Производная сложной функции натурального логарифма: Производная натурального логарифма (lnx)’

Содержание

Как найти производную логарифма: натурального, сложной функции

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel.ru Математика Алгебра Производные логарифмов: формулы и примеры

В данной публикации мы рассмотрим производные логарифмических функций, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Виды логарифмов
Общая формула производной логарифма
Производная натурального логарифма
Примеры задач

Виды логарифмов

Прежде, чем перейти к формулам производных, напомним, что для некоторых логарифмов предусмотрены отдельные названия:

1. Десятичный логарифм (lg x)

lg x = log₁₀x

Т. е. это логарифм числа x основанию 10.

2. Натуральный логарифм (ln x)

ln x = log_e x

Т.е. это логарифм числа x по основанию e (экспонента).

Общая формула производной логарифма

Производная логарифма x по основанию a равняется числу 1, разделенному на произведение натурального логарифма a и числа x.

Производная натурального логарифма

Производная от натурального логарифма числа x равняется единице, разделенной на x.

Данная формула получена следующим образом:

Сокращение ln e в данном случае возможно благодаря свойству логарифма:

Производная натурального логарифма сложной функции u = u (x):

Примеры задач

Задание 1:
Найдите производную функции y(x) = log₄x.

Решение:
Используя общую формулу производной получаем:

Задание 2:
Вычислите производную функции y = ln x / 5.

Решение:
Применим свойство производной, согласно которой константу можно вынести за знак производной, и далее воспользуемся формулой для натурального логарифма:

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

Производная натурального логарифма — онлайн справочник для студентов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производная натурального логарифма равна единице, деленной на подлогарифмическую функцию. {\prime}(x)=\frac{2 \ln x}{x} \)

Физика

166

Реклама и PR

Педагогика

Психология

Социология

Астрономия

Биология

Культурология

Экология

Право и юриспруденция

Политология

Экономика

Финансы

История

Философия

Информатика

Право

Информационные технологии

Экономическая теория

Менеджент

719

Математика

338

Химия

Микро- и макроэкономика

Медицина

Государственное и муниципальное управление

География

542

Информационная безопасность

Аудит

Безопасность жизнедеятельности

Архитектура и строительство

Банковское дело

Рынок ценных бумаг

Менеджмент организации

Маркетинг

238

Кредит

Инвестиции

Журналистика

Конфликтология

Этика

Формулы дифференцирования Производная неявной функции Частные производные Таблица производных сложных функций Таблица производных

Узнать цену работы

Узнай цену

своей работы

Имя

Выбрать тип работыЧасть дипломаДипломнаяКурсоваяКонтрольнаяРешение задачРефератНаучно — исследовательскаяОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерскаяНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация в ВАКПубликация в ScopusДиплом MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Принимаю Политику конфиденциальности

Подпишись на рассылку, чтобы не пропустить информацию об акциях

исчисление — Доказательство производной от $\ln(x)$

спросил 7 лет, 10 месяцев назад

Изменено 1 год, 6 месяцев назад

Просмотрено 84k раз

$\begingroup$

Я пытаюсь доказать, что $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\ln x = \frac{1}{x}$. {-1}(y)\bigr)} .$$ 9n$

, тогда, установив $h=\frac1{x}$, можно вычислить желаемый предел.

$\endgroup$

Производная логарифмических функций: методы

Вы когда-нибудь задумывались, как работать с большими числами? Возможно, вы слышали о величине, которая экспоненциально увеличивает . Эта фраза относится к ситуации, которую может смоделировать экспоненциальная функция. Выходы этих функций быстро увеличиваются по мере увеличения их входов.

Логарифмические функции являются обратными функциями экспоненциальных функций. Поскольку логарифмические функции являются медленно возрастающими функциями, они могут быть полезны при попытке изменить масштаб больших величин.

Рис. 1. Логарифмическая функция является медленно возрастающей функцией

Кроме того, мы можем использовать свойства логарифмов в наших интересах во многих сценариях решения задач, особенно в исчислении. По этим причинам важно научиться находить производные логарифмических функций.

Определение производной логарифмической функции

Логарифмическая функция $ f(x) = \log_{a}x $ вычисляет логарифм по основанию $ a $ значения $x$. Основание $ a $ должно быть неотрицательным числом. Его производная определяется как предел скорости его изменения, поскольку изменение становится очень небольшим.

Пусть $ f(x) = \log_{a}x $ — логарифмическая функция. Его производная определяется следующим пределом:

\[ f'(x) = \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x) — f(x)}{\Delta x} .\]

На практике вы не можете найти производную логарифмической функции, используя ограничения. Предел находится один раз, чтобы получить формулу, которая затем используется вместе с некоторыми правилами дифференцирования для нахождения производных логарифмических функций.

Формулы для производных логарифмических функций

Как было сказано ранее, вы можете найти производную логарифмической функции, используя пределы, но это не самый практичный способ. Вместо этого вы можете использовать следующую формулу.

Производная логарифмической функции определяется как \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\log_{a}{x} = \left(\frac{1}{\ln{ a}}\right) \left( \frac{1}{x} \right).\]

Вот быстрый пример.

Найдите производную

\[f(x)=\log_{5}{x}.\]

Ответ:

Прежде всего заметим, что основание логарифмической функции равно $ 5.$ Зная это, вы можете использовать формулу для производной логарифмической функции, то есть

\[f'(x)=\left(\frac{1}{\ln{5}} \right) \left( \frac {1}{x} \справа).\]

Довольно просто, не так ли?

Производная логарифмической функции с основанием e

В частном случае, когда основанием логарифмической функции является $e,$, то есть $ f(x) = \log_{e} x,$, функция получает особое название.

Если основанием логарифма является число $e,$, то это называется натуральным логарифмом . Функция натурального логарифма вычисляет натуральный логарифм переменной и обозначается как

\[ f(x) = \ln{x}. \]

Натуральный логарифм имеет основание $e,$, что означает, что

\[\ln{e}=1.\]

При этом формула для производной натурального логарифма становится проще, т.е.

\[ \begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln{x} &= \left(\frac{1}{\ln{e}}\ вправо) \влево( \frac{1}{x} \right) \\ &= \left( \frac{1}{1} \right) \left( \frac{1}{x} \right) \\ &= \фракция{1}{х}. \end{align}\]

Производная натурального логарифма определяется выражением \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln{x} =\frac{1}{ х}.\]

Обратите внимание: зная эту формулу, а также свойства логарифмов, вы можете дифференцировать любую логарифмическую функцию. Рассмотрим логарифмическую функцию

\[f(x)=\log_{a}{x}.\]

Приведенную выше функцию можно переписать, используя свойства логарифмов, то есть

\[ \begin{align} f (x) &= \log_{a}{x} \\[0,5em] &= \frac{\ln{x}}{\ln{a}}. \end{align}\]

Так как $ \ln{a} $ является константой, вы можете использовать правило множителей констант, чтобы учесть его при дифференцировании функции, поэтому

\[ \begin{align} \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} &= \frac{1}{\ln{a}}\frac{\mathrm{d}} {\ mathrm{d}x}\ln{x} \\[0,5em] &= \left(\frac{1}{\ln{a}}\right) \left(\frac{1}{x} \right), \end{align} \]

— формула, представленная в начале предыдущего раздела.

Доказательство производной логарифмической функции

Натуральный логарифм является функцией, обратной показательной функции, это означает, что если

\[y=\ln{x},\] 9y=x\) и выделить производную натурального логарифма, получив

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{x}. \]

Иногда стоит проверить, как найти производные по их определению с использованием пределов. Это может быть немного сложно, но это дает кучу опыта! Давайте погрузимся в это!

Напомним определение производной натурального логарифма через пределы, которое равно

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln{x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\ln{(x+\Delta x)}-\ln{x}}{\Delta x}.\] 9{u}\right]},\]

, что является одним из определений $e,$ основания натурального логарифма, поэтому

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{ d}x}\ln{x} = \frac{1}{x} \ln{e}.\]

Поскольку $ e $ является основанием натурального логарифма, этот последний множитель равен 1, наконец, получив

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln{x}= \frac{1}{x}. \]

Примеры производных логарифмических функций

Пришло время поработать над некоторыми примерами. Вы можете использовать правила дифференцирования и свойства логарифмов в своих интересах! 92} \right) (2x) \\[0.5em] &= \frac{2}{x}. \end{align}\]

Использование свойств логарифмов. Вместо использования цепного правила вы можете начать с переписывания функции, используя свойство мощности логарифмов, то есть\[ f(x)= 2\ln{x} .\]Здесь вы можете использовать правило постоянного кратного числа и дифференцировать натуральный логарифм, поэтому\[ \begin{align} \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} &= (2 )\left( \frac{1}{x} \right) \\ &= \frac{2}{x}. \end{align} \]

Какой метод вы предпочитаете? В любом случае вы получите один и тот же ответ! 9x}.\]Поскольку функция натурального логарифма является обратной функцией экспоненциальной функции, вы можете дополнительно переписать приведенную выше функцию, так что

\[ g(x) = \ln{x} + x.\]

From здесь вы можете дифференцировать каждый член, что дает вам

\[ \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{x} + 1. \]

Иногда свойства логарифмов нельзя будет использовать в функции, с которой вы работаете. В этих случаях просто примените любое соответствующее правило дифференцирования.

Найдите производную функции. = \sin{x} \) и используйте цепное правило, то есть

\[ \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}}{\ mathrm{d}u} \ln{u} \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}.\]

Производная функции синуса является функцией косинуса, поэтому

\[ \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = \cos{x}.\]

Зная это и производную натурального логарифма, вы можете написать

\[ \begin{align} \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}x} &= \left( \frac{1}{u} \right) (\cos{x}) \\[0.5em] &= \frac{\cos{x}}{\sin{x}} \\[0.5em] &= \tan{x}, \end{align}\]

, где у вас есть использовал тригонометрическое тождество

\[ \frac{\cos{x}}{\sin{x}}=\tan{x}.\]

Производные логарифмических функций — ключевые выводы

Логарифмические функции обратные функции из экспоненциальных функций того же основания.
No related posts.