем процесс разложения следующим образом: Используйте только операцию третьей элементарной строки, чтобы преобразовать квадратную матрицу A в верхнюю треугольную форму. Если это невозможно из-за нулевого поворота, остановитесь. В противном случае, разложение LU находится путем определения результирующей верхней треугольной матрицы как U и построения нижней треугольной матрицы L в соответствии с наблюдением 1.

Пример 3 Построение разложения LU для матрицы

A = 212362481−10401−3−4

Решение: Преобразовывая A в верхнюю треугольную форму, мы получаем

Теперь у нас есть верхняя треугольная матрица U .Чтобы получить нижнюю треугольную матрицу L в разложении, отметим, что мы использовали скаляр — 3, чтобы поместить 0 в позицию 2-1, поэтому его отрицательный — (- 3) = 3 переходит в позицию 2-1. из Л . Мы использовали скаляр — 1/2, чтобы разместить 0 в позиции 3-1 на втором этапе предыдущего процесса триангуляции, так что его отрицательное значение 1/2 становится элементом 3-1 в L ; мы использовали скаляр 5/2, чтобы поместить 0 в позицию 4-3 на последнем этапе процесса триангуляции, так что его отрицательное значение — 5/2 становится элементом 4-3 в L .Продолжая таким же образом, мы генерируем разложение

212362481-10401-3-4 = 100031001232100-1-52121230-1-2-100240005

LU разложения, когда они существуют, используются для решения систем одновременных линейных уравнений . Если квадратную матрицу A можно разложить на A = LU , то система уравнений Ax = b может быть записана как L (Ux) = b . Чтобы найти x , мы сначала решаем систему

(1.36) Ly = b

для y , а затем, как только y определено, мы решаем систему

(1,37) Ux = y

для x . Обе системы (1.36) и (1.37) легко решаются, первая — прямой заменой, а вторая — обратной заменой.

Если A = LU для квадратной матрицы A , то уравнение Ax = b решается сначала путем решения уравнения Ly = b для y , а затем решения уравнение Ux = y для x .

Пример 4 Решите систему уравнений:

2x – y + 3z = 94x + 2y + z = 9–6x – y + 2z = 12

Решение: Эта система имеет матричную форму

2−13421−6−12xyz = 9912

Разложение LU для матрицы коэффициентов A приведено в примере 2. Если мы определим компоненты y как α, β и γ, соответственно , матричная система Ly = b равна

100210−3−11αβγ = 9912

, что эквивалентно системе уравнений

α = 92α + β = 9−3α − β + γ = 12

Решая эту систему сверху вниз, получаем α = 9, β = — 9 и γ = 30.Следовательно, матричная система Ux = y равна

2−1304−5006xyz = 9−930

, что эквивалентно системе уравнений

2x – y + 3z = 94y – 5z = –96z = 30

Решая эту систему снизу вверх, мы получаем окончательное решение x = — 1, y = 4 и z = 5.

Пример 5 Решите систему

2a + b + 2c + 3d = 56a + 2b + 4c + 8d = 8a – b + 4d = –4b – 3c – 4d = –3

Решение: Матричное представление для этой системы имеет в качестве матрицы коэффициентов матрицу A Пример 3.Определим

y = αβγδT

Затем, используя разложение, определенное в примере 3, мы можем записать матричную систему Ly = b как систему уравнений

α = 53α + β = 812α + 32β + γ = −4 − β − ​​52γ + δ = −3

, которое имеет своим решением α = 5, β = — 7, γ = 4 и δ = 0. Таким образом, матричная система Ux = y эквивалентен системе уравнений

2a + b + 2c + 3d = 5 – b – 2c – d = –72c + 4d = 45d = 0

Решая этот набор снизу вверх, мы вычисляем окончательное решение как a = — 1, b = 3, c = 2 и d = 0.

Задачи 1,7

В задачах с 1 по 14 даны A и b . Постройте разложение LU для матрицы A и затем используйте его для решения системы Ax = b для x .

(1)

A = 1134, b = 1-6.

(2)

A = 2112, b = 11-2.

(3)

A = 8352, b = 625550.

(4)

A = 110101011, b = 41-1.

(5)

A = −1201−312−23, b = −1−23.

(6)

A = 213410−2−1−2, b = 10−400.

(7)

A = 321401392, b = 508020.

(8)

A = 12-1201-113, b = 80159-75.

(9)

A = 12-1021001, b = 8-15.

(10)

A = 100320112, b = 242.

(11)

A = 1011110111100111, b = 4−3−2−2.

(12)

A = 21−13142100−110111, b = 1000200100100.

(13)

A = 1211112111120111, b = 30301010.

(14)

A = 20202206-43111031, b = −2494.

(15)

(a)

Используйте разложение LU для решения системы

–x + 2y = –92x + 3y = 4

(b)

Используйте разложение для решения предыдущей системы при замене правых частей уравнений на 1 и — 1 соответственно.

(16)

(a)

Используйте разложение LU для решения системы

x + 3y – z = –12x + 5y + z = 42x + 7y – 4z = –6

(b)

Используйте разложение для решения предыдущей системы, когда правая часть каждого уравнения заменяется на 10, 10 и 10 соответственно.

(17)

Решите систему Ax = b для следующих векторов b , когда A задан как в Задаче 4:

(a)

57− 4,

(b)

220,

(c)

405020,

(d)

113.

(18)

Solo Ax = b для следующих векторов b , когда A задано как в Задаче 13:

(a)

−1111,

(b)

0000,

(в)

116060,

(г)

1111.

(19)

Покажите, что разложение LU нельзя использовать для решения системы

2y + z = –1x + y + 3z = 82x – y – z = 1

, но это разложение можно использовать, если поменять местами первые два уравнения.

(20)

Покажите, что разложение LU нельзя использовать для решения системы

x + 2y + z = 22x + 4y – z = 7x + y + 2z = 2

, но это разложение может использоваться, если поменять местами первое и третье уравнения.

(21)

(a)

Покажите, что процедура декомпозиции LU , приведенная в этом разделе, не может быть применена к

A = 0209

(b)

Убедитесь, что A = LU , когда

L = 1011andU = 0207

(c)

Убедитесь, что A = LU , когда

L = 1031andU = 0203

(d) Как вы думаете, почему процедура разложения LU не работает для этого A ? Чем можно объяснить тот факт, что A имеет более одного разложения LU ?

Объяснение урока: операции с элементарными строками

В этом пояснении мы узнаем, как выполнять элементарные операции со строками в матрице и как представлять систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы.

Одна из роскоши при работе с линейной алгеброй — это огромное разнообразие методов, которые часто доступны для решения проблема или завершение расчета. Возможно, наиболее показательным из них является метод исключения Гаусса – Жордана, где любая комбинация допустимых строковых операций может использоваться для приведения матрицы к форме сокращенного эшелона, который часто используется для решения системы линейных уравнений. Метод исключения Гаусса – Жордана также можно использовать для вычислить обратную квадратную матрицу (если она существует), как и сопряженный метод.Принципы присоединения также можно использовать для вычисления определителя матрицы, который в качестве альтернативы можно найти с помощью расширение по любой строке или столбцу и объединение с соответствующими минорами матрицы. Это смешение эквивалентных идеи — прекрасная особенность линейной алгебры, которая вознаграждает за долгое изучение и исследование. Неизбежно, однако люди в конечном итоге останавливаются на своих любимых методах работы с линейной алгеброй, часто забывая или полностью игнорируя другие, эквивалентные идеи, которые могут быть существенно более полезными.

Часто при вычислении определителя матрицы мы использовали один из двух методов, упомянутых выше. Однако есть один метод, который для сравнения используется нечасто, несмотря на то, что он универсален и якобы аналогично процессу исключения Гаусса – Жордана. Наша цель будет заключаться в использовании элементарных операций со строками для управления матрицу в верхнетреугольную форму, отслеживая любое влияние на определитель, а затем используйте эту форму для быстрого вычислить окончательный ответ.Для этого нам нужно сначала повторить операции с элементарными строками для матриц.

Определение: элементарные операции со строками

Рассмотрим матрицу 𝐴 порядка 𝑚 × 𝑛 со строками, помеченными 𝑟, 𝑟,…, 𝑟. Затем мы можем выполнить следующие три элементарные операции со строками:

• Переключение строки 𝑖 со строкой 𝑗, обозначенной 𝑟↔𝑟;
• Масштабирование строки 𝑖 ненулевой константой 𝑐, обозначаемой 𝑟 → 𝑐𝑟;
• Добавление масштабированной версии строки 𝑗 в строку 𝑖, обозначенную 𝑟 → 𝑟 + 𝑐𝑟.

Если операция элементарной строки используется для преобразования матрицы 𝐴 в новую матрицу 𝐴, то мы должны сказать, что эти две матрицы «эквивалентны по строкам».

Чтобы продемонстрировать эффект этих операций со строками, рассмотрим матрицу 𝐴 = 12610301102−2012.

Операцию с первой элементарной строкой проще всего описать, поскольку она включает в себя переключение только двух строк, без изменений в их записях. Например, строковая операция 𝑟↔𝑟 меняет местами первую и третью строки, оставляя все остальные строки без изменений: 2−20123011012610.

Мы также можем взять целую строку и умножить ее на ненулевую константу. Предположим, что мы хотели умножьте каждую запись во второй строке этой новой матрицы на коэффициент масштабирования 3. Мы бы использовали элементарная операция со строкой 𝑟 → 3𝑟 на матрице непосредственно выше, давая 2−201212610.

Как видим, изменение коснулось только второй строки. Чтобы продемонстрировать третий тип операции элементарной строки выбираем пример 𝑟 → 𝑟 − 2𝑟. Это требует каждого элемент в первой строке, удваивает его, а затем вычитает его из записи в том же столбце третий ряд.Это изменяет только третью строку матрицы, давая 2−2012−366−1−4.

Все вышеперечисленные матрицы эквивалентны строкам, потому что мы можем преобразовывать одну в другую, только с использованием элементарных операций со строками. Если бы мы работали с квадратной матрицей, мы могли бы Интересует, как определитель изменяется между сериями матриц, эквивалентных строкам. Со строкой операции настолько полезны при работе с матрицами, что понятно, что мы могли бы классифицируйте влияние на концепцию, которая столь же распространена, как и детерминант.Результаты приятно простой, как описано в следующей теореме.

Теорема: элементарные операции со строками и определитель

Рассмотрим квадратную матрицу 𝐴 порядка 𝑛 × 𝑛. Тогда предположим, что элементарный Строчная операция используется для создания эквивалентной строки матрицы 𝐴. Тогда эффект от каждой элементарной операции со строкой будет следующим:

• Для 𝑟↔𝑟, где 𝑖 ≠ 𝑗, имеем | 𝐴 | = — | 𝐴 |.
• Для 𝑟 → 𝑐𝑟, где 𝑐 ≠ 0, имеем | 𝐴 | = 𝑐 | 𝐴 |.
• При 𝑟 → 𝑟 + 𝑐𝑟 имеем | 𝐴 | = | 𝐴 |.

Операция с первой элементарной строкой просто влияет на определитель, вводя только изменение знака. Операция второй строки включает масштабирование всей строки ненулевой константой, что соответствует масштабированию определитель тем же номером. Операция третьего элементарного ряда является самой сложной и, тем не менее, нет общего влияния на детерминант. Последний результат особенно удобен, потому что мы будем использовать элементарные операции со строками, чтобы привести квадратные матрицы к верхнетреугольной форме.Если мы будем использовать третий тип операции с элементарной строкой, тогда не будет необходимости изменять детерминант вообще, что, безусловно, будет преимуществом. В следующих двух примерах мы будем продемонстрировать, как реализовать элементарные операции со строками, и отследить общее влияние на определитель.

Пример 1: Элементарные операции со строками и определитель матрицы 2 × 2

Рассмотрим матрицу 𝐴 = 263−1.

После получения эквивалентной строки матрицы 𝐴 путем выполнения следующих элементарных операций со строками по порядку: 𝑟 → 12𝑟, 𝑟↔𝑟, 𝑟 → 𝑟 − 2𝑟, и 𝑟 → 𝑟 − 𝑟, каков определитель матрицы в терминах определителя эквивалентной строки матрицы?

Ответ

Применяем первую строчную операцию 𝑟 → 12𝑟, чтобы получить эквивалентную по строке матрицу. 𝐴 = 133−1.

Учитывая, что мы использовали операцию элементарной строки, мы должны отслеживать влияние на определитель. Мы реализовали 𝑟 → 12𝑟, что означает, что определитель должен масштабироваться на то же число. Другими словами, | 𝐴 | = 12 | 𝐴 |. Далее мы выполняем операцию замены строк 𝑟↔𝑟, присвоение этой матрицы предыдущей переменной 𝐴, давая 𝐴 = 3−113.

(Хотя перезапись переменной, подобная этой, является несколько неправильной записью, она очень удобна для отслеживания общего воздействия на определитель, поэтому мы допускаем его в данной ситуации.)

Мы использовали операцию перестановки строк, и это означает, что есть изменение знака в определителе, давая | 𝐴 | = −12 | 𝐴 |. Операция элементарной строки 𝑟 → 𝑟 − 2𝑟 не влечет за собой никаких изменений в определителе. Следовательно, матрица 𝐴 = 1−713 имеет предыдущее детерминантное соотношение 𝐴 = −12 | 𝐴 |. Так же, операция элементарной строки 𝑟 → 𝑟 − 𝑟 также не действует на определителе, несмотря на то, что возвращает матрицу 𝐴 = 1−7010.

В целом связь между определителями двух матриц | 𝐴 | = −12 | 𝐴 |. Преобразование этого уравнения дает | 𝐴 | = −2 | 𝐴 |.

Мы можем проверить правильность ответа в предыдущем примере, исследуя детерминанты обеих матриц: 𝐴 = 263−1, 𝐴 = 1−7010.

Для исходной матрицы 𝐴 мы могли бы использовать стандартную формулу для определителя матрицы 2 × 2 для вычисления | 𝐴 | = || 263−1 || = 2 × (−1) −6 × 3 = −20.

Применение того же метода к эквивалентной строке матрицы 𝐴 дает | 𝐴 | = || 1−7010 || = 1 × 10 — (- 7) × 0 = 10.

Это подтверждает обнаруженную в предыдущем примере взаимосвязь между детерминантами: | 𝐴 | = −2 | 𝐴 |.

Пример 2: Элементарные операции со строками и определитель матрицы 3 × 3

Рассмотрим матрицу 𝐴 = 15−2201−120.

После получения эквивалентной строки матрицы 𝐴 путем выполнения следующих элементарных операций со строками по порядку: 𝑟 → 3𝑟, 𝑟 → −2𝑟, 𝑟 → 𝑟 + 𝑟, 𝑟↔𝑟, и 𝑟 → 𝑟 − 2𝑟, каков определитель в терминах определитель эквивалентной строки матрицы 𝐴?

Ответ

Первой операцией со строкой, которую нам нужно выполнить, является масштабирование строки 𝑟 → 3𝑟.Это дает эквивалентную строку матрицу 𝐴 = 15−2603−120.

Учитывая, что мы масштабировали одну из строк на константу 3, мы должны помнить, что | 𝐴 | = 3 | 𝐴 |. Затем нас просят выполнить еще одно масштабирование строки операция: 𝑟 → −2𝑟. Новая матрица 𝐴 =  − 2−104603−120 и мы должны обновить взаимосвязь между детерминантами, в данном случае | 𝐴 | = (- 2) × 3 | 𝐴 | = −6 | 𝐴 |. Следующая элементарная строковая операция: 𝑟 → 𝑟 + 𝑟, который относится к третьему типу строковой операции и поэтому не влияет на определитель.Строка эквивалентная матрица 𝐴 =  − 2−104603523 поэтому сохраняет определяющее соотношение | 𝐴 | = −6 | 𝐴 |. Операция перестановки строк влечет изменение знака определителя. Используя 𝑟↔𝑟, чтобы получить матрицу 𝐴 = 523603−2−104 означает, что детерминантное отношение должно быть изменено, чтобы включить изменение знака, означает, что | 𝐴 | = 6 | 𝐴 |. Последняя строчная операция 𝑟 → 𝑟 − 2𝑟 снова относится к типу, который не меняет определителя.Следовательно, эквивалентная строка матрица 𝐴 = 523−4−4−3−2−104 имеет определяющее отношение | 𝐴 | = 6 | 𝐴 |. Преобразование уравнения дает | 𝐴 | = 16 | 𝐴 |.

Как и в предыдущем вопросе относительно матрицы 2 × 2, мы также можем проверить пример выше, вручную вычислив определитель. Для этого мы используем правило Сарруса для обеих матриц: 𝐴 = 15−2201−120, 𝐴 = 523−4−4−3−2−104.

Для исходной матрицы 𝐴 находим | 𝐴 | = (1) × || 0120 || — (5) × || 21−10 || + (- 2) × || 20−12 || = + (1) × (−2) — ( 5) × (1) + (- 2) × (4) = — 15.

Тогда для эквивалентной строки матрицы 𝐴 правило Сарруса дает | 𝐴 | = (5) × || −4−3−104 || — (2) × || −4−3−24 || + (3) × || −4−4−2−10 | | = + (5) × (−46) — (2) × (−22) + (3) × (32) = — 90.

Как и ожидалось, мы подтвердили связь, указанную в конце предыдущего вопроса, а именно, что | 𝐴 | = 16 | 𝐴 |.

Наша работа до сих пор была полезной тем, что позволяла нам использовать строковые операции (одна из наиболее распространенных использованные инструменты линейной алгебры), чтобы упростить вычисление определителей (один из наиболее распространенных вычисляемые величины в линейной алгебре).Несмотря на очевидные преимущества такого инструментария, у нас есть еще не использовали это в полной мере. В приведенных выше примерах для создания отношения между эквивалентными строками матрицами, что позволит оптимизировать подход к вычисление определителя. Однако мы еще не показали, как этот метод может быть использован на самом деле вычислить определитель матрицы автономным способом. Для этого нам понадобится еще один результат поразительной элегантности, которая связывает верхнетреугольные матрицы с определителем.

Теорема: верхнетреугольная форма и определитель

Для квадратной матрицы 𝐴 в верхнетреугольной форме определитель | 𝐴 | — произведение диагональных элементов.

Эту теорему можно объединить с нашим пониманием того, как элементарные операции со строками будут влияет на детерминант матрицы, и это в равной степени относится к нижнетреугольным матрицам (которые здесь бесполезны, но встречаются во многих контекстах, таких как разложение LU и PLU). Еще более полезно то, что этот подход использует почти идентичные методы и тактики для при выполнении исключения Гаусса – Жордана найти эшелонированную форму матрицы.Как мы будем см. следующие примеры, можно радикально сократить расчет детерминант, если операции со строками могут быть быстро использованы для преобразования матрицы в эквивалентную по строке матрицу, которая также имеет верхнюю треугольную форму. Любую матрицу в таком виде можно вычислить по приведенной выше теореме.

Пример 3: Вычисление определителя матрицы 2 × 2 с использованием элементарных операций со строками

Рассмотрим матрицу 𝐴 = 243−1.

1. Используйте элементарные операции со строками, чтобы привести матрицу к верхнетреугольной форме.
2. Вычислить определитель матрицы 𝐴.

Ответ

Перед тем, как использовать какие-либо операции со строками, мы выделяем опорные точки в каждой строке, которые являются первыми ненулевыми записями: 𝐴 = 243−1.

Существует бесконечно много способов преобразовать эту матрицу в верхнетреугольную форму. форма с использованием элементарных операций со строками. Ниже приводится один из таких методов. при этом мы стремимся удалить опорную точку во второй строке с помощью строковых операций, тем самым помещая матрицу в верхнетреугольную форму.Подберем подход который использует строковые операции для присвоения поворотным точкам одинакового значения. Операция масштабирования строки 𝑟 → 3𝑟 возвращает эквивалентную строку матрицу 𝐴 = 6123−1.

Масштабируя каждую запись в одной из строк ненулевой константой, мы повлияли на детерминант матрицы такая, что | 𝐴 | = 3 | 𝐴 |. Теперь мы будем использовать строковую операцию 𝑟 → 2𝑟, чтобы убедиться, что два поворота имеют одинаковое значение: 𝐴 = 6126−2.

Мы снова изменили определитель так, что | 𝐴 | = 2 × 3 | 𝐴 | = 6 | 𝐴 |.Теперь легко превратить эту матрицу в верхнетреугольную форму с строчная операция 𝑟 → 𝑟 − 𝑟. Этот тип строковой операции не изменяется определитель, означающий, что выводимая матрица 𝐴 = 6120−14 и нет изменений в определяющем соотношении | 𝐴 | = 6 | 𝐴 |. В качестве альтернативы (и с большей пользой) мы можем эквивалентно сказать, что | 𝐴 | = 16 | 𝐴 |.

Теперь, когда 𝐴 — верхнетреугольная матрица, определитель | 𝐴 | просто произведение диагональных элементов.Другими словами, мы имеем | 𝐴 | = 6 × (−14) = — 84. Учитывая, что | 𝐴 | = 16 | 𝐴 |, имеем | 𝐴 | = 16 × (−84) = — 14. Это можно проверить, напрямую вычислив определитель любым допустимым методом.

Мы не можем утверждать, что описанный выше метод был проще, чем стандартный метод вычисления определителя. матрицы 2 × 2. Трудно представить себе ситуацию, когда использование строковых операций было бы предпочтительнее для вычисления определителя матриц с таким порядком, хотя достоинства быстро становятся снимается при работе с матрицами порядка 3 × 3 и более.Это определенно не так что метод, представленный в этом пояснении, лучше в любой ситуации, хотя в следующих примеры ясно, что использование строковых операций даст быстрый ответ по сравнению с более грубым инструментом такие как правило Сарруса. Как показывает практика, чем ближе матрица к верхнетреугольной форме, тем полезнее будет наш метод.

Также стоит иметь в виду, что третий тип строковой операции 𝑟 → 𝑟 + 𝑐𝑟 не влияет на детерминант.Обычно мы выбираем эту строковую операцию, если она не работает. приводит к получению слишком большого количества фракций (что может загрязнить последующую работу с распространяющиеся ошибки). Ключевой навык работы с этим методом — умение понимать ситуации. в котором метод, который мы представили, является наиболее подходящим, с принципом работы, заключающимся в том, что по возможности следует использовать третий тип строковой операции.

Пример 4: Вычисление определителя матрицы 3 × 3 с использованием элементарных операций со строками

Рассмотрим матрицу 𝐴 = 13−6021142.

1. Используйте элементарные операции со строками, чтобы привести матрицу к верхнетреугольной форме.
2. Вычислить определитель матрицы 𝐴.

Ответ

Сначала мы выделяем опорную точку в каждой из строк. Это первые ненулевые записи каждой строки: 𝐴 = 13−6021142.

Чтобы получить верхнетреугольную форму, сначала необходимо заменить стержень в третьем ряду. с нулевой записью. Один из вариантов достижения этого — строчная операция 𝑟 → 𝑟 − 𝑟, что дает эквивалентную строку матрицу 𝐴 = 13−6021018.

Мы использовали третий тип строковой операции, которая не изменяет определитель и, следовательно, | 𝐴 | = | 𝐴 |. Получим верхнетреугольную форму форму, если стержень в третьей строке можно переместить вправо, заменив эта запись с нуля. Операция 𝑟 → 𝑟 − 12𝑟 предоставляет эквивалентную строку матрицу 𝐴 = ⎛⎜⎜⎝13−602100152⎞⎟⎟⎠.

Этот тип строковой операции не изменил определитель 𝐴. Теперь, когда 𝐴 находится в верхней треугольной форме, определитель вычисляется взяв произведение диагональных элементов.Это дает | 𝐴 | = 1 × 2 × 152 = 15. Поскольку | 𝐴 | = | 𝐴 |, заключаем, что | 𝐴 | = 15. Этот результат можно проверить по правилу Сарруса или любым другим допустимым методом.

В примерах, с которыми мы работали до сих пор, все детерминанты были ненулевыми, что означает, что матрица будет обратимой. Мы видели, что определитель верхнетреугольная матрица вычисляется как произведение диагональных элементов. Если какой-либо из этих элементов равны нулю, определитель матрицы также будет равен нулю.В следующем примере мы будем использовать элементарные операции со строками для управления квадратом. матрицу в верхнетреугольную форму, после чего мы обнаружим, что один из диагональных элементов равно нулю, что означает, что определитель будет равен нулю и, следовательно, матрица не будет обратимой.

Пример 5: Вычисление определителя матрицы 3 × 3 с использованием элементарных операций со строками

Рассмотрим матрицу 𝐴 =  − 26−1−13−1−26−7.

1. Используйте элементарные операции со строками, чтобы привести матрицу к верхнетреугольной форме.
2. Вычислить определитель матрицы 𝐴.

Ответ

Сначала выделим все сводные записи в матрице 𝐴: 𝐴 =  − 26−1−13−1−26−7.

Чтобы преобразовать эту матрицу в верхнетреугольную форму с помощью операций со строками, обычно выгодно указывать значение «1» в левом верхнем углу. матрицы, так что оставшиеся записи в этом столбце может быть легче удаленный. Один из способов добиться этого — использовать сводную запись во второй строке, поместив это в первую строку с помощью операции обмена 𝑟↔𝑟.Это дает эквивалентную строку матрицу 𝐴 =  − 13−1−26−1−26−7.

Учитывая, что мы однажды использовали операцию перестановки строк, мы изменили знак определителя, означает, что | 𝐴 | = — | 𝐴 |. Теперь поворотной точке в левом верхнем углу можно присвоить значение 1 с помощью операции масштабирования строки. 𝑟 → −𝑟, что дает 𝐴 = 1−31−26−1−26−7.

Мы увеличили одну из строк в матрице константой, в данном случае константой -1. Мы просто корректируем знак определителя, а это значит, что | 𝐴 | = — (- | 𝐴 |) = | 𝐴 |.Теперь мы можем использовать третий тип строковой операции, чтобы начать переходя к верхнетреугольной форме. Сводные записи во втором и третьи строки могут быть превращены в нулевые записи с помощью параллельных операций со строками 𝑟 → 𝑟 + 2𝑟 и 𝑟 → 𝑟 + 2𝑟. Это дает матрицу 𝐴 = 1−3100100−5.

Третий тип операции со строкой не вызывает никаких изменений в определителе, что означает, что мы поддерживаем связь | 𝐴 | = | 𝐴 |. Также можно заметить, что теперь матрица 𝐴 на самом деле имеет форму верхнего треугольника, что означает, что определитель — это просто произведение диагональных входов.Учитывая, что один из этих элементов равен нулю, мы находим, что | 𝐴 | = | 𝐴 | = 0 × 0 × (−5) = 0.

Преимущества этого метода могут быть дополнительно оценены при работе с матрицами даже больших порядков. Для таких матриц стандартный метод вычисления определителя учитывает элемент выбора, чтобы упростить расчеты. Однако чаще всего невозможно избежать большое количество вычислений при использовании стандартного метода, поэтому мы должны быть открыты для альтернативный подход, который мы разработали в этом объяснителе.Как и в предыдущем примере, в следующем вопросе мы должны быть заинтересованы в использовании третьего типа строковых операций, чтобы преобразовать матрицу в верхнетреугольную форму.

Пример 6: Вычисление определителя матрицы 4 × 4 с использованием элементарных операций со строками

Рассмотрим матрицу 𝐴 = ⎛⎜⎜⎝10360−105203−20241⎞⎟⎟⎠.

1. Используйте элементарные операции со строками, чтобы привести матрицу к верхнетреугольной форме.
2. Вычислить определитель матрицы 𝐴.

Ответ

Сначала выделим опорные точки в каждой из строк: 𝐴 = ⎛⎜⎜⎝10360−105203−20241⎞⎟⎟⎠.

Наша цель будет заключаться в использовании строковых операций для преобразования этой матрицы в верхнетреугольную форму. Во-первых, мы должны удалить ненулевую запись в третьей строке. Сделать это, мы можем использовать первую строку следующим образом: 𝑟 → 𝑟 − 2𝑟. Это дает эквивалентную строку матрицу 𝐴 = ⎛⎜⎜⎝10360−10500−3−140241⎞⎟⎟⎠.

На определитель не повлиял из-за типа строковой операции, которую мы использовали.Следовательно, | 𝐴 | = | 𝐴 |. Теперь мы должны удалить опорную точку в четвертой строке, поэтому мы выбираем строковую операцию 𝑟 → 𝑟 + 2𝑟, что дает 𝐴 = ⎛⎜⎜⎝10360−10500−3−1400411⎞⎟⎟⎠.

Опять же, мы не меняли определитель и, следовательно, | 𝐴 | = | 𝐴 |. Для приведения матрицы к верхнетреугольной форме требуется одна последняя строковая операция: 𝑟 → 𝑟 + 43𝑟. Результат 𝐴 = ⎛⎜⎜⎜⎝10360−10500−3−14000−233⎞⎟⎟⎟⎠.

Матрица 𝐴 теперь имеет верхнетреугольную форму и, следовательно, определитель является произведением всех диагональных элементов.Это значит, что | 𝐴 | = | 𝐴 | = 1 × (−1) × (−3) ×  − 233 = −23.

Этот метод использования операций со строками очень напоминает метод исключения Гаусса – Жордана, где мы бы стремились достичь упрощенной формы матрицы. Фактически, многие из те же стратегии применимы к нашему методу вычисления определителя с использованием операций со строками для получения эквивалентной по строке верхнетреугольной матрицы. Эти две техники не идентичны, и метод, продемонстрированный в этом объяснении, более тесно связан с идеей LU или Декомпозиция PLU, при которой матрицы определенной формы используются для упрощения сложных вычислений. и служат основой многих разносторонних и проницательных теорем.Хотя бывает много ситуаций (например, те, что мы привели в этом объяснении), где использование строковых операций явно является оптимальным метод расчета определителя, не менее важно быть знакомым с другими доступными методы, поскольку всегда будут ситуации, в которых они более применимы.

Ключевые моменты

• Три элементарных операции со строками можно использовать для вычисления определителя квадратной матрицы путем преобразования его в эквивалентная строка верхнетреугольная матрица.
• Первый тип строковой операции (𝑟↔𝑟) изменяет знак определителя.
• Второй тип строковой операции (𝑟 → 𝑐𝑟𝑐 ≠ 0, где) умножает определитель на 𝑐.
• Третий тип строковой операции (𝑟 → 𝑟 + 𝑐𝑟) предпочтительнее, поскольку он не влияет на определитель.
• Чем ближе квадратная матрица к верхнетреугольной форме, тем больше вероятность, что этот метод будет оптимальным.

4×4 Определитель | Суперпроф

Что такое детерминанты?

Определитель — это скалярное значение, полученное из элементов квадратной матрицы.Другими словами, мы можем сказать, что при вычислении определителя входными данными является квадратная матрица, а выходными данными — скалярное число. В квадратной матрице количество строк и столбцов равно. Определитель матрицы обозначен двумя вертикальными линиями ||. Например, определитель матрицы A обозначим как | A |.

Определитель матрицы — важное понятие в линейной алгебре, поскольку он весьма полезен при решении линейных уравнений, изменении переменных в интегралах и сообщении нам, как линейные преобразования изменяют площадь или объем.Они также полезны при вычислении обратной матрицы и имеют некоторые приложения в исчислении.

Определителем матрицы 1×1 является само число. Например, определитель матрицы