Производная функции примеры с решением: Как найти производную функции, примеры решения

Касательная к графику — это прямая, которая имеет с графиком только одну общую точку.

Могут возникнуть вопросы: как задать касательную к графику с помощью уравнения? Как найти координаты точки касания? Как она связана с самой функцией? И на все эти вопросы дает ответ производная функции. 

Геометрический смысл производной: если провести касательную к функции в некоторой точке, то производная функции в этой точке будет равна тангенсу угла ее наклона. 

То есть если мы найдем производную в точке касания, то найдем и угол наклона касательной. 

Рассмотрим некоторую функцию и касательную к ней. Пусть их общая точка будет в х₀, также возьмем произвольную точку в х.  

Заметим, что касательная к графику задана уравнением y = kx + b, где k — коэффициент наклона прямой, а следовательно, k = tg(∠BAC)

Найдем тангенс угла наклона:

\(tg(\angle{BAC})=\frac{BC}{AC}=\frac{y — y_0}{x — x_0}\). 

Пусть функция, к которой проведена касательная — это f(x). По геометрическому смыслу производной получаем:

\(f'(x_0) = \frac{y — y_0}{x — x_0}\)

Мы взяли точку х₀, поскольку по геометрическому смыслу производной нам нужна именно точка касания, а не произвольная точка. 

Выразим у:

f'(x₀) * (x — x₀) = y — y₀
y = y₀ + f'(x₀) * (x — x₀)

Немного поменяем обозначения. Поскольку \(y_0\) и \(f(x_0)\) — это одно и то же, то получаем:

y = f(x₀) + f'(x₀) * (x — x₀).

Мы получили уравнение касательной:

y = f(x₀) + f'(x₀) * (x — x₀)

Допустим, нам дана произвольная прямая y = kx + b. Как понять, при каких коэффициентах она будет касательной к графику функции?

Для этого достаточно выполнение одной из двух систем:

В ЕГЭ по профильной математике можно встретить касательную функции в задании 7. Поэтому предлагаем вам рассмотреть пример, как применить касательную функции в задачах с параметром, чтобы на экзамене верно и без сомнений решить это задание.

Рассмотрим, где можно применить касательную к функции в задачах с параметром. 

Пример 2. Дана парабола y = x² + ax — 9, касательная к ней проходит через точку (0; -34). При каких значениях параметра а значение функции в точке касания равно 10 при положительных значениях х? 

Решение. 

Шаг 1. Заметим, что дана парабола, ветви которой направлены вверх. 

Шаг 2. Пусть парабола и прямая касаются в точке (x₀; y₀). В уравнении касательной также есть значения х и у. В условии нам дана точка, через которую проходит касательная. Следовательно, y = -34, x = 0. 

Шаг 3. Найдем производную для функции, задающей параболу: y’ = 2x + a, тогда f'(x₀) = 2x₀ + a. 

Шаг 4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
y = f(x₀) + f'(x₀) * (x — x₀)

\(-34 = x_0^2 + ax_0 — 9 + (2x_0 + a)(0 — x_0)\)
\(-34 = x_0^2 + ax_0 — 9 + 2x_0 * 0 — 2x_0^2 + a * 0 — ax_0\)
\(-34 = -x_0^2 — 9\)
\(x_0^2 — 25 = 0\)
(x₀ — 5)(x₀ + 5) = 0
x₀ = 5 и x₀ = -5

Поскольку по условию х₀ должно быть положительно, получаем x₀ = 5.  

Тогда абсцисса точки касания равна 5, откуда можем найти значение функции в точке касания:

y = x² + ax — 9
y = 25 + 5a — 9
y = 16 + 5a

По условию, значение функции в точке касания равно 10, отсюда:

10 = 16 + 5a
5a = -6
a = -1,2

Ответ:  — 1,2

Давайте подведем итог. Что узнали, чему научились?

В этой статье мы разобрали важную тему для экзамена по математике «Производная в задачах с параметром». Знания, которые вы получили после прочтения статьи, пригодятся в нескольких заданиях экзамена. 

Вы научились определять:
— минимум и максимум функции, благодаря чему можете понять, как ведет себя функция; 
— каким уравнением задается касательная, как ее применять в задачах с параметром.

Теперь вам будет проще решать задания 7 и 11 ЕГЭ по профильной математике, а также №15 на оптимизацию.

Точки экстремума — точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции на отрезке.

• С помощью производной можно проанализировать функцию, а именно найти промежутки возрастания и убывания, точки экстремума, наибольшее или наименьшее значение функции. 
• Касательная к графику — прямая, которая имеет с графиком только одну общую точку. 
• Касательная задается уравнением y = f(x₀) + f'(x₀) * (x — x₀). 
• Чтобы найти значения коэффициентов в уравнении прямой, при которых она будет касательной к графику, достаточно выполнение одной из двух систем:

Задание 1.
В каких точках производная равна 0?

1. В точках экстремума.
2. В точках, где функция возрастает.
3. В точках, где функция убывает.
4. Производная не может быть равна 0.

Задание 2. 
Чему равна производная функции?

1. Тангенсу касательной, проведенной к функции.
2. Котангенсу касательной, проведенной к функции.
3. Синусу касательной, проведенной к функции.
4. Косинусу касательно, проведенной к функции. 

Задание 3.
Как выглядит уравнение касательной?

1. y = f(x₀) — f'(x₀) * (x — x₀)
2. y = f(x) + f'(x₀) * (x — x₀)
3. y = f(x₀) + f'(x₀) * (x — x₀)
4. y = f(x₀) + f'(x₀) *(x₀ — x)

Задание 4.
Чему равен коэффициент наклона k в уравнении прямой y=kx+b?

1. Первообразной функции.
2. Производной функции.
3. Синусу угла наклона касательной.
4. Тангенсу угла наклона произвольной прямой. 

Ответы: 1.— 1 2.— 1 3.— 3 4.— 2

2.3.6. Примеры решения задач по теме «Производные высших порядков»

Задача 1.

Найти вторую производную от функции

Указание

Найдите вначале первую производную данной функции, а затем воспользуйтесь тем, что

Решение

Ответ:

Задача 2.

Найти вторую производную от функции

При Х = 1.

Указание

Найдите вторую производную по формуле

А затем вычислите ее значение при Х = 1.

Решение

Ответ:

Задача 3.

Найти производную 4-го порядка от функции

Указание

Воспользуйтесь тем, что

Решение

Ответ:

Задача 4.

Найдите общее выражение для производной порядка П от функции

Указание

Воспользуйтесь тем, что

Решение

Вычислим подряд производные 1-го, 2-го, … порядка от данной функции и попробуем определить вид зависимости выражения для П-й производной от ее порядка.

Ответ:

Задача 5.

Найдите общее выражение для производной порядка П от функции

Указание

Для упрощения воспользуйтесь формулами приведения:

Решение

Ответ:

Задача 6.

Найти вторую производную для функции, заданной параметрически:

Указание

Воспользуйтесь формулой

Решение

Ответ:

Задача 7.

Найти D3Y для функции У = Х5.

Указание

Воспользуйтесь формулой

Ответ:

Задача 8.

Вычислите производную:

Указание

Воспользуйтесь формулой Лейбница:

Решение

Пусть

Тогда

Применяя формулу Лейбница, получим:

Ответ:

Задача 9.

Рассматриваются функции

Для какой из них выполнены все условия теоремы Ролля?

Указание

По условию теоремы Ролля функция Y = F(X)

4) непрерывна на отрезке [Ab];

5) дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка;

6) принимает равные значения на концах этого отрезка, то есть F(A) = F(B).

Решение

Проверим выполнение условий теоремы Ролля для каждой из функций:

Не выполнено 3-е условие теоремы Ролля;

Эта функция не дифференцируема при Х = 1, то есть не выполнено 2-е условие теоремы Ролля;

3) Х = 0 – точка разрыва данной функции, то есть не выполнено 1-е условие теоремы Ролля;

Функция Y = ln cos X определена и непрерывна на заданном отрезке;

Существует на всем отрезке;

Таким образом, все условия теоремы Ролля выполнены.

Функция не является непрерывной в точке Х = 1, не выполнено 1-е условие теоремы Ролля.

Ответ: 4.

Производные функции: примеры и формулы

Производные, возможно, являются одним из самых важных понятий, которые мы можем изучать в математике. Почему ты спрашиваешь? Потому что они необходимы во многих приложениях! Вот некоторые из них:

• Производные помогают нам определить взаимосвязь между положением, скоростью и ускорением объекта в физике.

• Они могут сообщить нам скорость изменения таких вещей, как температура, прибыль и численность населения в определенный момент времени.

• Производные являются частью моделей оптимизации для улучшения принятия решений в таких отраслях, как здравоохранение, экономика, бизнес, наука, инженерия и т. д. .

Как мы узнали из нашей статьи о производных, существует метод нахождения производной функции исходной функции. Это означает, что мы можем определить функцию, которая дает нам производную исходной функции в каждой точке области определения исходной функции.

• Производная формулы функции
• Вычисление производной функции
• Обозначения производных
• Производная тригонометрической и обратной тригонометрической функций – примеры
• Производная экспоненциальной и логарифмической функций – примеры
9 0021

Производная формулы функции

Производная функция — это то, что дает нам производную функции в каждой точке области определения функции, в которой определена производная.

• Это означает отсутствие вертикальных касательных, разрыва прыжка, разрыва устранимого разрыва и острых точек.

• Другими словами, предел в приведенном ниже определении должен существовать.

Допустим, у нас есть функция, обозначаемая \(f\). Его производная функция , обозначаемая \(f’\), представляет собой функцию, область определения которой состоит из значений \(x\), таких, что предел ниже существует:

\[f'(x) = \lim_{ h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]

Это называется предельным определением производной или иногда просто определением производной .

Нахождение производной функции с использованием этого предела иногда называют доказательством производной по первому принципу.

• Функция \(f(x)\) считается дифференцируемой в точке \(a\), если ее производная в этой точке \(f'(a)\) существует.
• Таким образом, в общем случае функция считается дифференцируемой на открытом множестве \(S\), если она дифференцируема в каждой точке этого множества.
  • Дифференцируемая функция — это функция, в которой \(f'(x)\) существует в своей области определения.

Вычисление производной функции

В следующих примерах мы используем определение производной функции для нахождения производной функции.

Найдите производную функции квадратного корня:

\[f(x) = \sqrt{x}\]

Решение :

1. Подставьте \(f(x+h) = \sqrt {x+h}\) и \(f(x) = \sqrt{x}\) в \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f (х)}{ч}\).

\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h} — \sqrt{x}}{h}\]

2. Умножить числитель и знаменатель на \(\sqrt{x+h} + \sqrt{x}\).\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h} — \sqrt{x} }{h} \cdot \frac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}\]3. Умножьте числители и упростите, не распределяя знаменатель.\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h\left(\sqrt{x+h} + \sqrt{x} \справа)}\]4. Отмените \(h\).\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}\]5. {2}\] 9{2}\right) = 2x\]

Подводя итог, можно сказать, что для любой функции \(y = f(x)\) каждое из следующих обозначений представляет собой производную от \(f(x)\):

\[f'(x), \frac{d}{dx} (f(x)), y’, \frac{dy}{dx} \]

При взятии производной в точке можно также заменить обозначение \(f'(a)\) с обозначением:

\[ \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=a} \]

Чтобы лучше понять обозначения Лейбница, \( \frac{dy}{dx} \), мы должны помнить, что производная функции в точке:

Обычно наклон этих секущих выражается следующим образом:

\[ \frac{\Delta y}{\Delta x} \]

значения, а \(\Delta x \) — разница в значениях x.

Следовательно, производная , или мгновенная скорость изменения y по отношению к x , может быть выражена как:

\[ \frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \]

Рис. 1. Графическое представление производной в виде \( \frac{dy}{dx} \).

Производная триггерной и обратной триггерных функций — примеры

Что такое производная \(sin(x)\)?

Решение :

1. Примените определение производной.

\[ \frac{d}{dx} sin(x) = \lim_{h \to 0} \frac{sin(x+h) — sin(x)}{h} \]

2. Использование сумма углов триггера, чтобы получить:

\[ \frac{d}{dx} sin(x) = \lim_{h \to 0} \frac{ \left[sin(x)cos(h) + cos (x)sin(h)\right] — sin(x)}{h} \]

3. Переставьте члены с \(sin(x)\) рядом друг с другом.

\[ \frac{d}{dx} sin(x) = \lim_{h \to 0} \frac{cos(x)sin(h) — sin(x) + sin(x)cos(h) }{h} \]

4. Вынести за скобки \(sin(x)\).

\[ \frac{d}{dx} sin(x) = \lim_{h \to 0} \frac{cos(x)sin(h) — sin(x)(1 — cos(h))} {h} \]

5. Примените следующие законы пределов: правило постоянного кратного и правило разности.

\[ \frac{d}{dx} sin(x) = cos(x) \left(\lim_{h \to 0} \frac{sin(h)}{h} \right) — sin(x ) \left( \lim_{h \to 0} \frac{1 — cos(h)}{h} \right) \]

6. Если построить график \( \frac{sin(h)}{h} \), мы увидим, что предел при \(h \to 0\) равен \(1\).

Это также можно доказать с помощью теоремы о сжатии.

Рис. 2. Предел как \(h \to 0\) \( \frac{sin(h)}{h} \) равен \(1\).

7. Если построить график \( \frac{1 — cos(h)}{h} \), мы увидим, что предел как \(h \to 0\) равен \(0\).

Рис. 3. Предел как \(h \to 0\) для \( \frac{1-cos(h)}{h} \) равен \(0\).

8. Итак, мы можем подставить \(1\) для первого предела и \(0\) для второго предела и упростить. 9{-1}(x) = arcsin(x) \)? ^{1, 2}

Прежде чем мы начнем, знайте, что процесс нахождения этой производной возможен с использованием определения производной (известного как доказательство по первому принципу), однако это сложный и длительный процесс, который также требует сложных алгебраических вычислений. манипуляция. Гораздо проще найти эту производную, используя некоторые производные процессы, которые вы, возможно, еще не знаете:

• Неявное дифференцирование и
• Цепное правило

Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими статьями по этим темам, чтобы полностью понять этот процесс. 9{-1}(x) \\ sin(y) & = x \end{align} \]

2. Затем, используя неявное дифференцирование и цепное правило, мы берем производную обеих сторон и находим \( y ‘\).

\[ \begin{align} \frac{dy}{dx} (sin(y)) & = \frac{dy}{dx} (x) \\ \frac{d (sin(y))}{ dy} \cdot \frac{dy}{dx} & = 1 \\ (cos(y)) \cdot y’ & = 1 \\ y’ & = \frac{1}{cos(y)} \end{ align} \]

3. Используя тождество триггера Пифагора, мы можем переписать это уравнение в терминах \( x = sin(y) \). 9{x} \cdot ln (b) } \]

Производные логарифмических функций – примеры

Какова производная \(L(x) = ln(x)\)?

Решение :

1. Примените определение производной.

\[ L'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{ln(x+h)-ln(x)}{h} \]

2. Используйте частное правило логарифмов, \ ( ln(a)-ln(b) = ln\left( \frac{a}{b} \right) \), чтобы переписать предел как:

\[ L'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{ ln \left( \frac{x+h}{x} \right)}{h} \] 9{\frac{1}{y}} = \frac{1}{x} ln (e) = \frac{1}{x} \]

9. Следовательно,

\[ \bf{ L'( x) = \frac{1}{x} } \]

Какова производная от \( A(x) = log_{a}(x) \)?

Мы можем найти эту производную, используя две вещи, которые мы уже знаем:

1. Производная от \( ln(x) \) равна \( \frac{1}{x} \).
2. Изменение основного правила логарифмирования: \( log_{a}(x) = \frac{ln(x)}{ln(a)} \)

Решение :

1. Используйте замену базового правила, чтобы переписать функцию как:

\[ A(x) = \frac{ln(x)}{ln(a)} \]

2. Теперь мы можем взять производную.

\[\begin{align}A'(x) & = \frac{d}{dx} \left( \frac{ln (x)}{ln(a)} \right) \\& = \frac {1}{ln(a)} \cdot \frac{d}{dx} (ln(x)) \\& = \frac{1}{ln(a)} \cdot \frac{1}{x} \\\bf{ A'(x) } & = \bf{ \frac{1}{x ln(a)} }\end{align}\]

Производные функции – ключевые выводы

• Мы можем найти производная функция функции с использованием предельного определения производной:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]

• Для любой функции \(y = f(x)\), каждое из следующих обозначений представляет собой производную от \(f(x)\):

\[ f'(x), \, \frac{d}{dx}, \, f ‘(f(x)), \, y’, \, \frac{dy}{dx} \]

• Использование предельного определения производной — утомительный процесс! Вот почему математики разработали несколько правил дифференцирования, чтобы упростить задачу. {2}(x) \] 9{2}} } \, \mbox{где,} \, x \neq 0 \]

Ссылки

1. https://www.mechamath.com/calculus/derivative-of-arcsin-inverse -sine-with-proof-and-graphs/
2. https://www.mathdoubts.com/derivative-of-sin-inverse-function-proof/

Производные составных функций — формулы, примеры

Производные составных функций можно вычислить с помощью цепного правила дифференцирования. Напомним сначала смысл составных функций. Составные функции — это функции, когда функция записывается в терминах другой функции. Это означает, что в составной функции функция может быть заменена другой функцией и обычно записывается как (fog)(x) = f(g(x)). Теперь, чтобы определить производные сложных функций, продифференцируем первую функцию по второй функции, а затем вторую функцию по переменной, т. е. (fo g)'(x) = f'(g(x) )). г'(х).

Давайте узнаем, как определять производные сложных функций, формулу их нахождения и понятие частных производных сложных функций от двух переменных с помощью решенных примеров для лучшего понимания концепции.

Что такое производные сложных функций?

Производные составных функций оцениваются с использованием метода цепного правила (также известного как правило составной функции). Цепное правило гласит: «Пусть h будет действительнозначной функцией, состоящей из двух функций f и g». т. е. h = f o g. Предположим, что u = g(x), где существуют du/dx и df/du, тогда это можно выразить следующим образом:

Производная h(x) по весу x = производная от f(x) относительно u × Производная от u относительно x ⇒ d(h(x))/dx = df/du × du/dx

Другой способ записи производных составных функций с использованием формулы цепного правила: Производная h(x). w.r.t. x = производная от f(x) относительно g(x) × Производная от g(x) относительно x ⇒ d( f(g(x))/dx = f’ (g(x)) · g’ (x). Проще говоря, мы говорим, что производная сложной функции есть произведение производной внешняя функция по отношению к внутренней функции и производная внутренней функции по переменной.0003

Формула производных составных функций

Производную сложной функции h(x) = f(g(x)) можно определить, взяв произведение производной f(x) по g(x) и производной g(x) относительно переменной x. Математически формула производных сложных функций имеет вид:

Производные составных функций с одной переменной

Производные сложных функций от одной переменной определяются по простой формуле цепного правила. Давайте решим несколько примеров, чтобы понять расчет производных:

Пример 1: Определить производную сложной функции h(x) = (x ³ + 7) ¹⁰

Решение: Теперь пусть u = x ³ + 7 = г( x), здесь h(x) можно записать как h(x) = f(g(x)) = u ¹⁰ .

d(h(x))/dx = df/du × du/dx

⇒ h'(x) = 10u ⁹ × 3x ²

= 10(х ³ + 7) ⁹ × 3х ²

= 30 x ² (x ³ + 7) ⁹

Пример 2: Производная составной функции y = sin (cos (x ² )) 9000 3

Решение: y’ = cos(cos(x ² )). -sin (x ² )). 2x

= -2x sin (x ² ) cos (cos x ² )

Частные производные составных функций двух переменных

Производная функции многих переменных вычисляется одновременно по одной из переменных. Такие производные называются частными производными. Мы можем вычислить частные производные составных функций z = h(x, y), используя метод цепного правила дифференцирования для одной переменной. При определении частной производной функции по одной переменной все остальные переменные считаем постоянными.

Пример: Найдите производные по x и y составной функции f(x, y) = (x ² y ² + ln x) ³

Решение: Во-первых, мы будем дифференцировать составную функцию f(x, y) = (x ² y ² + ln x) ³ относительно x и считать y константой.

∂[(x ² y ² + ln x) ³ ]/∂x = 3 (x ² y ² + ln x) ² × ∂(х ² y ² + ln x)/∂x

= 3 (x ² y ² + ln x) ² × (2xy ^{2 902 30 + 1/х)}

= 3( 2xy ² + 1/x)(x ² y ² + ln x) ²

Точно так же мы определим производную по y, считая x константой, используя формулу цепного правила.

∂[(x ² y ² + ln x) ³ ]/∂y = 3 (x ² y ² + ln x) ² × ∂(х ² y ² + ln x)/∂y

= 3 (x ² y ² + ln x) ² × (2x ^{2 9023 0 у)}

= 6x ² у (x ² y ² + ln x) ²

Важные замечания о производных составных функций

• t-производная составной функции z = h (х(т), у(т )) можно рассчитать по формуле dh/dt = (∂f/∂x) . (dx/dt) + (∂f/∂y) . (дн/дт)
• Производная h(x) по весу x = производная от f(x) относительно u × Производная от u относительно x ⇒ d(h(x))/dx = df/du × du/dx, где h(x) = (f o g)(x) и g(x) = u

Похожие темы

• Производные
• Дифференциация
• Рабочие листы цепных правил

Часто задаваемые вопросы о производных составных функций

Что такое производные сложных функций в исчислении?

Производные сложных функций вычисляются по цепному правилу. Это произведение производной внешней функции по внутренней функции и производной внутренней функции по переменной.

Как использовать цепное правило для нахождения производной сложной функции?

Производные сложных функций с использованием формулы цепного правила оценивается как: Производная h(x). w.r.t. x = производная от f(x) относительно g(x) × Производная от g(x) относительно x ⇒ d( f(g(x))/dx = f’ (g(x)) · g’ (x), где h(x) = (fo g)(x).