Программа для решения пределов: Решение пределов · oнлайн с подробным решением

как применять для раскрытия неопределенностей, примеры с решениями

В задачах на пределы можно столкнуться с ситуациями, разрешить которые достаточно просто, используя правило Лопиталя. Относительно простая закономерность является очень полезной, когда требуется найти ответ к заданию по математике или математическому анализу. При этом важно владеть навыками дифференцирования.

Правило Лопиталя — в чем суть, понятие

Название этой закономерности не совсем соответствует действительности. Было бы правильнее говорить «правило Лопиталя — Бернулли». Первая подробная формулировка была представлена швейцарским математиком Иоганном Бернулли. Французский ученый Гийом Лопиталь впервые опубликовал это правило в издании собственного учебника в 1696 году.

Правило Лопиталя позволяет существенно упростить некоторые расчеты предела отношения \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}\) при \(x\rightarrow a\) в том случае, когда \(f\) и \(g\) одновременно представляют собой бесконечно малые, либо бесконечно большие величины. С помощью выведенной закономерности допустимо осуществлять замену предела отношения функции, используя предел отношения их производных.

Источник: image1.slideserve.com

Доказательство 1 и 2 правила Лопиталя, вывод теоремы

Теорема 1

Допустим, что функции \(f(x)\) и \(g(x)\) дифференцируются на промежутке \((a,b)\):

\(\lim_{x\rightarrow a+0}f(x)=0\)

\(\lim_{x\rightarrow a+0}g(x)=0\)

\(g'(x)\neq 0\ \) для всех \(\ x\in(a,b)\)

Тогда имеет место конечный и бесконечный:

\(lim_{x\rightarrow a+0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A\)

Таким образом, также существует и равен A:

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a+0}\frac{f(x)}{g(x)}\)

Можно сделать вывод:

\(\lim_{x\rightarrow a+0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a+0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)\(\lim_{x\rightarrow a+0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a+0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)

Докажем данную теорию.

Допустим, что \(x\in(a,b)\)

Следует доопределить функции \(f(x)\) и \(g(x)\) в точке a, имея в виду, что:

\(f(a)=g(a)=0\)

Таким образом, из условий функций следует, что \(f\) и \(g\) непрерывны на отрезке [a,x].

По теореме Коши имеется точка \(\xi\in (a,x)\), такая, что:

\(\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\)

В том случае, когда \(x\rightarrow a+0\), можно определить, что \(\xi\rightarrow a+0\). Зная, что  существует \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a+0}\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=A\), можно сделать вывод о справедливости утверждения \(\eqref\).

Теорема, доказательства которой представлены путем соответствующих изменений ее условий, работает, когда \(x\rightarrow a-0\) и \(x\rightarrow a\). Точка a в данном случае является конечной.

Теорема 1 остается справедливой в таких ситуациях, когда \(a=+\infty\) или \(a=-\infty\), а также:

\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty} g(x)=0\)

\(\ g'(x)\neq 0\) при \(x > x_0\)и существует \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A\)

В этом случае \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=A\)

Доказательство данного утверждения выполнено с помощью замены переменного \(\displaystyle x=\frac{1}{t}\) и Теоремы 1.

Источник: st2.depositphotos.com

Теорема 2

Допустим, что функции \(f(x)\) и \(g(x)\) дифференцируются при \(x > \alpha\) и \(g'(x)\neq 0\) при \(x > \alpha\)

\(\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\infty,\quad \lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=\infty\)

и существует конечный:

\(\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A\)

В таком случае, существует \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\), равный A.

Таким образом:

\(\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} \)

Доказательство

Зная, что:

\(\exists\alpha_{1} > \alpha:\ \forall x > \alpha_{1}\rightarrow\ |f(x)| > 1\)

\(\ |g(x)| > 1\)

Исходя из записанного выражения, получим, что \(f(x)\neq 0\) и \(\ g(x)\neq 0\) при \(x > \alpha_1\).

Согласно определению, для заданного числа \(\varepsilon > 0\) можно вычислить \(\delta=\delta_1(\varepsilon)\geq \alpha_1\) такое, что для всех \(t > \delta_{1}\) выполняется неравенство:

\(A-\frac{\varepsilon}{2} < \frac{f'(t)}{g'(t)} < A+\frac{\varepsilon}{2}\)

Источник: univerlib. {-1} < A+\frac{\varepsilon}{2}\)

Когда \(x > \delta\), получаем \(\phi(x) > 0.\)

Таким образом, выведенное неравенство равносильно следующему:

\((A-\frac{\varepsilon}{2})(1+\beta(x)) < \frac{f(x)}{g(x)} < (A+\frac{\varepsilon}{2})(1+\beta(x))\)

Исходя из этого утверждения, можно записать:

\((A-\frac{\varepsilon}{2})(1+\beta(x))=A-\frac{\varepsilon}{2}+\left(A-\frac{\varepsilon}{2}\right)\beta(x)\geq A-\frac{\varepsilon}{2}-\left(|A|+\frac{\varepsilon}{2}\right)|\beta(x)| > A-\frac{\varepsilon}{2}-\frac{\varepsilon}{2}=A-\varepsilon\)

Аналогичным способом можно определить:

\(\left(A+\frac{\varepsilon}{2}\right)(1+\beta(x)) \leq A+\frac{\varepsilon}{2}+\left(|A|+\frac{\varepsilon}{2}\right)|\beta(x)| < A+\varepsilon\)

Получим, что для всех \(x > \delta\) справедливо выведенное в теореме неравенство.

Теорема 2 работает при условии, что \(A=+\infty\) или \(A=-\infty\).

Теорема справедлива и в тех случаях, когда \(x\rightarrow a\ (x\rightarrow a-0,\ x\rightarrow a+0)\), где a является конечной точкой. {\infty}\) нередко удается преобразить в неопределенности типа \(\displaystyle \frac{0}{0}\) или \(\displaystyle \frac{\infty}{\infty}\), используя при этом различные преобразования.

Источник: pan-plan.com

Правило Лопиталя для вычисления пределов

Решить пределы можно различными методами и формулами. Наиболее быстрый и простой способ, а также универсальный — это правило Лопиталя. Умение искать производные разных функций позволит использовать данную закономерность наиболее эффективно. Можно сформулировать правило Лопиталя при следующих условиях:

• \(\lim \limits_{x \to a} f(x) = \lim \limits_{x \to a} g(x) = 0 \text{ или } \infty\)
• имеются \(f'(a) \text{ и } g'(a)\)
• \(g'(x)\neq0\)
• присутствует \(\lim \limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}\)

В таком случае:

\(\lim \limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \limits_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}\)

Последовательность решения:

• нужно подставить точку x в предел;
• в том случае, когда получается \(\frac{0}{0} \text{ или } \frac{\infty}{\infty}\), можно определить производную числителя и знаменателя;
• далее следует подставить точку x в записанный предел и рассчитать его. {5x}+1}{x-\cos x+1} = -3\)
  Источник: fbto.psuti.ru

  Правилом Лопиталя допустимо пользоваться при решении задач с односторонними пределами. Можно сказать, что эта методика является наиболее эффективной для раскрытия неопределенностей вида \(\frac{0}{0}\) и \(\frac{\infty}{\infty}\) в том случае, когда необходимо вычислить предел. Смысл правила заключается в том, что предел отношения функций равен пределу отношений производных от этих функций. Если в процессе освоения этой и других подобных тем возникли сложности, всегда можно обратиться за помощью к сервису Феникс.Хелп.

  Конспект урока по математике на тему «Вычисление пределов функции»

  Тема: «Вычисление пределов функции»

  Цель: закрепить и усовершенствовать практические приемы вычисления предела функции.

  Задачи:

  образовательные:

  ·  формировать умения и навыки вычисления пределов;

  · познакомить обучающихся со способами раскрытия неопределенностей   и других;

  ·  сформировать у обучающихся  навыки вычисления предела многочлена и отношения многочленов;

  ·  сформировать у обучающихся навыки применения первого и второго замечательных пределов для раскрытия неопределенностей.

  развивающие:

  ·  развивать мышление обучающихся при выполнении упражнений;

  ·  создать условия для развития у студентов умений формулировать промежуточные проблемы, предлагать пути их решения;

  ·  создать условия для развития у студентов монологической и диалогической математической речи;

  ·  формировать умения и навыки самостоятельно умственного труда.

  воспитательные:

  ·  способствовать воспитанию дисциплинированности, усидчивости, навыков самостоятельности и умения работать индивидуально.

  Тип урока: практическая работа.

  Формы и методы: словесный, наглядный, исследовательский,  фронтальная работа, самостоятельная работа.

  Оборудование: карточки для обучающихся, опорные конспекты, решение типовых примеров, компьютер, презентация по теме «Предел функции».

  Структура занятия:

  1.     Организационный момент (1 минута)

  2.     Сообщение темы занятия. Постановка цели и задач занятия. Мотивация.               (3 минуты)

  3.     Актуализация прежних знаний (сопровождается демонстрацией слайдов).             (7 минут)

  а) фронтальный опрос;

  б) устный счет.

  4.     Воспроизведение изученного и его применение в стандартных условиях.                (5 минут)

  5.     Перенос приобретенных знаний и их применение в новых или измененных условиях с целью формирования умений.(50 мин.)

  а) решение примеров у доски с комментированием;

  б) самостоятельное выполнение обучающимися заданий под контролем преподавателя;

  в) исследование.

  6.     Проверка умений обучающихся самостоятельно применять полученные знания. (15 мин.)

  7.     Повторение основных понятий. Разгадывание кроссворда.(5 мин.)

  8.     Подведение итогов занятия, рефлексия. (3 минуты)

  9.     Домашнее задание. (1 минута)

  Ход занятия

  1. Организационный момент.

  Перед началом занятия  преподаватель проводит проверку подготовленности кабинета к занятию.

  Приветствие обучающихся, определение отсутствующих, заполнение группового журнала.

  2. Сообщение темы занятия. Постановка цели и задач занятия. Мотивация.

  Сообщается тема занятия: «Вычисление пределов функции». Вместе с обучающимися преподаватель формулирует цель и задачи занятия.

  Значение теории пределов для математики трудно переоценить – это центральное понятие математического анализа, на основе которого формируются понятия производной, дифференциала и интеграла.

  Понятие предела функции имеет большое значение для построения графиков функций. Кроме того, в дальнейшем мы будем изучать понятие производной и без знания предела функции рассмотрение этого понятия невозможно.

  Понятие непрерывности играет важную роль, т.к. многие физические процессы характеризуются тем, что плавное изменение физических величин сменяется скачкообразно. То есть количественные изменения переходят в качественные. Это один из основных законов диалектики.

  Но предел нашел применение не только в математике. Предельный анализ в экономике исследует изменяющиеся величины затрат или результатов при изменении объемов производства или потребления на основе анализа их предельных значений. Задачи на темы: рост вклада, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий решаются с помощью второго замечательного предела.

  Но такое признание теория пределов имела не всегда. В 17 веке известный математик Мишель Ролль писал, что эта наука есть коллекция гениальных ошибок. А великий французский мыслитель — Вольтер заметил, что исчисление пределов представляет собой искусство вычислять и точно измерять вещи, существование которых не может быть доказано. Начальный период развития новых ветвей математики, связанных с понятиями функции, бесконечно малых величин, пределов и производных, был охарактеризован Марксом как «мистический».

  Многие десятилетия величайшие математики, в том числе Ньютон и Лейбниц, предпринимали попытки дать строгое определение предела. Но лишь в 19 веке великому французскому математику Огюстену Луи Коши удалась это сделать.

  3.  Актуализация прежних знаний (сопровождается демонстрацией слайдов).

  а)  Фронтальный опрос.

  Ответы на вопросы теоретической части темы:

  —        предел функции в точке;

  —       односторонние пределы;

  —       предел функции при x стремящемся к бесконечности;

  —       основные теоремы о пределах;

  —       правила вычисления пределов;

  —       раскрытие неопределенностей;

  —       первый замечательный предел;

  —       второй замечательный предел.

  б) Устный счет.

  Для нахождения предела данных функций заменим аргумент x его предельным значением.

  
  

  
   

   

  4. Воспроизведение изученного и его применение в стандартных условиях.

   

  Задание 1

  На рис. изображены графики функций. Установите для каждой из функции имеет ли она предел в точке х=2. если имеет, то чему он равен?

  Ответы:

  ;;;не существует.

  Задание 2.

  
  Общее правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

  Найти  предел функции в точке:  

  Решение. Функция  определена в точке х = π/6. Получим: 

  5. Перенос приобретенных знаний и их применение в новых или измененных условиях с целью формирования умений.

  Решение примеров у доски с комментированием.

  Рассмотрим теперь такие примеры, когда применение свойств предела становится возможным лишь после некоторых предварительных преобразований.

  Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

  Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения.

  Задание 3.

  а)  Найти

  Решение. Здесь имеем неопределенность 0/0. Для того чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель и знаменатель дроби на множители и до перехода к пределу сократим дробь на множитель х-2. В результате получим

  Итак, чтобы найти предел частного двух функций, где пределы делимого и делителя равны 0, нужно преобразовать функцию таким образом, чтобы выделить в делимом и делителе сомножитель, предел которого равен 0, и, сократив дробь на этом сомножитель, найти предел частного.

    Самостоятельное выполнение обучающимися заданий под контролем преподавателя.

   Один обучающийся решает пример 2б) на вращающейся доске.  Остальные решают самостоятельно. Затем обсуждается решение.

  б)

  в) Найти
  Сначала попробуем подставить -1 в дробь:
   

  Разложим числитель и знаменатель на множители

  Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:
  
  Сначала находим дискриминант:
  
  И квадратный корень из него: .

  Далее находим корни:
  
  

  Таким образом:
  

  Знаменатель. Знаменатель  уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.

  Очевидно, что можно сократить на :

  Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:

    Самостоятельное выполнение обучающимися заданий под контролем преподавателя.

  Один обучающийся решает пример 2г) на вращающейся доске.  Остальные решают самостоятельно. Затем обсуждается решение.

  г) Найти

  Решение. Здесь имеем неопределенность 0/0. Для того чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель на множители и до перехода к пределу сократим дробь на множитель х+2.

  Здесь предел делителя равен 0. Таким образом, знаменатель дроби неограниченно убывает и стремиться к 0, а числитель приближается к -1. Ясно, что вся дробь неограниченно растет, что условно записывается так: .

   

   

  Задание 4.

  Рассмотрим метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

  Общее правило: Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности  используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

   

  а) Найти предел

   

  Получена неопределенность вида , которую нужно устранять.
  

  В числителе находится разность корней. А от корней в математике принято, по-возможности, избавляться. По формуле разности квадратов:

   

  Умножаем числитель на сопряженное выражение:

  Число лучше вынести за значок предела.

  Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители и сократить «виновников» неопределённости, ну а предел константы – равен самой константе:
  

    Самостоятельное выполнение обучающимися заданий под контролем преподавателя.

  Один обучающийся решает пример 2б) на вращающейся доске.  Остальные решают самостоятельно. Затем обсуждается решение.

  б) Найти предел

  Разложим числитель на множители:
  
  
  
  
  
  

  Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение

   

  Перейдем к примерам нахождения предела функции на бесконечности.

  Общее правило: для того, чтобы раскрыть неопределенность  необходимо разделить числитель и знаменатель на  в старшей степени.

  Задание 5.

   а) Найти предел
  Снова в числителе и знаменателе находим  в старшей степени:
  
  Максимальная степень в числителе: 3
  Максимальная степень в знаменателе: 4
  Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку.
  Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности  делим числитель и знаменатель на .
  Полное оформление задания может выглядеть так:

  Разделим числитель и знаменатель на

   Исследование.

  Группа делится  на 2 группы. Каждая группа получает задание  и  выполняет его общими усилиями.

  б) Найти

  Решение. При x->∞ имеем неопределенность вида ∞/∞. Чтобы раскрыть эту неопределенность, разделим числитель и знаменатель на x³.Тогда получим

  в) Найти

  Решение. Разделив числитель и знаменатель на x³ и перейдя к пределу, получим

  поскольку числитель последней дроби стремиться к пределу, отличному от нуля, а знаменатель – к нулю.

  После решения примера в группах. Представитель каждой группы поясняет решение своего примера.

  Все три примера на доске. Ответьте на вопросы:

  Что общего в этих трех примерах?

  Какие отличия?

  Какие можно сделать выводы?

  Общее	Различия	Выводы
  1. все пределы на бесконечности 2.пределы от дробно-рациональных функций 3.ответы в каждом примере не случайные	показатели степеней равны в 1 примере показатели степеней разные во 2 и в 3 примерах:   Во 2 примере — у числителя показатель больше, чем у знаменателя; В 3 примере  — у числителя показатель меньше, чем у знаменателя;	1.если показатели степеней числителя и знаменателя равны, то предел равен отношению коэффициентов при этих степенях 2.если показатель степени числителя больше показателя степени знаменателя, то предел равен бесконечности 3. если показатель степени числителя меньше показателя степени знаменателя, то предел равен 0.

  На основании открытого правила вычислить значение пределов устно:

  1 группа	2 группа	3 группа

  г) Найти

  Решение. При стремлении аргумента x к бесконечности имеем неопределенность вида ∞/∞. Чтобы раскрыть ее, разделим числитель и знаменатель дроби на x. Тогда получим

  Задание 6.

  Рассмотрим примеры, в которых используются замечательные пределы.

  а) Найти предел

  Если мы замечаем в пределе синус, то это нас сразу должно наталкивать на мысль о возможности применения первого замечательного предела.

  
  

  Выражение под знаком предела у нас похоже на первый замечательный предел, но это не совсем он, под синусом находится , а в знаменателе .

  В подобных случаях первый замечательный предел нам нужно организовать самостоятельно, используя искусственный прием. Ход рассуждений может быть таким: «под синусом у нас , значит, в знаменателе нам тоже нужно получить ».
  А делается это очень просто:

  
  Обведенное выражение у нас превратилось в единицу и исчезло в произведении:
  
  Теперь только осталось избавиться от трехэтажности дроби:
  

  б) Найти

  Решение. Произведем подстановку kx=y. Отсюда следует, что при , а x=y/k. Тогда получим

  Так как

  в). Найти

  Решение. Имеем

  Здесь мы разделили числитель и знаменатель дроби на x (это можно сделать, так как но x<>0), а затем воспользовались результатом предыдущего примера.

  г)  Найти

  Решение. Преобразуем числитель к виду 1-cos8x=2sin²4x. Далее находим

    Самостоятельное выполнение обучающимися заданий под контролем преподавателя.

   Один обучающийся решает примеры 2д) и 2е) на вращающейся доске.  Остальные решают самостоятельно. Затем обсуждается решение.

  д) Найти

  Решение. 1 способ. Здесь имеет место неопределенность вида 0/0. Применяя известную тригонометрическую формулу и выполняя элементарные преобразования, получим

  2 способ. Преобразуем числитель следующим образом:

  Следовательно,

  е) Найти

  Решение. Заменив tg x на sin x/cos x, получим

  Задание 7.

  а). Найти предел

  Когда выражение под знаком предела находится в степени – это первый признак того, что нужно попытаться применить второй замечательный предел.

  Но сначала, как всегда, пробуем подставить бесконечно большое число в выражение  .

  Нетрудно заметить, что при  основание степени , а показатель – , то есть имеется, неопределенность вида :

  Данная неопределенность как раз и раскрывается с помощью второго замечательного предела. Но, как часто бывает, второй замечательный предел не лежит на блюдечке с голубой каемочкой, и его нужно искусственно организовать. Рассуждать можно следующим образом: в данном примере параметр , значит, в показателе нам тоже нужно организовать  . Для этого возводим основание в степень , и, чтобы выражение не изменилось – возводим в степень :

  Когда задание оформляется от руки, карандашом помечаем:

  
  Практически всё готово, страшная степень превратилась в симпатичную букву :

  При этом сам значок предела перемещаем в показатель:
  

  б) Найти

  Решение. Запишем основание степени в виде , а показатель степени – в виде . Следовательно,

  в). Найти

  Решение. Имеем

  =

  6. Проверка умений обучающихся самостоятельно применять полученные знания.

  Самостоятельная  работа (4 варианта).

  Вариант – 1 ·         ·         ·         ·	Вариант – 2 ·         ·         ·         ·
  Вариант – 3 ·         ·         ·         ·	Вариант – 4 ·         ·         ·         ·

  7.        Повторение основных понятий.

  Разгадывание кроссворда.

  3.Б

  Е

  С

  4.Н

  1.О

  К

  Е

  Д

  2. П

  О

  П

  Н

  Р

  Н

  Р

  1.   Н

  Е

  О

  П

  Р

  Е

  Д

  Е

  Л

  Е

  Н

  Н

  О

  5.С

  Т

  Ь

  С

  Д

  Ч

  Р

  К

  Т

  Е

  Н

  Ы

  2.    Р

  А

  З

  Р

  Ы

  В

  А

  О

  Л

  О

  В

  Ч

  Р

  С

  Н

  О

  3.   К

  О

  Ш

  И

  Т

  О

  К

  Н

  Ь

  Й

  Н

  И

  М

  И

  ПО ГОРИЗОНТАЛИ:

  1.      Выражение, значение которого не определено,  — это неопределенность;

  2.     Если f(x) не определена в точке х₀ или не является непрерывной в этой точке, то точка х₀ называется точкой разрыва функции f(x).

  3.     Французский математик, который ввел строгое определение предела. – Коши.

  ПО ВЕРТИКАЛИ:

  1.     Пределы функции в точке слева и справа называются односторонними пределами функции в этой точке.

  2.     Если для любого найдется такое число, что для всех х, удовлетворяющих условию , будет выполнятся неравенство , то число А –  предел функции при х, стремящемся к а.

  3.     Сколь угодно большое(малое), безграничное число —  это бесконечность.

  4.     Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х₀, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке.

  5.       Раз­ность  односторонних пределов функции f(х) в точке разрыва  , если они различны – это скачок функции.

  8.      

  8.Подведение итогов занятия, рефлексия.

  Студенты под руководством преподавателя  подводят  итоги занятия. Преподаватель  называет оценки.

  В качестве рефлексии обучающимся предлагается ответить на вопросы  и высказать свои мнения.

  Цель: осознание обучающимися своей учебной деятельности, самооценка результатов своей деятельности.

  Рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности, адекватное понимание причин успеха или неуспеха.

  • Что нового узнали на занятии?
  • Какую цель мы ставили в начале урока?
  • Наша цель достигнута?
  • Что нам помогло справиться с затруднением?
  • Какие знания нам пригодились при выполнении заданий на уроке?
  • Как вы можете оценить свою работу?
  • На следующем занятии мне бы хотелось…

  9.Домашнее задание.

   Вычислить пределы

  1. а) б)

  2. а) б)

  3. а) б)  

  4. а) б)

   

  Калькулятор срока подачи апелляций

  Соглашение с конечным пользователем/укажи и щелкни: только коды CPT, описания и другие данные защищены авторским правом 2009 Американской медицинской ассоциации (AMA). Все права защищены (или другая дата публикации CPT). CPT является торговой маркой AMA.

  Вы, ваши сотрудники и агенты имеете право использовать CPT только в том виде, в каком он содержится в следующих разрешенных материалах, включая, помимо прочего, таблицы сборов CGS, общие сообщения, Бюллетень Medicare и сопутствующие материалы внутри вашей организации в США для исключительного использования вами, сотрудниками и агентами. Использование ограничено использованием в программах Medicare, Medicaid или других программах, управляемых Центрами услуг Medicare и Medicaid (CMS). Вы соглашаетесь принять все необходимые меры для обеспечения соблюдения вашими сотрудниками и агентами условий настоящего соглашения.

  Любое использование, не разрешенное в настоящем документе, запрещено, в том числе в качестве иллюстрации, а не в качестве ограничения, изготовление копий CPT для перепродажи и/или лицензирования, передача копий CPT любой стороне, не связанной настоящим соглашением, создание любых измененных или производная работа CPT или любое коммерческое использование CPT. Лицензия на использование CPT для любого использования, не разрешенного здесь, должна быть получена через AMA, Службу интеллектуальной собственности CPT, 515 N. State Street, Chicago, IL 60610. Заявки доступны на веб-сайте AMA.

  Этот продукт включает CPT, который представляет собой коммерческие технические данные, и/или компьютерные базы данных, и/или коммерческое компьютерное программное обеспечение, и/или документацию по коммерческому компьютерному программному обеспечению, которые были разработаны исключительно на частные средства Американской медицинской ассоциацией, 515 North State Street. , Чикаго, Иллинойс, 60610. Права правительства США на использование, изменение, воспроизведение, выпуск, исполнение, отображение или раскрытие этих технических данных и/или компьютерных баз данных и/или компьютерного программного обеспечения и/или документации по компьютерному программному обеспечению ограничены ограничения прав DFARS 252.227-7015(b)(2)(19 июня95) и/или в соответствии с ограничениями DFARS 227. 7202-1(a) (июнь 1995 г.) и DFARS 227.7202-3(a) июнь 1995 г.), применимыми к закупкам Министерства обороны США, и ограниченными правами FAR 52.227- 14 (июнь 1987 г.) и/или в соответствии с положениями об ограничении прав FAR 52.227-14 (июнь 1987 г.) и FAR 52.227-19 (июнь 1987 г.), в зависимости от обстоятельств, и любыми применимыми дополнениями FAR агентства для закупок вне федерального ведомства.

  AMA Отказ от гарантий и ответственности.

  CPT предоставляется «как есть» без каких-либо явных или подразумеваемых гарантий, включая, помимо прочего, подразумеваемые гарантии товарного состояния и пригодности для определенной цели. AMA гарантирует, что из-за характера CPT он не манипулирует и не обрабатывает даты, поэтому с CPT не возникает проблем 2000 года. AMA не несет ответственности за любые ошибки в CPT, которые могут возникнуть в результате использования CPT в сочетании с любым программным и/или аппаратным обеспечением, не соответствующим требованиям 2000 года. В CPT не включены таблицы сборов, базовые единицы, относительные значения или связанные с ними списки. AMA прямо или косвенно не занимается медицинской практикой и не оказывает медицинские услуги. Ответственность за содержание этого файла/продукта лежит на CGS или CMS, и AMA не намерено или подразумевает никакого одобрения. AMA отказывается от ответственности за любые последствия или ответственность, связанные с любым использованием, неиспользованием или интерпретацией информации, содержащейся или не содержащейся в этом файле/продукте. Настоящее Соглашение будет расторгнуто после уведомления, если вы нарушите его условия. AMA является бенефициаром третьей стороны по настоящему Соглашению.

  Отказ от ответственности CMS

  Объем данной лицензии определяется АМА, владельцем авторских прав. Любые вопросы, касающиеся лицензии или использования CPT, должны быть адресованы AMA. Конечные пользователи не действуют в интересах или от имени CMS. CMS НЕ НЕСЕТ ОТВЕТСТВЕННОСТИ ЗА ЛЮБУЮ ОТВЕТСТВЕННОСТЬ ЗА ИСПОЛЬЗОВАНИЕ CPT КОНЕЧНЫМ ПОЛЬЗОВАТЕЛЕМ. CMS НЕ НЕСЕТ ОТВЕТСТВЕННОСТИ ЗА ЛЮБЫЕ ПРЕТЕНЗИИ, СВЯЗАННЫЕ С ЛЮБЫМИ ОШИБКАМИ, УПУЩЕНИЯМИ ИЛИ ДРУГИМИ НЕТОЧНОСТЯМИ В ИНФОРМАЦИИ ИЛИ МАТЕРИАЛАХ, СОДЕРЖАЩИХСЯ НА ЭТОЙ СТРАНИЦЕ. Ни при каких обстоятельствах CMS не несет ответственности за прямой, косвенный, специальный, случайный или последующий ущерб, возникающий в результате использования такой информации или материалов.

  Эта лицензия будет прекращена после уведомления вас, если вы нарушите условия этой лицензии. AMA является сторонним бенефициаром этой лицензии.

  ЛИЦЕНЗИЯ POINT AND CLICK НА ИСПОЛЬЗОВАНИЕ «ТЕКУЩЕЙ СТОМАТОЛОГИЧЕСКОЙ ТЕРМИНОЛОГИИ» («CDT»)

  Лицензионное соглашение с конечным пользователем

  АДА). Все права защищены. CDT является торговой маркой ADA.

  ЛИЦЕНЗИЯ, ПРЕДОСТАВЛЯЕМАЯ ЗДЕСЬ, ЯВНО ОБУСЛОВЛЕНА ВАШИМ ПРИНЯТИЕМ ВСЕХ УСЛОВИЙ, СОДЕРЖАЩИХСЯ В НАСТОЯЩЕМ СОГЛАШЕНИИ. НАЖИМАЯ НИЖЕ НА КНОПКУ «Я ПРИНИМАЮ», ВЫ НАСТОЯЩИМ ПОДТВЕРЖДАЕТЕ, ЧТО ВЫ ПРОЧИТАЛИ, ПОНЯЛИ И СОГЛАСНЫ СО ВСЕМИ УСЛОВИЯМИ, ИЗЛОЖЕННЫМИ В ЭТОМ СОГЛАШЕНИИ.

  ЕСЛИ ВЫ НЕ СОГЛАСНЫ СО ВСЕМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ И УСЛОВИЯМИ, ИЗЛОЖЕННЫМИ ЗДЕСЬ, НАЖМИТЕ НИЖЕ НА КНОПКУ «Я НЕ ПРИНИМАЮ» И ВЫЙТИ ИЗ ЭТОГО ЭКРАНА КОМПЬЮТЕРА.

  ЕСЛИ ВЫ ДЕЙСТВУЕТЕ ОТ ИМЕНИ ОРГАНИЗАЦИИ, ВЫ ЗАЯВЛЯЕТЕ, ЧТО ВЫ УПОЛНОМОЧЕНЫ ДЕЙСТВОВАТЬ ОТ ИМЕНИ ТАКОЙ ОРГАНИЗАЦИИ И ЧТО ВАШЕ ПРИНЯТИЕ УСЛОВИЙ НАСТОЯЩЕГО СОГЛАШЕНИЯ СОЗДАЕТ ЮРИДИЧЕСКИ ИСПОЛЬЗУЕМОЕ ОБЯЗАТЕЛЬСТВО ОРГАНИЗАЦИИ. КАК ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ЗДЕСЬ, «ВЫ» И «ВАШ» ОТНОСЯТСЯ К ВАМ И ЛЮБОЙ ОРГАНИЗАЦИИ, ОТ ИМЕНИ КОТОРОЙ ВЫ ДЕЙСТВУЕТЕ.

  1. В соответствии с положениями и условиями, содержащимися в настоящем Соглашении, вы, ваши сотрудники и агенты имеете право использовать CDT-4 только в том виде, в котором он содержится в следующих авторизованных материалах, и исключительно для внутреннего использования вами, сотрудниками и агентами в вашей организации. в США и на их территориях. Использование CDT-4 ограничено использованием в программах, управляемых Центрами услуг Medicare и Medicaid (CMS). Вы соглашаетесь принять все необходимые меры для обеспечения соблюдения вашими сотрудниками и агентами условий настоящего соглашения. Вы признаете, что ADA владеет всеми авторскими правами, товарными знаками и другими правами на CDT-4. Вы не должны удалять, изменять или скрывать какие-либо уведомления об авторских правах ADA или другие уведомления о правах собственности, включенные в материалы.
  2. Любое использование, не разрешенное в настоящем документе, запрещено, в том числе в качестве иллюстрации, а не в порядке ограничения, создание копий CDT-4 для перепродажи и/или лицензирования, передача копий CDT-4 любой стороне, не связанной настоящим соглашением, создание любую модифицированную или производную работу CDT-4, или любое коммерческое использование CDT-4. Лицензия на использование CDT-4 для любого использования, не разрешенного в настоящем документе, должна быть получена через Американскую стоматологическую ассоциацию, 211 East Chicago Avenue, Chicago, IL 60611. Заявки доступны на веб-сайте Американской стоматологической ассоциации.
  3. Применимые положения о федеральных закупках (FARS)\Дополнение Министерства обороны к федеральным положениям о закупках (DFARS) Ограничения Применяются к использованию государственными органами. Щелкните здесь, чтобы ознакомиться со всеми положениями о правах правительства США.
  4. ОТКАЗ ADA ОТ ГАРАНТИЙ И ОТВЕТСТВЕННОСТИ. CDT-4 предоставляется «как есть» без каких-либо явных или подразумеваемых гарантий, включая, помимо прочего, подразумеваемые гарантии товарного состояния и пригодности для конкретной цели. В CDT-4 не включены таблицы сборов, базовые единицы, относительные значения или связанные с ними списки. ADA прямо или косвенно не занимается медицинской практикой и не оказывает стоматологические услуги. Исключительную ответственность за программное обеспечение, включая любой CDT-4 и другое содержимое, содержащееся в нем, несет (вставьте имя соответствующего лица) или CMS; и никакого одобрения со стороны ADA не предполагается и не подразумевается. ADA прямо отказывается от ответственности за любые последствия или обязательства, связанные с любым использованием, неиспользованием или интерпретацией информации, содержащейся или не содержащейся в этом файле/продукте. Настоящее Соглашение прекратит свое действие после уведомления вас, если вы нарушите условия настоящего Соглашения. ADA является сторонним бенефициаром по настоящему Соглашению.
  5. ОТКАЗ ОТ ОТВЕТСТВЕННОСТИ CMS. Объем этой лицензии определяется ADA, владельцем авторских прав. Любые вопросы, касающиеся лицензии или использования CDT-4, следует адресовать в ADA. Конечные пользователи не действуют в интересах или от имени CMS. CMS НЕ НЕСЕТ ОТВЕТСТВЕННОСТИ ЗА ЛЮБУЮ ОТВЕТСТВЕННОСТЬ ЗА ИСПОЛЬЗОВАНИЕ CDT-4 КОНЕЧНЫМ ПОЛЬЗОВАТЕЛЕМ. CMS НЕ НЕСЕТ ОТВЕТСТВЕННОСТИ ЗА ЛЮБЫЕ ПРЕТЕНЗИИ, СВЯЗАННЫЕ С ЛЮБЫМИ ОШИБКАМИ, УПУЩЕНИЯМИ ИЛИ ДРУГИМИ НЕТОЧНОСТЯМИ В ИНФОРМАЦИИ ИЛИ МАТЕРИАЛАХ, РАСПРОСТРАНЕННЫХ НАСТОЯЩЕЙ ЛИЦЕНЗИЕЙ. Ни при каких обстоятельствах CMS не несет ответственности за прямой, косвенный, специальный, случайный или последующий ущерб, возникающий в результате использования такой информации или материалов.

  Лицензия, предоставленная здесь, прямо обусловлена ​​вашим согласием со всеми условиями, содержащимися в этом соглашении. Если вышеуказанные условия приемлемы для вас, пожалуйста, подтвердите свое согласие, нажав кнопку ниже с надписью «Я ПРИНИМАЮ». Если вы не согласны с условиями, вы не можете получить доступ к программному обеспечению или использовать его. Вместо этого вы должны нажать ниже на кнопку с надписью «Я НЕ ПРИНИМАЮ» и выйти из этого экрана компьютера.

  Калькулятор пределов

  ---

  Калькулятор пределов с шагами

  Калькулятор пределов используется для нахождения предела функции в любой точке относительно переменной. Этот решатель пределов оценивает левые, правые и двусторонние пределы. Он вычисляет предел с пошаговым решением.

  Как работает калькулятор лимитов?

  Выполните следующие шаги, чтобы найти пределы функций.

  • Введите функцию в поле ввода.
  • Используйте значок клавиатуры для ввода математических символов.
  • Выберите переменную.
  • Выберите сторону ограничения, т. е. левостороннюю, правостороннюю или двустороннюю.
  • Запишите предельное значение.
  • Если вам нужны примеры примеров, щелкните пример загрузки
  • Нажмите кнопку вычислить , чтобы получить результат.
  • Чтобы ввести новую функцию, нажмите очистить

  Каковы ограничения?

  В математике предел — это величина, к которой приближается функция, когда вход приближается к некоторому значению. Пределы важны в вычислениях и математическом анализе. Он также используется для определения производных, интегралов и непрерывности.

  Уравнение, используемое для представления пределов, приведено ниже.

  \(\lim _{x\to c}f\left(x\right)=L\)

  Это уравнение можно прочитать как предел f для x , когда x приближается к c равно L . Если функция имеет вид \(\frac{0}{0}\) или \(\frac{\infty }{\infty }\), то для оценки пределов к функции применяется правило Лопиталя.

  No related posts.