Производная примеры: Примеры решения производных с ответами

Производная функции — примеры решения с готовыми ответами

Содержание:

1. Определение производной
2. Производная сложной и обратной функций
3. Производные высших порядков
4. Геометрический смысл производной
5. Экономическая интерпретация производной

Определение производной

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при .

Производную функции в точке обозначают одним из символов или .

Итак, по определению

Операцию вычисления производной принято называть дифференцированием.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением

Пример №1

Исходя из определения производной, найти производную функции

Решение:

По формуле (11. 1) находим:

Основные правила вычисления производной. Если С — постоянная величина и функции и имеют производные, то

1.

2.

3.

4.

5.

3° Таблица производных.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Дифференциальные уравнения примеры с решениями

Производная примеры решения

Векторное произведение векторов

Несобственный интеграл примеры решения

Пример №2

Используя правила дифференцирования и таблицу производных, найти производную функции

Решение:

Производная сложной и обратной функций

Пусть функция имеет производную в точке, а функция — в соответствующей точке . Тогда сложная функция имеет производную в точке х, которая вычисляется по формуле

(11.2)

Пусть функция непрерывна, строго монотонна на отрезке и имеет конечную не равную нулю производную в некоторой точке . Тогда обратная функция также имеет производную в соответствующей точке, определяемую равенством

(11.3)

Пример №3

Найти производную функции .

Решение:

Функцию можно представить в виде , где , поэтому

Концепция дифференциальных вычислений, которая характеризует скорость изменения функции в определенной точке.

Производные высших порядков

Если функция имеет производную в точке , то эта производная называется второй производной или производной второго порядка функции в точке и обозначается через или или

Если производная -го порядка функции имеет производную в точке , то эта производная называется -й производной или производной -го порядка функции в точке и обозначается через или или

Итак,

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Пример №4

Вычислить производную n-го порядка функции .

Решение:

Первую производную этой функции можно записать в виде

Таким образом, при дифференцировании функции аргумент этой функции увеличивается на. Следовательно, справедлива формула

Геометрический смысл производной

Пусть существует касательная к графику функции в точке (рис. 11.1). Тогда существует производная функции в точке , которая равна угловому коэффициенту этой касательной: Верно и обратное: если существует производная функции в точке , то существует касательная к графику функции в точке , угловой коэффициент которой равен этой производной (геометрический смысл производной).

Геометрическая интерпретация производной позволяет записать уравнение касательной к графику функции в точке :

(11.4) Рис. 11.1 Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно к касательной, называется нормалью к графику функции в этой точке. Уравнение нормали:

(11. 5)

Пример №5

Составить уравнение касательной к кривой

в точке с абсциссой

Решение:

По заданному значению находим

Значит, касательная проходит через точку . Найдем угловой коэффициент касательной:

Теперь составим уравнение касательной, согласно формуле (11.4):

или

Пример №6

На кривой найти точку, в которой

касательная параллельна прямой .

Решение:

Пусть искомая точка касания есть . Тогда угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания:

Чтобы касательная была параллельна прямой , их угловые коэффициенты должны совпадать, то есть , откуда .

Подставляя найденное значение абсциссы искомой точки в уравнение кривой, найдем значение ее ординаты . Итак, искомая точка .

Экономическая интерпретация производной

Одним из примеров применения понятия производной в экономическом анализе служит расчет производительности труда в заданный момент времени. Рассмотрим количество произведенной продукции как функцию от времени, т.е. . Тогда приращение показывает количество произведенной продукции за период от доа отношение показывает среднюю производительность труда за этот период. Следовательно, производная показывает производительность труда в момент времени , то есть производительность труда — это скорость изменения количества произведенной продукции за единицу времени.

Аналогично определяются предельная выручка, предельный доход, предельные издержки производства и т.д. Например, предельные издержки производства определяются как производная функции издержек производства по количеству выпускаемой продукции.

Пример №7

Объем продукции, произведенной группой работников за восьмичасовую смену, описывается уравнением

где — рабочее время в часах . Вычислить производительность труда в начале и в конце рабочего дня.

Решение:

Производительность труда вычисляется по формуле

В начале рабочего дня производительность труда данной группы работников будет

В конце рабочего дня производительность труда данной группы работников будет равна Итак, мы наблюдаем спад производительности труда к концу рабочего дня.

Примеры решения производных

05.10.2016 admin Оставить комментарий

Примеры решения производных
• Производная суммы функций
• Производная произведения функций
• Производная отношения функций
• Производная сложной функций
• Производная функции заданной параметрически

Пример. Производная суммы функций.

Дано: сумма функций .
Найти:
Вычислить производную суммы функций

Решение:
Исходя из того, что производная алгебраической суммы (разности) функций, имеющих производную, равна такой же сумме (разности) производных этих функций: используя формулы производных (ссылка), вычислим производную, заданной в условии задачи суммы функций:

Ответ: производная суммы функций равна

Пример. Производная произведения функций.

Дано: произведение функций .
Найти:
Вычислить производную произведения функций

Решение:
Исходя из того, что производная двух функций, имеющих производную, вычисляется по формуле: найдем производную, заданного в условии задачи произведения функций:

Ответ: производная произведения функций равна

Пример. Производная отношения функций.

Дано: отношение функций .
Найти:
Вычислить производную отношения функций

Решение:
Исходя из того, что производная отношения двух функций, имеющих производную, вычисляется по формуле: определим производную, заданного в условии задачи отношения функций:

Ответ: производная отношения функций равна

Пример. Производная сложной функций.

Дано: сложная функция .
Найти:
Вычислить производную сложной функции

Решение:
Исходя из того, что функция имеет производную в точке а функция имеет производную в точке причем сложная функция будет иметь производную в точке и в нашем случае получаем следующее а Тогда а значит

Ответ: производная сложной функции равна

Пример. Производная функции заданной параметрически.

Дано: функция заданная параметрически .
Найти:
Вычислить производную функции заданной параметрически.

Решение:
Исходя из того, что производная функции, заданной параметрически, то есть в виде соотношения где изменяется в пределах некоторого множества, определяется по формуле вычислим производную, заданной в задаче функции:

Производная параметрически заданной функции будет тоже функция, заданная параметрически:

Ответ: производная параметрически заданной функции равна

2$. Найдите $Df(1,2)$ и уравнение касательной плоскость в точке $(x,y)=(1,2)$. Найдите линейное приближение к $f(x,y)$ при $(х,у)=(1,2)$.

Решение : \начать{выравнивать*} \pdiff{f}{x}(x,y) &= 2x\\ \pdiff{f}{x}(1,2) &= 2\\ \pdiff{f}{y}(x,y) &= 2y\\ \pdiff{f}{y}(1,2) &= 4 \конец{выравнивание*} Итак, $Df(1,2)=\left[\ 2 \ \ 4\ \right]$.

Поскольку обе частные производные $\pdiff{f}{x}(x,y)$ и $\pdiff{f}{y}(x,y)$ являются непрерывными функциями, мы знаем, что $f(x,y)$ дифференцируема. Следовательно, $Df(1,2)$ — производная от $f$, и функция имеет там касательную плоскость. 92=5$. Уравнение касательной плоскости: \начать{выравнивать*} z &= f(1,2)+\pdiff{f}{x}(1,2)(x-1) + \pdiff{f}{y}(1,2)(y-2) \\ &= 5 + 2(х-1) + 4(у-2) \конец{выравнивание*}

Для скалярной функции двух переменных, такой как $f(x,y)$, касательная плоскость — это линейное приближение. Мы можем написать линейное приближение как \начать{выравнивать*} L (х, у) = 5 + 2 (х-1) + 4 (у-2). \конец{выравнивание*}

Пример 1′

Если посмотреть на точку $(2,3)$, что изменится?

Решение : Частные производные меняются, поэтому производная становится \начать{выравнивать*} \pdiff{f}{x}(2,3) &= 4\\ \pdiff{f}{y}(2,3) &= 6\\ Df(2,3) &= \left[\ 4 \ \ 6\ \right]. \конец{выравнивание*} Уравнение касательной плоскости, т.

2) 0, 2+\sin 0)\\ &= (0,2) \конец{выравнивание*} Тогда линейное приближение к $\vc{f}$ в (1,2,0) есть Линейное приближение к $\vc{f}$ есть \начать{выравнивать*} L(x,y,z) & = \vc{f}(1,2,0) + D\vc{f}(1,2,0) (x-1, y-2, z) \\ знак равно \оставил[ \начать{массив}{с} 0\2 \конец{массив} \Правильно] + \оставил[ \begin{массив}{ccc} 0 и 0 и 4\\ 0 и 1 и 1 \конец{массив} \Правильно] \оставил[ \начать{массив}{с} х-1\у-2\\г \конец{массив} \Правильно] \\ знак равно \оставил[ \начать{массив}{с} 0\2 \конец{массив} \Правильно] + \оставил[ \начать{массив}{с} 4з\у-2+з \конец{массив} \Правильно] \\ &=(4г, у+г) \конец{выравнивание*}

Пример 4

Используйте линейную аппроксимацию $\vc{f}(x,y,z)$ из примера 3 для аппроксимировать значение $\vc{f}$ в точке $(1.1,1.9,0.1)$.

Решение : Приведенное выше линейное приближение при $(x,y,z) = (1.1,1.9,0.1)$ равно \начать{выравнивать*} L(1.

1,1.9,0.1) &= (4(0.1), 1.9+0.1)\\ & = (0,4, 2,0) \конец{выравнивание*}

Обратите внимание, что $(1.1,1.9,0.1)$ очень близко к $(1,2,0)$, т.е. точка, вокруг которой мы вычислили линейную аппроксимацию. Итак, мы ожидать, что это линейное приближение будет близко к истинному значению $\vc{f}$ в $(1.1,1.92(0,1), 1,9+\sin(0,1))\\ &\ приблизительно (0,4368,1,9998). \конец{выравнивание*} В этом случае приближение достаточно близкое.

Пример производных | Три основных примера производных инструментов

В следующем примере производных инструментов представлен обзор наиболее распространенных видов производных инструментов. Производный инструмент — это финансовая ценная бумага, стоимость которой определяется базовым активом. Базовыми активами могут быть акции, индексы, иностранная валюта, товары или любые другие активы. Таким образом, из приведенного выше определения ясно, что производные продукты не имеют собственной стоимости, их стоимость определяется какими-либо конкретными базовыми активами. Основными участниками производных рынков являются хеджеры, спекулянты и арбитражеры. Ниже примеры производных иллюстрируют наиболее распространенные производные. Невозможно привести примеры всех типов производных, поскольку таких производных тысячи, и они различаются в каждой ситуации.

Примеры производных (с шаблоном Excel)

Давайте попробуем понять производные на приведенных ниже примерах.

Вы можете скачать этот пример Excel-шаблона для деривативов здесь — Пример деривативов — Excel-шаблон

#1 Пример деривативов — Фьючерсный контракт

ABC Co. — компания по доставке, чьи расходы связаны с ценами на топливо. ABC Co. предполагала, что они будут использовать 90 000 галлонов бензина в месяц. В настоящее время 1 июля ^st , и компания хочет хеджировать свои следующие 3 месяца затрат на топливо, используя фьючерсные контракты RBOB Gasoline. Информация об этих контрактах следующая.

• Каждый контракт рассчитан на 42 000 галлонов.
• Срок действия контрактов истекает в конце предыдущего месяца. Например, если нам нужно купить августовский контракт, срок действия которого истекает в конце июля.
• Начальная маржа составляет 11 475 долларов, а поддерживающая маржа — 8 500 долларов.

Дано,

Вопрос-1 – Должна ли ABC Co. покупать (длинная) или продавать (короткая) будущее, чтобы открыть свою позицию.

Решение:

Компания ABC Co. подвержена влиянию цены на газ, если цена на газ повысится, ее расходы возрастут, а из-за расходов прибыль уменьшится. Поэтому, если ABC Co хочет хеджировать этот риск и защитить свою прибыль, ей нужна ситуация, при которой будущая позиция будет увеличиваться в цене при повышении цен на газ. Таким образом, если компания заключает долгосрочный контракт, покупая фьючерсы на бензин, чтобы компания получала прибыль от этих фьючерсов, когда цена на газ подорожает, это компенсирует естественные риски.

Таким образом, позиция хеджирования ABC Co. заключается в том, чтобы открыть длинную позицию (купить) по контракту.

Вопрос 2. Сколько контрактов следует использовать компании ABC?

Решение: 

ABC Co. ежемесячно использует 90 000 галлонов газа, а каждый контракт заключался на 42 000 галлонов.

• Количество контрактов = предполагаемое использование газа / контракт на
• Количество контрактов =

  /42000

• Количество контрактов = 2

Контракт на двоих:

•  Один контракт = 42 000
• Два контракта = 2 × 42 000
• Два контракта = 84 000 галлонов газа.

Итак, сколько следует использовать, ответ равен 2.

Вопрос 3 — Что такое первоначальный денежный поток ABC Co.?

Начальный денежный поток или маржа рассчитывается как:

Решение:

• Итак, здесь номер контракта = 2
• Начальный денежный поток/маржа = $11 475
•  = 2 × 11 475 долл.  США
• = 22 950 долларов в месяц

Так за 3 месяца

•  Первоначальный денежный поток/прибыль за 3 месяца = 22 950 долл. США × 3
•  Первоначальный денежный поток/маржа за 3 месяца = 68 850 долл. США

Таким образом, первоначально ABC Co. должна положить 68 850 долларов на свои маржинальные счета, чтобы установить свою позицию, что даст компании два контакта на следующие 3 месяца.

Вопрос 4 – Цена бензина на августовский фьючерс составляет 2,8974 доллара, сентябрьский фьючерс – 2,8798 доллара, а октябрьский фьючерс – 2,7658 доллара, который закрылся на уровне 2,6813 доллара в августе, 2,4140 доллара в сентябре и 2,09 доллара в октябре.99 Сколько ABC Co. потеряла на фьючерсном контракте?

Решение:

Потеря = (Цена закрытия-цена открытия) × Общая бензин

Потеря рассчитывается как ниже:

• Потеря = (2,6813-2,8974) * 84000
  • = (2,6813-2,8974) * 84000
    • .
    • Убыток = -18152,4

    Аналогично для всех,

    • Общий убыток = убыток в (август) + (сентябрь) + (октябрь)
    • Общий убыток = -18152,4 + -39127,2 + -55935,6
    • Общая потеря = -113215,20

    So Общий убыток по фьючерсным контрактам $ -113215,20

    Производные Пример №2 – Длинные фьючерсы 1

    ^st сентября. Цена одной кипы хлопка была установлена ​​на уровне 50 долларов США за кипу. Текущий обменный курс: 1 доллар США = 69,35 индийских рупий. Импортер рискует заплатить больше, если доллар укрепится. Доллар укрепляется в ближайшие месяцы и на 1 ^st  сентября обменный курс поднимается до 1 доллара США = 72,35 индийских рупий. Давайте рассмотрим следующие два сценария.

    Теперь, что произошло здесь, что Импортер должен платить больше из-за разницы в курсах, то есть 72,35 INR – 69,35 INR = 3 INR

    Таким образом, 1000×50×3 = 1 INR, 50 000 дополнительной суммы к оплате.

    Дано,

    Случай -1:- Когда Импортер не хеджировал свою позицию.

    Решение:

    Общая сумма платежа, произведенная в долларах США на 1 ^марта года = количество тюков хлопка × цена за единицу

    • Общая сумма платежа 1 марта = 50×1000
    • Общая сумма платежа, произведенного 1 ^марта года = 50 000 долларов США

    Сумма в индийских рупиях, необходимая для оплаты 1 ^st 9 марта0072

    Сумма в индийских рупиях, необходимая для осуществления платежа 1  ^марта  года, рассчитывается по следующей формуле:

  • Сумма INR, необходимая для совершения платежа 1 ^st March = 34, 67 500 INR

  Сумма в индийских рупиях, необходимая для осуществления платежа 1 ^st Сентябрь

  • Сумма в индийских рупиях, необходимая для осуществления платежа 1 ^ст Сен = 50 000 $ × 72,35
  • Сумма в индийских рупиях, необходимая для совершения платежа 1 ^st Sep = 36, 17 500 INR

  Общий убыток, понесенный в результате повышения обменного курса

  • Общий убыток, понесенный в результате повышения обменного курса = 34 67 500,00 – 36 17 500,00
  • Общий убыток, понесенный в связи с повышением обменного курса =  -1, 50 000 индийских рупий

  Вывод  — Импортер должен заплатить дополнительно 1 50 000,00 индийских рупий 1  ^{сентября}  года из-за повышения обменного курса, таким образом, он несет убыток по сравнению со своим платежным обязательством по состоянию на 1  ^{сентября}  года.

  Случай -2:- Импортер решил хеджировать свою позицию, выйдя на рынок валютных фьючерсов. Импортер ожидал, что доллар укрепится, и решил заключить контракт на доллар-рубль, чтобы застраховать свою позицию.

  Решение:

  Кол-во контрактов в USD-INR

  Кол-во контрактов в USD-INR рассчитывается как:

  • Кол-во контрактов в USD-INR = Сумма к оплате/1000 (размер лота для 1 контракта в USD-INR)
  • Количество контрактов USD–INR = 50 000/1000
  • Кол-во контрактов USD-INR = 50 контрактов

  Общая сумма, понесенная при покупке валютного фьючерсного контракта

  Общая сумма, понесенная при покупке валютного фьючерсного контракта, рассчитывается как:

  • Общая сумма, понесенная при покупке валютного фьючерсного контракта = 50 × 1000 × 69,55
  • Общая сумма, понесенная при покупке валютного фьючерсного контракта = 34, 77 500 индийских рупий

  Выручка от продажи фьючерсного контракта

  Выручка от продажи фьючерсного контракта рассчитывается как:

  1 ^{сентября} Обменный курс изменяется до 72,35, а цена фьючерсного контракта изменяется до 90. 0074

• Выручка от продажи фьючерсного контракта = 50 × 1000 × 72,55
• Выручка от продажи фьючерсного контракта = 36, 27 500 индийских рупий

Прибыль от продажи фьючерса

Прибыль от продажи фьючерса рассчитывается как:

Прибыль от продажи фьючерса = продажа фьючерса – покупка фьючерса

• прибыль от продажи фьючерса 36, 27 500,00 – 34, 77 500,00
• Прибыль от продажи Future = 1 50 000 индийских рупий

Вывод: Импортер эффективно хеджировал свои убытки, заключив будущие контракты и тем самым аннулировав свои убытки из-за неблагоприятного изменения обменного курса.

Производные инструменты Пример#

3 – Фьючерсы на фондовые индексы

Джон владеет портфелем акций и деталями, связанными с портфелем, как указано ниже.

• Стоимость портфеля: V = 95 миллионов долларов (спотовая цена)
• Бета портфеля: β =0,90

Фьючерсный контракт S&P Цена фьючерса:

• f= 1 513,40
Размер фьючерсного контракта
• S&P кратен $250
• Таким образом, цена будущего контракта = 250 долл. США × 1513,40 долл. США = 378 350 долл. США
• Размер контракта Note = $250 × цена фьючерса S&P.

Решение:

Коэффициент хеджирования (HR) = (S/f) β

• HR = (долларовая стоимость портфеля/долларовая цена фьючерсного контракта S&P) × β
• HR = (95 000 000 долл. США/378 350 долл. США) × 0,90
• ЧСС = 225,98 ≈ 226

Теперь давайте попробуем понять приведенный выше пример с помощью следующих двух сценариев:

Предположим, рынок упадет, скажем, на 5%

Поскольку Джон владеет портфелем, он потеряет деньги из-за падения рынка на 5%, но так как у Джона короткая позиция в будущем (проданные фьючерсы), он делает снова.

• Снижение стоимости портфеля акций на = β × 5%
• Падение стоимости портфеля акций на = 0,9× 5% = 4,5% или на 0,045 × 95 000 000 долларов США)
• Снижение стоимости портфеля акций на = -4 275 000 долларов

Цена фьючерсного контракта также уменьшится на 5% и составит $378 350 × 5% = $18 917,50

• Цена фьючерсного контракта = $378 350 – $18 917,50
Цена фьючерсного контракта
• = $359 432,50

Прибыль от фьючерса = (378 350 долл. США – 359 432,50 долл. США) × 226 = 4 275 355 долл. США

• Прибыль от хеджирования = позиция спот + позиция в будущем
• Прибыль от хеджирования = -4 275 000 долл. США + 4 275 355 долл. США
• Прибыль от хеджирования = $355

Предположим, рынок вырос, скажем, на 5%

Поскольку Джон владеет портфелем, он получит деньги благодаря росту рынка на 5%, но поскольку у Джона короткая позиция по фьючерсам (Проданные фьючерсы), он проиграет.

• Увеличение стоимости портфеля акций на = β × 5%
• Увеличение стоимости портфеля акций на = 0,9 × 5% = 4,5% или на 0,045 × 95 000 000 долларов)
• Увеличение стоимости портфеля акций на = 4 275 000 долларов США

Цена фьючерсного контракта также вырастет на 5% и составит $378 350 × 5% = $18 917,50

• Цена фьючерсного контракта = $378 350 + $18 917,50
• Цена фьючерсного контракта = $ 397 267,50

Будущие убытки = (378 350 долл. США – 397 267,50 долл. США) × 226 = -4 275 355 долл. США

Убыток от хеджирования = 4 275 000 долларов США + (-4 275 355 долларов США)

Убыток от хеджирования = -355$

Заключение

Таким образом, приведенные выше примеры дают нам краткий обзор того, как работают рынки деривативов и как они хеджируют рыночные риски. Приведенные выше примеры показывают нам, что деривативы предоставляют конечным пользователям эффективный метод хеджирования и управления своими рисками, связанными с колебаниями рыночных цен/курсов. Риски, с которыми сталкиваются дилеры деривативов, зависят от фактической стратегии, принятой дилером. Приведенные выше примеры объясняют нам, как хеджирование защищает хеджера от неблагоприятных ценовых движений, позволяя при этом продолжать участвовать в благоприятных движениях. Приведенные выше примеры ясно показывают, что дериватив явно сложнее, чем традиционные финансовые инструменты, такие как акции, облигации, кредиты, банковские депозиты и т.

No related posts.