Задания по теме «Производная» с ответами
Геометрический смысл производной, касательная
1. Задание 7 № 27503. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Решение.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (1; 2), B (1; −4), C(−2; −4). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу ACB:
Ответ: 2.
2. Задание
7 № 512495. На рисунке показан график движения
автомобиля по маршруту. На оси абсцисс откладывается время (в
часах), на оси ординат — пройденный путь (в километрах).
Решение.
Чтобы найти среднюю скорость, необходимо пройденное расстояние разделить на время прохождения: км/ч
Ответ: 50.
3. Задание 7 № 27504. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Решение.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (2; 4), B (2; 2), C (−6; 2). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу ACB. Поэтому
Ответ: 0,25.
4. Задание
7 № 27505.
На рисунке
изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Решение.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (−2; −9), B (−2; −3), C (−5; −3). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB. Поэтому
.
Ответ: −2.
5. Задание 7 № 27506. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой
Решение.
Значение производной
в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который
в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси
абсцисс.
Построим треугольник с вершинами в точках A (2; −2), B (2; 0), C (−6; 0). Угол наклона касательной
к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB:
.
Ответ: − 0,25.
6. Задание 7 № 505379. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой Найдите значение производной функции f(x) в точке
Решение.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (−2; 13), B (−2; 3), C (6; 3). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB:
.
Ответ: −1,25.
7.
Задание
7 № 40129. На рисунке изображен график функции y=f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается
графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите f’(8).
Решение.
Поскольку касательная проходит через начало координат, ее уравнение имеет вид y = kx. Эта прямая проходит через точку (8; 10), поэтому 10 = 8 ·
Ответ: 1,25.
8. Задание 7 № 317539. На рисунке изображён график функции и восемь точек на оси абсцисс: , , , , . В скольких из этих точек производная функции положительна?
Решение.
Положительным значениям производной
соответствует интервалы, на которых функция возрастает.
На них лежат точки Таких
точек 4.
Ответ:4.
9. Задание 7 № 317540. На рисунке изображён график функции и двенадцать точек на оси абсцисс: , , , , . В скольких из этих точек производная функции отрицательна?
Решение.
Отрицательным значениям производной соответствуют интервалы, на которых функция убывает. В этих интервалах лежат точки Таких точек 7.
Ответ:7.
10. Задание 7 № 317543. На рисунке изображен график функции и отмечены точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
Решение.
Значение производной в точке
касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою
очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс.
Производная положительна в точках −2 и 2.
Угол наклона (и его тангенс)
явно больше в точке −2.
Ответ:−2.
11. Задание 7 № 40130. На рисунке изображен график производной функции . Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна прямой или совпадает с ней.
Решение.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой или совпадает с ней, она имеет угловой коэффициент равный 2 и Осталось найти, при каких производная принимает значение 2. Искомая точка .
Ответ: 5.
12. Задание 7 № 40131. На рисунке изображен график производной функции . Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.
Решение.
Значение производной в точке
касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная
параллельна оси абсцисс или совпадает с ней, она имеет вид , и
её угловой коэффициент равен 0.
Ответ: -3.
13. Задание 7 № 27485. Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.
Решение.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой их угловые коэффициенты равны. Поэтому абсцисса точки касания находится из уравнения :
.
Ответ: 0,5.
14. Задание 7 № 27486. Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.
Решение.
Условие касания графика функции и прямой задаётся системой требований:
В нашем случае имеем:
Проверка подстановкой показывает,
что первый корень не удовлетворяет, а второй удовлетворяет уравнению
(*).
Поэтому искомая абсцисса точки касания −1.
Ответ: −1.
15. Задание 7 № 119972. Прямая y = 3x + 1 является касательной к графику функции ax2 + 2x + 3. Найдите a.
Решение.
Прямая является касательной к графику функции в точке тогда и только тогда, когда одновременно и . В нашем случае имеем:
Искомое значение а равно 0,125.
Ответ: 0,125.
Приведем другое решение.
По смыслу задачи a ≠ 0, а
значит, график заданной функции — парабола. Касательная к параболе
(а также и к гиперболе) имеет с ней единственную общую точку. Поэтому необходимо
и достаточно, чтобы уравнение ax2 + 2x + 3 = 3x + 1 имело единственно решение. Для этого дискриминант 1 − 8а уравнения ax2 − x + 2 = 0 должен быть равен нулю, откуда .
16. Задание 7 № 119974. Прямая является касательной к графику функции . Найдите .
Решение.
Условие касания графика функции и прямой задаётся системой требований:
В нашем случае имеем:
Ответ: 7.
17. Задание 7 № 119973. Прямая является касательной к графику функции . Найдите , учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.
Решение.
Условие касания графика функции и прямой задаётся системой требований:
В нашем случае имеем:
По условию абсцисса точки касания положительна, поэтому x = 0,5, откуда b = −33.
Ответ: −33.
2. Задание
14 № 506286. На рисунке изображён график функции,
к которому проведены касательные в четырёх точках.
Ниже указаны значения производной в данных точках. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной в ней.
ТОЧКИ |
| ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ |
А) K Б) L В) M Г) N |
| 1) −4 2) 3 3) 4) −0,5 |
Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:
А | Б | В | Г |
|
|
|
|
Пояснение.
Значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной, проведённой в этой точке. Он положителен и меньше 1, если касательная наклонена к положительному направлению оси абсцисс под углом меньше 45°; больше 1, если угол наклона больше 45°, но меньше 90°; … Поэтому в точке К угловой коэффициент положителен и больше 1, в точке L — отрицателен и меньше −1, М — отрицателен и больше −1, N — положителен и меньше 1. Таким образом, получаем соответствие А — 2, Б — 1, В — 4 и Г — 3.
Ответ: 2143.
5. Задание 14 № 506377. На рисунке изображён график функции y = f(x). Числа a, b, c, d и e задают на оси x четыре интервала. Пользуясь графиком, поставьте в cоответствие каждому интервалу характеристику функции или её производной.
Ниже указаны значения производной
в данных точках.
Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой
точке значение производной в ней.
ТОЧКИ |
| ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ | ||||
А) (a; b) Б) (b; c) В) (c; d) Г) (d; e) |
| 1) производная отрицательна на всём интервале 2) производная положительна в начале интервала и отрицательна в конце интервала 3) функция отрицательна в начале интервала и положительна в конце интервала 4) производная положительна на всём интервале | ||||
|
|
|
| |||
Пояснение.
Если функция возрастает, то производная положительна и наоборот.
На интервале (a;b) производная положительна вначале интервала и отрицательна в конце, потому что функция вначале возрастает, а потом убывает.
На интервале (b;c) производная отрицательна, потому что функция убывает.
На интервале (c;d) функция отрицательна в начале интервала и положительна в конце интервала.
На интервале (d;e) производная положительна, потому что функция возрастает.
Таким образом, получаем соответствие А — 2, Б — 1, В — 3 и Г — 4.
Ответ: 2134.
12. Задание 14 № 506722. На рисунке изображён график функции y = f(x) и отмечены точки K, L, M и N на оси x. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке характеристику функции и её производной.
Ниже указаны значения производной
в данных точках.
Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой
точке значение производной в ней.
ТОЧКИ |
| ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИИ ИЛИ ПРОИЗВОДНОЙ |
А) K Б) L В) M Г) N |
| 1) функция положительна, производная положительна 2) функция отрицательна, производная отрицательна 3) функция положительна, производная равна 0 4) функция отрицательна, производная положительна |
Пояснение.
В точке K функция отрицательна, производная положительна.
В точке L функция положительна, производная равна 0.
В точке M функция отрицательна,
производная отрицательна.
В точке N функция положительна, производная положительна
Таким образом, получаем соответствие А — 4, Б — 3, В — 2 и Г — 1.
24. Задание 14 № 509699. На рисунке изображён график функции y = f(x) . Точки a, b, c, d и e задают на оси Ox интервалы. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу характеристику функции или её производной.
Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику движения автомобиля на этом интервале.
ИНТЕРВАЛЫ ВРЕМЕНИ |
| ХАРАКТЕРИСТИКИ |
А) ( a; b) Б) (b; c ) В) (c; d ) Г) ( d ; e) |
| 1) Значения функции положительны
в каждой точке интервала. 2) Значения производной функции положительны в каждой точке интервала. 3) Значения функции отрицательны в каждой точке интервала. 4) Значения производной функции отрицательны в каждой точке интервала. |
Пояснение.
Если функция возрастает, то производная положительна и наоборот.
На интервале (a;b) значения функции положительны в каждой точке интервала.
На интервале (b;c) значения производной функции отрицательны в каждой точке интервала.
На интервале (c;d) значения функции отрицательны в каждой точке интервала.
На интервале (d;e) значения производной функции положительны в каждой точке интервала.
Таким образом, получаем соответствие А — 1, Б — 4, В — 3 и Г — 2.
НК РФ Статья 220.1. Налоговые вычеты при переносе на будущие периоды убытков от операций с ценными бумагами и операций с производными финансовыми инструментами \ КонсультантПлюс
Подготовлены редакции документа с изменениями, не вступившими в силу
КонсультантПлюс: примечание.
Ст. 220.1 (в ред. ФЗ от 23.11.2020 N 372-ФЗ) применяется в отношении доходов, полученных начиная с 01.01.2021.
НК РФ Статья 220.1. Налоговые вычеты при переносе на будущие периоды убытков от операций с ценными бумагами и операций с производными финансовыми инструментами
(в ред. Федерального закона от 03.07.2016 N 242-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
(введена Федеральным законом от 25.11.2009 N 281-ФЗ)
1. При определении размера налоговых баз в соответствии с пунктом 2.3 статьи 210 настоящего Кодекса налогоплательщик имеет право на получение налоговых вычетов при переносе на будущие периоды убытков от операций с ценными бумагами, обращающимися на организованном рынке ценных бумаг, и с производными финансовыми инструментами, обращающимися на организованном рынке.
(в ред. Федеральных законов от 03.07.2016 N 242-ФЗ, от 23.11.2020 N 372-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
Перенос на будущие периоды убытков от операций с ценными бумагами и операций с производными финансовыми инструментами осуществляется в соответствии с пунктом 16 статьи 214.
1 настоящего Кодекса.
(в ред. Федеральных законов от 28.12.2010 N 395-ФЗ, от 03.07.2016 N 242-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
2. Налоговые вычеты при переносе на будущие периоды убытков от операций с ценными бумагами и операций с производными финансовыми инструментами предоставляются:
(в ред. Федерального закона от 03.07.2016 N 242-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
1) в размере сумм убытков, полученных от операций с ценными бумагами, обращающимися на организованном рынке ценных бумаг. Указанный налоговый вычет предоставляется в размере сумм убытков, фактически полученных налогоплательщиком от операций с ценными бумагами, обращающимися на организованном рынке ценных бумаг, в предыдущих налоговых периодах в пределах размера налоговой базы по таким операциям;
2) в размере сумм убытков, полученных от операций с производными финансовыми инструментами, обращающимися на организованном рынке. Указанный налоговый вычет предоставляется в размере сумм убытков, фактически полученных налогоплательщиком от операций с производными финансовыми инструментами, обращающимися на организованном рынке, в предыдущих налоговых периодах в пределах размера налоговой базы по таким операциям.
(в ред. Федерального закона от 03.07.2016 N 242-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
3. Размер налоговых вычетов, предусмотренных настоящей статьей, определяется исходя из сумм убытков, полученных налогоплательщиком в предыдущих налоговых периодах (в течение 10 лет считая с налогового периода, за который производится определение налоговой базы). При этом при определении размера налогового вычета в налоговом периоде, за который производится определение налоговой базы, суммы убытков, полученных налогоплательщиком в течение более чем одного налогового периода, учитываются в той очередности, в которой понесены соответствующие убытки.
Размер предусмотренных настоящей статьей налоговых вычетов, исчисленный в текущем налоговом периоде, не может превышать величину налоговой базы, определенную по соответствующим операциям в этом налоговом периоде. При этом суммы убытков налогоплательщика, не учтенные при определении размера налогового вычета, могут быть учтены при определении размера налогового вычета в следующих налоговых периодах с учетом положений настоящей статьи.
4. Для подтверждения права на налоговые вычеты при переносе на будущие периоды убытков от операций с ценными бумагами и операций с производными финансовыми инструментами налогоплательщик представляет документы, подтверждающие объем понесенного убытка в течение всего срока, когда он уменьшает налоговую базу текущего налогового периода на суммы ранее полученных убытков.
(в ред. Федерального закона от 03.07.2016 N 242-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
5. Налоговый вычет предоставляется налогоплательщику при представлении налоговой декларации в налоговые органы по окончании налогового периода.
(в ред. Федерального закона от 27.07.2010 N 229-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
6. Положения настоящей статьи не применяются к отрицательному финансовому результату (убытку), полученному по операциям, учитываемым на индивидуальном инвестиционном счете.
(п. 6 введен Федеральным законом от 28.11.2015 N 327-ФЗ)
Реализация производной на C/C++
спросил
Изменено 4 года, 9 месяцев назад
Просмотрено 71к раз
Как производная f(x) обычно рассчитывается программно для обеспечения максимальной точности?
Я применяю метод Ньютона-Рафсона, и он требует получения производной функции.
- c++
- c
- алгоритм
- математика
- числовые методы
3
Я согласен с @erikkallen, что (f(x + h) - f(x - h)) / 2 * h — это обычный подход для численного приближения производных. Однако получить правильный размер шага h немного сложно.
Ошибка аппроксимации в ( f(x + h) - f(x - h)) / 2 * h уменьшается как h становится меньше, что говорит о том, что вы должны взять h как можно меньше. Но по мере того, как ч становится меньше, ошибка вычитания с плавающей запятой увеличивается, поскольку числитель требует вычитания почти равных чисел. Если ч слишком мало, вы можете потерять большую точность при вычитании. Таким образом, на практике вы должны выбрать не слишком маленькое значение ч , которое минимизирует комбинацию аппроксимации ошибки и числовой ошибки .
9-8 .
Дополнительные сведения см. в этих примечаниях по выбору размера шага для дифференциальных уравнений.
6
Newton_Raphson предполагает, что у вас могут быть две функции f(x) и ее производная f'(x). Если у вас нет производной в виде функции и вам нужно оценить производную от исходной функции, вам следует использовать другой алгоритм поиска корня.
Поиск корней Википедии дает несколько предложений, как и любой текст числового анализа. 9{-5}. Исправьте эти значения, если вы знаете f»(x) или f»'(x).
5
fprime(x) = (f(x+dx) - f(x-dx)) / (2*dx)
для небольшого дх.
1
Что вы знаете о f(x)? Если у вас есть только f как черный ящик, единственное, что вы можете сделать, это численно аппроксимировать производную. Но точность обычно не очень.
Ты можешь многое лучше, если вы сможете коснуться кода, вычисляющего f. Попробуйте «автоматическое дифференцирование». Для этого есть несколько хороших библиотек. Применив немного библиотечной магии, вы можете легко преобразовать свою функцию во что-то, что автоматически вычисляет производную. Простой пример C++ см. в исходном коде в этом обсуждении на немецком языке.
Вы определенно хотите принять во внимание предложение Джона Кука относительно выбора h, но обычно не хотите использовать центрированную разность для аппроксимации производной. Основная причина заключается в том, что это требует дополнительной оценки функции, если вы используете прямую разницу, т.е.
f'(x) = (f(x+h) - f(x))/ч
Тогда вы получите значение f(x) бесплатно, потому что вам нужно вычислить его уже для метода Ньютона. Это не так уж важно, когда у вас есть скалярное уравнение, но если x — вектор, то f'(x) — матрица (якобиан), и вам нужно будет выполнить n дополнительных вычислений функции, чтобы аппроксимировать ее.
с использованием метода центрированных разностей.
В дополнение к приведенному выше ответу Джона Д. Кука важно не только учитывать точность с плавающей запятой, но и надежность функции f(x). Например, в финансах часто случается, что f(x) на самом деле является симуляцией Монте-Карло, а значение f(x) имеет некоторый шум. Использование очень маленького размера шага может в этих случаях сильно ухудшить точность производной.
Обычно шум сигнала больше всего влияет на качество производной. Если у вас есть шум в f(x), Савтицкий-Голей — отличный алгоритм сглаживания, который часто используется для вычисления хороших производных. В двух словах, SG подбирает полином локально к вашим данным, затем этот полином можно использовать для вычисления производной.
Пол
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя адрес электронной почты и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Обязательно, но не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
cython — «Сохранение небезопасной производной временной ссылки Python на C» при попытке доступа к указателю структуры
Задавать вопрос
спросил
Изменено 4 года, 10 месяцев назад
Просмотрено 528 раз
Я хочу использовать библиотеку, которая дает мне динамический массив.
Структура динамического массива имеет свойство void* _heap_ptr , которое дает начало массива.
После создания списка я хочу получить доступ к этому указателю в cython (чтобы сделать копию массива). Но я не могу получить элемент указателя из структуры.
Вот мой pyx:
cimport src.clist as l
деф основной():
cdef l.ptr_list базовый_список
cdef целое я = 42
basic_list = l.create_list_size(sizeof(i), 100)
l.list_add_ptr(базовый_список, &i)
cdef int* обр;
arr = основной_список._heap_ptr
для я в диапазоне (1):
печать (обр[я])
9-------------------------------------------------- ----------
src/test.pyx:14:20: Хранение небезопасной производной C временной ссылки на Python
И мой pxd:
cdef extern из "src/list.h":
ctypedef структура _list:
пустота* _heap_ptr
структура ctypedef ptr_list:
проходить
ptr_list create_list_size (размер size_t, длина int)
list_destroy (ptr_list this_list)
void* list_at_ptr (ptr_list this_list, индекс int)
list_add_ptr(ptr_list this_list, недействительное* значение)
Как исправить код? Почему это происходит? Из моих исследований это сообщение об ошибке появляется, если вы забыли объявить что-то как C (например, используйте malloc, а не libc.