Как определить, дал ли калькулятор правильный ответ при вычислении производной функции?
Исчисление
Ту Б.
спросил 17.11.20Мне было приказано использовать калькулятор для нахождения производных следующих функций:
а) найти f'(пи/25) для f(x)=sin(200x)
б) найти f'(пи/25) для f(x) = |sin(200x)|
c) найти f'(pi/25) для f(x) = sin|200x|
d) найти f'(pi/25) для f(x) = sin(200|x|)
Мои рассчитанные ответы:
a) 198.6693308
b) -3.9E-10
c) 198.6693308
d) 198.6693308
d) 198.6693308
9000 как это доказать/сказать.Подписаться І 1
Подробнее
Отчет
2 ответа от опытных наставников
Лучший Новейшие Самый старыйАвтор: Лучшие новыеСамые старые
Дэниел Б.
ответил 18.11.20
Репетитор
4.9 (107)
Специалист по информатике на пенсии, преподает математику и физику
Об этом репетиторе ›
Об этом репетиторе ›
Во-первых, 200π/25 = 8π, поэтому в случаях c) и d) можно убрать знаки модуля, что делает их идентичными случаю a).
Для случая а)
f'(x) = 200cos(200x), поэтому f'(π/25) = 200 для случаев a), c), d)
Для случая b), f(x) ) меняет полярность в точке x = π/25.
Под этим я подразумеваю, что когда близко к π/25, для x <π/25 sin(200x) отрицательно, а для x >π/25 sin(200x) положительно.
Поэтому |sin(200x)| была бы дифференцируемой при x = π/25, только если бы производная sin(200x) была равна 0.
Но поскольку производная равна 200, |sin(200x)| не дифференцируема при x = π/25.
Похоже, калькулятор пытался дать вам 0.
Голосовать за 0 голос против
Подробнее
Отчет
Лале Х. ответил 18.11.20
Репетитор
5,0 (137)
Я могу помочь вам с «как» и «почему» математики
Смотрите таких репетиторов
Смотрите таких репетиторов
Все ответы неверны. Ответы на A, C и D должны быть 200, но ответ на B действительно неверен, так как производная в точке pi/25 не определена. Вы можете найти все ответы без калькулятора, используя цепное правило и Dx |x|=x/|x|. Или для B просто постройте график sin(200x) и превратите его в абсолютное значение sin(200x), отразив отрицательные части по оси x. Вы увидите, что функция в B не будет иметь производной в целых числах, кратных пи/200.
Голосовать за 0 голос против
Подробнее
Отчет
Все еще ищете помощь? Получите правильный ответ, быстро.
Задайте вопрос бесплатно
Получите бесплатный ответ на быстрый вопрос.
Ответы на большинство вопросов в течение 4 часов.
ИЛИ
Найдите онлайн-репетитора сейчас
Выберите эксперта и встретьтесь онлайн. Никаких пакетов или подписок, платите только за то время, которое вам нужно.
Производные функции — изучите и поймите это онлайн
Производные, возможно, являются одним из самых важных понятий, которые мы можем изучать в математике. Почему ты спрашиваешь? Потому что они необходимы во многих приложениях! Назову несколько:
Производные помогают нам определить взаимосвязь между положением, скоростью и ускорением объекта в физике.
Они могут сообщить нам скорость изменения таких вещей, как температура, прибыль и численность населения в определенный момент времени.
Производные являются частью моделей оптимизации для улучшения принятия решений в таких отраслях, как здравоохранение, экономика, бизнес, наука, инженерия и т. д. .
Как мы узнали из нашей статьи о производных, существует метод нахождения производной функции исходной функции. Это означает, что мы можем определить функцию, которая дает нам производную исходной функции в каждой точке области определения исходной функции.
- Производная формулы функции
- Вычисление производной функции
- Обозначения производных
- Производная тригонометрической и обратной тригонометрической функций – примеры
- Производная экспоненциальной и логарифмической функций – примеры
Производная функции Формула
Производная функция дает нам производную функции в каждой точке области определения функции, в которой определена производная.
Это означает отсутствие вертикальных касательных, разрывов скачков, устранимых разрывов и острых точек.
Другими словами, предел в приведенном ниже определении должен существовать.
Допустим, у нас есть функция, обозначенная \(f\). Его производная функция , обозначаемая \(f’\), представляет собой функцию, область определения которой состоит из значений \(x\), таких, что предел ниже существует:
\[f'(x) = \lim_{ h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
Это называется предельным определением производной , а иногда просто определением производной .
Нахождение производной функции с использованием этого предела иногда называют доказательством производной по первому принципу.
- Функция \(f(x)\) считается дифференцируемой в точке \(a\), если ее производная в этой точке \(f'(a)\) существует.
- Итак, в общем случае функция считается дифференцируемой на открытом множестве \(S\), если она дифференцируема в каждой точке этого множества.
- Дифференцируемая функция — это функция, в которой \(f'(x)\) существует в своей области определения.
Вычисление производной функции
В следующих примерах мы используем определение производной функции , чтобы найти производную функции.
Найдите производную функции квадратного корня:
\[f(x) = \sqrt{x}\]
Решение :
1. Замените \(f(x+h) = \sqrt {x+h}\) и \(f(x) = \sqrt{x}\) в \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f (х)}{ч}\).
\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h} — \sqrt{x}}{h}\]
2. Умножить числитель и знаменатель на \(\sqrt{x+h} + \sqrt{x}\).\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h} — \sqrt{x} }{h} \cdot \frac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}\]3. Умножьте числители и упростите, не распределяя знаменатель.\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h\left(\sqrt{x+h} + \sqrt{x} \справа)}\]4. Отмените \(h\).\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}\]5.
{2}\] 9{2}\right) = 2x\]
Подводя итог, можно сказать, что для любой функции \(y = f(x)\) каждое из следующих обозначений представляет собой производную от \(f(x)\):
\[f'(x), \frac{d}{dx} (f(x)), y’, \frac{dy}{dx} \]
При взятии производной в точке можно также заменить обозначение \(f'(a)\) с обозначением:
\[ \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=a} \]
Чтобы лучше понять обозначения Лейбница, \( \frac{dy}{dx} \), мы должны помнить, что производная функции в точке:
Обычно наклон этих секущих выражается следующим образом:
\[ \frac{\Delta y}{\Delta x} \]
значения, а \(\Delta x \) — разница в значениях x.
Следовательно, производная или мгновенная скорость изменения y по отношению к x может быть выражена как:
\[ \frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \]
Рис. 1. Графическое представление производной в виде \( \frac{dy}{dx} \).
Производная триггерной и обратной триггерных функций — примеры
Что такое производная \(sin(x)\)?
Решение :
1.
Примените определение производной.
\[ \frac{d}{dx} sin(x) = \lim_{h \to 0} \frac{sin(x+h) — sin(x)}{h} \]
2. Использование сумма углов триггера, чтобы получить:
\[ \frac{d}{dx} sin(x) = \lim_{h \to 0} \frac{ \left[sin(x)cos(h) + cos (x)sin(h)\right] — sin(x)}{h} \]
3. Переставьте члены с \(sin(x)\) рядом друг с другом.
\[ \frac{d}{dx} sin(x) = \lim_{h \to 0} \frac{cos(x)sin(h) — sin(x) + sin(x)cos(h) }{h} \]
4. Вынести за скобки \(sin(x)\).
\[ \frac{d}{dx} sin(x) = \lim_{h \to 0} \frac{cos(x)sin(h) — sin(x)(1 — cos(h))} {h} \]
5. Примените следующие законы пределов: правило постоянного кратного и правило разности.
\[ \frac{d}{dx} sin(x) = cos(x) \left(\lim_{h \to 0} \frac{sin(h)}{h} \right) — sin(x ) \left( \lim_{h \to 0} \frac{1 — cos(h)}{h} \right) \]
6. Если построить график \( \frac{sin(h)}{h} \), мы увидим, что предел при \(h \to 0\) равен \(1\).
Это также можно доказать с помощью теоремы о сжатии.
Рис. 2. Предел как \(h \to 0\) \( \frac{sin(h)}{h} \) равен \(1\).
7. Если построить график \( \frac{1 — cos(h)}{h} \), мы увидим, что предел как \(h \to 0\) равен \(0\).
Рис. 3. Предел как \(h \to 0\) для \( \frac{1-cos(h)}{h} \) равен \(0\).
8. Итак, мы можем подставить \(1\) для первого предела и \(0\) для второго предела и упростить. 9{-1}(x) = arcsin(x) \)? 1, 2
Прежде чем мы начнем, знайте, что процесс нахождения этой производной возможен с использованием определения производной (известного как доказательство по первому принципу), однако это сложный и длительный процесс, который также требует сложных алгебраических вычислений. манипуляция. Гораздо проще найти эту производную, используя некоторые производные процессы, которые вы, возможно, еще не знаете:
- Неявное дифференцирование и
- Цепное правило
Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими статьями по этим темам, чтобы полностью понять этот процесс.
9{-1}(x) \\ sin(y) & = x \end{align} \]
2. Затем, используя неявное дифференцирование и цепное правило, мы берем производную обеих сторон и находим \( y ‘\).
\[ \begin{align} \frac{dy}{dx} (sin(y)) & = \frac{dy}{dx} (x) \\ \frac{d (sin(y))}{ dy} \cdot \frac{dy}{dx} & = 1 \\ (cos(y)) \cdot y’ & = 1 \\ y’ & = \frac{1}{cos(y)} \end{ align} \]
3. Используя тождество триггера Пифагора, мы можем переписать это уравнение в терминах \( x = sin(y) \). 9{x} \cdot ln (b) } \]
Производные логарифмических функций – примеры
Какова производная \(L(x) = ln(x)\)?
Решение :
1. Примените определение производной.
\[ L'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{ln(x+h)-ln(x)}{h} \]
2. Используйте частное правило логарифмов, \ ( ln(a)-ln(b) = ln\left( \frac{a}{b} \right) \), чтобы переписать предел как:
\[ L'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{ ln \left( \frac{x+h}{x} \right)}{h} \] 9{\frac{1}{y}} = \frac{1}{x} ln (e) = \frac{1}{x} \]
9.
Следовательно,
\[ \bf{ L'( x) = \frac{1}{x} } \]
Какова производная от \( A(x) = log_{a}(x) \)?
Мы можем найти эту производную, используя две вещи, которые мы уже знаем:
- Производная от \( ln(x) \) равна \( \frac{1}{x} \).
- Изменение основного правила логарифмирования: \( log_{a}(x) = \frac{ln(x)}{ln(a)} \)
Решение :
1. Используйте замену базового правила, чтобы переписать функцию как:
\[ A(x) = \frac{ln(x)}{ln(a)} \]
2. Теперь мы можем взять производную.
\[\begin{align}A'(x) & = \frac{d}{dx} \left( \frac{ln (x)}{ln(a)} \right) \\& = \frac {1}{ln(a)} \cdot \frac{d}{dx} (ln(x)) \\& = \frac{1}{ln(a)} \cdot \frac{1}{x} \\\bf{ A'(x) } & = \bf{ \frac{1}{x ln(a)} }\end{align}\]
Производные функции – ключевые выводы
- Мы можем найти производная функция функции с использованием предельного определения производной:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]
- Для любой функции \(y = f(x)\), каждое из следующих обозначений представляет собой производную от \(f(x)\):
\[ f'(x), \, \frac{d}{dx}, \, f ‘(f(x)), \, y’, \, \frac{dy}{dx} \]
- Использование предельного определения производной — утомительный процесс! Вот почему математики разработали несколько правил дифференцирования, чтобы упростить задачу.
